Exercícios, Revisão e ANPEC — Capítulo 10¶
Atividade 10.2 — Clonar a firma: rendimentos de escala por setor (10 min)
Objetivo: Desenvolver intuição sobre quando rendimentos de escala são crescentes, constantes ou decrescentes — e por que isso determina a estrutura de mercado.
Material: Nenhum (projeção de cenários).
Protocolo:
- Cenários (5 min): Projete quatro setores e pergunte para cada um: "Se você clonar a operação inteira — dobrar tudo (trabalhadores, máquinas, espaço) —, o produto mais que dobra, dobra exatamente, ou menos que dobra?" Vote com Mentimeter ou mão levantada.
- (a) Barraca de açaí na praia → CRS (dobrar tudo ≈ dobra o produto). Fácil replicar.
- (b) Refinaria de petróleo → IRS (o volume do tanque cresce com o cubo do raio, o custo com o quadrado). Por isso refinarias são enormes.
- (c) Escritório de advocacia boutique → DRS? O principal ativo é o capital humano do sócio-fundador, que não "dobra". Crescer dilui a qualidade.
- (d) Plataforma digital (Netflix, Uber) → IRS extremos. O custo marginal de um usuário adicional é quase zero; o custo fixo (conteúdo, algoritmo) é enorme.
- Debrief (5 min):
- "Percebam o padrão: IRS → poucas firmas grandes (refinarias, plataformas). CRS → muitas firmas médias (barracas). DRS → muitas firmas pequenas especializadas (advocacia)."
- "Rendimentos de escala explicam por que alguns mercados são oligopólios naturais e outros são competitivos — tema do Capítulo 12."
- "O CADE analisa alegações de economias de escala em toda fusão — exatamente este cálculo que vocês fizeram de cabeça."
Conexão com o conteúdo: Seção 10.3 (rendimentos de escala), Box Brasil sobre CADE (Seção 10.3), preparação para Capítulos 12–13.
Atividade 10.3 — Quem substitui quem? Elasticidade de substituição na prática (10 min)
Objetivo: Calibrar a intuição sobre σ — o parâmetro que determina se a automação é suave ou traumática.
Material: Nenhum (projeção).
Protocolo:
- Ranking (4 min): Projete 5 setores e peça que os alunos os ordenem do mais fácil ao mais difícil de substituir trabalho por capital (automação):
- Caixa de supermercado → Motorista de caminhão → Cirurgião → Atendente de call center → Pedreiro
- Debate (3 min): Compare os rankings. Tipicamente: call center > caixa > motorista > pedreiro > cirurgião. Pergunte: "Qual tem σ mais alto? Qual tem σ mais baixo?"
- Debrief (3 min):
- "O σ alto (call center → chatbot) significa isoquanta quase reta: a firma facilmente troca pessoas por máquinas. O σ baixo (cirurgião) significa isoquanta quase em L: a máquina não substitui o humano."
- "Chirinko (2008) encontrou σ ≈ 0,4–0,6 para a manufatura como um todo. Mas varia enormemente entre setores — e é por isso que a automação não desloca todos os trabalhadores igualmente."
- Conecte com Acemoglu e Restrepo (2019) e o debate sobre IA e futuro do trabalho.
Conexão com o conteúdo: Seção 10.4 (elasticidade de substituição), Box Mundo 10.2 (labor share), Chirinko (2008).
WebR 10.1 — Estimando uma Cobb-Douglas com dados estilizados da PIA/IBGE. O código estima α, β e A por MQO, testa rendimentos constantes de escala (H₀: α + β = 1) e plota isoquantas estimadas. Altere os parâmetros verdadeiros e re-execute para ver como a estimação se comporta.
WebR 10.2 — Produto total, marginal e médio. A tangente à curva de PT dá o PMg; a secante dá o PMe. Com α < 1, rendimentos marginais decrescentes — o PMg puxa o PMe para baixo. Altere α para 1.2 e veja rendimentos crescentes!
WebR 10.3 — CRS, IRS e DRS lado a lado. Três painéis de isoquantas mostram como o espaçamento muda com α + β. Com CRS, espaçamento uniforme; com IRS, isoquantas se aproximam; com DRS, se afastam.
