12.5–12.6 Função Lucro, Lema de Hotelling e Demanda por Insumos¶

12.5 O Truque de Mágica do Lucro: Função Lucro e Lema de Hotelling¶

No Capítulo 11, o Lema de Shephard fez um truque de mágica: extraiu as demandas por insumos apenas derivando a função custo. Será que existe um truque análogo do lado do lucro? A resposta é um sonoro sim — e o mágico se chama Lema de Hotelling (1932). A ideia é quase boa demais para ser verdade: a função lucro, sozinha, carrega toda a informação necessária para reconstruir as funções de oferta do produto e de demanda por insumos. Basta derivar. Hotelling (1932) foi o primeiro a reconhecer que a simetria entre o problema do consumidor e o da firma se estende além da dualidade custo-produção: a função lucro é o análogo da função dispêndio no lado da demanda, e suas derivadas têm a mesma estrutura interpretativa. Para chegar a esse resultado, precisamos primeiro definir e caracterizar a função lucro.

É instrutivo comparar os dois lemas: o Lema de Shephard diz que a derivada da função custo mínimo em relação ao preço de um insumo, mantendo o produto fixo, é a demanda condicionada por esse insumo. O Lema de Hotelling diz que a derivada da função lucro máximo em relação ao preço do produto é a oferta ótima, e a derivada em relação ao preço de um insumo (com sinal negativo) é a demanda incondicional por esse insumo. A diferença entre as demandas condicionada e incondicional é exatamente o tema da Seção 12.6.

A função lucro¶

Função Lucro

A função lucro $\pi^*(p, w, v)$ é o lucro máximo que a firma pode obter dados o preço do produto $p$ e os preços dos insumos $w$ e $v$. Ela é o resultado de um problema de otimização em dois estágios: primeiro, para cada nível de produto $q$, a firma minimiza custos (obtendo $C(w,v,q)$ — o resultado do Capítulo 11); depois, maximiza o lucro sobre $q$:

\[ \pi^*(p, w, v) = \max_{q \geq 0} \{p \cdot q - C(w, v, q)\} \label{eq:12.10} \tag{12.10} \]

ou, equivalentemente, maximizando diretamente sobre insumos:

\[ \pi^*(p, w, v) = \max_{K, L \geq 0} \{p \cdot f(K, L) - wL - vK\} \]

A função $\pi^*$ mapeia o espaço de preços $(p, w, v) \in \mathbb{R}_{++}^3$ no lucro máximo alcançável. Ela é a função valor do problema de maximização de lucro — análoga à função utilidade indireta $V(p, m)$ no problema do consumidor e à função custo mínimo $C(w, q)$ no problema de minimização de custos. Notação alternativa: Quando o contexto é claro, escreve-se $\pi(p)$ se $w$ e $v$ estão fixos, ou $\pi(\mathbf{p})$ com $\mathbf{p} = (p, w, v)$ o vetor completo de preços.

A função lucro possui propriedades notáveis:

Não decrescente em $p$: um aumento no preço do produto nunca reduz o lucro máximo.
Não crescente em $w$ e $v$: um aumento no preço de qualquer insumo nunca aumenta o lucro máximo.
Homogênea de grau 1 em $(p, w, v)$: se todos os preços (do produto e dos insumos) são multiplicados por $t > 0$, o lucro máximo também é multiplicado por $t$.
Convexa em $(p, w, v)$: a firma pode ajustar suas decisões em resposta a mudanças de preços, de modo que o lucro responde mais que proporcionalmente (é "mais sensível") a grandes mudanças de preços.

Lema de Hotelling¶

Demonstração: Lema de Hotelling

Enunciado. Se $\pi(p, w, v)$ é diferenciável, então:

\[ \frac{\partial \pi(p, w, v)}{\partial p} = q^*(p, w, v) \quad \text{(função de oferta)} \label{eq:12.11} \tag{12.11} \]

\[ \frac{\partial \pi(p, w, v)}{\partial w} = -L^*(p, w, v) \quad \text{(negativo da demanda por trabalho)} \label{eq:12.12} \tag{12.12} \]

\[ \frac{\partial \pi(p, w, v)}{\partial v} = -K^*(p, w, v) \quad \text{(negativo da demanda por capital)} \]

