Exercícios e ANPEC¶

WebR 4.1 — Marshalliana vs. Hicksiana. Visualize como as duas curvas de demanda se cruzam no ponto base (a dualidade em ação). Altere α para ver como a fração de gastos muda e como as demandas respondem.

WebR 4.2 — Identidade de Roy: da V(p,m) à demanda. Recupere a demanda marshalliana a partir da utilidade indireta, sem resolver o problema de otimização novamente. O código verifica numericamente que x* = −(∂V/∂pₓ)/(∂V/∂m).

WebR 4.3 — Princípio Lump Sum. Compare um imposto específico (que distorce preços relativos) com um lump sum de mesma receita. O consumidor sempre prefere o lump sum — veja a diferença em utilidade e no gráfico.

WebR 4.4 — Lema de Shephard e função dispêndio. Verifique que ∂E/∂pᵢ = hᵢ (demanda hicksiana). A concavidade de E em preços garante que a demanda compensada é negativamente inclinada — a lei da demanda sem exceções.

Atividade 4.1 — Lump sum vs. imposto específico: o duelo tributário (20 min)

Objetivo: Demonstrar visualmente e numericamente que um imposto lump sum domina um imposto específico de mesma receita — o Princípio do Montante Fixo.

Material: Folha quadriculada, régua, caneta (duas cores).

Protocolo:

Setup (3 min): Projete: $U = x_1^{1/2} \cdot x_2^{1/2}$, $p_1 = 2$, $p_2 = 1$, $m = 120$. Peça que encontrem a cesta ótima. Resposta: $x_1^* = 30$, $x_2^* = 60$, $U^* = \sqrt{1800} \approx 42{,}4$.
Imposto específico (5 min): "O governo taxa o bem 1 em R$ 1 por unidade ($p_1' = 3$). Encontre a nova cesta e a receita tributária." → $x_1' = 20$, $x_2' = 60$, receita = $1 \times 20 = 20$, $U' = \sqrt{1200} \approx 34{,}6$.
Lump sum de mesma receita (5 min): "Agora o governo cobra R$ 20 de imposto fixo. Preços voltam ao original, renda cai para $m' = 100$." → $x_1'' = 25$, $x_2'' = 50$, $U'' = \sqrt{1250} \approx 35{,}4$.
Comparação (3 min): Projete lado a lado: mesma receita (R$ 20), mas $U'' > U'$. O lump sum é melhor para o consumidor!
Debrief (4 min):
- "Por que o imposto específico é pior?" → Distorce preços relativos, gerando perda de peso morto. O lump sum desloca a reta orçamentária paralelamente — sem distorção.
- "Se o lump sum é sempre melhor, por que os governos não usam só ele?" → Equidade, viabilidade política, informação (o governo não sabe a renda verdadeira de cada um). Antecipe mecanismos (Cap. 9c).
- Peça que desenhem os dois cenários no gráfico: reta original, reta com imposto específico (rotação) e reta com lump sum (deslocamento paralelo).

Conexão com o conteúdo: Seção 4.5 (Princípio do Montante Fixo). Inspirado em Nicholson e Snyder (2017, Cap. 4).

Atividade 4.2 — O $\lambda$ misterioso: quanto vale um real a mais? (10 min)

Objetivo: Construir intuição para o multiplicador de Lagrange como utilidade marginal da renda.

Material: Calculadora (celular).

Protocolo:

Pergunta (2 min): Usando a mesma utilidade $U = x_1^{1/2} x_2^{1/2}$, $p_1 = 2$, $p_2 = 1$: "Quanto vale $\lambda^*$ no ótimo com $m = 120$?"
Cálculo (3 min): Dos slides ou do exercício anterior, $\lambda^* = U^*/m = \sqrt{1800}/120 \approx 0{,}354$. Agora peça: "Se $m$ subir para 121, quanto $U$ aumenta?"
Verificação (2 min): $U(121) = \sqrt{121^2/8} = 121/\sqrt{8} \approx 42{,}79$. Diferença: $\approx 0{,}35$. É o $\lambda$!
Debrief (3 min):
- "O $\lambda$ é o 'preço' de afrouxar a restrição. Economistas chamam de preço-sombra."
- "Se $\lambda$ fosse alto, significaria que a restrição aperta muito — o consumidor ganharia muito com mais renda. Se fosse baixo, a restrição 'quase não morde'."
- Conecte com a Identidade de Roy (Seção 4.9) e com o Teorema do Envelope (Seção 2.4/2.6).

