O Blefe Calculado: Estratégias Mistas

9a.4 O Blefe Calculado: Estratégias Mistas

Alguns jogos simplesmente não têm equilíbrio — se os jogadores são obrigados a escolher uma ação fixa. No Matching Pennies, qualquer escolha determinística é explorada pelo adversário. Parece um beco sem saída. A solução de Nash: jogar cara ou coroa — literalmente. Se você randomiza entre suas ações com as probabilidades certas, o adversário não consegue explorar sua estratégia. E Nash provou algo impressionante: todo jogo finito tem equilíbrio, se permitirmos aleatorização. Essa é a ideia de estratégia mista — e ela transforma jogos aparentemente sem solução em jogos com solução garantida.

Estratégia mista

Uma estratégia mista para o jogador \(i\) é uma distribuição de probabilidade \(\sigma_i \in \Delta(S_i)\) sobre o conjunto de estratégias puras \(S_i\). Se \(S_i = \{s_i^1, s_i^2, \ldots, s_i^{m_i}\}\), então:

\[ \sigma_i = (p_i^1, p_i^2, \ldots, p_i^{m_i}), \quad p_i^k \geq 0, \quad \sum_{k=1}^{m_i} p_i^k = 1 \]

O payoff esperado do jogador \(i\) sob o perfil de estratégias mistas \(\sigma = (\sigma_1, \ldots, \sigma_n)\) é:

\[ U_i(\sigma) = \sum_{s \in S} \left(\prod_{j=1}^{n} \sigma_j(s_j)\right) u_i(s) \label{eq:9a.2} \tag{9a.2} \]

Princípio da indiferença

Como encontrar as probabilidades de equilíbrio? A chave é um resultado que, à primeira vista, parece contra-intuitivo: em equilíbrio misto, cada jogador escolhe suas probabilidades não para maximizar seu próprio payoff, mas de forma a tornar o oponente indiferente entre suas opções. Afinal, se o oponente não fosse indiferente, ele escolheria uma ação com certeza — e não randomizaria.

Em um equilíbrio em estratégias mistas, cada jogador randomiza de tal forma que os outros jogadores ficam indiferentes entre as estratégias puras que recebem probabilidade positiva. Formalmente, se \(\sigma_i^*\) atribui probabilidade positiva a \(s_i^k\), então:

\[ U_i(s_i^k, \sigma_{-i}^*) = U_i(s_i^l, \sigma_{-i}^*) \quad \text{para todo } s_i^l \text{ com } \sigma_i^*(s_i^l) > 0 \label{eq:9a.3} \tag{9a.3} \]

Intuição Econômica

Em uma frase: Jogar de forma imprevisível pode ser a melhor estratégia quando qualquer padrão fixo seria explorado pelo adversário.

Pense assim: Um cobrador de pênaltis que sempre chuta no mesmo canto será facilmente defendido. Por isso, os melhores batedores variam entre esquerda, direita e centro de forma quase aleatória — e a proporção ideal é exatamente aquela que deixa o goleiro indiferente entre os lados. Chiappori, Levitt e Groseclose (2002) confirmaram isso empiricamente com dados de cobranças de pênaltis na Série A italiana e na liga francesa.

Por que isso importa: Estratégias mistas aparecem em fiscalizações da Receita Federal (auditar aleatoriamente para que ninguém saiba se será fiscalizado), em blitz de trânsito — a imprevisibilidade é o que gera o efeito dissuasório — e em licitações onde o lance ótimo envolve randomização.

Cálculo de equilíbrio misto: Batalha dos Sexos

Na Batalha dos Sexos, suponha que o jogador 1 joga F com probabilidade \(p\) e C com probabilidade \(1-p\), enquanto o jogador 2 joga F com probabilidade \(q\) e C com probabilidade \(1-q\).