Demonstração. Considere o problema de maximização de lucro com escolha de insumos:

\[ \pi(p, w, v) = \max_{K, L} \{p \cdot f(K, L) - wL - vK\} \]

Seja $(K^*, L^*)$ a solução ótima. Defina a função objetivo como:

\[ g(K, L; p, w, v) = p \cdot f(K, L) - wL - vK \]

Pelo teorema da envoltória, a derivada da função valor em relação a um parâmetro é igual à derivada parcial da função objetivo avaliada no ótimo:

\[ \frac{\partial \pi}{\partial p} = \frac{\partial g}{\partial p}\bigg|_{(K^*, L^*)} = f(K^*, L^*) = q^* \]

\[ \frac{\partial \pi}{\partial w} = \frac{\partial g}{\partial w}\bigg|_{(K^*, L^*)} = -L^* \]

\[ \frac{\partial \pi}{\partial v} = \frac{\partial g}{\partial v}\bigg|_{(K^*, L^*)} = -K^* \]

Verificação com Cobb-Douglas. Para que a maximização de lucro tenha solução interior finita, a função de produção deve exibir retornos decrescentes de escala. Considere $q = K^{1/3}L^{1/3}$ ($\alpha + \beta = 2/3 < 1$), com preços $(p, w, v)$. As CPOs são:

\[ \text{CPO}_L:\; \frac{p}{3}\,K^{1/3}L^{-2/3} = w, \qquad \text{CPO}_K:\; \frac{p}{3}\,K^{-2/3}L^{1/3} = v \]

Dividindo $\text{CPO}_K$ por $\text{CPO}_L$: $L/K = v/w$, logo $L = (v/w)\,K$. Substituindo em $\text{CPO}_K$:

\[ \frac{p}{3}\,K^{-2/3}\left(\frac{v}{w}\,K\right)^{1/3} = v \implies \frac{p}{3}\left(\frac{v}{w}\right)^{1/3} = v \cdot K^{1/3} \]

\[ K^{1/3} = \frac{p}{3\,v}\left(\frac{v}{w}\right)^{1/3} \implies K^* = \frac{p^3}{27\,v^3}\cdot\frac{v}{w} = \frac{p^3}{27\,v^2\,w} \]

De forma análoga, $L^* = \frac{p^3}{27\,w^2\,v}$. A produção ótima é:

\[ q^* = (K^*)^{1/3}(L^*)^{1/3} = \left(\frac{p^3}{27\,v^2 w}\right)^{1/3}\left(\frac{p^3}{27\,w^2 v}\right)^{1/3} = \frac{p^2}{9\,wv} \]

O lucro máximo é $\pi^* = p\,q^* - w\,L^* - v\,K^* = \frac{p^3}{9wv} - \frac{p^3}{27wv} - \frac{p^3}{27wv} = \frac{p^3}{27wv}$. Verificando o Lema:

\[ \frac{\partial \pi}{\partial p} = \frac{3p^2}{27wv} = \frac{p^2}{9wv} = q^* \;\checkmark \qquad \frac{\partial \pi}{\partial w} = -\frac{p^3}{27w^2 v} = -L^* \;\checkmark \]

$\blacksquare$

Por que retornos constantes não funcionam

Com retornos constantes de escala ($\alpha + \beta = 1$), a função lucro é: zero se $p = c(w,v)$; $-\infty$ se $p < c(w,v)$ (firma não produz); e $+\infty$ se $p > c(w,v)$ (firma quer produzir infinitamente). O problema de maximização não tem solução interior finita, e o Lema de Hotelling não se aplica. Por isso, a verificação numérica requer retornos decrescentes.

Nota: A condição $p^2 = 4wv$ é específica do caso simétrico $\alpha = \beta = 1/2$. Para o caso geral $\alpha + \beta = 1$, a condição de lucro zero é $p = \kappa \cdot w^{\beta} \cdot v^{\alpha}$, onde $\kappa = \alpha^{-\alpha}\beta^{-\beta}$ depende dos expoentes da função de produção.

Significado econômico do Lema de Hotelling

O Lema de Hotelling estabelece uma dualidade elegante: a partir da função lucro — que sintetiza toda a informação sobre tecnologia e preços — podemos recuperar tanto a função de oferta do produto quanto as demandas por insumos. Juntamente com o Lema de Shephard (Capítulo 11), forma o arcabouço dual da teoria da firma. A convexidade da função lucro implica que a oferta é não decrescente no preço do produto (lei da oferta) e que as demandas por insumos são não crescentes nos respectivos preços.