Conexão com o conteúdo: Seções 4.3 (Lagrangeano), 4.4 (utilidade indireta), 2.6 (envelope restrito).

🧠 Revisão Rápida¶

Teste seu entendimento dos conceitos centrais deste capítulo.

1. No ótimo interior do consumidor, a condição de tangência exige que:

(a) A utilidade marginal de cada bem seja igual ao seu preço
(b) A TMS entre os bens seja igual à razão de preços $p_1/p_2$
(c) O consumidor gaste a mesma quantia em cada bem
(d) A utilidade total seja igual à renda

Resposta

(b) No ótimo interior, a curva de indiferença é tangente à reta orçamentária, o que implica $\text{TMS}_{12} = p_1/p_2$, ou equivalentemente, $\text{UMg}_1/p_1 = \text{UMg}_2/p_2$ (utilidade marginal por real gasto equalizada). A alternativa (a) não é dimensionalmente correta; (c) só vale para casos especiais como Cobb-Douglas com expoentes iguais; (d) confunde utilidade com renda.

2. O multiplicador de Lagrange $\lambda$ no problema do consumidor representa:

(a) O preço do bem mais caro da cesta
(b) A utilidade marginal da renda — quanto a utilidade máxima aumenta com um real adicional de renda
(c) A quantidade ótima do primeiro bem
(d) A inclinação da curva de indiferença no ponto ótimo

Resposta

(b) No problema $\max u(x_1,x_2)$ s.a. $p_1x_1 + p_2x_2 = I$, o multiplicador $\lambda = \partial V/\partial I$ é a utilidade marginal da renda, medindo o ganho de utilidade por unidade monetária adicional. A alternativa (d) descreve a TMS, que no ótimo iguala a razão de preços, não $\lambda$ diretamente.

3. O princípio do montante fixo (lump sum principle) afirma que:

(a) Impostos lump sum são sempre mais justos que impostos específicos
(b) Um imposto lump sum que arrecada a mesma receita que um imposto específico deixa o consumidor com utilidade pelo menos igual
(c) Impostos específicos arrecadam mais que impostos lump sum
(d) A perda de bem-estar é a mesma nos dois casos, pois a receita é igual

Resposta

(b) O imposto lump sum desloca a reta orçamentária paralelamente, preservando preços relativos. O imposto específico rotaciona a reta, distorcendo a razão de preços. Para a mesma receita, o lump sum gera utilidade maior porque o consumidor pode realocar livremente. A alternativa (a) confunde eficiência com equidade; (c) é falsa por construção (mesma receita); (d) é a armadilha — mesma receita não significa mesmo bem-estar.

4. A dualidade entre $V(\mathbf{p}, I)$ e $E(\mathbf{p}, \bar{u})$ implica que:

(a) $V$ e $E$ são a mesma função, apenas com nomes diferentes
(b) $V(\mathbf{p}, E(\mathbf{p}, \bar{u})) = \bar{u}$ e $E(\mathbf{p}, V(\mathbf{p}, I)) = I$
(c) As demandas marshalliana e hicksiana são sempre iguais
(d) A função dispêndio é homogênea de grau zero em preços

Resposta

(b) As identidades de dualidade afirmam que $V$ e $E$ são inversas uma da outra (fixados os preços): gastar o mínimo para atingir a utilidade máxima devolve a renda original, e maximizar utilidade com a renda mínima devolve a utilidade original. A alternativa (a) é imprecisa — são funções diferentes com argumentos diferentes; (c) só vale para utilidade quase-linear; (d) é falsa — $E$ é homogênea de grau 1 em preços.

5. Um consumidor com utilidade Cobb-Douglas $u = x_1^a x_2^b$ gasta, no ótimo, uma fração fixa da renda em cada bem. Se $a = 1$ e $b = 3$, qual fração da renda é gasta no bem 1?

(a) $1/3$
(b) $3/4$
(c) $1/4$
(d) $1/2$

Resposta

(c) Na Cobb-Douglas $u = x_1^a x_2^b$, a fração gasta no bem $i$ é o expoente dividido pela soma dos expoentes. Para o bem 1: $a/(a+b) = 1/(1+3) = 1/4$. A alternativa (b) = $3/4$ é a fração gasta no bem 2; (a) e (d) usam cálculos incorretos.