Para o jogador 2 ser indiferente:

\[ U_2(F; p) = U_2(C; p) \implies p \cdot 1 + (1-p) \cdot 0 = p \cdot 0 + (1-p) \cdot 3 \]

\[ p = 3(1-p) \implies p = 3 - 3p \implies 4p = 3 \implies p = \frac{3}{4} \]

Para o jogador 1 ser indiferente:

\[ U_1(F; q) = U_1(C; q) \implies 3q = (1-q) \implies q = \frac{1}{4} \]

Logo, o equilíbrio em estratégias mistas é \(\sigma_1 = (3/4, 1/4)\), \(\sigma_2 = (1/4, 3/4)\). O payoff esperado de cada jogador é \(3/4\), inferior ao payoff em qualquer dos dois equilíbrios puros — a incerteza sobre a coordenação é custosa.

Figura 9a.2 — Equilíbrio em estratégias mistas. Para um jogo 2×2, os gráficos mostram o payoff esperado de cada jogador em função da probabilidade de mistura do oponente. O ponto de interseção determina a probabilidade de equilíbrio (princípio da indiferença). Edite os payoffs e selecione jogos predefinidos.

Existência de Equilíbrio (Teorema de Nash)

O exemplo da Batalha dos Sexos ilustra como calcular o equilíbrio misto em um jogo específico. Mas será que todo jogo finito possui ao menos um equilíbrio? A resposta afirmativa — o Teorema de Nash — é um dos resultados mais importantes da matemática aplicada do século XX. Sua demonstração utiliza o Teorema do Ponto Fixo de Kakutani e, embora a apresentação formal possa parecer abstrata, a intuição geométrica é elegante: as correspondências de melhor resposta dos jogadores devem necessariamente se "cruzar" em algum ponto.

Teorema de Nash (1950)

Todo jogo finito (número finito de jogadores e de estratégias puras para cada jogador) possui pelo menos um equilíbrio de Nash em estratégias mistas.¹

Demonstração: Existência de equilíbrio de Nash (caso 2×2)

Objetivo: Demonstrar a existência de equilíbrio de Nash em estratégias mistas para um jogo com dois jogadores, cada um com duas estratégias puras.

Considere um jogo \(2 \times 2\) com jogadores 1 e 2, cada um com estratégias \(\{A, B\}\). O jogador 1 escolhe \(A\) com probabilidade \(p \in [0,1]\) e o jogador 2 escolhe \(A\) com probabilidade \(q \in [0,1]\).

Passo 1 — Funções de melhor resposta.

O payoff esperado do jogador 1 é linear em \(p\) (para \(q\) fixo):

\[ U_1(p, q) = p \cdot \underbrace{[q \, u_1(A,A) + (1-q) \, u_1(A,B)]}_{\equiv \alpha_1(q)} + (1-p) \cdot \underbrace{[q \, u_1(B,A) + (1-q) \, u_1(B,B)]}_{\equiv \beta_1(q)} \]

A melhor resposta do jogador 1 é:

\[ BR_1(q) = \begin{cases} \{1\} & \text{se } \alpha_1(q) > \beta_1(q) \\ [0,1] & \text{se } \alpha_1(q) = \beta_1(q) \\ \{0\} & \text{se } \alpha_1(q) < \beta_1(q) \end{cases} \]

Passo 2 — Propriedades das correspondências de melhor resposta.

Para cada jogador \(i\), \(BR_i: [0,1] \rightrightarrows [0,1]\) satisfaz: (i) valores não vazios; (ii) valores convexos (intervalos fechados); (iii) gráfico fechado (semicontinuidade superior).

Passo 3 — Teorema do Ponto Fixo de Kakutani.

A correspondência conjunta \(BR(p, q) = BR_1(q) \times BR_2(p)\) mapeia o compacto convexo \([0,1]^2\) em si mesmo com valores não vazios, convexos e gráfico fechado. Pelo Teorema de Kakutani, existe \((p^*, q^*)\) tal que \(p^* \in BR_1(q^*)\) e \(q^* \in BR_2(p^*)\) — um equilíbrio de Nash. \(\blacksquare\)

Caso geral

A demonstração para \(n\) jogadores e \(m\) estratégias segue a mesma lógica, aplicando Kakutani no simplexo \(\Delta(S_1) \times \cdots \times \Delta(S_n)\).

