Exercícios e ANPEC¶

WebR 3.1 — Curvas de indiferença comparadas. Troque entre Cobb-Douglas, CES, quaselinear e substitutos perfeitos. Altere o parâmetro ρ na CES para ver a transição de substitutos (isoquantas retas) a complementos (formato de L).

WebR 3.2 — TMS ao longo da curva de indiferença. Calcule a TMS em vários pontos de uma Cobb-Douglas e veja a tangente mudar. Observe: quanto mais x você tem, menos y está disposto a trocar — convexidade em ação.

WebR 3.3 — Zoológico de preferências. Quatro famílias em 4 painéis: Cobb-Douglas (suave), substitutos perfeitos (retas), Leontief (L) e quase-linear (paralelas). Cada forma de CI conta uma história diferente sobre como o consumidor troca bens.

WebR 3.4 — Transformação monotônica preserva tudo. Três funções utilidade (U, ln U, U²) geram a mesma curva de indiferença e a mesma TMS. A utilidade é ordinal: só o ranking importa, não o número.

Atividade 3.1 — Desenhando suas próprias curvas de indiferença (20 min)

Objetivo: Descobrir, por introspecção guiada, que preferências pessoais geram curvas de indiferença — e que a TMS varia ao longo delas.

Material: Folha quadriculada, caneta colorida.

Protocolo:

Setup (3 min): "Eixo horizontal = horas de Netflix por semana. Eixo vertical = horas de academia por semana. Marque o ponto (10, 2) — sua dotação atual."
Revelação de preferências (7 min): "Agora responda honestamente: se eu tirasse 2 horas de Netflix, quantas horas a mais de academia você precisaria para ficar igualmente feliz?" Marque o novo ponto. Repita para tirar mais 2 horas. E mais 2. Conecte os pontos — isso é sua curva de indiferença.
Comparação em duplas (4 min): Duplas comparam curvas. Pergunte: "As curvas são iguais? Deveriam ser?" → Não! Preferências são subjetivas. "Qual é a TMS de cada um no ponto (10, 2)?"
Debrief (6 min):
- "A curva ficou convexa (curvada para a origem)? Por quê?" → TMS decrescente: quando você já tem pouca Netflix, cada hora a menos dói mais.
- "Alguém desenhou uma reta?" → Substitutos perfeitos. "Alguém fez um L?" → Complementos perfeitos.
- "Se eu multiplicar todos os números de utilidade por 2, a curva muda?" → Não. Transformação monotônica (Seção 3.7).
- Conecte: o exercício que vocês fizeram é exatamente como Edgeworth imaginou as curvas em 1881 — só que ele não tinha Netflix.

Conexão com o conteúdo: Seções 3.3 (curvas de indiferença), 3.4 (TMS), 3.6 (formas funcionais), 3.7 (transformações monotônicas).

Atividade 3.2 — O teste da transitividade: flagrando incoerência (10 min)

Objetivo: Testar se as preferências declaradas dos alunos satisfazem os axiomas — e mostrar que violações existem (e importam).

Material: 3 cartões por aluno com opções escritas (ou projeção no slide).

Protocolo:

As opções (2 min): Apresente três "cestas" de lazer para o fim de semana: (A) Cinema + pizza, (B) Futebol + churrasco, (C) Praia + açaí. Cada aluno vota nas comparações dois a dois: A vs. B, B vs. C, A vs. C (levantar a mão ou usar Mentimeter).
Contagem (3 min): O professor registra as proporções. Tipicamente, com preferências heterogêneas na turma, o resultado agregado pode violar transitividade: A > B, B > C, mas C > A (Paradoxo de Condorcet!).
Debrief (5 min):
- "Se a turma fosse uma pessoa, ela seria irracional — prefere A a B, B a C, e C a A. Isso é possível para um indivíduo?" → Não, se satisfaz o axioma de transitividade.
- "Mas o grupo violou. O que isso significa?" → Agregação de preferências individuais racionais pode gerar intransitividade coletiva — antecipe o Teorema de Arrow (Capítulo 16).
- Feche: "Os axiomas do Capítulo 3 são sobre indivíduos. Para sociedades, a coisa complica — e Arrow ganhou o Nobel por explicar por quê."

Conexão com o conteúdo: Seções 3.1 (axiomas de completude e transitividade), antecipação do Capítulo 16 (Escolha Social e Teorema de Arrow).