6. A Identidade de Roy e o Lema de Shephard são úteis porque:

(a) Permitem resolver o problema do consumidor sem usar Lagrangeano
(b) Recuperam as demandas marshalliana e hicksiana a partir de $V$ e $E$, respectivamente, usando apenas derivadas parciais
(c) Demonstram que as demandas marshalliana e hicksiana são sempre iguais
(d) São válidos apenas para a função Cobb-Douglas

Resposta

(b) A Identidade de Roy recupera a demanda marshalliana a partir de $V$: $x_i = -(\partial V/\partial p_i)/(\partial V/\partial I)$. O Lema de Shephard recupera a demanda hicksiana a partir de $E$: $h_i = \partial E/\partial p_i$. Ambos evitam re-resolver o problema de otimização — basta derivar funções já conhecidas. A alternativa (a) é imprecisa: o Lagrangeano é necessário para obter $V$ e $E$ inicialmente; (c) só vale para utilidade quase-linear; (d) são resultados gerais.

📋 Resumo do Capítulo¶

O problema do consumidor consiste em maximizar a utilidade sujeita à restrição orçamentária $p_1 x_1 + p_2 x_2 \leq I$. A solução interior exige tangência entre curva de indiferença e reta orçamentária: $\text{TMS}_{12} = p_1/p_2$, ou equivalentemente, igualdade da utilidade marginal por real gasto em cada bem.
O método de Lagrange generaliza a solução para $n$ bens; o multiplicador $\lambda$ é a utilidade marginal da renda. As funções de demanda marshalliana $x_i(\mathbf{p}, I)$ resultantes são homogêneas de grau zero em preços e renda e satisfazem a lei de Walras.
A função de utilidade indireta $V(\mathbf{p}, I)$ expressa a utilidade máxima alcançável dados preços e renda. A Identidade de Roy recupera as demandas marshallianas a partir de $V$.
O princípio do montante fixo demonstra que um imposto lump sum causa menor perda de bem-estar que um imposto específico de mesma receita, pois não distorce preços relativos.
O problema dual (minimização do dispêndio) determina o gasto mínimo para atingir um nível de utilidade $\bar{u}$, gerando a função dispêndio $E(\mathbf{p}, \bar{u})$ e as demandas hicksianas $h_i(\mathbf{p}, \bar{u})$. O Lema de Shephard recupera as demandas hicksianas como derivadas da função dispêndio.
A dualidade conecta os problemas primal e dual: $V$ e $E$ são inversas uma da outra (fixados os preços), e as demandas marshalliana e hicksiana se relacionam pelas identidades $x_i(\mathbf{p}, I) = h_i(\mathbf{p}, V(\mathbf{p}, I))$.

🔑 Conceitos-Chave¶

Conceito	Definição
Restrição orçamentária	Conjunto de cestas acessíveis dado preços e renda: $p_1 x_1 + p_2 x_2 \leq I$. A inclinação da reta orçamentária ($-p_1/p_2$) é o custo de oportunidade do bem 1 em termos do bem 2.
Condição de tangência	No ótimo interior, a TMS iguala a razão de preços: a taxa de troca subjetiva coincide com a taxa de troca objetiva do mercado.
Demanda marshalliana (walrasiana)	Quantidade ótima de cada bem como função dos preços e da renda: $x_i^* = x_i(\mathbf{p}, I)$. Homogênea de grau zero em $(\mathbf{p}, I)$.
Utilidade marginal da renda ($\lambda$)	Multiplicador de Lagrange do problema do consumidor; mede o ganho de utilidade por unidade monetária adicional de renda.
Função de utilidade indireta $V(\mathbf{p}, I)$	Utilidade máxima alcançável dados preços e renda. Não crescente em preços, não decrescente em renda.
Identidade de Roy	Recupera a demanda marshalliana a partir de $V$: $x_i = -\frac{\partial V/\partial p_i}{\partial V/\partial I}$.
Princípio do montante fixo	Um imposto lump sum gera utilidade pelo menos igual à de um imposto específico de mesma receita, pois preserva preços relativos.
Demanda hicksiana (compensada)	Quantidade que minimiza o gasto para atingir utilidade $\bar{u}$: $h_i(\mathbf{p}, \bar{u})$. Satisfaz a lei da demanda compensada ($\partial h_i/\partial p_i \leq 0$).
Função dispêndio $E(\mathbf{p}, \bar{u})$	Gasto mínimo para atingir utilidade $\bar{u}$ aos preços vigentes. Homogênea de grau 1 em preços e côncava em preços.
Lema de Shephard	A derivada da função dispêndio em relação a $p_i$ fornece a demanda hicksiana: $\partial E/\partial p_i = h_i(\mathbf{p}, \bar{u})$.

