Modelo de Equilíbrio Parcial e Soluções¶

20.3 Medindo a Mentira: Modelo de Equilíbrio Parcial de Externalidades¶

Sabemos que o preço mente — mas quanto ele mente? A intuição da seção anterior nos disse que externalidades negativas levam à sobreprodução e positivas à subprodução. Agora, formalizamos essa análise em um modelo de equilíbrio parcial com duas firmas, o que nos permitirá medir exatamente o tamanho da mentira e, na seção seguinte, calibrar os instrumentos de política necessários para corrigi-la.

Formalizemos o problema usando um modelo de equilíbrio parcial com duas firmas.

Firma 1 (poluidora): produz $q_1$ com custo $C_1(q_1)$ e gera emissões $e = e(q_1)$, com $e' > 0$.

Firma 2 (afetada): produz $q_2$ com custo $C_2(q_2, e)$, onde $\partial C_2 / \partial e > 0$ — a poluição de 1 eleva os custos de 2.

Equilíbrio privado: cada firma maximiza seu próprio lucro, ignorando o efeito sobre a outra.

Firma 1:

\[ \max_{q_1} \; p_1 q_1 - C_1(q_1) \implies p_1 = C_1'(q_1) \]

Ótimo social: o planejador maximiza o lucro conjunto:

\[ \max_{q_1, q_2} \; p_1 q_1 - C_1(q_1) + p_2 q_2 - C_2(q_2, e(q_1)) \]

A condição de primeira ordem para $q_1$ é:

\[ p_1 = C_1'(q_1) + \frac{\partial C_2}{\partial e} \cdot e'(q_1) \label{eq:20.7} \tag{20.7} \]

O termo $\frac{\partial C_2}{\partial e} \cdot e'(q_1)$ é o custo marginal externo (CME) — o dano marginal imposto pela firma 1 sobre a firma 2. No equilíbrio privado, esse termo é ignorado, levando a $q_1^{priv} > q_1^{soc}$.

A perda de peso morto (deadweight loss) associada à externalidade é a área entre as curvas de custo marginal social e custo marginal privado, entre $q_1^{soc}$ e $q_1^{priv}$:

\[ DWL = \int_{q_1^{soc}}^{q_1^{priv}} \left[ C_1'(q) + E'(q) - P \right] dq \]

Geometricamente, essa integral corresponde à área do "triângulo" entre a curva de custo marginal social (CMg + CME) e a reta de preço, delimitado pelas quantidades $q^{soc}$ e $q^{priv}$. A interpretação é direta: para cada unidade produzida além do ótimo social, o custo social marginal excede o benefício marginal (preço), e a área acumulada dessas "perdas marginais" constitui o peso morto. Note que a magnitude do peso morto depende crucialmente de dois fatores: (i) o tamanho da cunha entre CMg privado e CMg social (ou seja, a magnitude do custo marginal externo) e (ii) a distância entre $q^{priv}$ e $q^{soc}$, que por sua vez depende das elasticidades das curvas de oferta e demanda. Se a oferta privada for muito inelástica (CMg privado muito inclinado), a sobreprodução será pequena mesmo com um custo externo grande, pois a quantidade responde pouco à divergência. Inversamente, se a oferta for elástica, um custo externo modesto pode gerar uma distorção quantitativa — e um peso morto — substancial. Essa relação entre elasticidades e magnitude da ineficiência tem implicações diretas para a política pública: setores com oferta elástica e externalidades significativas são os candidatos prioritários à intervenção regulatória.

Figura 20.1 — Externalidade negativa e imposto pigouviano. A curva vermelha (CMg social) inclui o custo externo. A área sombreada representa a perda de peso morto da sobreprodução. O imposto pigouviano ótimo iguala o custo marginal externo no ótimo social.

20.4 A Receita para a Fumaça: Soluções para Externalidades Negativas¶

20.4.1 Imposto Pigouviano¶

Imposto Pigouviano

Imposto por unidade de produção (ou de emissão) igual ao custo marginal externo avaliado no ótimo social. Nomeado em homenagem a Arthur Cecil Pigou (1920), que primeiro propôs essa correção.