Revisão Rápida¶

Teste seu entendimento dos conceitos centrais deste capítulo.

1. O axioma de transitividade das preferências implica que:

(a) O consumidor sempre prefere mais a menos
(b) Se $A \succsim B$ e $B \succsim C$, então $A \succsim C$
(c) O consumidor consegue comparar quaisquer duas cestas
(d) A utilidade marginal é sempre decrescente

Resposta

(b) Transitividade exige consistência nas ordenações: se A é pelo menos tão bom quanto B, e B pelo menos tão bom quanto C, então A deve ser pelo menos tão bom quanto C. A alternativa (a) descreve monotonicidade; (c) descreve completude; (d) é uma propriedade da função de utilidade, não um axioma sobre preferências.

2. Se $u(x_1, x_2) = x_1^{0{,}5} x_2^{0{,}5}$ e $v = 2u + 10$, é correto afirmar que:

(a) $v$ representa preferências diferentes de $u$, pois os valores numéricos mudam
(b) $v$ representa as mesmas preferências, pois é uma transformação monotônica crescente de $u$
(c) $v$ só representa as mesmas preferências se a renda do consumidor não mudar
(d) $v$ inverte a ordenação das cestas em relação a $u$

Resposta

(b) A função de utilidade é ordinal: qualquer transformação monotônica crescente $v = g(u)$ com $g' > 0$ preserva a ordenação das cestas e, portanto, representa as mesmas preferências. A alternativa (a) confunde valores cardinais com ordinais; (c) adiciona condição inexistente; (d) seria verdade apenas para transformações decrescentes.

3. A Taxa Marginal de Substituição (TMS) entre dois bens mede:

(a) A razão entre os preços dos dois bens no mercado
(b) A quantidade de um bem que o consumidor está disposto a abrir mão para obter uma unidade adicional do outro, mantendo a utilidade constante
(c) A variação percentual na demanda de um bem quando o preço do outro varia
(d) O custo de oportunidade de produzir um bem em vez do outro

Resposta

(b) A TMS é a inclinação da curva de indiferença e mede a taxa subjetiva de troca entre bens que mantém o consumidor indiferente. Matematicamente, $\text{TMS}_{12} = -dx_2/dx_1|_{u=\bar{u}} = \text{UMg}_1/\text{UMg}_2$. A alternativa (a) descreve a inclinação da restrição orçamentária; (c) descreve elasticidade cruzada; (d) refere-se à produção.

4. As curvas de indiferença de preferências estritamente convexas são:

(a) Retas com inclinação constante
(b) Convexas em relação à origem (curvadas para fora)
(c) Côncavas em relação à origem (curvadas para dentro, 'arqueadas')
(d) Círculos concêntricos

Resposta

(c) Preferências convexas implicam que médias são preferidas a extremos, gerando curvas de indiferença côncavas em relação à origem (convexas do ponto de vista do conjunto preferido). A TMS é decrescente em valor absoluto. A alternativa (a) descreve substitutos perfeitos; (b) descreve preferências côncavas (não convexas); (d) não é uma forma padrão.

5. Qual das seguintes funções de utilidade representa preferências por complementos perfeitos?

(a) $u(x_1, x_2) = x_1 + x_2$
(b) $u(x_1, x_2) = \min(x_1, x_2)$
(c) $u(x_1, x_2) = x_1 \cdot x_2$
(d) $u(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2^2$

Resposta

(b) Complementos perfeitos são consumidos em proporções fixas; a utilidade é determinada pelo bem em menor quantidade relativa, representada pela função $\min$. As curvas de indiferença são em L. A alternativa (a) representa substitutos perfeitos; (c) representa preferências Cobb-Douglas; (d) representa preferências côncavas (não convexas), onde o consumidor prefere extremos a médias.

6. Preferências homotéticas implicam que:

(a) A demanda pelo bem 1 é independente da renda
(b) A participação de cada bem na despesa total é constante quando a renda varia
(c) A TMS depende apenas da quantidade absoluta de $x_1$
(d) As curvas de indiferença são translações verticais

Resposta

(b) Preferências homotéticas geram curvas de Engel lineares e elasticidade-renda unitária para todos os bens, o que implica participação constante na despesa (Proposição §3.6.6). A alternativa (a) descreve preferências quase-lineares, não homotéticas; (c) também é propriedade da quase-linear (TMS depende só de $x_1$); (d) descreve curvas de indiferença quase-lineares. A assinatura das homotéticas é que a TMS depende da razão $x_1/x_2$, gerando expansão radial — não vertical — das curvas.

