18.8–18.9 Demanda e Juros Compostos¶
18.8 Mais Um Caminhão ou Deixa no Banco: Demanda por Capital¶
O VPL e a TIR avaliam projetos de investimento a partir dos fluxos de caixa. Mas qual a regra que a firma segue para decidir quanto capital empregar? A resposta conecta a teoria da produção — já estudada nos Capítulos 9–12 — à teoria dos juros: a firma investe em capital até que o retorno marginal do investimento iguale seu custo de oportunidade, determinado pela taxa de juros e pela depreciação.
A firma demanda capital até que o valor do produto marginal do capital iguale o custo de uso do capital:
O custo de uso do capital (user cost of capital, ou custo de Jorgenson) é:
onde \(p_K\) é o preço do bem de capital, \(r\) é a taxa de juros real e \(\delta\) é a taxa de depreciação.
Custo de uso do capital
O custo de uso do capital \(c_K = p_K(r + \delta)\) representa o custo por período de utilizar uma unidade de capital. Ele inclui dois componentes: o custo de oportunidade do capital (\(p_K \cdot r\), o retorno que se obteria aplicando o valor do capital no mercado financeiro) e o custo de depreciação (\(p_K \cdot \delta\), a perda de valor do capital por desgaste ou obsolescência).
As equações \(\eqref{eq:18.10}\) e \(\eqref{eq:18.11}\) mostram que a demanda por capital é decrescente na taxa de juros: quando \(r\) sobe, \(c_K\) aumenta e a firma reduz seu estoque de capital desejado. A elasticidade da demanda por capital em relação à taxa de juros depende da curvatura da função de produção — com rendimentos rapidamente decrescentes do capital (função muito côncava), a resposta é pequena; com rendimentos lentamente decrescentes, a resposta é grande.
No caso Cobb-Douglas \(Y = A K^\alpha L^{1-\alpha}\), o produto marginal do capital é \(PMg_K = \alpha A K^{\alpha-1} L^{1-\alpha}\), e a condição \(\eqref{eq:18.10}\) implica:
A demanda por capital é decrescente no custo de uso \(c_K\) (e, portanto, na taxa de juros \(r\)) e crescente na produtividade total dos fatores \(A\), no preço do produto \(p\) e na quantidade de trabalho \(L\).
Intuição Econômica
Em uma frase: A firma compra capital até que o último real investido em máquinas renda exatamente o que renderia se aplicado no mercado financeiro.
Pense assim: Um transportador autônomo em Goiás avalia comprar um caminhão novo por R$ 400 mil. O caminhão gera frete de R$ 10 mil por mês, mas deprecia 15% ao ano e o financiamento cobra 12% de juros. O custo de uso mensal é \(c_K = 400.000 \times (0{,}12 + 0{,}15)/12 = R\$ 9.000\). Como o frete (R$ 10.000) supera o custo de uso (R$ 9.000), vale a pena. Mas se os juros subirem para 18%, o custo de uso pula para R$ 11.000, e o caminhão passa a dar prejuízo econômico.
Por que isso importa: No Brasil, a combinação de juros reais altos e depreciação acelerada (especialmente para equipamentos importados sujeitos a variação cambial) eleva substancialmente o custo de uso do capital, desincentivando a formação de capital fixo.
18.9 A Oitava Maravilha do Mundo: Juros Compostos e Tempo Contínuo¶
Albert Einstein provavelmente nunca disse que os juros compostos são "a oitava maravilha do mundo" — mas quem inventou a citação tinha razão. A mágica de juros sobre juros transforma centavos em fortunas (dado tempo suficiente) e dívidas pequenas em bolas de neve (dado descuido suficiente). Nesta seção, apresentamos as ferramentas matemáticas de capitalização e desconto que fundamentam todos os cálculos de valor presente e futuro do capítulo. Embora frequentemente abordados em cursos de matemática financeira, esses conceitos são indispensáveis para a análise econômica intertemporal — desde a avaliação de projetos de investimento até a modelagem de crescimento econômico.
Juros compostos discretos¶
Com capitalização \(m\) vezes ao ano, um capital \(K_0\) investido à taxa nominal anual \(i\) rende, após \(n\) anos:
A frequência de capitalização importa: a mesma taxa nominal de 12% ao ano rende mais se capitalizada mensalmente (\(m = 12\)) do que anualmente (\(m = 1\)), porque os juros dos primeiros meses geram juros nos meses seguintes — juros sobre juros, a essência da capitalização composta.
Capitalização contínua¶
Quando \(m \to \infty\), obtemos a capitalização contínua:
onde \(e \approx 2{,}71828\) é a base do logaritmo natural. A taxa instantânea de crescimento é \(i\). A capitalização contínua é uma idealização matemática conveniente que simplifica consideravelmente as fórmulas de otimização e crescimento econômico.
Valor presente em tempo contínuo¶
O valor presente de um fluxo \(F(t)\) recebido no instante \(t\), descontado à taxa contínua \(r\), é:
Para um fluxo contínuo \(f(t)\) ao longo do tempo:
Relação entre taxas discreta e contínua¶
Se a taxa discreta (anual) é \(r_d\) e a taxa contínua é \(r_c\), então:
Para valores pequenos de \(r_d\), a aproximação \(r_c \approx r_d\) é razoável (por exemplo, para \(r_d = 5\%\), \(r_c = \ln(1{,}05) = 4{,}88\%\)). A diferença cresce para taxas altas — mais um motivo pelo qual a distinção é relevante no contexto brasileiro.
Perpetuidades e anuidades
- Perpetuidade (fluxo constante \(F\) para sempre): \(VP = F/r\)
- Anuidade (fluxo constante \(F\) por \(n\) períodos): \(VP = F \cdot \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r}\)
- Perpetuidade crescente (fluxo crescendo a taxa \(g < r\)): \(VP = F/(r - g)\)
A fórmula da perpetuidade é surpreendentemente útil em finanças. Ela implica que, se a taxa de juros é 5%, um ativo que paga R$ 100 por ano para sempre vale R$ 2.000 hoje. Se a taxa cai para 2%, o mesmo ativo vale R$ 5.000 — um aumento de 150% no valor do ativo. Essa sensibilidade explica por que quedas na taxa de juros provocam altas expressivas nos preços dos ativos financeiros e imobiliários.