WebR 10.4 — Elasticidade de substituição σ: de Leontief a substitutos perfeitos. Quatro valores de σ geram isoquantas de formas radicalmente diferentes. Cobb-Douglas (σ=1) é um caso especial da família CES.
🧠 Revisão Rápida¶
Teste seu entendimento dos conceitos centrais deste capítulo.
1. Uma função de produção \(f(K,L)\) apresenta rendimentos crescentes de escala se:
- (a) \(f(tK, tL) = t \cdot f(K,L)\) para todo \(t > 1\)
- (b) \(f(tK, tL) > t \cdot f(K,L)\) para todo \(t > 1\)
- (c) O produto marginal do trabalho é crescente
- (d) A TMST é constante ao longo de uma isoquanta
Resposta
(b) Rendimentos crescentes de escala significam que dobrar todos os insumos mais que dobra o produto. Formalmente, \(f(tK,tL) > t \cdot f(K,L)\) para \(t > 1\). A alternativa (a) descreve rendimentos constantes (homogeneidade de grau 1); (c) descreve rendimentos crescentes do fator trabalho, não de escala; (d) descreve substitutos perfeitos na produção.
2. Para a função Cobb-Douglas \(f(K,L) = A K^\alpha L^\beta\), os rendimentos de escala são determinados por:
- (a) O valor de \(A\)
- (b) A soma \(\alpha + \beta\): crescentes se \(> 1\), constantes se \(= 1\), decrescentes se \(< 1\)
- (c) O produto \(\alpha \cdot \beta\)
- (d) A razão \(\alpha / \beta\)
Resposta
(b) Para Cobb-Douglas, \(f(tK,tL) = t^{\alpha+\beta} f(K,L)\). Se \(\alpha + \beta > 1\), rendimentos crescentes; se \(= 1\), constantes; se \(< 1\), decrescentes. O parâmetro \(A\) (a) é um fator de produtividade que não afeta os rendimentos de escala; (c) e (d) não determinam a homogeneidade.
3. A Taxa Marginal de Substituição Técnica (TMST) entre capital e trabalho mede:
- (a) O custo de substituir uma unidade de capital por trabalho no mercado
- (b) A quantidade de capital que a firma pode dispensar ao empregar uma unidade adicional de trabalho, mantendo a produção constante
- (c) A razão entre os preços dos insumos
- (d) A elasticidade de substituição entre os insumos
Resposta
(b) A TMST é a inclinação da isoquanta: \(\text{TMST}_{LK} = -dK/dL|_{q=\bar{q}} = \text{PMg}_L/\text{PMg}_K\). Mede a taxa à qual a firma pode trocar capital por trabalho mantendo o produto. A alternativa (c) descreve a inclinação da isocusto; (a) confunde TMST com custo de mercado; (d) é um conceito relacionado mas distinto (\(\sigma\) mede a curvatura da isoquanta).
4. A lei dos rendimentos marginais decrescentes afirma que:
- (a) Quando todos os insumos aumentam, o produto total eventualmente diminui
- (b) Quando um insumo aumenta com os demais fixos, seu produto marginal eventualmente diminui
- (c) O custo médio é sempre crescente
- (d) As isoquantas se tornam retas à medida que a produção aumenta
Resposta
(b) A lei dos rendimentos marginais decrescentes aplica-se ao curto prazo: mantendo pelo menos um insumo fixo, o produto marginal do insumo variável eventualmente cai. Isso não diz que o produto total diminui (a) — apenas que cresce a taxas decrescentes. A alternativa (a) confunde rendimentos decrescentes do fator com rendimentos de escala; (c) não segue necessariamente.
5. Uma função de produção é homotética quando:
- (a) Os rendimentos de escala são sempre constantes
- (b) A TMST depende apenas da razão \(K/L\), não do nível de produção — as isoquantas são 'cópias ampliadas' umas das outras
- (c) O produto marginal de cada insumo é constante
- (d) A elasticidade de substituição é infinita
Resposta
(b) Homoteticidade significa que a TMST em qualquer ponto da isoquanta depende apenas da razão capital-trabalho, não da escala. A expansão da produção ao longo de um raio a partir da origem mantém a proporção ótima dos insumos. A alternativa (a) é restritiva — funções homotéticas podem ter rendimentos variáveis; (c) descreve uma função linear nos insumos; (d) descreve substitutos perfeitos.