Intuição Econômica

Em uma frase: Conhecendo apenas o lucro máximo da firma em função dos preços, conseguimos deduzir quanto ela produz e quanto usa de cada insumo.

Pense assim: É como se você olhasse apenas o extrato bancário de um feirante — quanto ele lucra a cada combinação de preço da banana e custo do transporte — e, só com essa informação, conseguisse descobrir quantas bananas ele vende e quantas viagens de caminhão ele faz. O Lema de Hotelling diz que a função lucro já carrega toda essa informação, bastando derivá-la.

Por que isso importa: Essa propriedade é usada pelo IPEA em modelos de equilíbrio geral computável para calibrar funções de oferta setorial da economia brasileira a partir de dados de lucro.

Intuição Econômica

O Lema de Hotelling: a função lucro já contém toda a informação sobre a oferta

O resultado mais surpreendente da teoria dual da firma é que não precisamos resolver o problema de otimização de produção para saber quanto a firma produz — basta olhar para a função lucro e derivá-la. Isso ocorre porque a função lucro $\pi^*(p, w, v)$ foi construída maximizando sobre $q$ (e $K, L$): cada variação marginal em $p$ desloca o lucro exatamente pelo valor da quantidade ótima (pelo teorema da envoltória). Em linguagem mais simples: o quanto a firma ganha com um centavo a mais no preço do produto é exatamente quanto ela estava produzindo.

Analogia com o consumidor: O Lema de Hotelling é o espelho do Lema de Roy no lado do consumidor ($x_i = -\partial V/\partial p_i / \partial V/\partial m$): assim como a função de utilidade indireta contém toda a informação sobre as escolhas de consumo, a função lucro contém toda a informação sobre as escolhas de produção. A dualidade entre as teorias do consumidor e da firma é, em grande medida, uma consequência desse paralelismo matemático.

Implicação para estimação empírica: Pesquisadores como De Loecker e Warzynski (2012) exploram relações derivadas do Lema de Hotelling para estimar markups diretamente de dados de produção, sem precisar de informação sobre preços de insumos — um avanço metodológico importante para medir poder de mercado em economias com dados limitados.

Exercício Resolvido 12.3 — Verificação do Lema de Hotelling

Enunciado: Uma firma com função de produção $q = K^{1/3}L^{1/3}$ enfrenta preços $p = 12$, $w = 1$ e $v = 1$. Encontre as demandas ótimas por insumos, a produção e o lucro máximo. Verifique o Lema de Hotelling.

Dados: $q = K^{1/3}L^{1/3}$; $p = 12$, $w = 1$, $v = 1$.

Resolução:

Passo 1 — Condições de primeira ordem [ \text{CPO}_L:\; \frac{p}{3}\,K^{1/3}L^{-2/3} = w \implies 4\,K^{1/3}L^{-2/3} = 1 ] [ \text{CPO}_K:\; \frac{p}{3}\,K^{-2/3}L^{1/3} = v \implies 4\,K^{-2/3}L^{1/3} = 1 ]

Passo 2 — Razão ótima de insumos

Dividindo $\text{CPO}_K$ por $\text{CPO}_L$: $L/K = v/w = 1$, logo $L = K$.

Substituindo em $\text{CPO}_K$: $4\,K^{-2/3}\,K^{1/3} = 1 \implies 4\,K^{-1/3} = 1 \implies K^{1/3} = 4 \implies K^* = 64$.

Portanto: $K^* = L^* = 64$ e $q^* = 64^{1/3}\cdot 64^{1/3} = 4 \times 4 = 16$.