O imposto $t^*$ é definido como:

\[ t^* = E'(q^{soc}) = \left. \frac{\partial C_2}{\partial e} \cdot e'(q_1) \right|_{q_1 = q_1^{soc}} \label{eq:20.8} \tag{20.8} \]

Com o imposto, a firma poluidora resolve:

\[ \max_{q_1} \; p_1 q_1 - C_1(q_1) - t^* q_1 \]

Condição de primeira ordem:

\[ p_1 = C_1'(q_1) + t^* \label{eq:20.9} \tag{20.9} \]

Como $t^* = E'(q^{soc})$, a firma internaliza o custo externo e produz $q_1^{soc}$.

Demonstração: O Imposto Pigouviano Ótimo Restaura a Eficiência

Objetivo: Mostrar que um imposto $t^*$ igual ao custo marginal externo no ótimo social induz a firma poluidora a escolher o nível de produção socialmente eficiente.

Configuração: Considere uma economia com uma firma poluidora que produz $q$ unidades de um bem ao preço $P$. O custo privado de produção é $C(q)$, com $C'(q) > 0$ e $C''(q) > 0$. A produção gera um custo externo $E(q)$, com $E'(q) > 0$ e $E''(q) \geq 0$. O benefício social líquido é:

\[ W(q) = Pq - C(q) - E(q) \]

Passo 1 — Ótimo social. O planejador maximiza $W(q)$:

\[ \frac{dW}{dq} = P - C'(q) - E'(q) = 0 \]

Logo, o nível ótimo $q^*$ satisfaz:

\[ P = C'(q^*) + E'(q^*) \tag{i} \]

Passo 2 — Equilíbrio privado sem imposto. A firma maximiza $\pi(q) = Pq - C(q)$:

\[ P = C'(q^{priv}) \tag{ii} \]

Como $E'(q) > 0$, comparando (i) e (ii), e dado que $C''(q) > 0$, temos $q^{priv} > q^*$. A firma produz em excesso.

Passo 3 — Introdução do imposto pigouviano. Defina o imposto unitário:

\[ t^* = E'(q^*) \]

Com o imposto, o lucro da firma é $\pi^t(q) = Pq - C(q) - t^* q$. A condição de maximização é:

\[ P = C'(q^t) + t^* = C'(q^t) + E'(q^*) \tag{iii} \]

Passo 4 — Comparação. Comparando (iii) com (i), ambas requerem:

\[ P - E'(q^*) = C'(q) \]

Como $C'(\cdot)$ é estritamente crescente (por $C'' > 0$), a solução é única: $q^t = q^*$.

Conclusão. O imposto $t^* = E'(q^*)$ faz com que a firma internalize o custo marginal externo e produza exatamente o nível socialmente ótimo $q^*$. A perda de peso morto é eliminada. $\blacksquare$

Subsídio Pigouviano

De forma simétrica, para externalidades positivas, o instrumento pigouviano é um subsídio por unidade igual ao benefício marginal externo: $s^* = B'^{ext}(q^{soc})$. Isso eleva a quantidade produzida/consumida até o nível socialmente eficiente.

ER 20.1 — Imposto pigouviano ótimo com custo quadrático

Enunciado. Uma firma produz $q$ unidades ao preço $P = 100$, com custo $C(q) = 10q + q^2$. A produção gera custo externo $E(q) = 0{,}5q^2$. (a) Encontre $q^{priv}$ e $q^{soc}$. (b) Calcule o imposto pigouviano ótimo. (c) Calcule o DWL eliminado.

Solução.

(a) Sem regulação: $P = C'(q) \implies 100 = 10 + 2q \implies q^{priv} = 45$.

Ótimo social: $P = C'(q) + E'(q) \implies 100 = 10 + 2q + q = 10 + 3q \implies q^{soc} = 30$.

(b) $t^* = E'(q^{soc}) = q^{soc} = 30$.