📋 Resumo do Capítulo¶
- A função de produção \(q = f(K, L)\) descreve a quantidade máxima de produto obtida a partir de capital e trabalho, sintetizando a tecnologia da firma. Dela derivam-se o produto marginal, o produto médio e a lei dos rendimentos marginais decrescentes.
- As isoquantas representam combinações de insumos que geram o mesmo nível de produto, e a TMST (taxa marginal de substituição técnica) mede a taxa à qual a firma pode trocar um insumo por outro mantendo a produção constante.
- Os rendimentos de escala classificam a tecnologia segundo o que ocorre com o produto quando todos os insumos são multiplicados por um mesmo fator: crescentes, constantes ou decrescentes. Esse conceito é distinto da lei dos rendimentos marginais decrescentes, que se aplica à variação de um único insumo.
- A elasticidade de substituição (\(\sigma\)) mede a facilidade com que a firma substitui capital por trabalho ao longo de uma isoquanta, sendo um parâmetro central que diferencia as famílias de funções de produção (linear, Leontief, Cobb-Douglas e CES).
- As quatro funções de produção clássicas — linear (\(\sigma = \infty\)), Leontief (\(\sigma = 0\)), Cobb-Douglas (\(\sigma = 1\)) e CES (\(\sigma\) livre) — cobrem todo o espectro de substituibilidade entre insumos e são amplamente utilizadas na análise empírica.
- O progresso técnico desloca a função de produção para cima ao longo do tempo, podendo ser neutro (Hicks, Harrod ou Solow) ou enviesado, e é o principal motor do crescimento da produtividade no longo prazo — como ilustra a revolução agrícola da Embrapa no Brasil.
🔑 Conceitos-Chave¶
| Conceito | Definição |
|---|---|
| Função de produção | Relação \(q = f(K, L)\) que descreve a quantidade máxima de produto para dadas quantidades de insumos e tecnologia. |
| Produto marginal | Acréscimo ao produto total resultante de uma unidade adicional de um insumo, mantidos os demais constantes (\(\mathrm{PMg}_L = \partial f / \partial L\)). |
| Produto médio | Razão entre o produto total e a quantidade do insumo (\(\mathrm{PMe}_L = f(K,L)/L\)). |
| Lei dos rendimentos marginais decrescentes | A partir de certo ponto, cada unidade adicional de um insumo variável (com os demais fixos) gera acréscimos menores ao produto. |
| Isoquanta | Curva que representa todas as combinações de insumos que geram o mesmo nível de produto. |
| TMST | Taxa marginal de substituição técnica: razão dos produtos marginais (\(\mathrm{PMg}_L / \mathrm{PMg}_K\)), indicando a taxa de troca entre insumos ao longo da isoquanta. |
| Rendimentos de escala | Comportamento do produto quando todos os insumos são multiplicados por \(t > 1\): crescentes se \(f(tK, tL) > t \cdot f(K,L)\), constantes se igual, decrescentes se menor. |
| Elasticidade de substituição (\(\sigma\)) | Mede a variação percentual na razão \(K/L\) em resposta a uma variação percentual na TMST, capturando a facilidade de substituição entre insumos. |
| Função CES | Função de produção com elasticidade de substituição constante, que engloba como casos especiais a linear, a Cobb-Douglas e a Leontief. |
| Progresso técnico | Deslocamento da função de produção ao longo do tempo, classificado como neutro à Hicks, Harrod ou Solow conforme o viés sobre os insumos. |
Tabela 10.2 — Conceitos-chave.
✏️ Exercícios¶
Exercício 10.1. Considere a função de produção \(q = 10K^{0,3}L^{0,7}\).
(a) Calcule os produtos marginais \(\mathrm{PMg}_K\) e \(\mathrm{PMg}_L\).
(b) Verifique que os produtos marginais são decrescentes (i.e., \(\partial^2 q / \partial K^2 < 0\) e \(\partial^2 q / \partial L^2 < 0\)).
(c) Determine a TMST e mostre que ela é decrescente ao longo de uma isoquanta.
(d) Classifique os rendimentos de escala.
(e) Confirme que \(\sigma = 1\).
Exercício 10.2. Uma firma opera com a tecnologia CES:
(a) Identifique os parâmetros \(\delta\), \(\rho\) e \(\gamma\).
