Pense de Trás para Frente: Jogos Sequenciais e Indução Retroativa

9b.1 Pense de Trás para Frente: Jogos Sequenciais e Indução Retroativa

Forma extensiva e indução retroativa

A ferramenta visual dos jogos sequenciais é a árvore de decisão (forma extensiva): nós são momentos de escolha, ramos são ações, folhas são payoffs. É como um fluxograma — mas onde cada "caixa de decisão" pertence a um jogador diferente, e cada um vê o que os anteriores fizeram.

Como resolver? Comece pelo fim. Olhe os últimos nós da árvore e pergunte: "o que o jogador faria aqui?" Anote a resposta, "pode" esses nós, suba um nível e repita. Quando chegar ao início, você tem a solução completa. Esse procedimento de "descascar a cebola de fora para dentro" é a indução retroativa, e o equilíbrio que ela produz é o EPS.¹

Equilíbrio Perfeito em Subjogos (EPS)

Um perfil de estratégias constitui um Equilíbrio Perfeito em Subjogos se induz um equilíbrio de Nash em todo subjogo do jogo na forma extensiva.

Formalmente, um subjogo é qualquer parte do jogo que: (i) começa em um nó de decisão que é um conjunto de informação unitário (singleton); (ii) contém todos os sucessores desse nó; (iii) não "corta" nenhum conjunto de informação.

Equilíbrio Perfeito em Subjogos — Definição Formal

Seja \(\Gamma\) um jogo na forma extensiva com conjunto de jogadores \(I = \{1, \ldots, n\}\). Um subjogo de \(\Gamma\) é qualquer componente \(\Gamma'\) da árvore que começa em um nó de informação singleton \(h\), contém todos os nós que sucedem \(h\) e não divide nenhum conjunto de informação.

Um perfil de estratégias \(s^* = (s_1^*, \ldots, s_n^*)\) é um Equilíbrio Perfeito em Subjogos se, para todo subjogo \(\Gamma'\) de \(\Gamma\), a restrição \(s^*|_{\Gamma'}\) constitui um equilíbrio de Nash de \(\Gamma'\).

Implicação imediata: Em jogos de horizonte finito com informação perfeita (cada conjunto de informação é singleton), a indução retroativa identifica o único EPS.

O EPS é um refinamento do equilíbrio de Nash: todo EPS é um equilíbrio de Nash, mas nem todo equilíbrio de Nash é perfeito em subjogos. O EPS elimina equilíbrios sustentados por ameaças não críveis em subjogos fora do caminho de equilíbrio. Por que essa distinção importa? Porque em jogos dinâmicos, o equilíbrio de Nash permite que um jogador "ameace" com ações que nunca seriam racionais caso ele efetivamente precisasse executá-las. A exigência de racionalidade em cada subjogo — mesmo naqueles que nunca são alcançados em equilíbrio — é o que confere ao EPS seu poder de seleção.

A noção de credibilidade de ameaças é, portanto, o coração conceitual do EPS. Uma ameaça é crível se, e somente se, o jogador que a profere teria interesse em executá-la caso fosse chamado a agir. Essa distinção é sutil mas economicamente poderosa. Considere um exemplo cotidiano: um pai que ameaça "se você não estudar, vou cancelar as férias da família inteira" profere uma ameaça que prejudica a si mesmo tanto quanto ao filho. Se o filho antecipa que o pai não cumprirá a ameaça (porque o próprio pai quer as férias), a ameaça perde efeito. Esse é precisamente o problema da ameaça não crível no jogo de entrada: a incumbente que ameaça lutar contra a entrante está ameaçando com uma ação que a prejudicaria caso fosse efetivamente executada.

A distinção entre equilíbrios de Nash e EPS tem consequências práticas diretas. No Módulo 9a, analisamos jogos simultâneos nos quais todos os equilíbrios de Nash são automaticamente perfeitos em subjogos (porque o jogo inteiro é o único subjogo). Em jogos dinâmicos, a multiplicidade de equilíbrios de Nash é frequentemente ilusória: muitos deles dependem de ameaças vazias que ninguém cumpriria. A indução retroativa, ao descartar sistematicamente essas ameaças, reduz o conjunto de equilíbrios e produz previsões mais afinadas e empiricamente mais relevantes.

⚠️ Erro Comum

Tratar EPS e equilíbrio de Nash como sinônimos.

Todo EPS é um equilíbrio de Nash, mas a recíproca é falsa. A diferença é sutil, mas economicamente crucial.

Por que todo EPS é NE? Porque o jogo completo é, ele próprio, um subjogo. Logo, um EPS — que exige NE em todo subjogo — exige NE no jogo inteiro.

Por que NE não implica EPS? O equilíbrio de Nash só exige que nenhum jogador queira desviar dada a estratégia dos outros. Nada impede que estratégias fora do caminho de equilíbrio sejam irracionais. No jogo de entrada, o equilíbrio (Não entra, Lutar) é um NE — I nunca é chamado a agir, então a ameaça de lutar não é testada. Mas se E entrasse, I preferiria acomodar (\(1 > -1\)): a ameaça é vazia.