Verificação: com imposto, $100 = 10 + 2q + 30 \implies q = 30 = q^{soc}$. $\checkmark$

(c) $DWL = \int_{30}^{45} (10 + 3q - 100)\,dq = \int_{30}^{45}(3q - 90)\,dq = \left[\frac{3q^2}{2} - 90q\right]_{30}^{45} = (3037{,}5 - 4050) - (1350 - 2700) = -1012{,}5 - (-1350) = 337{,}5$.

WebR 20.1 — Simulação de imposto pigouviano. Altere os parâmetros de custo e externalidade e observe como o imposto ótimo e o DWL se ajustam.

20.4.2 O Teorema de Coase¶

Teorema de Coase (Coase, 1960)

Se os direitos de propriedade estão claramente definidos e os custos de transação são nulos, a barganha privada entre as partes levará à alocação eficiente de recursos, independentemente de qual parte detém o direito de propriedade. A distribuição dos direitos afeta apenas a distribuição de riqueza, não a eficiência.

Formalmente, suponha que a firma poluidora e a firma afetada podem negociar. Se a firma afetada tem o direito a um ambiente limpo, a poluidora deve compensá-la pelo dano. Se a poluidora tem o direito de poluir, a firma afetada paga para que ela reduza a produção. Em ambos os casos, a produção converge para $q^{soc}$ onde:

\[ C'(q) + E'(q) = P \label{eq:20.10} \tag{20.10} \]

Limites do Teorema de Coase:

Custos de transação: na prática, negociar é custoso, especialmente quando há muitas partes envolvidas.
Externalidades difusas: quando a poluição afeta milhões de pessoas, a barganha bilateral é inviável.
Assimetria de informação: as partes podem ter incentivos estratégicos para não revelar verdadeiramente seus custos e benefícios.
Efeitos riqueza: com utilidade marginal da renda decrescente, a atribuição inicial dos direitos pode afetar a alocação final.
Problemas de hold-up: investimentos específicos à relação podem gerar comportamento oportunista.

Nobel de Economia 1991 — Ronald Coase

Ronald Coase recebeu o Prêmio Nobel "por sua descoberta e elucidação do significado dos custos de transação e dos direitos de propriedade para a estrutura institucional e o funcionamento da economia." O artigo seminal "The Problem of Social Cost" (1960) desafiou a prescrição pigouviana dominante, mostrando que a atribuição de direitos de propriedade e a barganha privada podem, sob certas condições, resolver o problema das externalidades sem intervenção estatal. Coase também introduziu o conceito de custos de transação como determinante da fronteira entre firma e mercado em "The Nature of the Firm" (1937).

ER 20.2 — Negociação coaseana: fazendeiro vs. apicultor

Enunciado. Um fazendeiro cria gado ($n$ cabeças) com lucro $\pi_F(n) = 80n - 2n^2$. O gado danifica a lavoura vizinha em $D(n) = n^2$. (a) Encontre $n^{priv}$ e $n^{soc}$. (b) Mostre que a negociação leva a $n^{soc}$ independentemente de quem detém o direito.

Solução.

(a) Sem negociação: $\pi_F'(n) = 80 - 4n = 0 \implies n^{priv} = 20$.

Ótimo social: $\max_n \pi_F(n) - D(n) = 80n - 2n^2 - n^2 = 80n - 3n^2$. CPO: $80 - 6n = 0 \implies n^{soc} = 40/3 \approx 13{,}33$.

(b) Se o fazendeiro tem o direito: parte de $n = 20$. O lavrador oferece compensação $T$ para reduzir a $n^{soc}$. Perda do fazendeiro: $\pi_F(20) - \pi_F(40/3) = 800 - 711{,}11 = 88{,}89$. Ganho do lavrador: $D(20) - D(40/3) = 400 - 177{,}78 = 222{,}22$. Como $222{,}22 > 88{,}89$, há espaço para acordo.

Se o lavrador tem o direito: parte de $n = 0$. O fazendeiro oferece $T'$ para criar $n^{soc}$ cabeças. Ganho do fazendeiro: $\pi_F(40/3) = 711{,}11$. Dano ao lavrador: $D(40/3) = 177{,}78$. Como $711{,}11 > 177{,}78$, há espaço para acordo. Em ambos os casos, $n = n^{soc}$.