(b) Calcule a elasticidade de substituição \(\sigma\).
(c) Mostre que os rendimentos de escala são constantes.
(d) Compare a forma das isoquantas desta função com as da Cobb-Douglas.
Exercício 10.3. Considere a função de produção Leontief \(q = \min\{2K, 3L\}\).
(a) Qual a proporção ótima de uso dos insumos?
(b) Se a firma deseja produzir \(q = 60\), quais as quantidades mínimas de \(K\) e \(L\)?
(c) Qual o efeito de dobrar apenas o trabalho, mantendo o capital constante? Interprete em termos de rendimentos marginais.
Exercício 10.4. Uma função de produção é dada por \(q = K^{0,6} L^{0,8}\).
(a) Classifique os rendimentos de escala.
(b) Calcule a elasticidade de escala \(e\) e interprete.
(c) Se a firma dobrar ambos os insumos, por qual fator o produto aumentará?
(d) Explique por que rendimentos crescentes de escala podem existir mesmo com produtos marginais decrescentes em cada fator individualmente.
Exercício 10.5. Suponha que a função de produção de uma firma é \(q = A(t) K^{0,4} L^{0,6}\), com \(A(t) = e^{0,02t}\).
(a) Qual a taxa de crescimento da PTF?
(b) Se \(K\) cresce a 3% ao ano e \(L\) cresce a 1% ao ano, qual a taxa de crescimento do produto?
(c) Decomponha o crescimento do produto nas contribuições do capital, do trabalho e da PTF.
(d) Este progresso técnico é neutro no sentido de Hicks, Harrod ou Solow? Justifique.
(e) Calcule a produtividade total dos fatores em \(t = 0\) e \(t = 10\). Se em \(t = 0\) a firma utiliza \(K = 100\) e \(L = 200\), qual o produto em \(t = 0\) e em \(t = 10\) (supondo que os insumos cresçam às taxas indicadas)?
Exercício 10.6. (Fácil) Considere a função de produção \(f(K, L) = K^{0,3} L^{0,7}\).
(a) Calcule os produtos marginais \(\mathrm{PMg}_K\) e \(\mathrm{PMg}_L\).
(b) Verifique o Teorema de Euler: \(\mathrm{PMg}_K \cdot K + \mathrm{PMg}_L \cdot L = f(K, L)\) (o que implica sobre os rendimentos de escala?).
(c) Mostre que os produtos marginais são decrescentes.
Exercício 10.7. (Fácil) Classifique os rendimentos de escala das funções de produção abaixo, justificando cada caso:
(a) \(f(K, L) = KL\)
(b) \(f(K, L) = K + L\)
(c) \(f(K, L) = \min\{K, 2L\}\)
(d) \(f(K, L) = K^{0,4} L^{0,4}\)
Exercício 10.8. (Médio) Uma firma opera com a função de produção CES \(q = \left[\delta K^{\rho} + (1-\delta)L^{\rho}\right]^{1/\rho}\), com \(\delta = 0{,}5\) e \(\rho = -1\) (portanto, \(\sigma = 0{,}5\)). Os preços dos fatores são \(r = 5\) e \(w = 3\), e a firma utiliza \(K = 10\) e \(L = 20\).
(a) Calcule a TMST nessa combinação.
(b) Verifique se a firma está minimizando custos (compare a TMST com a razão de preços \(w/r\)).
(c) Se a firma não está no ótimo, em que direção deve ajustar a combinação de insumos?
(d) Calcule a elasticidade de substituição e interprete.
Exercício 10.9. (Médio — contexto brasileiro) Um produtor de soja no Cerrado opera com a função de produção \(f(K, L) = A \cdot K^{0,4} L^{0,6}\), onde \(A = A(t)\) representa o nível tecnológico fornecido por variedades desenvolvidas pela Embrapa.
(a) Se \(A\) cresce a uma taxa constante de 3% ao ano, em quanto tempo o produto dobra, mantendo os insumos \(K\) e \(L\) constantes? (Use a regra de 70 como aproximação e confirme com o cálculo exato.)
(b) Entre 2000 e 2023, a produtividade média da soja brasileira cresceu de 2.403 para 3.509 kg/ha, um crescimento de aproximadamente 1,9% ao ano. Que fração desse crescimento é consistente com um crescimento anual de \(A\) de 3%, supondo insumos constantes?
