7.1–7.2 Loterias e Utilidade Esperada¶

7.1 Cara ou Coroa com Dinheiro Real: Loterias e Valor Esperado¶

O primeiro passo é surpreendentemente simples: toda decisão sob incerteza é uma loteria. Comprar ações da Petrobras? Loteria (pode subir ou cair). Abrir uma padaria? Loteria (pode dar certo ou quebrar). Até atravessar a rua sem olhar é uma loteria — com probabilidades que você prefere não calcular. Essa metáfora não é apenas poética: é literal. O conceito matemático de loteria é geral o suficiente para representar qualquer situação cujo resultado depende do acaso.

Loteria simples

Uma loteria simples é uma distribuição de probabilidade sobre um conjunto finito de resultados. Formalmente, uma loteria $L$ é descrita por:

\[ L = \{(x_1, p_1), (x_2, p_2), \ldots, (x_n, p_n)\} \]

onde $x_i \in \mathbb{R}$ são os possíveis resultados (payoffs monetários) e $p_i \geq 0$ são as probabilidades associadas, com $\sum_{i=1}^{n} p_i = 1$.

O valor esperado de uma loteria é a média ponderada dos resultados pelas respectivas probabilidades:

\[ E[L] = \sum_{i=1}^{n} p_i \, x_i \label{eq:7.1} \tag{7.1} \]

Exemplo numérico

Considere a loteria $L = \{(100, 0{,}5); (0, 0{,}5)\}$. O valor esperado é:

\[ E[L] = 0{,}5 \times 100 + 0{,}5 \times 0 = 50 \]

Um agente que aceita ou rejeita essa loteria em troca de receber $R\$ 50$ com certeza revela sua atitude em relação ao risco.

Uma loteria composta é uma loteria cujos resultados são, eles mesmos, loterias. Sob o axioma de redução de loterias compostas, toda loteria composta pode ser reduzida a uma loteria simples equivalente pela aplicação da regra de probabilidade total. Essa propriedade é conveniente porque nos permite trabalhar apenas com loterias simples sem perda de generalidade.

O valor esperado é um critério natural de avaliação — ele nos diz, em média, quanto a loteria "vale". Mas será que ele é suficiente para guiar as decisões de agentes reais? Um exemplo clássico sugere que não.

Antes de apresentá-lo, vale reforçar a conexão com a Seção 2.12: o valor esperado de uma loteria é exatamente o valor esperado de uma variável aleatória discreta, e a variância da loteria mede a dispersão dos resultados em torno dessa média. Ambos esses momentos são ferramentas que reaparecerão ao longo do capítulo — o valor esperado como medida de tendência central do risco, a variância como indicador de sua magnitude. A novidade da microeconomia da incerteza é que o agente não avalia a loteria pelos seus momentos estatísticos em si, mas pela utilidade que extrai de cada resultado possível.

7.1.1 O Paradoxo de São Petersburgo¶

O valor esperado, por si só, não é suficiente para descrever o comportamento dos agentes diante do risco. O célebre Paradoxo de São Petersburgo, proposto por Nicolau Bernoulli em 1713, ilustra essa limitação. Considere um jogo em que uma moeda justa é lançada repetidamente até sair cara. Se a cara aparece no $n$-ésimo lançamento, o jogador recebe $2^n$ reais. O valor esperado desse jogo é:

\[ E[L] = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \cdot 2^n = \sum_{n=1}^{\infty} 1 = \infty \label{eq:7.2} \tag{7.2} \]

No entanto, nenhuma pessoa racional pagaria uma quantia arbitrariamente alta para participar desse jogo. O valor esperado infinito da equação $\eqref{eq:7.2}$ não se traduz em disposição a pagar infinita. Daniel Bernoulli (1738) propôs que os agentes avaliam os resultados não pelo seu valor monetário, mas pela utilidade que deles extraem — inaugurando a ideia de utilidade esperada. Essa intuição genial — a de que o que importa não é o dinheiro em si, mas a satisfação que ele proporciona — é o ponto de partida para a construção axiomática que veremos a seguir.

O paradoxo de São Petersburgo continua relevante dois séculos e meio depois de sua formulação. Ele demonstra que o valor esperado, apesar de ser matematicamente bem definido, captura apenas uma dimensão da incerteza: a tendência central. A variância, a assimetria e, sobretudo, a curvatura das preferências do agente — tudo isso é invisível para o critério do valor esperado puro. A solução de Bernoulli, aparentemente simples, abriu caminho para a teoria moderna da decisão: em vez de maximizar o valor esperado monetário, os agentes maximizam o valor esperado de sua utilidade — uma função que transforma dinheiro em satisfação de maneira não linear. Esse salto conceitual, de $E[L]$ para $E[u(L)]$, é toda a diferença entre o Capítulo 2 e o Capítulo 7.