Resumo do Capítulo¶

A teoria do consumidor parte de axiomas sobre preferências — completude, transitividade, continuidade e monotonicidade — que estabelecem regras mínimas de coerência para ordenar cestas de consumo. Esses axiomas são o alicerce sobre o qual todo o resto se constrói: sem eles, não há função de utilidade, não há curvas de indiferença e não há otimização.
Sob esses axiomas, o Teorema de Debreu (1954) garante a existência de uma função de utilidade contínua que representa as preferências. Essa função é ordinal: apenas o ordenamento das cestas importa, não os valores numéricos em si. A ordinalidade implica que qualquer transformação monotônica crescente da função de utilidade representa as mesmas preferências (Seção 3.7).
As curvas de indiferença são curvas de nível da função de utilidade: cobrem todo o espaço de consumo, não se cruzam (pela transitividade), têm inclinação negativa (pela monotonicidade) e, sob convexidade estrita, são abauladas em direção à origem — refletindo a ideia de que o consumidor valoriza a diversidade na composição de sua cesta.
A taxa marginal de substituição (TMS) mede a taxa de troca subjetiva entre bens ao longo da curva de indiferença e equivale à razão das utilidades marginais: $\text{TMS}_{12} = \text{UMg}_1 / \text{UMg}_2$. A TMS decrescente — que reflete a disposição cada vez menor do consumidor a abrir mão de um bem à medida que ele se torna mais escasso na cesta — é matematicamente equivalente à convexidade estrita das preferências.
O capítulo apresenta as principais famílias de funções de utilidade — Cobb-Douglas, substitutos perfeitos, complementos perfeitos, CES e quase-linear — cada uma com formato de curvas de indiferença e elasticidade de substituição distintos. A função CES unifica as três primeiras como casos especiais de um único parâmetro $\rho$, enquanto a quase-linear se distingue por eliminar o efeito renda sobre um dos bens.
Preferências homotéticas (TMS depende apenas da razão $x_1/x_2$) geram curvas de Engel lineares, elasticidade-renda unitária e participação constante na despesa — propriedades que permitem a agregação em um consumidor representativo. Preferências quase-lineares, por contraste, concentram todo o efeito renda em um único bem e garantem que as medidas de bem-estar (VC, VE, $\Delta$EC) coincidam.

Conceitos-Chave¶

Conceito	Definição
Relação de preferência ($\succsim$)	Ordenamento sobre cestas de consumo indicando que uma cesta é "pelo menos tão boa quanto" outra.
Completude	Axioma que exige que o consumidor consiga comparar quaisquer duas cestas.
Transitividade	Axioma de consistência: se $\mathbf{x} \succsim \mathbf{y}$ e $\mathbf{y} \succsim \mathbf{z}$, então $\mathbf{x} \succsim \mathbf{z}$.
Monotonicidade	"Mais é melhor": cestas com mais de pelo menos um bem são estritamente preferidas.
Função de utilidade	Função $u: X \to \mathbb{R}$ que representa preferências: $\mathbf{x} \succsim \mathbf{y} \iff u(\mathbf{x}) \geq u(\mathbf{y})$. É ordinal.
Curva de indiferença	Conjunto de cestas que proporcionam o mesmo nível de utilidade; curva de nível de $u$.
Taxa marginal de substituição (TMS)	Quantidade do bem 2 que o consumidor abre mão por uma unidade adicional do bem 1, mantendo a utilidade constante; igual a $\text{UMg}_1/\text{UMg}_2$.
Elasticidade de substituição ($\sigma$)	Mede a facilidade com que o consumidor substitui entre bens; varia de 0 (complementos perfeitos) a $\infty$ (substitutos perfeitos).
Preferências homotéticas	Preferências cuja TMS depende apenas da razão $x_1/x_2$; geram elasticidade-renda unitária e participação constante na despesa.
Utilidade quase-linear	Função $u = v(x_1) + x_2$ em que todo aumento de renda vai para $x_2$; elimina o efeito renda sobre $x_1$ e iguala as medidas de bem-estar (VC = VE = $\Delta$EC).

Tabela 3.2 — Conceitos-chave.