Figura 20.2 — Teorema de Coase. Alterne entre atribuir o direito de propriedade ao poluidor ou à vítima. Em ambos os casos, a negociação leva ao mesmo nível eficiente de poluição onde BMg = DMg. Apenas a direção da transferência muda.

WebR 20.2 — Simulação do Teorema de Coase. Varie os parâmetros de lucro e dano e observe o intervalo de compensação viável.

20.4.3 Regulação direta (command and control)¶

A regulação direta consiste em impor limites quantitativos de emissão ou padrões tecnológicos às firmas poluidoras. Exemplos incluem:

Limites máximos de emissão de poluentes (ex.: padrão CONAMA para emissões veiculares);
Obrigatoriedade de uso de tecnologia de controle (ex.: catalisadores);
Zoneamento industrial (restrições de localização).

A principal desvantagem da regulação direta é que ela tipicamente não é custo-efetiva: ao impor o mesmo padrão a todas as firmas, não explora as diferenças nos custos marginais de abatimento. Firmas com custos de abatimento baixos deveriam reduzir mais emissões, e firmas com custos altos, menos — algo que um imposto ou mercado de permissões faz automaticamente.

20.4.4 Mercados de permissão de emissão (cap and trade)¶

Mercado de Permissões de Emissão (Cap and Trade)

Sistema em que o regulador fixa um teto (cap) total de emissões e distribui permissões negociáveis entre as firmas. As firmas podem comprar e vender permissões no mercado. Em equilíbrio, o preço da permissão iguala o custo marginal de abatimento entre todas as firmas, garantindo custo-efetividade.

Se o teto é fixado no nível socialmente ótimo de emissões $\bar{E}$, e o mercado de permissões é competitivo, o preço de equilíbrio da permissão é exatamente igual ao imposto pigouviano ótimo:

\[ p_E = t^* = E'(q^{soc}) \]

A equivalência entre imposto e cap-and-trade sob certeza (Weitzman, 1974) é um resultado fundamental. Sob incerteza, porém, os instrumentos diferem: o imposto fixa o preço e deixa a quantidade flutuar; o cap fixa a quantidade e deixa o preço flutuar. A escolha ótima depende das elasticidades relativas dos custos de abatimento e dos danos marginais.

ER 20.3 — Cap-and-trade com duas firmas

Enunciado. Duas firmas emitem 100 ton cada. Custos de abatimento: $CA_1(a_1) = 3a_1^2$, $CA_2(a_2) = a_2^2$. O regulador impõe redução total de 80 ton. (a) Encontre a alocação custo-efetiva. (b) Calcule o preço de equilíbrio da permissão. (c) Compare com abatimento uniforme.

Solução.

(a) Equalização de custos marginais: $CMgA_1 = CMgA_2 \implies 6a_1 = 2a_2 \implies a_2 = 3a_1$. Restrição: $a_1 + 3a_1 = 80 \implies a_1 = 20$, $a_2 = 60$.

(b) $p = CMgA_1(20) = 6 \times 20 = 120 = CMgA_2(60) = 2 \times 60 = 120$. $\checkmark$

(c) Custo eficiente: $3(20)^2 + (60)^2 = 1200 + 3600 = 4800$. Uniforme ($a_i = 40$): $3(40)^2 + (40)^2 = 4800 + 1600 = 6400$. Economia: $6400 - 4800 = 1600$ (25%).

ER 20.4 — Imposto vs. cap-and-trade sob incerteza (Weitzman)

Enunciado. O regulador estima o custo marginal de abatimento como $CMgA = 2a$, mas o verdadeiro é $CMgA = 4a$. O dano marginal é constante: $D' = 60$. Compare os resultados sob imposto $t = 60$ e cap $\bar{a} = 30$.

Solução.

Com imposto $t = 60$: a firma abate até $4a = 60 \implies a = 15$ (abaixo da meta de 30). Custo de abatimento: $2(15)^2 = 450$. Dano residual extra: $60 \times 15 = 900$. Mas o custo marginal = dano marginal no nível escolhido.