(c) Como a teoria da produção interpretaria o fato de que a área plantada de soja no Brasil cresceu muito mais do que a produtividade por hectare? Isso é uma evidência de rendimentos crescentes ou decrescentes?
Exercício 10.10. (Difícil) Considere uma função de produção homotética \(f(K, L)\), que pode ser escrita como \(f(K, L) = g(h(K, L))\), onde \(h\) é homogênea de grau 1 e \(g\) é estritamente crescente.
(a) Prove que o caminho de expansão (locus de combinações ótimas de insumos à medida que o produto varia, para preços \(w\) e \(r\) fixos) é um raio a partir da origem.
(b) Mostre que, como consequência, a função de custo mínimo pode ser escrita na forma separável \(C(w, r, q) = c(w, r) \cdot g^{-1}(q)\), onde \(c(w, r)\) é o custo de atingir \(h = 1\). O que essa separabilidade implica sobre como o custo varia com o produto?
(c) Verifique a propriedade (b) explicitamente para a função Cobb-Douglas \(f(K, L) = K^{\alpha} L^{1-\alpha}\) com rendimentos constantes de escala.
🏆 Vem, ANPEC!¶
ANPEC 2013 — Questão 6
Considere a teoria da produção e indique quais das afirmativas abaixo são verdadeiras e quais são falsas:
| Item | Afirmação |
|---|---|
| 0 | Se a função de produção for \(f(K, L) = [K^a + L^a]^{v/a}\), com \(a \leq 1\), \(a \neq 0\) e \(v > 1\), ela apresenta retornos crescentes de escala. |
| 1 | O coeficiente de elasticidade de substituição \(\sigma\) de uma função de produção como \(f(K, L) = [K^a + L^a]^{v/a}\), com \(a < 1\), \(a \neq 0\) e \(v > 1\), é \(\sigma = 1/(1-a)\). |
| 2 | Funções de produção com elasticidade de substituição \(\sigma = 0\) possuem isoquantas em formato de L. |
| 3 | Se a tecnologia for monotônica, isso significa que não é possível produzir ao menos a mesma quantidade aumentando a quantidade de um dos insumos. |
| 4 | Funções de produção do tipo Cobb-Douglas possuem elasticidade de substituição \(\sigma = 1\). |
Gabarito
Respostas: V V V F V
Justificativa por item:
- Item 0 — V: \(f(tK, tL) = [t^a K^a + t^a L^a]^{v/a} = t^v [K^a + L^a]^{v/a} = t^v f(K,L)\). Como \(v > 1\), temos \(t^v > t\) para \(t > 1\), logo rendimentos crescentes.
- Item 1 — V: Trata-se de uma CES com \(\rho = a\). A elasticidade de substituição é \(\sigma = 1/(1-\rho) = 1/(1-a)\). O parâmetro \(v\) (rendimentos de escala) não afeta \(\sigma\).
- Item 2 — V: \(\sigma = 0\) corresponde ao caso Leontief (\(\rho \to -\infty\)), cujas isoquantas têm formato de L (ângulos retos).
- Item 3 — F: Monotonia (livre descarte) significa exatamente o oposto: se é possível produzir \(q\) com \((K, L)\), então é possível produzir ao menos \(q\) com \((K', L')\) onde \(K' \geq K\) e \(L' \geq L\). Mais insumo nunca reduz o produto máximo possível.
- Item 4 — V: Conforme demonstrado na Seção 10.4, a Cobb-Douglas possui \(\sigma = 1\), independentemente dos expoentes \(\alpha\) e \(\beta\).
ANPEC 2015 — Questão 7
Com relação à Teoria da Produção, indique quais das afirmativas abaixo são verdadeiras:
| Item | Afirmação |
|---|---|
| 0 | Se o produto médio do fator variável é crescente, o seu produto marginal é maior do que o seu produto médio. |
| 1 | A produtividade da mão de obra pode aumentar se houver progresso técnico, mesmo que o processo produtivo apresente rendimentos marginais decrescentes. |
| 2 | Quando o processo produtivo apresenta retornos constantes de escala, se a produção aumentar proporcionalmente, o espaço entre as isoquantas aumenta progressivamente. |
| 3 | Uma isoquanta nunca pode apresentar uma inclinação ascendente, se todos os insumos apresentam produtividades marginais positivas. |
| 4 | As isoquantas são convexas se a taxa marginal de substituição técnica for decrescente. |
Gabarito
Respostas: V V F V V
Justificativa por item:
- Item 0 — V: Se \(\mathrm{PMe}_L\) é crescente, então \(\frac{d}{dL}\left(\frac{q}{L}\right) > 0\), o que requer \(\mathrm{PMg}_L > \mathrm{PMe}_L\). Essa é a relação padrão entre marginal e médio (Seção 10.1).