Exercícios¶

Os exercícios a seguir cobrem os principais tópicos do capítulo — axiomas, funções de utilidade, TMS, formas funcionais e transformações monotônicas. Eles progridem em dificuldade: os primeiros requerem cálculos diretos de TMS para funções específicas, enquanto os últimos exigem demonstrações e raciocínio mais abstrato sobre propriedades das preferências. As soluções detalhadas estão disponíveis na seção de soluções.

Exercício 3.1. Considere um consumidor com preferências sobre dois bens ($x_1, x_2$) representadas pela função de utilidade $u(x_1, x_2) = x_1^{1/3} x_2^{2/3}$.

(a) Calcule a TMS$_{12}$.

(b) Qual o valor da TMS no ponto $(x_1, x_2) = (4, 8)$? Interprete economicamente.

(c) Mostre que a TMS é decrescente ao longo de uma curva de indiferença (ou seja, $\partial \text{TMS}_{12} / \partial x_1 < 0$ ao longo de $u = \bar{u}$).

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Exercício 3.2. Mostre que a função de utilidade $u(x_1, x_2) = \ln x_1 + 2 \ln x_2$ representa as mesmas preferências que $v(x_1, x_2) = x_1 \cdot x_2^2$. Verifique que ambas produzem a mesma TMS.

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Exercício 3.3. Um consumidor tem preferências do tipo CES com $\rho = -1$:

\[ u(x_1, x_2) = \left(x_1^{-1} + x_2^{-1}\right)^{-1}. \]

(a) Calcule a elasticidade de substituição.

(b) Derive a TMS$_{12}$.

(c) Esboce as curvas de indiferença. Elas estão mais próximas do caso Cobb-Douglas ou do caso de complementos perfeitos? Justifique.

Ver solução

Exercício 3.4. Considere preferências quase-lineares $u(x_1, x_2) = \sqrt{x_1} + x_2$.

(a) Calcule a TMS$_{12}$ e mostre que ela depende apenas de $x_1$.

(b) Desenhe duas curvas de indiferença e mostre que elas são translações verticais uma da outra.

(c) Explique por que, nesse caso, a demanda pelo bem 1 é independente da renda (para soluções interiores).

Ver solução

Exercício 3.5. Um economista propõe representar as preferências de um consumidor pela função $u(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2^2$.

(a) As curvas de indiferença dessa função são convexas em relação à origem? Justifique.

(b) A TMS é decrescente ao longo de uma curva de indiferença?

(c) Essa função satisfaz o axioma de preferências estritamente convexas? Que problema isso gera para a existência de soluções interiores no problema de otimização do consumidor?

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Exercício 3.6. Considere a função de utilidade CES generalizada com pesos:

\[ u(x_1, x_2) = \left(\alpha \, x_1^{\rho} + (1-\alpha) \, x_2^{\rho}\right)^{1/\rho}, \quad 0 < \alpha < 1, \; \rho < 1, \; \rho \neq 0. \]

(a) Derive a TMS$_{12}$ e mostre que ela depende de $\alpha$, $\rho$ e da razão $x_1/x_2$.

(b) Mostre que, no caso $\alpha = 1/2$, a TMS no ponto $x_1 = x_2$ é igual a 1, independentemente de $\rho$.

(c) Interprete economicamente o papel do parâmetro $\alpha$: o que acontece com as curvas de indiferença quando $\alpha$ aumenta?

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Exercício 3.7. Sejam duas funções de utilidade:

\[ u(x_1, x_2) = x_1^{1/2} \, x_2^{1/2}, \qquad v(x_1, x_2) = -\frac{1}{x_1 \, x_2}. \]

(a) Mostre que $v$ é uma transformação monotônica de $u$ e identifique a função $f$ tal que $v = f(u)$.

(b) Calcule a TMS$_{12}$ usando $u$ e usando $v$. Verifique que ambas coincidem.

(c) Compare as utilidades marginais de $u$ e de $v$. Embora ambas representem as mesmas preferências, os valores das utilidades marginais coincidem? Explique por que a utilidade marginal não possui significado econômico isolado.

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Exercício 3.8. Um consumidor tem preferências representadas por $u(x_1, x_2) = \min\{2x_1, x_2\}$.

(a) Em que proporção o consumidor deseja consumir os dois bens? Justifique a partir da função de utilidade.

(b) Suponha que o consumidor possui renda $m = 120$ e enfrenta preços $p_1 = 10$ e $p_2 = 5$. Encontre a cesta ótima.