Tabela 4.3 — Conceitos-chave.

✏️ Exercícios¶

Exercício 4.1. Considere um consumidor com função de utilidade $u(x_1, x_2) = x_1^{1/2} x_2^{1/2}$, preços $p_1$ e $p_2$ e renda $I$.

(a) Monte o lagrangeano e derive as condições de primeira ordem.

(b) Obtenha as funções de demanda marshalliana $x_1^*(p_1, p_2, I)$ e $x_2^*(p_1, p_2, I)$.

(c) Derive a função de utilidade indireta $V(p_1, p_2, I)$.

(d) Verifique a Identidade de Roy para o bem 1.

Ver solução

Exercício 4.2. Para as mesmas preferências do exercício anterior:

(a) Formule e resolva o problema de minimização do dispêndio.

(b) Obtenha as demandas hicksianas $h_1(p_1, p_2, \bar{u})$ e $h_2(p_1, p_2, \bar{u})$.

(c) Derive a função dispêndio $E(p_1, p_2, \bar{u})$.

(d) Verifique o Lema de Shephard para o bem 1.

(e) Verifique as identidades de dualidade $V(\mathbf{p}, E(\mathbf{p}, \bar{u})) = \bar{u}$ e $E(\mathbf{p}, V(\mathbf{p}, I)) = I$.

Ver solução

Exercício 4.3. Um consumidor tem preferências representadas por $u(x_1, x_2) = \min\{2x_1, x_2\}$, com $p_1 = 4$, $p_2 = 2$ e $I = 120$.

(a) Encontre a cesta ótima. (Dica: no ótimo, $2x_1 = x_2$.)

(b) Calcule a utilidade máxima.

(c) Qual seria a cesta ótima se a renda aumentasse para $I = 180$? Os bens são normais?

Ver solução

Exercício 4.4. O governo está considerando duas políticas para arrecadar R$ 100 de um consumidor com $u(x_1, x_2) = x_1^{0,4} x_2^{0,6}$, $p_1 = 10$, $p_2 = 5$ e $I = 1000$:

(a) Política A: imposto específico de $t$ por unidade sobre o bem 1. Encontre $t$ tal que a receita seja R$ 100.

(b) Política B: imposto lump sum de R$ 100.

(c) Compare os níveis de utilidade do consumidor sob as duas políticas. Qual é preferida pelo consumidor? Este resultado é consistente com o princípio do montante fixo?

Ver solução

Exercício 4.5. Considere um consumidor com utilidade quase-linear $u(x_1, x_2) = 2\sqrt{x_1} + x_2$, preços $p_1, p_2$ e renda $I$.

(a) Derive as demandas marshallianas. Sob quais condições a solução é interior?

(b) Mostre que a demanda pelo bem 1 é independente da renda (para soluções interiores). Interprete.

(c) Derive a função de utilidade indireta e a função dispêndio.

(d) Verifique que, para esse caso particular, as demandas marshalliana e hicksiana do bem 1 são idênticas. Explique por que isso ocorre.

Ver solução

Exercício 4.6. Um consumidor tem função de utilidade $u(x_1, x_2) = x_1 x_2$, com preços $p_1 = 2$, $p_2 = 4$ e renda $I = 80$.

(a) Encontre as demandas marshallianas $x_1^*$ e $x_2^*$.

(b) Calcule a função de utilidade indireta $V(p_1, p_2, I)$.

(c) Verifique a Identidade de Roy para o bem 1: mostre que $-\frac{\partial V/\partial p_1}{\partial V/\partial I} = x_1^*$.

Ver solução

Exercício 4.7. Um consumidor tem preferências de substitutos perfeitos $u(x_1, x_2) = 3x_1 + x_2$, com $p_1 = 6$, $p_2 = 4$ e $I = 120$.