Passo 3 — Lucro máximo [ \pi^* = 12 \times 16 - 1 \times 64 - 1 \times 64 = 192 - 128 = 64 ]

Passo 4 — Função lucro geral

Para preços genéricos $(p, w, v)$, as soluções são $K^* = \frac{p^3}{27\,v^2\,w}$ e $L^* = \frac{p^3}{27\,w^2\,v}$, com $q^* = \frac{p^2}{9\,wv}$ e:

\[ \pi(p, w, v) = \frac{p^3}{27\,wv} \]

Passo 5 — Verificação do Lema de Hotelling [ \frac{\partial \pi}{\partial p} = \frac{3p^2}{27wv} = \frac{p^2}{9wv} = q^ \;\checkmark ] [ \frac{\partial \pi}{\partial w} = -\frac{p^3}{27w^2v} = -L^ \;\checkmark \qquad \frac{\partial \pi}{\partial v} = -\frac{p^3}{27wv^2} = -K^* \;\checkmark ]

Resultado: $K^* = L^* = 64$, $q^* = 16$, $\pi^* = 64$. O Lema de Hotelling é verificado: as derivadas da função lucro recuperam a oferta e as demandas por insumos.

Interpretação econômica: A função lucro $\pi = p^3/(27wv)$ é homogênea de grau 1 em $(p, w, v)$ — se todos os preços dobram, o lucro dobra. Ela é convexa em $p$ (pois $\partial^2\pi/\partial p^2 = 2p/(9wv) > 0$), confirmando que a oferta é crescente no preço do produto. No contexto brasileiro, o Lema de Hotelling é usado em modelos de equilíbrio geral computável (como os do IPEA) para calibrar funções de oferta setorial a partir de dados de lucro.

WebR 12.4 — Lema de Hotelling: verificação numérica. O código calcula a função lucro para $q = K^{1/3}L^{1/3}$, verifica numericamente que $\partial\pi/\partial p = q^*$ e $\partial\pi/\partial w = -L^*$, e ilustra a convexidade de $\pi$ em $p$. A tangente no gráfico tem inclinação igual à oferta ótima — exatamente o lema em ação.

12.6 Dois Remadores Sincronizados: Demanda por Insumos¶

O Lema de Hotelling abriu um atalho elegante: derivar a função lucro e voilà, as demandas por insumos aparecem. Mas de onde vêm suas propriedades? Nesta seção, abrimos o capô dessas demandas e encontramos uma decomposição familiar — efeito substituição e efeito produto —, prima-irmã da decomposição de Slutsky do Capítulo 5. A diferença? Aqui não há espaço para "insumos de Giffen" — os dois efeitos sempre puxam na mesma direção, como dois remadores sincronizados.¹ Este resultado tem implicações diretas para a análise empírica da demanda por trabalho no Brasil: um aumento do salário mínimo, por exemplo, afeta a demanda por trabalho tanto pelo efeito substituição (trabalho fica relativamente mais caro que capital) quanto pelo efeito produto (custos maiores reduzem a produção ótima e, portanto, o emprego). Ambos os efeitos apontam na mesma direção, o que explica por que não há análogo de "insumo de Giffen" na teoria da firma.

Demanda incondicional por insumos¶

A demanda incondicional (ou marshalliana) por insumos é obtida diretamente das condições de primeira ordem da maximização de lucro:

\[ L^*(p, w, v): \quad p \cdot f_L(K^*, L^*) = w \]

\[ K^*(p, w, v): \quad p \cdot f_K(K^*, L^*) = v \]

Estas demandas diferem das demandas condicionadas (Capítulo 11) porque não fixam o nível de produto — ele é determinado endogenamente pela maximização de lucro. A distinção é sutil, mas importante: as demandas condicionadas respondem à pergunta "dado que quero produzir $q$ unidades, quanto de cada insumo devo usar?", enquanto as demandas incondicionais respondem a "quanto de cada insumo devo usar para maximizar meu lucro?". As primeiras dependem de $(w, v, q)$; as segundas, de $(p, w, v)$. Em termos práticos, a demanda incondicional é o objeto relevante para analisar o mercado de trabalho e de capital: uma empresa não observa apenas o seu custo ótimo para um produto fixo, mas ajusta simultaneamente a quantidade produzida e os insumos utilizados em resposta às mudanças de preços.

Propriedades da demanda por insumos¶

A partir da convexidade da função lucro e do Lema de Hotelling, obtemos:

\[ \frac{\partial L^*}{\partial w} = -\frac{\partial^2 \pi}{\partial w^2} \leq 0 \]

A demanda por um insumo é não crescente em seu próprio preço — a "lei da demanda" para fatores de produção. Isso decorre da convexidade da função lucro (que implica que $\partial^2 \pi / \partial w^2 \geq 0$).