Com cap $\bar{a} = 30$: obriga abatimento de 30, com custo marginal $4 \times 30 = 120 \gg 60 = D'$. Custo de abatimento: $2(30)^2 = 1800$. A meta é atingida, mas a um custo marginal muito acima do dano marginal.

Conclusão: com dano marginal plano e custos subestimados, o imposto domina (resultado de Weitzman, 1974).

WebR 20.3 — Cap-and-trade e alocação custo-efetiva. Ajuste os custos de abatimento das firmas e a meta de redução para ver como o mercado de permissões aloca o esforço.

Box Mundo 20.2 — O EU Emissions Trading System (EU ETS)

Contexto: Lançado em 2005, o EU ETS é o maior mercado de carbono do mundo, cobrindo cerca de 40% das emissões de gases de efeito estufa da União Europeia. O sistema opera por cap-and-trade: a UE fixa um teto total de emissões que diminui anualmente, e as empresas dos setores cobertos (energia, indústria pesada, aviação intra-EU) devem possuir permissões correspondentes às suas emissões.

Evolução: O preço das permissões (EU Allowances, EUA) flutuou enormemente: de menos de €5 na Fase I (2005-2007, com excesso de permissões distribuídas gratuitamente) a mais de €100 em 2023 (Fase IV, com teto mais apertado e reserva de estabilidade de mercado). O preço reflete a escassez crescente à medida que o teto diminui.

Lições: O EU ETS demonstra que mercados de permissões funcionam — as emissões dos setores cobertos caíram ~35% entre 2005 e 2022 — mas que o design importa criticamente. A alocação gratuita inicial gerou windfall profits; o excesso de permissões deprimiu preços por uma década; e a introdução de mecanismos de estabilidade (como o Market Stability Reserve em 2019) foi necessária para corrigir o desequilíbrio.

Box Mundo 20.3 — O programa americano de SO₂: cap-and-trade em ação

Contexto: O Acid Rain Program, criado pelo Clean Air Act de 1990 nos EUA, foi o primeiro grande sistema de cap-and-trade do mundo, voltado para a redução de emissões de dióxido de enxofre (SO₂) — o principal causador da chuva ácida. O programa impôs um teto nacional de emissões e distribuiu permissões negociáveis entre usinas termelétricas.

Resultados: As emissões de SO₂ caíram de 15,7 milhões de toneladas em 1990 para menos de 3 milhões em 2010 — uma redução de mais de 80%. O custo total de abatimento ficou substancialmente abaixo das estimativas ex ante, em grande parte porque o mercado de permissões permitiu que as firmas com menores custos de abatimento reduzissem mais.

Análise econômica: Estudos estimam que os custos de compliance com o mercado foram 15-50% menores do que teriam sido sob regulação uniforme (command-and-control). O programa é amplamente considerado um dos casos de maior sucesso de política ambiental baseada em instrumentos de mercado.

Box Brasil 20.1 — REDD+ e o mercado voluntário de carbono florestal

Contexto: O mecanismo REDD+ (Redução de Emissões por Desmatamento e Degradação Florestal) busca atribuir valor econômico ao carbono estocado nas florestas, criando incentivos para a conservação. O Brasil é um dos principais participantes, com programas de REDD+ em vários estados amazônicos. O princípio é coaseano: criar um "direito de propriedade" sobre o carbono florestal e permitir transações de mercado.

Dados: O Fundo Amazônia, criado em 2008, recebeu aportes superiores a R$ 3,4 bilhões da Noruega e Alemanha até 2023. O Brasil aprovou em 2024 a regulamentação do Sistema Brasileiro de Comércio de Emissões (SBCE), um sistema de cap-and-trade que abrange grandes emissores.

Lições: O caso brasileiro ilustra a aplicação integrada dos instrumentos discutidos: subsídio pigouviano (Fundo Amazônia), mercado de permissões (SBCE, REDD+), regulação direta (Código Florestal) e os limites do Teorema de Coase quando os custos de transação são elevados e as externalidades são difusas e globais.