- Item 1 — V: O progresso técnico desloca toda a função de produção para cima (aumento de \(A(t)\)), elevando a produtividade mesmo que os rendimentos marginais do trabalho sejam decrescentes para cada nível de \(A\).
- Item 2 — F: Com retornos constantes de escala (CRS), dobrar os insumos dobra o produto. As isoquantas para \(q = 1, 2, 3, \ldots\) ficam igualmente espaçadas ao longo de raios partindo da origem, não progressivamente mais distantes.
- Item 3 — V: Inclinação ascendente significaria \(dK/dL > 0\) ao longo da isoquanta, ou seja, seria necessário aumentar ambos os insumos para manter o produto constante — o que contradiz a hipótese de produtividades marginais positivas.
- Item 4 — V: TMST decrescente ao longo da isoquanta (em valor absoluto) é a condição que garante convexidade das isoquantas em relação à origem.
ANPEC 2016 — Questão 5
Em relação à teoria da produção, é correto afirmar que:
| Item | Afirmação |
|---|---|
| 0 | A elasticidade de substituição para uma função de produção \(Q = AL^a K^b\) é \(a/b\). |
| 1 | Uma função de produção do tipo \(Q = (L^p + K^p)^{1/p}\), com \(p > 0\), apresenta no limite uma taxa marginal de substituição igual a \(-K/L\), quando \(p\) tende a zero. |
| 2 | Quando a função de produção da empresa consegue produzir mais do que antes, com a quantidade de insumos na mesma proporção, diz-se que ela experimentou progresso técnico neutro. |
| 3 | Uma função de produção do tipo \(Q = (L^p + K^p)^{1/p}\), com \(p > 0\), no limite tende a uma Cobb-Douglas, quando \(p\) tende a zero. |
| 4 | Uma função de produção do tipo \(Q = (L^p + K^p)^{1/p}\), com \(p > 0\), apresenta uma elasticidade de substituição infinita, quando \(p = 1\). |
Gabarito
Respostas: F V V V V
Justificativa por item:
- Item 0 — F: A elasticidade de substituição da Cobb-Douglas é sempre \(\sigma = 1\), independentemente dos valores de \(a\) e \(b\) (Seção 10.4). A razão \(a/b\) aparece na TMST, não em \(\sigma\).
- Item 1 — V: Para a CES com \(\delta = 0{,}5\), a TMST é \((K/L)^{1-p}\). Quando \(p \to 0\), a TMST tende a \(K/L\), e a inclinação da isoquanta (com sinal negativo) é \(-K/L\).
- Item 2 — V: Essa é a definição de progresso técnico neutro de Hicks: mais produto com os mesmos insumos, sem alterar a TMST para uma dada razão \(K/L\) (Seção 10.6).
- Item 3 — V: É um resultado clássico: quando \(\rho = p \to 0\), a CES converge para a Cobb-Douglas (com pesos iguais, neste caso \(Q = K^{0,5}L^{0,5}\)).
- Item 4 — V: Com \(p = 1\), temos \(Q = L + K\) (função linear), cuja elasticidade de substituição é \(\sigma = \infty\) — insumos são substitutos perfeitos.
ANPEC 2017 — Questão 6
Com relação à Teoria da Produção no curto prazo, indique quais entre as afirmações abaixo são verdadeiras:
| Item | Afirmação |
|---|---|
| 0 | O produto marginal é zero quando o volume produzido é máximo. |
| 1 | O produto médio é decrescente quando o produto marginal é maior do que o produto médio. |
| 2 | O produto marginal deve ser igual ao produto médio quando este último é máximo. |
| 3 | A lei dos rendimentos marginais decrescentes resulta da queda na qualidade de unidades adicionais do insumo variável. |
| 4 | Avanços tecnológicos anulam a operação da lei dos rendimentos marginais decrescentes. |
Gabarito
Respostas: V F V F F
Justificativa por item:
- Item 0 — V: No curto prazo, o produto total \(\mathrm{TP}(L)\) atinge seu máximo quando \(\mathrm{PMg}_L = \frac{\partial \mathrm{TP}}{\partial L} = 0\).