Regra prática: Use indução retroativa para encontrar o EPS. Se você encontrar múltiplos NE, verifique cada um: o(s) NE que envolve(m) ameaças não críveis em algum subjogo não é(são) EPS.

🏅 Prêmio Nobel — Reinhard Selten (1994)

Reinhard Selten (1930–2016) foi um economista alemão, nascido em Breslau (atual Wrocław, Polônia). Obteve o PhD na Universidade de Frankfurt e foi professor na Universidade de Bonn. Dividiu o Nobel com Nash e Harsanyi.

Por que ganhou o Nobel: Selten introduziu refinamentos do equilíbrio de Nash que eliminam equilíbrios sustentados por ameaças não críveis. O equilíbrio perfeito em subjogos (1965) exige que a estratégia de cada jogador seja ótima em todo subjogo — não apenas no jogo como um todo. Posteriormente, propôs o conceito de trembling hand perfection (1975), que testa a robustez do equilíbrio a pequenos erros.

Conexão com este capítulo: O equilíbrio perfeito em subjogos (EPS) é a ferramenta central deste capítulo sobre jogos dinâmicos. A indução retroativa — o método de resolução que identifica o EPS — elimina ameaças não críveis e gera previsões mais refinadas do que o equilíbrio de Nash simples, como demonstrado nos jogos sequenciais analisados aqui.

Intuição Econômica

Em uma frase: Indução retroativa significa pensar "de trás para frente" — comece pelo final do jogo, determine o que é racional ali, e trabalhe em direção ao início.

O método passo a passo: (1) Identifique o último nó de decisão da árvore. (2) Determine a ação ótima do jogador nesse nó. (3) Substitua esse nó pelo payoff resultante e "corte" o galho. (4) Repita o processo para o penúltimo nó, e assim por diante. (5) O resultado é o EPS.

Pense assim: Quando uma grande rede de supermercados ameaça derrubar preços para expulsar um mercadinho de bairro, o mercadinho precisa avaliar: essa ameaça é crível? Se a guerra de preços der prejuízo também para a rede, ela não vai cumprir a ameaça. Pensar de trás para frente revela quais ameaças são blefe.

Por que isso importa: O CADE usa essa lógica ao analisar se barreiras à entrada são reais ou apenas ameaças vazias de empresas dominantes. A credibilidade da ameaça — não apenas sua existência — é o que determina o resultado do jogo.

O paradoxo da credibilidade: Para que uma ameaça funcione, ela não pode ser executada em equilíbrio. Se o rival acredita na ameaça e não entra, a ameaça nunca é testada. Mas se ela não seria executada caso fosse testada, por que o rival acreditaria? Esse é o papel do comprometimento (Schelling, 1960).

Para tornar esses conceitos concretos, considere o problema clássico de deterrência de entrada — uma situação onipresente em mercados concentrados. Uma firma incumbente ameaça "lutar" caso uma rival entre no mercado. Mas essa ameaça é crível? A indução retroativa nos permite responder com rigor.

Exemplo: Jogo de entrada

Jogo de entrada (deterrência)

A firma entrante (E) decide se entra ou não. Se E entra, a firma incumbente (I) decide se luta (L) ou acomoda (A).

Payoffs: Se E não entra: \((0, 2)\). Se E entra e I acomoda: \((1, 1)\). Se E entra e I luta: \((-1, -1)\).

Equilíbrios de Nash: (Não entra, Luta) e (Entra, Acomoda). Porém, no primeiro equilíbrio a ameaça de I de lutar não é crível: no subjogo após a entrada, Lutar dá \(-1\) a I, enquanto Acomodar dá \(1\). Logo, por indução retroativa, o único EPS é (Entra, Acomoda).

A ameaça "se você entrar, eu luto" não é crível porque, no momento em que I precisa decidir, lutar é pior do que acomodar. O EPS descarta esse equilíbrio.

Figura 9b.1 — Jogo sequencial na forma extensiva. Selecione um jogo predefinido (Deterrência de Entrada ou Stackelberg), edite os payoffs nos nós terminais e resolva por indução retroativa. O caminho do EPS é destacado em vermelho.

Figura 9b.3 — Indução retroativa interativa. Ajuste os payoffs do entrante e do incumbente e veja a indução retroativa em ação: o EPS muda em tempo real. Quando a ameaça de guerra não é crível, o algoritmo identifica e sinaliza.

Comprometimento e vantagem estratégica

No gráfico interativo abaixo, visualize o modelo de Stackelberg vs. Cournot. A líder escolhe \(q_1\) primeiro e a seguidora responde sobre sua curva de melhor resposta.

