R Interativo — Demandas e Dualidade

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# Demandas Marshalliana e Hicksiana — Cobb-Douglas
# Cap. 4: Maximização de Utilidade e Escolha

# Parâmetros (altere!)
alpha <- 0.4   # peso do bem 1
py    <- 5     # preço do bem 2 (fixo)
m     <- 100   # renda

# Variação de p1
p1_grid <- seq(1, 20, length.out = 200)

# Demanda Marshalliana: x1(p1, py, m) = alpha * m / p1
x1_marsh <- alpha * m / p1_grid

# Utilidade no ponto base (p1 = 5)
p1_base <- 5
x1_base <- alpha * m / p1_base
x2_base <- (1 - alpha) * m / py
U_base  <- x1_base^alpha * x2_base^(1 - alpha)

# Demanda Hicksiana: h1(p1, py, U) = U * (alpha*py / ((1-alpha)*p1))^(1-alpha)
h1_hicks <- U_base * (alpha * py / ((1 - alpha) * p1_grid))^(1 - alpha)

# Função Dispêndio no ponto base
E_base <- m  # por construção

# Identidade de Roy: x1 = -(dV/dp1) / (dV/dm)
# Para CD: V = (alpha/p1)^alpha * ((1-alpha)/py)^(1-alpha) * m
# dV/dp1 = -alpha * V / p1,  dV/dm = V / m
# => x1 = alpha * m / p1 ✓

cat("=== Dualidade no ponto p1 =", p1_base, "===\n")
cat(sprintf("  Marshalliana:  x1* = %.2f\n", x1_base))
cat(sprintf("  Hicksiana:     h1* = %.2f\n",
    U_base * (alpha * py / ((1-alpha) * p1_base))^(1-alpha)))
cat(sprintf("  U* = %.4f,  E* = %.2f\n", U_base, E_base))
cat(sprintf("  V(p, m) = U ↔ E(p, U) = m ✓\n\n"))

# Gráfico
plot(p1_grid, x1_marsh, type = "l", col = "#C8102E", lwd = 2.5,
     xlab = expression(p[1]), ylab = expression(x[1]),
     main = "Marshalliana vs. Hicksiana",
     xlim = c(0, 20), ylim = c(0, max(x1_marsh) * 1.1))
lines(p1_grid, h1_hicks, col = "#2a7f2a", lwd = 2.5, lty = 2)
abline(v = p1_base, col = "gray", lty = 3)
points(p1_base, x1_base, pch = 19, col = "#333", cex = 1.5)
legend("topright",
       legend = c("Marshalliana x₁(p₁, m)",
                  "Hicksiana h₁(p₁, U*)"),
       col = c("#C8102E", "#2a7f2a"),
       lty = c(1, 2), lwd = 2.5, cex = 0.85)
text(p1_base + 0.8, x1_base + 1,
     sprintf("(%.0f, %.1f)", p1_base, x1_base),
     font = 2, cex = 0.85)

Saída do R

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WebR executa R no navegador. Note como Marshalliana e Hicksiana se cruzam no ponto base — é a dualidade em ação. Altere alpha para ver como a proporção de gastos muda.