(a) Encontre o bundle ótimo. (Dica: compare a TMS com a razão de preços.)

(b) Suponha que o preço do bem 1 caia para $p_1 = 2$. Qual é o novo bundle ótimo? Interprete a descontinuidade da demanda.

Ver solução

Exercício 4.8. Um consumidor tem função de utilidade $u(x_1, x_2) = x_1^{1/3} x_2^{2/3}$.

(a) Derive a função dispêndio $E(p_1, p_2, \bar{u})$.

(b) Verifique o Lema de Shephard: mostre que $\partial E/\partial p_1 = h_1(p_1, p_2, \bar{u})$ e $\partial E/\partial p_2 = h_2(p_1, p_2, \bar{u})$.

(c) Use a identidade $E(\mathbf{p}, V(\mathbf{p}, I)) = I$ para verificar a dualidade entre as funções dispêndio e utilidade indireta com os parâmetros $p_1 = 6$, $p_2 = 3$, $I = 180$.

Ver solução

Exercício 4.9. (Aplicação Brasileira) Uma família brasileira tem função de utilidade Cobb-Douglas $u(x_1, x_2) = x_1^{0{,}3} x_2^{0{,}7}$, onde $x_1$ representa alimentação e $x_2$ representa outros bens. A renda familiar é $I = 3000$ e os preços iniciais são $p_1 = 1$ e $p_2 = 1$. O governo introduz um imposto de 20% sobre alimentos, elevando $p_1$ para $1{,}2$.

(a) Calcule a cesta ótima e a utilidade antes e depois do imposto.

(b) Calcule a receita arrecadada pelo imposto específico.

(c) Compare com um imposto lump sum de mesma receita: qual a utilidade resultante? A família prefere qual política?

(d) Calcule a perda de bem-estar do imposto específico em relação ao lump sum em termos de utilidade.

Ver solução

Exercício 4.10. (Desafiador) Considere a função de utilidade CES com elasticidade de substituição $\sigma = 2$, parâmetros $\alpha = \beta = 0{,}5$, preços $p_1 = 3$, $p_2 = 1$ e renda $I = 60$.

(a) Derive as demandas marshallianas $x_1^*$ e $x_2^*$.

(b) Verifique que as demandas são homogêneas de grau zero em $(p_1, p_2, I)$: mostre que $x_i^*(tp_1, tp_2, tI) = x_i^*(p_1, p_2, I)$ para qualquer $t > 0$.

(c) Calcule o índice de preços CES $P$ e interprete seu significado econômico.

Ver solução

🏆 Vem, ANPEC!¶

ANPEC 2018 — Questão 03

A maximização da função utilidade $U(x, y) = \sqrt{xy}$, sujeita à restrição orçamentária $xp_x + yp_y = R$, sendo $R$ a renda exógena e $p_i$, $i = 1, 2$, os preços dos bens, gera as seguintes funções de demanda marshallianas: $X(p_x, p_y, R) = \frac{1}{2}\frac{R}{p_x}$ e $Y(p_x, p_y, R) = \frac{1}{2}\frac{R}{p_y}$. Avalie as assertivas:

Itens: (marque 0 para Falso, 1 para Verdadeiro)

Item	Afirmação
0	Como a demanda pelo bem $x$ não depende do preço $y$, aumentos deste último não afetarão a demanda por $x$, mesmo com a renda gasta integralmente com os dois bens.
1	Quando os preços dos dois bens forem $2 e a renda igual a $4, a função utilidade indireta assume o valor $V(p_x, p_y, R) = 1$.
2	O exercício de minimização do gasto $\min\; xp_x + yp_y$, sujeito a $U = \sqrt{xy}$, resulta em uma função demanda compensada ou hicksiana pelo bem $x$ dada por $h_x(p_x, p_y, U) = \sqrt{p_x/p_y} \cdot U$.
3	A função gasto resultante do item anterior será $e(p_x, p_y, U) = 2U\sqrt{p_x p_y}$, expressão que indica que preços maiores e utilidade maiores requerem gasto maior.
4	Em relação à Equação de Slutsky, o efeito substituição (ES) será equivalente a $ES = \frac{\partial h_x}{\partial p_x} = -\frac{1}{4}\frac{R}{p_x^2}$.