(c) Se o preço do bem 1 dobrar para $p_1 = 20$, qual será a nova cesta ótima? Calcule a variação percentual no consumo de cada bem e interprete.

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Exercício 3.9. Demonstre que, para preferências homotéticas, a TMS depende apenas da razão $x_1/x_2$.

Dica: Seja $u(x_1, x_2) = g(h(x_1, x_2))$, onde $g' > 0$ e $h$ é homogênea de grau 1. Use o Teorema de Euler para mostrar que $\text{TMS}_{12} = h_1/h_2$, e depois explore a homogeneidade de grau zero das derivadas de uma função homogênea de grau 1.

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Exercício 3.10. A Pesquisa de Orçamentos Familiares (POF 2017-2018) mostra que famílias com renda mensal de R$ 1.908 gastam 22% da renda em alimentação, enquanto famílias com renda de R$ 23.850 gastam 7,6%.

(a) Calcule a elasticidade-renda aproximada da alimentação entre essas duas faixas de renda, usando a fórmula de arco-elasticidade:

\[ \varepsilon \approx \frac{\Delta Q / \bar{Q}}{\Delta I / \bar{I}} \]

onde $Q = s \cdot I$ é o gasto com alimentação ($s$ = participação), e $\bar{Q}$ e $\bar{I}$ são as médias dos dois pontos.

(b) A alimentação é um bem normal ou inferior? É um bem de luxo ou de necessidade? Justifique com base na elasticidade calculada.

(c) Esse padrão é compatível com preferências homotéticas? E com preferências Cobb-Douglas? Explique, relacionando com as propriedades da Seção 3.6.6.

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Vem, ANPEC!¶

ANPEC 2019 — Questão 01

Com relação às preferências do consumidor, indique quais das afirmações a seguir são verdadeiras e quais são falsas:

Item	Afirmação
0	Sendo $U(x, y)$ a função de utilidade em dois bens $x$ e $y$, $U(x, y) = \ln x \cdot \ln y$ representa uma função de utilidade quase-linear.
1	Podemos sempre extrair a transformação monotônica da função de utilidade do tipo Cobb-Douglas.
2	Uma função de utilidade do tipo $U(x, y) = (x + y)^{0,5}$ implica que $x$ e $y$ são bens substitutos perfeitos.
3	Uma função de utilidade do tipo $U(x, y) = x + y$ implica que $x$ e $y$ são bens complementares perfeitos.
4	$f(U) = U^2$ é uma transformação monotônica apenas para $U$ positivo.

Gabarito

Respostas: F V V F V

Justificativa por item:

Item 0 — F: A função $U(x,y) = \ln x \cdot \ln y$ não é quase-linear. Uma função quase-linear tem a forma $v(x_1) + x_2$, isto é, é linear em um dos bens e não linear no outro. O produto de logaritmos não se enquadra nessa estrutura.
Item 1 — V: Da Cobb-Douglas $u = x^a y^b$, podemos aplicar a transformação monotônica $f(u) = \ln(u)$, obtendo $\hat{u} = a\ln x + b\ln y$. Como $f$ é estritamente crescente para $u > 0$ (e a Cobb-Douglas é positiva no interior do consumo), a transformação é sempre válida.
Item 2 — V: A função $U(x,y) = (x+y)^{0,5}$ é uma transformação monotônica de $V(x,y) = x + y$, via $f(V) = V^{0,5}$, que é estritamente crescente para $V > 0$. Como $V = x + y$ representa substitutos perfeitos (TMS constante igual a 1), $U$ também representa substitutos perfeitos (Proposição 3.3).
Item 3 — F: A função $U(x,y) = x + y$ é a representação clássica de substitutos perfeitos, com curvas de indiferença retas e TMS constante igual a 1. Complementares perfeitos seriam representados por $\min\{x, y\}$.
Item 4 — V: A função $f(U) = U^2$ tem derivada $f'(U) = 2U$. Para $U > 0$, $f'(U) > 0$ e a transformação é estritamente crescente (monotônica). Para $U < 0$, $f'(U) < 0$ e a função é decrescente, invertendo o ordenamento — logo, não é uma transformação monotônica nesse domínio.