Figura 9b.5 — Stackelberg vs. Cournot. As curvas são as melhores respostas das firmas 1 (vermelho) e 2 (azul). O ponto verde é o equilíbrio de Cournot (simultâneo); o ponto laranja é o de Stackelberg (sequencial). A líder produz mais e lucra mais — o comprometimento de mover primeiro confere vantagem.

O exemplo anterior mostra que ameaças vazias são descartadas pela indução retroativa. Mas será que a incumbente está condenada a acomodar a entrada? Não necessariamente. Se ela puder tomar ações antes do jogo que alterem seus próprios payoffs futuros, a ameaça pode se tornar crível. Esse é o papel do comprometimento — a arte de restringir as próprias opções para ganhar poder estratégico. Parece paradoxal: como se limitar pode ser vantajoso? A resposta é que, ao eliminar a possibilidade de recuar, o jogador torna sua ameaça inevitável aos olhos do rival. Na prática, o comprometimento assume diversas formas:

• Investimento irreversível em capacidade: se I investe em uma fábrica grande antes da decisão de entrada, o custo de lutar cai (a capacidade já existe), tornando a ameaça crível. Esse mecanismo, formalizado por Dixit (1980), explica por que firmas incumbentes frequentemente superdimensionam sua capacidade produtiva: não por ineficiência, mas como sinalização estratégica.
• Contratos vinculantes: cláusulas de "preço mais baixo garantido" comprometem a firma a igualar preços, alterando os payoffs do jogo. No setor de telecomunicações brasileiro, contratos de fidelidade com penalidades elevadas funcionam como mecanismo de comprometimento contra novas entradas.
• Reputação: em jogos repetidos com múltiplos entrantes, lutar contra o primeiro pode ser racional para estabelecer reputação de dureza. A Ambev, ao responder agressivamente às entradas de cervejas importadas em determinados segmentos, construiu reputação que desincentivou futuros concorrentes.

A lógica do comprometimento conecta-se diretamente aos resultados do Módulo 9a sobre estratégias dominantes e ao Módulo 9d sobre sinalização: em todos esses contextos, ações cujo custo direto parece injustificado adquirem racionalidade quando se considera seu efeito sobre as crenças e ações do oponente.

O conceito de dispositivo de comprometimento (commitment device) vai além do contexto estratégico. No Capítulo 18, sobre escolha intertemporal, veremos que indivíduos com preferências inconsistentes no tempo (desconto hiperbólico) ganham ao restringir suas próprias opções futuras — contas de poupança com penalidade por saque, metas públicas de política fiscal. O princípio é o mesmo: reduzir o conjunto de ações disponíveis pode ser estrategicamente vantajoso quando essa redução altera as expectativas dos demais agentes (ou do "eu futuro"). Na política econômica, a independência do Banco Central (LC 179/2021) e as regras fiscais (arcabouço fiscal) são dispositivos de comprometimento: a restrição voluntária torna as ações futuras previsíveis e as promessas críveis.

Intuição Econômica

Em uma frase: Comprometer-se é ganhar poder ao restringir suas próprias opções — um paradoxo que está no coração da estratégia.

O paradoxo de Schelling: Thomas Schelling (1960) demonstrou que, em negociações, a fraqueza pode ser uma força. Um negociador que não pode fazer concessões — porque está vinculado a um mandato rígido, ou porque destruiu a ponte de volta — está em posição mais forte do que um negociador flexível. O oponente sabe que não adianta pressionar: o comprometimento é irrevogável.

Exemplos no dia a dia: (1) Queimar navios — Cortés eliminou a retirada. (2) Cláusulas contratuais de rescisão elevada — tornam a saída custosa e, portanto, crível a permanência. (3) Investimento em marca e reputação — uma empresa que investiu bilhões em sua marca tem mais a perder com comportamento oportunista, tornando crível seu comprometimento com a qualidade. (4) Metas de inflação públicas — o Banco Central que anuncia uma meta e se submete a prestação de contas torna crível seu comprometimento com a estabilidade de preços.

Quando o comprometimento falha: O dispositivo de comprometimento perde efeito se: (i) pode ser revertido (a "regra" tem tantas exceções que é letra morta); (ii) o custo do comprometimento excede o benefício estratégico (investir K > 9 no modelo de Dixit); (iii) os rivais não observam ou não acreditam no comprometimento (problema de informação — conecta-se ao Módulo 9d sobre sinalização).

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1. "Nobody expects the Spanish Inquisition!" — Os fãs de Monty Python reconhecerão a analogia: no famoso sketch, os cardeais aparecem depois que alguém os menciona, repetidamente, cada vez com um conjunto diferente de "armas" ("fear, surprise, and a ruthless efficiency..."). A indução retroativa funciona ao contrário: você antecipa o que vai acontecer em cada nó futuro — inclusive nos que ninguém espera alcançar — e usa essa antecipação para decidir o que fazer agora. Nobody expects backward induction, mas ela funciona. ↩