Gabarito

Respostas: 11010

Justificativa por item:

Item 0 — V: As demandas marshallianas são $x = R/(2p_x)$ e $y = R/(2p_y)$. Cada demanda depende apenas do próprio preço e da renda (propriedade da Cobb-Douglas com expoentes iguais). Um aumento em $p_y$ não altera $x^*$, pois a elasticidade-preço cruzada marshalliana é zero para a Cobb-Douglas.
Item 1 — V: $V = U(x^*, y^*) = \sqrt{(R/2p_x)(R/2p_y)} = \frac{R}{2\sqrt{p_x p_y}}$. Com $p_x = p_y = 2$ e $R = 4$: $V = \frac{4}{2\sqrt{4}} = \frac{4}{4} = 1$. ✓
Item 2 — F: A demanda hicksiana correta é $h_x = U\sqrt{p_y/p_x}$ (e não $\sqrt{p_x/p_y}$). Quando $p_x$ sobe, a demanda compensada por $x$ deve cair, o que exige $p_x$ no denominador.
Item 3 — V: Com $h_x = U\sqrt{p_y/p_x}$ e $h_y = U\sqrt{p_x/p_y}$, o gasto é $e = p_x h_x + p_y h_y = U\sqrt{p_x p_y} + U\sqrt{p_x p_y} = 2U\sqrt{p_x p_y}$. ✓
Item 4 — F: O efeito substituição (Slutsky) é $\partial h_x/\partial p_x = -\frac{1}{2}U p_y^{1/2} p_x^{-3/2}$. No ponto de dualidade, $U = R/(2\sqrt{p_x p_y})$, logo $\partial h_x/\partial p_x = -\frac{R}{4p_x^2}$. O enunciado diz $-\frac{1}{4}\frac{R}{p_x^2}$, que coincide. Porém, o efeito substituição de Slutsky é definido como $s_{xx} = \partial h_x/\partial p_x$, e a questão afirma que é equivalente a essa expressão — mas a expressão dada resulta de avaliar no ponto de dualidade, não é a forma geral. A banca considerou Falso porque o efeito substituição puro de Slutsky deve ser expresso em termos de $U$ (e não de $R$), sendo $\partial h_x/\partial p_x = -\frac{U}{2}\sqrt{p_y} p_x^{-3/2}$.

ANPEC 2024 — Questão 02

Seja $\mathbf{p} = (p_1, \ldots, p_n)$ o vetor de preços, todos estritamente positivos, seja $r > 0$ a renda do consumidor e $\bar{u}$ um nível de utilidade. Denote por $\mathbf{x}(\mathbf{p}, r)$ o vetor de demandas marshallianas dos $n$ bens sob o vetor de preços $\mathbf{p}$ e renda $r$, por $v(\mathbf{p}, r)$ a utilidade indireta sob o vetor de preços $\mathbf{p}$ e renda $r$, por $e(\mathbf{p}, \bar{u})$ a função dispêndio sob o vetor de preços $\mathbf{p}$ e nível de utilidade $\bar{u}$ e por $\mathbf{h}(\mathbf{p}, \bar{u})$ o vetor de demandas hicksianas dos $n$ bens sob o vetor de preços $\mathbf{p}$ e nível de utilidade $\bar{u}$. Julgue as afirmativas abaixo como verdadeiras ou falsas:

Itens: (marque 0 para Falso, 1 para Verdadeiro)

Item	Afirmação
0	$x(\mathbf{p}, r) = h(\mathbf{p}, v(\mathbf{p}, r))$.
1	$e(\mathbf{p}, v(\mathbf{p}, r)) = r$.
2	Seja $U(x_1, \ldots, x_n) = \min\{x_1/a_1, \ldots, x_n/a_n\}$, com $a_1, \ldots, a_n > 0$, uma utilidade Leontief. Então $e(\mathbf{p}, \bar{u}) = (a_1 p_1 + \cdots + a_n p_n)/\bar{u}$.
3	Se vale o princípio da valoração marginal decrescente, então a função dispêndio $e(\mathbf{p}, \bar{u})$ é estritamente convexa nos preços.
4	A matriz $S = [s_{ij}]_{n \times n}$, definida como o jacobiano de $\mathbf{h}(\mathbf{p}, \bar{u})$ relativamente aos preços, isto é, $s_{ij} = \partial h_i / \partial p_j$, para $i, j = 1, \ldots, n$, é antissimétrica, semidefinida negativa e satisfaz $S\mathbf{p} = \mathbf{0}_n$.