É útil notar também que o paradoxo tem implicações práticas para os mercados financeiros brasileiros. Um investidor que avaliasse ativos exclusivamente pelo retorno esperado deveria concentrar toda a sua riqueza no ativo de maior retorno esperado — jamais diversificaria. O fato de que investidores reais diversificam, contratam seguros e aceitam retornos menores em troca de estabilidade é evidência diária de que o critério do valor esperado não governa as decisões humanas. A teoria que desenvolvemos a seguir pretende explicar exatamente esse comportamento.

7.2 O Axioma do Cassino: Utilidade Esperada de Von Neumann–Morgenstern¶

O Paradoxo de São Petersburgo destruiu o valor esperado como critério de decisão. Precisamos de algo melhor — algo que capture não só "quanto, em média" mas "quanto vale para mim". A solução veio de um lugar inesperado: um livro de teoria dos jogos. Em 1944, o matemático John von Neumann e o economista Oskar Morgenstern mostraram que, se o agente obedece a quatro regras de coerência (axiomas), suas preferências sobre loterias podem ser representadas por uma função que pondera utilidades — não dinheiro — pelas probabilidades. A ideia é devastadoramente simples: em vez de calcular $E[\text{dinheiro}]$, calcule $E[\text{felicidade}]$. Essa mudança de uma letra — de $x$ para $u(x)$ — é toda a diferença.

Quais são essas quatro regras de coerência? São exigências surpreendentemente modestas — tão razoáveis que, ao lê-las, você pensará 'óbvio'. Mas cada uma tem um papel preciso, e abandonar qualquer uma delas faz a teoria desmoronar.

Axiomas de Von Neumann–Morgenstern

Sejam $L_1, L_2, L_3$ loterias no conjunto $\mathcal{L}$. As preferências $\succsim$ satisfazem os axiomas VNM se:

Completude: Para quaisquer $L_1, L_2 \in \mathcal{L}$, vale $L_1 \succsim L_2$ ou $L_2 \succsim L_1$ (ou ambos).
Transitividade: Se $L_1 \succsim L_2$ e $L_2 \succsim L_3$, então $L_1 \succsim L_3$.
Continuidade (Arquimediana): Se $L_1 \succ L_2 \succ L_3$, então existe $\alpha \in (0,1)$ tal que $L_2 \sim \alpha L_1 + (1-\alpha) L_3$.
Independência: Se $L_1 \succsim L_2$, então para todo $L_3$ e todo $\alpha \in (0,1)$: $\alpha L_1 + (1-\alpha)L_3 \succsim \alpha L_2 + (1-\alpha) L_3$.

Teorema da Utilidade Esperada

Se as preferências $\succsim$ sobre o espaço de loterias $\mathcal{L}$ satisfazem os axiomas de completude, transitividade, continuidade e independência, então existe uma função $u: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que, para quaisquer loterias $L_1$ e $L_2$:

\[ L_1 \succsim L_2 \iff E[u(L_1)] \geq E[u(L_2)] \label{eq:7.3} \tag{7.3} \]

onde $E[u(L)] = \sum_{i=1}^{n} p_i \, u(x_i)$.

Além disso, $u$ é única a menos de transformações afins positivas: se $v(x) = a \cdot u(x) + b$, com $a > 0$, então $v$ representa as mesmas preferências.

O axioma mais controverso é o de independência.¹ Ele afirma, em essência, que se você prefere a loteria A à loteria B, então misturar ambas com uma mesma terceira loteria não deveria alterar essa preferência — a "adição" de uma alternativa irrelevante não contamina a comparação original. O Paradoxo de Allais (1953) demonstra que, em certas situações, agentes reais violam sistematicamente esse axioma, o que motivou o desenvolvimento de teorias alternativas como a teoria dos prospectos de Kahneman e Tversky (1979), que estudaremos no Capítulo 8.

O paradoxo de Allais pode ser apresentado de forma direta. Considere duas situações de escolha:

Situação I: Escolha entre A (R$ 1 milhão com certeza) e B (10% de chance de R$ 5 milhões, 89% de chance de R$ 1 milhão, 1% de chance de nada).
Situação II: Escolha entre C (11% de chance de R$ 1 milhão, 89% de chance de nada) e D (10% de chance de R$ 5 milhões, 90% de chance de nada).

Experimentalmente, a maioria das pessoas escolhe A na Situação I e D na Situação II. Mas essa combinação viola o axioma da independência: se subtrairmos mentalmente uma "camada" de 89% de chance de R$ 1 milhão de ambas as opções da Situação I, chegamos exatamente às opções da Situação II — e quem prefere A na Situação I deveria preferir C na Situação II. A violação sistêmica desse padrão sugere que agentes reais não tratam as probabilidades de forma linear, especialmente quando resultados certos estão em jogo (o chamado "efeito certeza"). Kahneman e Tversky (1979) documentaram extensamente essas violações e propuseram a teoria dos prospectos como alternativa descritiva à utilidade VNM.