Relação entre demanda condicionada e incondicional¶

A demanda incondicional por trabalho pode ser decomposta:

\[ \frac{\partial L^*}{\partial w} = \underbrace{\frac{\partial L^c}{\partial w}\bigg|_{q=q^*}}_{\text{efeito substituição}} + \underbrace{\frac{\partial L^c}{\partial q} \cdot \frac{\partial q^*}{\partial w}}_{\text{efeito produto}} \label{eq:12.13} \tag{12.13} \]

Na equação $\eqref{eq:12.13}$, o efeito substituição ($\leq 0$) reflete a substituição do trabalho por capital ao longo da isoquanta quando $w$ sobe. O efeito produto também é negativo: $w$ maior eleva o CMg, o que reduz $q^*$, o que reduz a demanda por trabalho. Ambos os efeitos operam na mesma direção — diferentemente do caso do consumidor, onde efeito substituição e efeito renda podem ter sinais opostos (bem de Giffen).

A magnitude relativa desses dois efeitos é empiricamente relevante. Em indústrias com alta substituibilidade capital-trabalho (ex.: automação industrial), o efeito substituição pode ser dominante: um aumento de salário leva à mecanização (substituição de trabalhadores por máquinas) mesmo que a produção se mantenha. Em indústrias com tecnologia de proporções fixas (ex.: serviços de saúde de alto contato humano), o efeito produto pode predominar: salários mais altos reduzem a escala de operação sem mudar a composição de insumos. Pesquisas sobre o mercado de trabalho brasileiro — como as de Ulyssea (2018) citada na seção de pesquisa — documentam esses efeitos em contextos de informalidade e mudanças regulatórias, onde o custo efetivo do trabalho formal inclui encargos sociais que amplificam o efeito substituição.

Proposição: Inexistência de 'insumo de Giffen'

Na teoria da firma maximizadora de lucro, a demanda por um insumo é sempre não crescente em seu próprio preço. Não existe o análogo de um "bem de Giffen" para insumos, pois tanto o efeito substituição quanto o efeito produto reduzem a demanda quando o preço do insumo aumenta.

WebR 12.5 — Efeito substituição vs. efeito produto na demanda por trabalho. O código decompõe a variação na demanda por trabalho quando $w$ sobe: o efeito substituição (ao longo da isoquanta) e o efeito produto (redução de $q^*$) vão na mesma direção — confirmando que não existe "insumo de Giffen". Altere dw para ver como a magnitude do choque afeta cada componente.

Box Brasil — JBS: quando fazer internamente é melhor que comprar no mercado

A JBS S.A. é a maior processadora de proteína animal do mundo, com receita líquida trimestral recorde de R$ 110,5 bilhões no 3º trimestre de 2024 e presença em mais de 20 países. Sua trajetória ilustra de forma notável a teoria dos custos de transação de Coase e Williamson (Seção 12.1).

A lógica da integração vertical

A JBS não se limita ao abate: opera em toda a cadeia — da criação de animais (confinamento próprio) ao processamento, embalagem, logística refrigerada e distribuição com marcas próprias (Friboi, Seara, Swift). Na linguagem de Williamson, isso se explica por três fatores:

Atributo da transação	Manifestação na cadeia de carne	Governança escolhida
Especificidade de ativos	Plantas frigoríficas, câmaras frias, caminhões refrigerados — ativos com baixo valor fora da cadeia	Integração vertical
Frequência	Abate diário de milhares de cabeças; transações contínuas	Hierarquia interna
Incerteza	Volatilidade de preços do boi gordo; exigências sanitárias mutáveis; riscos de embargo internacional	Controle direto

Se a JBS dependesse exclusivamente do mercado para cada etapa — comprando serviços de transporte refrigerado, terceirizando o abate, contratando distribuidores independentes —, os custos de transação (negociação de contratos, risco de hold-up, problemas de qualidade) seriam proibitivos. A integração vertical reduz esses custos ao internalizar transações com alta especificidade de ativos.

Terceirização pós-reforma trabalhista

Na direção oposta, a Reforma Trabalhista de 2017 (Lei 13.467/17) liberou a terceirização de atividade-fim no Brasil. Em termos coaseanos, a legislação reduziu os custos de transação de contratar no mercado (ao simplificar contratos e reduzir riscos jurídicos), deslocando a fronteira ótima da firma. Atividades com baixa especificidade de ativos — limpeza, segurança, TI — passaram a ser mais eficientemente contratadas no mercado, enquanto atividades com alta especificidade permanecem internalizadas.