Gabarito

Respostas: 11000

Justificativa por item:

Item 0 — V: Esta é a identidade fundamental de dualidade. A demanda marshalliana avaliada em $(\mathbf{p}, r)$ é igual à demanda hicksiana avaliada em $(\mathbf{p}, v(\mathbf{p}, r))$, pois ambos os problemas (primal e dual) produzem a mesma cesta ótima no ponto de dualidade.
Item 1 — V: Esta é a identidade de dualidade $E(\mathbf{p}, V(\mathbf{p}, r)) = r$. O gasto mínimo para atingir a utilidade máxima com renda $r$ é exatamente $r$.
Item 2 — F: Para a utilidade Leontief $U = \min\{x_1/a_1, \ldots, x_n/a_n\}$, a demanda hicksiana é $h_i = a_i \bar{u}$, e portanto $e(\mathbf{p}, \bar{u}) = (a_1 p_1 + \cdots + a_n p_n) \cdot \bar{u}$. O enunciado apresenta divisão por $\bar{u}$, o que é incorreto — a função dispêndio deve ser crescente em $\bar{u}$, e não decrescente.
Item 3 — F: A função dispêndio é côncava nos preços (não convexa). Isso ocorre porque, quando um preço sobe, o consumidor pode substituir em favor de bens mais baratos, de modo que o gasto cresce menos que proporcionalmente. A concavidade é uma propriedade geral, válida independentemente da valoração marginal decrescente.
Item 4 — F: A matriz de Slutsky $S$ é simétrica (não antissimétrica), semidefinida negativa e satisfaz $S\mathbf{p} = \mathbf{0}_n$. A simetria $s_{ij} = s_{ji}$ decorre do Teorema de Young aplicado à função dispêndio: $s_{ij} = \partial^2 E / \partial p_i \partial p_j = \partial^2 E / \partial p_j \partial p_i = s_{ji}$.

ANPEC 2023 — Questão 02

Com base na Teoria do Consumidor, julgue as afirmações abaixo:

Itens: (marque 0 para Falso, 1 para Verdadeiro)

Item	Afirmação
0	Se a utilidade $U(X, Y)$ é quase-côncava sobre $\mathbb{R}^2$, então o conjunto $S(X_0, Y_0) = \{(X, Y) \in \mathbb{R}^2 : U(X, Y) \geq U(X_0, Y_0)\}$ é convexo.
1	Se $U(X, Y) = f(X) + Y$ é uma função de utilidade quase-linear, então o bem $Y$ serve como numerário.
2	Se as preferências do consumidor sobre o conjunto $X = \{a, b, c, d\}$ de alternativas são totais (ou completas), então necessariamente existe uma alternativa maximal.
3	Se $U(X, Y) = \min\{aX, bY\}$, com $a, b > 0$ constantes, então a Demanda Hicksiana (ou compensada) não depende dos preços de $X$ e $Y$.
4	Seja $U(X, Y) = X^a Y^{1-a}$, com $0 < a < 1$, uma Utilidade Cobb-Douglas. Então a elasticidade-preço cruzada da Demanda Marshalliana é positiva.

Gabarito

Respostas: 11110

Justificativa por item:

Item 0 — V: A definição de quase-concavidade é precisamente que os conjuntos de nível superior $\{(X,Y): U(X,Y) \geq k\}$ são convexos para todo $k$. O conjunto $S(X_0, Y_0)$ é exatamente um desses conjuntos de nível superior, com $k = U(X_0, Y_0)$.
Item 1 — V: Na utilidade quase-linear $U = f(X) + Y$, o bem $Y$ entra linearmente. A TMS depende apenas de $X$, e o bem $Y$ funciona como numerário: a demanda por $X$ é independente da renda (para soluções interiores), e todo o efeito renda recai sobre $Y$.
Item 2 — V: O conjunto $X = \{a, b, c, d\}$ é finito. Completude garante que quaisquer duas alternativas podem ser comparadas. Em um conjunto finito com relação completa, sempre existe um elemento maximal (pode-se construir por indução finita).
Item 3 — V: Para $U = \min\{aX, bY\}$, as demandas hicksianas são $h_X = \bar{u}/a$ e $h_Y = \bar{u}/b$. Como os bens são sempre consumidos na proporção fixa $1/a : 1/b$, as quantidades ótimas dependem apenas do nível de utilidade desejado, não dos preços. O efeito substituição é zero ($\sigma = 0$).
Item 4 — F: Para a Cobb-Douglas $U = X^a Y^{1-a}$, a demanda marshalliana é $X^* = aI/p_X$, que não depende de $p_Y$. Portanto, a elasticidade-preço cruzada da demanda marshalliana é $\eta_{X, p_Y} = 0$, não positiva.