ANPEC 2021 — Questão 01

Seja um consumidor com função de utilidade dada por $U = X^2 + Y^2$, em que $X$ é a quantidade consumida de entradas de cinema e $Y$ é a quantidade consumida de pizzas. Com relação a este consumidor, verifique quais das seguintes afirmações são verdadeiras e quais são falsas:

Item	Afirmação
0	A taxa marginal de substituição deste consumidor é $X/Y$.
1	A cesta $(X = 2, Y = 1)$ e a cesta $(X = 1, Y = 2)$ se encontram sobre a mesma curva de indiferença.
2	As curvas de indiferença do consumidor são estritamente convexas entre as cestas $(X = 2, Y = 1)$ e $(X = 1, Y = 2)$.
3	$X$ e $Y$ são substitutos perfeitos.
4	O bem $Y$ é um mal.

Gabarito

Respostas: V V F F F

Justificativa por item:

Item 0 — V: $\text{TMS} = \frac{\text{UMg}_X}{\text{UMg}_Y} = \frac{2X}{2Y} = \frac{X}{Y}$. Correto.
Item 1 — V: $U(2,1) = 4 + 1 = 5$ e $U(1,2) = 1 + 4 = 5$. Ambas geram o mesmo nível de utilidade, logo pertencem à mesma curva de indiferença.
Item 2 — F: As curvas de indiferença de $U = X^2 + Y^2 = c$ são arcos de circunferência — côncavas em relação à origem, não convexas. O conjunto superior $\{(X,Y): X^2+Y^2 \geq c\}$ não é convexo. Este é exatamente o caso discutido no Exercício 3.5 do capítulo.
Item 3 — F: Substitutos perfeitos têm curvas de indiferença retas (TMS constante). Aqui, a TMS $= X/Y$ varia com a composição da cesta e as curvas são circulares, não retas.
Item 4 — F: $\text{UMg}_Y = 2Y > 0$ para $Y > 0$, logo mais pizza aumenta a utilidade. O bem $Y$ não é um mal.

ANPEC 2021 — Questão 02

Considere a Teoria da Utilidade para responder quais das afirmações a seguir são verdadeiras e quais são falsas:

Item	Afirmação
0	Todos os tipos de preferências podem ser representados pela função de utilidade.
1	Sejam dois bens, $X$ e $Y$. A uma função de utilidade dada por $U(X, Y) = XY$ corresponde uma curva de indiferença típica dada por $Y = cX$, em que $c$ é uma constante.
2	Se dois bens ($A$ e $B$) forem substitutos perfeitos, pode-se, em geral, representar sua função de utilidade na forma $U(A, B) = c_1 A + c_2 B$, em que $c_1$ e $c_2$ são constantes positivas.
3	A inclinação de uma curva de indiferença típica da função de utilidade $U(A, B) = c_1 A + c_2 B$, em que $c_1$ e $c_2$ são constantes positivas, é $-c_1/c_2$.
4	A transformação monotônica de uma função de utilidade não altera a taxa marginal de substituição (TMS), porque a TMS é medida ao longo de uma curva de indiferença, e a utilidade permanece constante ao longo da curva de indiferença.

Gabarito

Respostas: F F V V V

Justificativa por item:

Item 0 — F: Nem todos os tipos de preferências admitem representação por função de utilidade. As preferências lexicográficas, por exemplo, são completas e transitivas mas violam o axioma de continuidade — e, conforme discutido na Seção 3.1, sem continuidade não se garante a existência de uma função de utilidade contínua (Teorema 3.1).
Item 1 — F: Para $U(X,Y) = XY$, as curvas de indiferença são $XY = k$, ou seja, $Y = k/X$ — hipérboles retangulares, não retas pela origem. A equação $Y = cX$ descreveria retas, o que é incorreto.
Item 2 — V: A função $U(A,B) = c_1 A + c_2 B$, com $c_1, c_2 > 0$, gera curvas de indiferença retas com TMS constante $= c_1/c_2$, que é a definição de substitutos perfeitos.
Item 3 — V: A inclinação da curva de indiferença é $dB/dA|_{U=\bar{u}} = -c_1/c_2$. Correto, conforme a Seção 3.6.2.
Item 4 — V: Uma transformação monotônica $\hat{u} = f(u)$ preserva as curvas de indiferença (mesmos conjuntos de nível, apenas com rótulos diferentes). Como a TMS depende apenas da inclinação da curva de indiferença, ela é invariante (Proposição 3.3 e Seção 3.7).

