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Capítulo 2 — O Manual de Sobrevivência Matemática

Quanto custa, em bem-estar, um aumento de 10% na gasolina para uma família que ganha dois salários mínimos? A resposta exige derivadas parciais (Seção 2.2), o teorema da função implícita (Seção 2.3) e o método de Lagrange (Seção 2.5). Sem essas ferramentas, a pergunta fica sem resposta. Com elas, a resposta cabe em meia página.1

Se o Capítulo 1 era o "o quê" e o "por quê" da microeconomia, este é o "com quê". Matemática é a linguagem em que os modelos econômicos são escritos — e, como toda língua, ela pode parecer impenetrável até que você perceba que já a fala no dia a dia. Quando você decide se vale a pena pegar trânsito para economizar R$ 20 na gasolina, está fazendo otimização. Quando nota que "o café sobe quando a geada derruba a safra", está fazendo estática comparativa. A diferença é que aqui vamos fazer isso com precisão — e com a garantia de que as conclusões se sustentam logicamente.

Não entre em pânico

Este capítulo é como aquecimento antes do jogo — ninguém gosta, mas quem pula se machuca no minuto 5. Se você já domina cálculo multivariado, pode pular direto para as seções que precisa consultando o roteiro abaixo. Se está vendo isso pela primeira vez: respire. Pense neste capítulo como um dicionário — você não lê da primeira à última página; você volta quando precisa.

Autodiagnóstico: Qual é o seu ponto de partida?

Responda mentalmente (ou no caderno) às 6 questões abaixo. Elas cobrem os pré-requisitos mínimos para acompanhar este capítulo sem sofrimento desnecessário.

Bloco A — Cálculo diferencial básico (pré-requisito para Seções 2.1–2.3)

  1. Calcule \(\dfrac{d}{dx}\left(3x^2 - 5x + 2\right)\).
  2. Encontre o \(x\) que maximiza \(f(x) = -x^2 + 6x - 1\) e verifique que é máximo.
  3. Se \(f(x,y) = x^2 y + 3xy^2\), calcule \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\).

Bloco B — Álgebra e funções (pré-requisito para Seções 2.5–2.9)

  1. Resolva para \(x\) e \(y\): \(\;2x + y = 10\) e \(x - y = 2\).
  2. Simplifique \(\ln(e^{3x})\).
  3. Se \(f(tx, ty) = t^2 f(x,y)\) para todo \(t > 0\), qual é o grau de homogeneidade de \(f\)?

Interpretação:

  • 6/6 corretas: Você pode avançar rapidamente — use o capítulo como referência e concentre-se nas seções menos familiares (Envelope, Kuhn-Tucker, Euler).
  • 4–5 corretas: Você está bem, mas leia com atenção as seções onde errou. Os conceitos se acumulam.
  • 2–3 corretas: Leia o capítulo inteiro com calma. Faça os exercícios de aquecimento antes dos exercícios formais. Use os recursos do box abaixo.
  • 0–1 corretas: Invista uma semana nos "Primeiros Socorros" abaixo antes de entrar no capítulo. É mais rápido do que parece, e o retorno sobre o investimento é enorme.
Gabarito rápido
  1. \(6x - 5\)
  2. \(x^* = 3\) (CPO: \(-2x + 6 = 0\)); \(f''(x) = -2 < 0\) → máximo. ✓
  3. \(2xy + 3y^2\)
  4. \(x = 4,\; y = 2\)
  5. \(3x\)
  6. Grau 2 (homogênea de grau 2).

Primeiros Socorros Matemáticos

Se o autodiagnóstico revelou lacunas, não se desespere — elas são mais comuns do que você imagina, e há recursos excelentes (e gratuitos) para resolvê-las em poucos dias.

Vídeos (português)

Vídeos (inglês com legendas)

Livro de referência acessível

  • Chiang, A.C. & Wainwright, K. (2005). Matemática para Economistas. Campus/Elsevier. — O "clássico gentil": rigoroso mas escrito para economistas, não para matemáticos. Capítulos 2–4 cobrem todo o Bloco A do autodiagnóstico; Capítulos 9–12 cobrem o Bloco B.

Dica prática: reserve 30 min/dia durante 5–7 dias para os vídeos do 3Blue1Brown + exercícios do Khan Academy. Esse investimento de ~5 horas vai render dividendos pelo resto do livro — literalmente, o melhor VPL que você pode conseguir antes do Capítulo 18.

Este capítulo é a caixa de ferramentas do livro inteiro — uma referência autocontida que vai da otimização em uma variável (Seção 2.1) até os teoremas de ponto fixo que garantem a existência de equilíbrios (Seção 2.13), passando por Lagrange, Kuhn-Tucker, teorema do envelope, curvatura e homogeneidade. O leitor familiarizado com cálculo multivariado pode avançar rapidamente, concentrando-se nos resultados menos habituais (envelope, Kuhn-Tucker, Euler). Cada ferramenta será usada em um problema econômico concreto nos capítulos seguintes — teoria do consumidor (Capítulos 3–6), incerteza e risco (Capítulo 7), teoria da firma (Capítulos 10–12), teoria dos jogos (Capítulo 9a) e equilíbrio de mercado (Capítulos 13–14) — de modo que nada aqui é decorativo. A exposição segue Nicholson e Snyder (2017, Cap. 2), complementada por Simon e Blume (1994), Mas-Colell, Whinston e Green (1995, Apêndice Matemático) e Chiang e Wainwright (2005).

Roteiro do capítulo

Seção Pergunta-guia O que você vai aprender Página
2.1 Qual é o "arroz com feijão" da otimização? CPO e CSO em uma variável: derive, iguale a zero, verifique Otimização
2.2–2.3 Como isolar o efeito de uma variável quando há várias? Derivadas parciais, TFI, Hessiana, estática comparativa Otimização
2.4 No ótimo, preciso recalcular tudo? Teorema do envelope — atalho para Roy, Shephard e Hotelling Envelope
2.5–2.6 Como maximizar com orçamento limitado? Método de Lagrange, λ como preço-sombra Lagrange
2.7 E se o consumidor puder consumir zero? Kuhn-Tucker, soluções de canto, complementary slackness Kuhn-Tucker
2.8–2.9 Quando as CPOs bastam? E o que são retornos de escala? Concavidade, quase-concavidade, homogeneidade, Euler Curvatura
2.10–2.13 Que outras ferramentas vou precisar? Integração, dinâmica, probabilidade, teoremas de ponto fixo Complementos

  1. "First shalt thou take out the Holy Pin. Then shalt thou count to three. No more. No less." As instruções para a Holy Hand Grenade of Antioch em Monty Python and the Holy Grail são o protocolo mais preciso da história do cinema — e soam suspeitamente parecidas com um algoritmo de otimização. De fato, boa parte deste capítulo se resume a: (1) derive; (2) iguale a zero; (3) verifique a segunda ordem. No mais, no menos. Sir Lancelot não seguiu o protocolo e quase explodiu a si mesmo. Alunos que pulam a CSO costumam ter resultado semelhante. ↩