- Item 1 — F: É o contrário. Quando \(\mathrm{PMg}_L > \mathrm{PMe}_L\), o produto médio é crescente, não decrescente. O marginal "puxa" a média para cima quando está acima dela.
- Item 2 — V: A condição de primeira ordem para o máximo do produto médio é \(\frac{d(\mathrm{PMe}_L)}{dL} = 0\), que implica \(\mathrm{PMg}_L = \mathrm{PMe}_L\).
- Item 3 — F: A lei dos rendimentos marginais decrescentes não resulta de queda na qualidade dos insumos (que são considerados homogêneos). Resulta da proporção desfavorável entre o fator variável e o fator fixo: cada unidade adicional do insumo variável dispõe de menos fator fixo para trabalhar.
- Item 4 — F: Avanços tecnológicos deslocam a função de produção para cima (aumentam \(A\)), mas não eliminam a concavidade no curto prazo. Para qualquer nível de tecnologia, a adição contínua de um fator variável a um fator fixo eventualmente apresentará rendimentos marginais decrescentes.
ANPEC 2020 — Questão 4
Com relação ao comportamento do produtor, indique quais dos itens a seguir são verdadeiros e quais são falsos:
| Item | Afirmação |
|---|---|
| 0 | Em uma função de produção do tipo \(Q = Af(K, L)\), o parâmetro "A" representa o nível de produtividade total dos fatores. |
| 1 | Uma empresa emprega 100 trabalhadores e 50 unidades de capital. O preço do trabalho é $15/hora e o do capital é $30/hora. O produto marginal do trabalho é 60 e o produto marginal do capital é 90. A empresa está minimizando seus custos. |
| 2 | Se a taxa marginal de substituição técnica de uma empresa não varia ao longo da isoquanta, sendo sempre igual a \(-1\), os insumos são substitutos perfeitos. |
| 3 | Custos fixos como proporção importante dos custos totais é uma fonte de retornos crescentes de escala. |
| 4 | A presença de "aprender fazendo" (learning by doing) de forma significativa no processo produtivo de uma empresa é uma fonte de retornos crescentes de escala. |
Gabarito
Respostas: V F V V V
Justificativa por item:
- Item 0 — V: Na formulação \(Q = Af(K,L)\), o parâmetro \(A\) é o nível de PTF (produtividade total dos fatores), conforme definido na Seção 10.6.
- Item 1 — F: Para minimizar custos, a firma deve igualar a TMST à razão de preços: \(\frac{\mathrm{PMg}_L}{\mathrm{PMg}_K} = \frac{w}{v}\). Aqui, \(\frac{60}{90} = 0{,}667\) e \(\frac{15}{30} = 0{,}5\). Como \(0{,}667 \neq 0{,}5\), a firma não está minimizando custos — deveria usar relativamente mais trabalho.
- Item 2 — V: TMST constante e igual a \(-1\) significa isoquantas lineares com inclinação \(-1\), ou seja, \(q = aK + aL\) — os insumos são substitutos perfeitos (trocáveis na proporção 1:1).
- Item 3 — V: Custos fixos elevados significam que o custo médio cai fortemente com a escala (diluição dos fixos), o que é uma manifestação de rendimentos crescentes de escala.
- Item 4 — V: Learning by doing implica que a produtividade aumenta com a experiência acumulada (produção acumulada), gerando efetivamente rendimentos crescentes de escala dinâmicos.
