R Interativo — Transformação Monotônica

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# Transformação Monotônica Preserva TMS e Curvas de Indiferença
# Cap. 3 — A utilidade é ordinal, não cardinal!

# U original: U = x^0.5 * y^0.5 (Cobb-Douglas)
# Transformações monotônicas:
#   V = ln(U) = 0.5*ln(x) + 0.5*ln(y)
#   W = U^2  = x * y
# Todas representam AS MESMAS preferências!

x0 <- 4; y0 <- 9   # ponto para calcular TMS

cat("=== Transformacao Monotonica: 3 funcoes, mesma TMS ===\n\n")

# U = x^0.5 * y^0.5
U  <- x0^0.5 * y0^0.5
TMS_U <- -(0.5 * x0^(-0.5) * y0^0.5) / (x0^0.5 * 0.5 * y0^(-0.5))
cat(sprintf("U = x^0.5 * y^0.5:\n  U(%d,%d) = %.2f,  TMS = %.4f\n\n", x0, y0, U, TMS_U))

# V = ln(U) = 0.5*ln(x) + 0.5*ln(y)
V  <- 0.5*log(x0) + 0.5*log(y0)
TMS_V <- -(0.5/x0) / (0.5/y0)
cat(sprintf("V = ln(U) = 0.5*ln(x) + 0.5*ln(y):\n  V(%d,%d) = %.4f,  TMS = %.4f\n\n", x0, y0, V, TMS_V))

# W = U^2 = x*y
W  <- x0 * y0
TMS_W <- -y0 / x0
cat(sprintf("W = U^2 = x*y:\n  W(%d,%d) = %.0f,  TMS = %.4f\n\n", x0, y0, W, TMS_W))

cat("TMS identica em todas! A utilidade e ORDINAL.\n")
cat("Nao importa se U=3 ou V=1.1 ou W=36;\n")
cat("o ranking e a taxa de troca sao os mesmos.\n")

# Gráfico
par(mfrow = c(1, 3), mar = c(4, 4, 3, 1))
x <- seq(0.3, 15, length.out = 300)

# CI para U
u_bar <- U
y_ci <- (u_bar / x^0.5)^2
plot(x, y_ci, type = "l", col = "steelblue", lwd = 2,
     xlim = c(0, 15), ylim = c(0, 15),
     xlab = "x", ylab = "y",
     main = expression(U == x^{0.5} * y^{0.5}))
points(x0, y0, pch = 19, col = "#C8102E", cex = 1.5)
# Tangente
dx <- 3; slope <- TMS_U
segments(x0-dx, y0-slope*(-dx), x0+dx, y0-slope*dx,
         col = "#C8102E", lwd = 1.5, lty = 2)

# CI para V = ln(U)
v_bar <- V
y_ci2 <- exp((v_bar - 0.5*log(x)) / 0.5)
plot(x, y_ci2, type = "l", col = "#2a7f2a", lwd = 2,
     xlim = c(0, 15), ylim = c(0, 15),
     xlab = "x", ylab = "y",
     main = "V = ln(U)")
points(x0, y0, pch = 19, col = "#C8102E", cex = 1.5)
segments(x0-dx, y0-slope*(-dx), x0+dx, y0-slope*dx,
         col = "#C8102E", lwd = 1.5, lty = 2)

# CI para W = U^2 = xy
w_bar <- W
y_ci3 <- w_bar / x
plot(x, y_ci3, type = "l", col = "#ff9800", lwd = 2,
     xlim = c(0, 15), ylim = c(0, 15),
     xlab = "x", ylab = "y",
     main = expression(W == U^2 == x*y))
points(x0, y0, pch = 19, col = "#C8102E", cex = 1.5)
segments(x0-dx, y0-slope*(-dx), x0+dx, y0-slope*dx,
         col = "#C8102E", lwd = 1.5, lty = 2)

Saída do R

Aguardando execução...

WebR executa R no navegador. Três funções utilidade diferentes — mesma curva de indiferença e mesma TMS. A utilidade é ordinal: só o ranking importa, não o número.