Apesar dessas críticas comportamentais, a teoria VNM permanece o padrão normativo da microeconomia e o ponto de partida obrigatório para qualquer extensão. Compreender onde ela falha exige primeiro compreender onde ela acerta — e é isso que fazemos nas seções seguintes.

Intuição Econômica

Em uma frase: A utilidade esperada diz que pessoas racionais avaliam apostas pela "felicidade média" que elas proporcionam, não pelo dinheiro médio.

Pense assim: Imagine que você concorre a um sorteio de R$ 10.000 com 50% de chance. O valor esperado é R$ 5.000, mas a alegria que R$ 10.000 trazem não é o dobro da alegria de R$ 5.000 — assim como o segundo prato de comida no rodízio nunca é tão bom quanto o primeiro.

Por que isso importa: Toda a regulação de seguros, previdência e mercados financeiros no Brasil se apoia na ideia de que as pessoas transformam dinheiro em bem-estar de forma não linear.

Intuição Econômica

A utilidade VNM é cardinal — não ordinal.

No Capítulo 3, a utilidade era puramente ordinal: qualquer transformação crescente da função de utilidade representava as mesmas preferências. Se $u(x) = x^2$ e $v(x) = e^x$ ordenam os cestos de forma idêntica, são equivalentes para a teoria do consumidor determinística. Isso porque o que importava era apenas a direção das preferências, nunca a magnitude.

Aqui, a situação é radicalmente diferente. A utilidade VNM é única a menos de transformações afins positivas: $v(x) = a \cdot u(x) + b$ (com $a > 0$) representa as mesmas preferências, mas $v(x) = [u(x)]^2$ já não representa — mesmo que seja uma transformação crescente. Por quê? Porque as probabilidades entram de forma linear no cálculo da utilidade esperada. Quando escrevemos $E[u(L)] = p_1 u(x_1) + p_2 u(x_2)$, a estrutura aritmética da média ponderada fixa a escala da função de utilidade de uma maneira que transformações não afins destroem.

Implicação prática: Comparar as funções de utilidade de dois agentes faz sentido — dizer que o agente A tem ARA mais alta que o agente B é uma afirmação invariante à classe de transformações afins. Já perguntar "quem tem mais utilidade no estado 1?" não faz sentido sem fixar a normalização. A cardinalidade da utilidade VNM é, portanto, uma propriedade relacional (entre loterias e probabilidades), não uma afirmação sobre o nível absoluto de bem-estar.

Box Brasil 7.2 — A Mega-Sena e o paradoxo da busca por risco: por que 100 milhões de brasileiros jogam na loteria?

Segundo a Caixa Econômica Federal, mais de 100 milhões de brasileiros apostam regularmente em loterias. Em 2023, as loterias da Caixa arrecadaram R$ 23 bilhões — receita que financia programas sociais, cultura e esporte. Mas a teoria VNM tem um problema com isso: se os agentes são avessos ao risco, não deveriam jogar.

Os números da Mega-Sena:

Probabilidade de acertar as 6 dezenas: 1 em 50.063.860
Aposta mínima: R$ 5,00
Prêmio médio acumulado: ~R$ 50 milhões
Valor esperado da aposta: $E = \frac{50.000.000}{50.063.860} \approx \text{R\$ } 1{,}00$
Retorno esperado por real apostado: R$ 0,20 (perda esperada de 80%)

Um agente avesso ao risco com utilidade côncava jamais compraria esse bilhete — o valor esperado é muito inferior ao custo. Então por que jogam?

Três explicações microeconômicas:

Friedman-Savage (1948): A função de utilidade pode ser côncava para riquezas próximas ao nível atual (aversão ao risco para perdas pequenas) mas convexa para ganhos muito grandes (busca por risco para a "chance de mudar de vida"). A Mega-Sena ativa exatamente a porção convexa.
Teoria do Prospecto (Cap 8): Kahneman e Tversky mostraram que agentes sobre-ponderam probabilidades pequenas. Se $\pi(p)$ é a função de ponderação, então $\pi(1/50.000.000) \gg 1/50.000.000$ — o cérebro trata "chance minúscula" como "chance razoável".
Utilidade do sonho: A aposta pode gerar utilidade antes do resultado — o prazer de imaginar o que faria com R$ 50 milhões. Essa "utilidade de antecipação" (Loewenstein, 1987) não aparece no modelo VNM padrão.

Conexão com a teoria: A loteria é o teste empírico mais acessível da teoria VNM. Sua ubiquidade no Brasil — de faxineiras a executivos — sugere que a aversão ao risco não é um traço monolítico, e que o Capítulo 8 (economia comportamental) oferece explicações mais realistas do que o modelo canônico para certas classes de decisão.

"Nobody expects the Spanish Inquisition!" — e ninguém espera que o axioma da independência falhe. Mas ele falha, sistematicamente, como Allais demonstrou em 1953. O efeito certeza é a Inquisição Espanhola da teoria VNM: aparece quando menos se espera e derruba hipóteses que pareciam sólidas. ↩