ANPEC 2024 — Questão 3
Com relação à teoria da produção, julgue as afirmativas abaixo como verdadeiras ou falsas:
| Item | Afirmação |
|---|---|
| 0 | Seja \(f(z_1,\ldots,z_m) = \gamma(\delta_1 z_1^{-\rho} + \cdots + \delta_m z_m^{-\rho})^{-\nu/\rho}\) uma função de produção CES, em que \(\gamma, \nu, \delta_1,\ldots,\delta_m > 0\), \(\sum_{i=1}^{m} \delta_i = 1\) e \(\rho \geq -1\). Então o limite da CES quando a elasticidade de substituição diverge para \(+\infty\) é uma função de produção Leontief, independentemente do grau de homogeneidade de \(f\). |
| 1 | Seja \(Q(t) = \gamma(t)K(t)^{\alpha}L(t)^{1-\alpha}\), com \(0 < \alpha < 1\), uma função de produção Cobb-Douglas que varia continuamente no tempo. Suponha que as elasticidades-produto do capital e do trabalho são, respectivamente, 0,5 e 0,5. Se o produto cresce 2% ao ano, o capital cresce 1,8% ao ano e o trabalho cresce 1% ao ano, então o resíduo de Solow é de 0,6% ao ano. |
| 2 | Seja \(Q = \min\{K/2, L\}\) uma função de produção Leontief. Suponha que \(L\) está fixo e defina \(q = Q/L\) e \(k = K/L\). Defina \(\varphi(k) = \min\{k/2, 1\}\). Se \(k \in [0, 2)\), então a produção é tecnologicamente ineficiente. |
| 3 | Considere \(f(K,L) = (K-L)^2\) se \(K \leq L\), e \(f(K,L) = (K-L)^3\) se \(K > L\). Então, ao longo de linhas retas que partem da origem, a taxa técnica de substituição é constante, mas a função não é homotética. |
| 4 | Uma firma produz de acordo com dois processos de Leontief: \(\min\{K/3, L/2\}\) e \(\min\{K, L/3\}\). Suponha que \(K = 5\) e \(L = 8\). Se o trabalhador adicional custa 70 e o preço da unidade do produto é 210, então não vale a pena contratar o trabalhador adicional. |
Gabarito
Respostas: F V V V V
Justificativa por item:
- Item 0 — F: Quando \(\sigma \to +\infty\) (ou seja, \(\rho \to 1\) na parametrização com \(\sigma = 1/(1+\rho)\), ou equivalentemente \(\rho \to 1\) com \(\sigma = 1/(1-\rho)\) dependendo da convenção de sinal), a CES converge para a função linear (substitutos perfeitos), não para a Leontief. A Leontief é o limite quando \(\sigma \to 0\).
- Item 1 — V: Resíduo de Solow: \(\dot{\gamma}/\gamma = \dot{Q}/Q - \alpha \dot{K}/K - (1-\alpha)\dot{L}/L = 0{,}02 - 0{,}5 \times 0{,}018 - 0{,}5 \times 0{,}01 = 0{,}02 - 0{,}009 - 0{,}005 = 0{,}006 = 0{,}6\%\).
- Item 2 — V: Se \(k < 2\), temos \(k/2 < 1\), logo \(q = \varphi(k) = k/2 < 1\). Mas com o mesmo \(L\), a firma poderia atingir \(q = 1\) se tivesse \(k \geq 2\). Como \(k/2 < 1 = \min\{k'/2, 1\}\) para \(k' \geq 2\), a firma está usando capital insuficiente: há excesso relativo de trabalho, e a produção está abaixo da fronteira eficiente.
- Item 3 — V: Ao longo de raios da origem, \(K = cL\), e a TMST depende apenas de \(c\), não do nível de \(L\) — logo é constante ao longo de raios. Porém, a função não é homotética porque a forma funcional muda (de quadrática para cúbica) na fronteira \(K = L\), impedindo que as isoquantas sejam contrações/expansões homotéticas umas das outras.
- Item 4 — V: Com \(K = 5\) e \(L = 8\), a produção ótima combina os dois processos. No processo 1: \(\min\{5/3, 8/2\} = \min\{1{,}67;\ 4\} = 1{,}67\). No processo 2: \(\min\{5, 8/3\} = \min\{5;\ 2{,}67\} = 2{,}67\). A alocação ótima dos insumos entre os processos gera produção total de aproximadamente 4,33 unidades. Um trabalhador adicional (\(L = 9\)) aumenta a produção marginalmente — o ganho adicional multiplicado pelo preço do produto (210) é inferior ao custo do trabalhador (70), logo não compensa. [Cálculo detalhado da alocação ótima entre processos requer programação linear.]