ANPEC 2023 — Questão 03

Com relação à Teoria do Consumidor, julgue as afirmações abaixo:

Item	Afirmação
0	Se $U(X, Y) = \sqrt{X} + \sqrt{Y}$, então a elasticidade de substituição é igual a 2.
1	Se $U(X, Y)$ é uma função de utilidade diferenciável homogênea de grau $k$, com $U(X, Y) \neq 0$, e se $\eta_X(X, Y)$ e $\eta_Y(X, Y)$ denotam a elasticidade de $U$ relativamente a $X$ e $Y$, respectivamente, então $\eta_X(X, Y) + \eta_Y(X, Y) = k$.
2	Considere o conjunto $X = \bigcup_{n=1}^{\infty}\{1 - 1/n\}$ e defina $\succsim$ sobre $X$ por: $x \succsim y$ se, e somente se, $\lvert x - 1/2 \rvert \geq \lvert y - 1/2 \rvert$. Então $\succsim$ é contínua.
3	Considere o conjunto $X = [0,2] \times [0,2]$ e defina $\succsim$ sobre $X$ por: $(x,y) \succsim (z,w)$ se, e somente se, $\lVert (x,y) - (1,1) \rVert \geq \lVert (z,w) - (1,1) \rVert$. Então $(0,0)$ é um elemento maximal.
4	A ordem lexicográfica é contínua.

Gabarito

Respostas: V V F V F

Justificativa por item:

Item 0 — V: A função $U = X^{1/2} + Y^{1/2}$ é uma CES com $\rho = 1/2$. A elasticidade de substituição é $\sigma = \frac{1}{1-\rho} = \frac{1}{1-1/2} = 2$. Correto — ver Seção 3.6.4.
Item 1 — V: Pelo teorema de Euler para funções homogêneas de grau $k$: $X \frac{\partial U}{\partial X} + Y \frac{\partial U}{\partial Y} = kU$. Dividindo ambos os lados por $U \neq 0$: $\eta_X + \eta_Y = k$, onde $\eta_i = \frac{x_i}{U}\frac{\partial U}{\partial x_i}$ é a elasticidade de $U$ em relação ao bem $i$.
Item 2 — F: A relação $\succsim$ definida pela distância a $1/2$ não satisfaz a propriedade de continuidade nesse conjunto. O conjunto $X = \{0, 1/2, 2/3, 3/4, \ldots\}$ acumula em $1 \notin X$, e a "utilidade" $|x - 1/2|$ converge para $1/2$ ao longo da sequência $x_n = 1 - 1/n$ sem nunca atingir esse supremo em $X$, o que compromete o fechamento dos conjuntos de contorno superiores quando se considera a topologia induzida pela reta real.
Item 3 — V: A relação ordena cestas pela distância à cesta $(1,1)$: quanto maior a distância, melhor. A cesta $(0,0)$ tem distância $\lVert(0,0)-(1,1)\rVert = \sqrt{2}$, que é a distância máxima possível em $[0,2] \times [0,2]$ a partir de $(1,1)$ (empatando com $(2,2)$, $(0,2)$ e $(2,0)$). Logo, $(0,0)$ é maximal.
Item 4 — F: A ordem lexicográfica não é contínua — este é o exemplo clássico discutido na Seção 3.1. Os conjuntos de contorno superior não são fechados, o que impede a representação por função de utilidade contínua (Teorema 3.1).

Item	Afirmação
0	Sendo \(U(x, y)\) a função de utilidade em dois bens \(x\) e \(y\), \(U(x, y) = \ln x \cdot \ln y\) representa uma função de utilidade quase-linear.
1	Podemos sempre extrair a transformação monotônica da função de utilidade do tipo Cobb-Douglas.
2	Uma função de utilidade do tipo \(U(x, y) = (x + y)^{0,5}\) implica que \(x\) e \(y\) são bens substitutos perfeitos.
3	Uma função de utilidade do tipo \(U(x, y) = x + y\) implica que \(x\) e \(y\) são bens complementares perfeitos.
4	\(f(U) = U^2\) é uma transformação monotônica apenas para \(U\) positivo.

Item	Afirmação
0	A taxa marginal de substituição deste consumidor é \(X/Y\).
1	A cesta \((X = 2, Y = 1)\) e a cesta \((X = 1, Y = 2)\) se encontram sobre a mesma curva de indiferença.
2	As curvas de indiferença do consumidor são estritamente convexas entre as cestas \((X = 2, Y = 1)\) e \((X = 1, Y = 2)\).
3	\(X\) e \(Y\) são substitutos perfeitos.
4	O bem \(Y\) é um mal.