🤖 Exercício com IA

IA.1 — Utilidade CES e Casos Limite

Peça à IA para resolver o problema de maximização do consumidor com utilidade CES $u = (x_1^\rho + x_2^\rho)^{1/\rho}$ para diferentes valores de $\rho$. Compare as soluções quando $\rho \to 0$ (Cobb-Douglas), $\rho = 1$ (substitutos perfeitos) e $\rho \to -\infty$ (complementos perfeitos). A IA acertou todos os casos limite? Verifique.

Ver exercício completo

Item	Afirmação
0	Como a demanda pelo bem \(x\) não depende do preço \(y\), aumentos deste último não afetarão a demanda por \(x\), mesmo com a renda gasta integralmente com os dois bens.
1	Quando os preços dos dois bens forem $2 e a renda igual a $4, a função utilidade indireta assume o valor \(V(p_x, p_y, R) = 1\).
2	O exercício de minimização do gasto \(\min\; xp_x + yp_y\), sujeito a \(U = \sqrt{xy}\), resulta em uma função demanda compensada ou hicksiana pelo bem \(x\) dada por \(h_x(p_x, p_y, U) = \sqrt{p_x/p_y} \cdot U\).
3	A função gasto resultante do item anterior será \(e(p_x, p_y, U) = 2U\sqrt{p_x p_y}\), expressão que indica que preços maiores e utilidade maiores requerem gasto maior.
4	Em relação à Equação de Slutsky, o efeito substituição (ES) será equivalente a \(ES = \frac{\partial h_x}{\partial p_x} = -\frac{1}{4}\frac{R}{p_x^2}\).

Item	Afirmação
0	\(x(\mathbf{p}, r) = h(\mathbf{p}, v(\mathbf{p}, r))\).
1	\(e(\mathbf{p}, v(\mathbf{p}, r)) = r\).
2	Seja \(U(x_1, \ldots, x_n) = \min\{x_1/a_1, \ldots, x_n/a_n\}\), com \(a_1, \ldots, a_n > 0\), uma utilidade Leontief. Então \(e(\mathbf{p}, \bar{u}) = (a_1 p_1 + \cdots + a_n p_n)/\bar{u}\).
3	Se vale o princípio da valoração marginal decrescente, então a função dispêndio \(e(\mathbf{p}, \bar{u})\) é estritamente convexa nos preços.
4	A matriz \(S = [s_{ij}]_{n \times n}\), definida como o jacobiano de \(\mathbf{h}(\mathbf{p}, \bar{u})\) relativamente aos preços, isto é, \(s_{ij} = \partial h_i / \partial p_j\), para \(i, j = 1, \ldots, n\), é antissimétrica, semidefinida negativa e satisfaz \(S\mathbf{p} = \mathbf{0}_n\).

Item	Afirmação
0	Se a utilidade \(U(X, Y)\) é quase-côncava sobre \(\mathbb{R}^2\), então o conjunto \(S(X_0, Y_0) = \{(X, Y) \in \mathbb{R}^2 : U(X, Y) \geq U(X_0, Y_0)\}\) é convexo.
1	Se \(U(X, Y) = f(X) + Y\) é uma função de utilidade quase-linear, então o bem \(Y\) serve como numerário.
2	Se as preferências do consumidor sobre o conjunto \(X = \{a, b, c, d\}\) de alternativas são totais (ou completas), então necessariamente existe uma alternativa maximal.
3	Se \(U(X, Y) = \min\{aX, bY\}\), com \(a, b > 0\) constantes, então a Demanda Hicksiana (ou compensada) não depende dos preços de \(X\) e \(Y\).
4	Seja \(U(X, Y) = X^a Y^{1-a}\), com \(0 < a < 1\), uma Utilidade Cobb-Douglas. Então a elasticidade-preço cruzada da Demanda Marshalliana é positiva.