Fonte: JBS, Relatório de Resultados 3T2024; InfoMoney; Câmara dos Deputados.

Box Brasil: Micro e pequenas empresas — a arte de sobreviver

As micro e pequenas empresas (MPEs) são o coração do tecido empresarial brasileiro. Segundo dados do SEBRAE e da Receita Federal:

As MPEs representam 99% dos estabelecimentos formais no Brasil.
Respondem por cerca de 55% dos empregos formais e 30% do PIB.
Aproximadamente 29% das MPEs fecham nos primeiros 5 anos de atividade (taxa de mortalidade apurada pelo SEBRAE para empresas constituídas em 2017).

Causas da mortalidade empresarial:

Fator	Frequência citada	Interpretação microeconômica
Falta de planejamento/gestão	~25%	Incapacidade de minimizar custos (ineficiência produtiva)
Dificuldade de acesso a crédito	~20%	Custo de capital elevado ($r$ alto), restrição de liquidez
Carga tributária excessiva	~18%	Deslocamento para cima das curvas de custo
Concorrência intensa	~15%	Preço de mercado abaixo do CMe mínimo da firma
Falta de demanda	~12%	Receita insuficiente para cobrir custos
Problemas pessoais/societários	~10%	Custos de transação internos (governança)

O Simples Nacional (LC 123/2006, reformulado pela LC 155/2016) é uma política pública que busca reduzir a carga tributária e a complexidade burocrática para MPEs, unificando tributos em uma guia única com alíquotas progressivas. Em termos microeconômicos, o Simples desloca para baixo as curvas de custo das MPEs, reduzindo o ponto de fechamento ($\mathrm{CVMe}_{\min}$) e permitindo que firmas menos eficientes sobrevivam.

Interpretação via teoria da firma. A alta mortalidade das MPEs pode ser entendida como o resultado de firmas que operam com $p < \mathrm{CMe}_{\min}$ no longo prazo. No curto prazo, muitas continuam operando enquanto $p > \mathrm{CVMe}_{\min}$ (cobrindo custos variáveis e parte dos fixos), mas quando os custos fixos (aluguéis, financiamentos) vencem, a firma é forçada a fechar. A decisão de Coase — fazer internamente ou comprar no mercado — também é relevante: muitas MPEs fracassam por tentarem internalizar atividades que seriam mais eficientes se terceirizadas, incorrendo em custos organizacionais que superam os custos de transação do mercado.

Dados mais recentes do Mapa de Empresas (Governo Federal) indicam que o Brasil registrou mais de 21 milhões de empresas ativas em 2024, com uma taxa de abertura de novas empresas que supera consistentemente a de fechamento — sugerindo um dinamismo empreendedor robusto, mas com alta rotatividade. O desafio de política pública é transformar sobrevivência em crescimento sustentável — e isso passa, em boa medida, por reduzir o custo Brasil analisado no capítulo anterior.

Começamos perguntando como a firma escolhe quanto produzir — uma questão quase ingênua, dissemos. Mas a resposta montou toda a anatomia do lucro: da condição RMg = CMg à decisão de shutdown, do Lema de Hotelling que extrai oferta e demandas de uma única derivada à decomposição que mostra por que não existem "insumos de Giffen". A firma nua — despida de poder de mercado, sozinha diante do preço — encontrou seu ótimo. Agora falta o palco.

A firma individual encontrou seu ótimo. Mas o mercado tem centenas delas — e um imposto pode mudar tudo. No próximo capítulo, equilibramos o mercado inteiro.

"Bring me a shrubbery!" — o cavaleiro que diz "Ni!" no Holy Grail dos Monty Python tem uma demanda perfeitamente inelástica por arbustos. Não importa o preço, não importa a dificuldade: ele quer um arbusto e ponto. Na teoria da firma, a demanda por insumos nunca é assim — ela sempre responde ao preço, porque tanto o efeito substituição quanto o efeito produto empurram na mesma direção. Os cavaleiros que dizem "Ni!" seriam péssimos empresários. ↩