Item	Afirmação
0	Se \(U(X, Y) = \sqrt{X} + \sqrt{Y}\), então a elasticidade de substituição é igual a 2.
1	Se \(U(X, Y)\) é uma função de utilidade diferenciável homogênea de grau \(k\), com \(U(X, Y) \neq 0\), e se \(\eta_X(X, Y)\) e \(\eta_Y(X, Y)\) denotam a elasticidade de \(U\) relativamente a \(X\) e \(Y\), respectivamente, então \(\eta_X(X, Y) + \eta_Y(X, Y) = k\).
2	Considere o conjunto \(X = \bigcup_{n=1}^{\infty}\{1 - 1/n\}\) e defina \(\succsim\) sobre \(X\) por: \(x \succsim y\) se, e somente se, \(\lvert x - 1/2 \rvert \geq \lvert y - 1/2 \rvert\). Então \(\succsim\) é contínua.
3	Considere o conjunto \(X = [0,2] \times [0,2]\) e defina \(\succsim\) sobre \(X\) por: \((x,y) \succsim (z,w)\) se, e somente se, \(\lVert (x,y) - (1,1) \rVert \geq \lVert (z,w) - (1,1) \rVert\). Então \((0,0)\) é um elemento maximal.
4	A ordem lexicográfica é contínua.

Conceito	Definição
Relação de preferência (\(\succsim\))	Ordenamento sobre cestas de consumo indicando que uma cesta é "pelo menos tão boa quanto" outra.
Completude	Axioma que exige que o consumidor consiga comparar quaisquer duas cestas.
Transitividade	Axioma de consistência: se \(\mathbf{x} \succsim \mathbf{y}\) e \(\mathbf{y} \succsim \mathbf{z}\), então \(\mathbf{x} \succsim \mathbf{z}\).
Monotonicidade	"Mais é melhor": cestas com mais de pelo menos um bem são estritamente preferidas.
Função de utilidade	Função \(u: X \to \mathbb{R}\) que representa preferências: \(\mathbf{x} \succsim \mathbf{y} \iff u(\mathbf{x}) \geq u(\mathbf{y})\). É ordinal.
Curva de indiferença	Conjunto de cestas que proporcionam o mesmo nível de utilidade; curva de nível de \(u\).
Taxa marginal de substituição (TMS)	Quantidade do bem 2 que o consumidor abre mão por uma unidade adicional do bem 1, mantendo a utilidade constante; igual a \(\text{UMg}_1/\text{UMg}_2\).
Elasticidade de substituição (\(\sigma\))	Mede a facilidade com que o consumidor substitui entre bens; varia de 0 (complementos perfeitos) a \(\infty\) (substitutos perfeitos).
Preferências homotéticas	Preferências cuja TMS depende apenas da razão \(x_1/x_2\); geram elasticidade-renda unitária e participação constante na despesa.
Utilidade quase-linear	Função \(u = v(x_1) + x_2\) em que todo aumento de renda vai para \(x_2\); elimina o efeito renda sobre \(x_1\) e iguala as medidas de bem-estar (VC = VE = \(\Delta\)EC).

Item	Afirmação
0	Todos os tipos de preferências podem ser representados pela função de utilidade.
1	Sejam dois bens, \(X\) e \(Y\). A uma função de utilidade dada por \(U(X, Y) = XY\) corresponde uma curva de indiferença típica dada por \(Y = cX\), em que \(c\) é uma constante.
2	Se dois bens (\(A\) e \(B\)) forem substitutos perfeitos, pode-se, em geral, representar sua função de utilidade na forma \(U(A, B) = c_1 A + c_2 B\), em que \(c_1\) e \(c_2\) são constantes positivas.
3	A inclinação de uma curva de indiferença típica da função de utilidade \(U(A, B) = c_1 A + c_2 B\), em que \(c_1\) e \(c_2\) são constantes positivas, é \(-c_1/c_2\).
4	A transformação monotônica de uma função de utilidade não altera a taxa marginal de substituição (TMS), porque a TMS é medida ao longo de uma curva de indiferença, e a utilidade permanece constante ao longo da curva de indiferença.