R Interativo — Identidade de Roy

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# Identidade de Roy: da V(p,m) à demanda marshalliana
# Cap. 4 — x_i = -[dV/dp_i] / [dV/dm]

# Cobb-Douglas: U = x^a * y^(1-a)
a  <- 0.4    # altere!
px <- 3
py <- 2
m  <- 120

# Demanda marshalliana (direto)
x_marsh <- a * m / px
y_marsh <- (1 - a) * m / py

# Utilidade indireta: V(px,py,m) = (a/px)^a * ((1-a)/py)^(1-a) * m
V <- function(px, py, m) (a/px)^a * ((1-a)/py)^(1-a) * m

# Identidade de Roy (numéricamente)
dp <- 0.001
dV_dpx <- (V(px+dp, py, m) - V(px-dp, py, m)) / (2*dp)
dV_dm  <- (V(px, py, m+dp) - V(px, py, m-dp)) / (2*dp)
x_roy  <- -dV_dpx / dV_dm

cat("=== Identidade de Roy ===\n\n")
cat(sprintf("Parametros: a=%.1f, px=%.0f, py=%.0f, m=%.0f\n\n", a, px, py, m))
cat(sprintf("Demanda marshalliana (direta): x* = %.4f\n", x_marsh))
cat(sprintf("Via Roy (-dV/dpx / dV/dm):     x* = %.4f\n", x_roy))
cat(sprintf("Diferenca: %.2e\n\n", abs(x_marsh - x_roy)))

# Também para y
dV_dpy <- (V(px, py+dp, m) - V(px, py-dp, m)) / (2*dp)
y_roy  <- -dV_dpy / dV_dm
cat(sprintf("Demanda marshalliana (direta): y* = %.4f\n", y_marsh))
cat(sprintf("Via Roy (-dV/dpy / dV/dm):     y* = %.4f\n", y_roy))
cat(sprintf("Diferenca: %.2e\n", abs(y_marsh - y_roy)))

# Gráfico: Demanda de x como função de px
px_vec <- seq(0.5, 10, length.out = 200)
x_dem  <- a * m / px_vec

par(mfrow = c(1, 2), mar = c(4, 4, 3, 1))
plot(x_dem, px_vec, type = "l", col = "#C8102E", lwd = 2,
     xlab = "x*", ylab = "px",
     main = "Demanda Marshalliana de x")
points(x_marsh, px, pch = 19, col = "#333", cex = 1.5)
text(x_marsh + 2, px + 0.3,
     sprintf("(%.1f, %.0f)", x_marsh, px), font = 2, cex = 0.85)

# V(px) com px variando
V_vec <- sapply(px_vec, function(p) V(p, py, m))
plot(px_vec, V_vec, type = "l", col = "steelblue", lwd = 2,
     xlab = "px", ylab = "V(px, py, m)",
     main = "Utilidade Indireta V(px)")
# Tangente
tang <- V(px, py, m) + dV_dpx * (px_vec - px)
lines(px_vec, tang, col = "#C8102E", lwd = 1.5, lty = 2)
points(px, V(px, py, m), pch = 19, col = "#333", cex = 1.5)
text(px + 1, V(px, py, m),
     sprintf("incl = dV/dpx\n= %.2f", dV_dpx),
     col = "#C8102E", font = 2, cex = 0.8)

Saída do R

Aguardando execução...

WebR executa R no navegador. A Identidade de Roy recupera a demanda marshalliana a partir de V(p,m) — sem resolver novamente o problema de otimização. Altere os parâmetros!