Box Mundo 9a.2 — Pênaltis, saques e o equilíbrio misto no esporte profissional

Contexto: Cobranças de pênaltis no futebol e saques no tênis são laboratórios naturais para o equilíbrio em estratégias mistas. Em ambos os casos, dois jogadores fazem escolhas essencialmente simultâneas (o cobrador escolhe o lado e o goleiro mergulha; o sacador escolhe a direção e o receptor se posiciona), o jogo é de soma zero e qualquer padrão previsível seria explorado pelo adversário. A teoria prevê que, em equilíbrio, cada jogador randomiza de modo a tornar o oponente indiferente entre suas opções — e que as taxas de sucesso devem ser iguais entre as direções escolhidas.

Dados: Palacios-Huerta (2003), em estudo seminal publicado na Review of Economic Studies, analisou 1.417 cobranças de pênaltis em ligas profissionais europeias (1995–2000). Os resultados são notavelmente consistentes com o equilíbrio em estratégias mistas: (i) as taxas de sucesso dos cobradores não diferiam significativamente entre chutar à esquerda e à direita do goleiro (~63% em ambos os lados); (ii) não havia correlação serial nas escolhas — cada cobrança era estatisticamente independente das anteriores; (iii) jogadores individuais variavam suas escolhas com frequências próximas às previstas pelo equilíbrio. Walker e Wooders (2001), analisando 10 temporadas de partidas de tênis de Grand Slam, encontraram padrão análogo nos saques: os melhores sacadores distribuíam seus saques entre forehand e backhand do receptor em proporções que igualavam a probabilidade de ganhar o ponto em ambas as direções. Chiappori, Levitt e Groseclose (2002), usando dados da Série A italiana e da liga francesa, confirmaram independentemente os resultados de Palacios-Huerta.

Análise: Esses resultados são relevantes porque testam uma das previsões mais específicas — e aparentemente implausíveis — da teoria dos jogos: que agentes reais, em ambientes de alta pressão e com milhões em jogo, se comportam como se resolvessem o sistema de equações do princípio da indiferença (Equação 9a.3). A convergência para o equilíbrio misto não exige que os jogadores façam cálculos conscientes — basta que, ao longo de repetidas interações, a seleção competitiva elimine padrões exploráveis. É a mesma lógica do como se friedmaniano aplicada a um contexto observável em tempo real.

Para refletir: Se um cobrador de pênaltis tem o pé esquerdo mais forte, como isso altera as probabilidades de equilíbrio? (Dica: ele chutará mais vezes para o lado natural — mas não exclusivamente, pois isso o tornaria previsível.)

Fonte: Palacios-Huerta, Ignacio (2003). "Professionals Play Minimax." Review of Economic Studies, 70(2), 395–415. Walker, Mark e Wooders, John (2001). "Minimax Play at Wimbledon." American Economic Review, 91(5), 1521–1538. Chiappori, Pierre-André; Levitt, Steven e Groseclose, Tim (2002). "Testing Mixed-Strategy Equilibria When Players Are Heterogeneous: The Case of Penalty Kicks in Soccer." American Economic Review, 92(4), 1138–1151.

Misturar é racional — pergunte a qualquer cobrador de pênaltis. Se ele sempre chuta no mesmo canto, o goleiro aprende. Se randomiza, o goleiro vira loteria. O equilíbrio misto formaliza exatamente essa intuição: quando previsibilidade é punida, imprevisibilidade é ótima.

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1. A demonstração usa o Teorema do Ponto Fixo de Kakutani — o que pode intimidar o leitor na primeira leitura. Uma confissão: a maioria dos economistas aplicados nunca precisou refazer essa prova depois da pós-graduação. O que importa é a implicação: todo jogo finito tem solução. Se você está procurando o equilíbrio de um jogo e não encontra em estratégias puras, não desista — ele está escondido nas mistas. Kakutani garante. ↩