Exercícios e ANPEC¶

🧠 Revisão Rápida¶

Teste seu entendimento dos conceitos centrais deste capítulo.

1. Um agente com função de utilidade côncava sobre riqueza é classificado como:

(a) Amante do risco — prefere a loteria ao valor esperado com certeza
(b) Neutro ao risco — é indiferente entre a loteria e seu valor esperado
(c) Avesso ao risco — prefere o valor esperado com certeza à loteria
(d) Avesso ao risco apenas se a variância da loteria for alta

Resposta

(c) Concavidade de $u(W)$ implica, pela desigualdade de Jensen, que $E[u(W)] < u(E[W])$: a utilidade esperada da loteria é menor que a utilidade do valor esperado recebido com certeza. Portanto, o agente prefere a certeza — é avesso ao risco. A alternativa (a) requer convexidade; (b) requer linearidade; (d) é incorreta pois a aversão vale para qualquer loteria arriscada.

2. O equivalente certeza de uma loteria é o valor $W_{CE}$ tal que:

(a) $u(W_{CE}) = E[W]$
(b) $u(W_{CE}) = E[u(W)]$
(c) $W_{CE} = E[W]$ sempre
(d) $W_{CE} = E[W] + \text{prêmio de risco}$

Resposta

(b) O equivalente certeza é o montante certo que dá a mesma utilidade esperada que a loteria: $u(W_{CE}) = E[u(W)]$. Para um avesso ao risco, $W_{CE} < E[W]$, e a diferença $E[W] - W_{CE}$ é o prêmio de risco. A alternativa (a) confunde utilidade do equivalente certeza com o valor esperado monetário; (c) só vale para neutralidade ao risco; (d) inverte a relação.

3. A medida de Arrow-Pratt de aversão absoluta ao risco é definida como:

(a) $A(W) = -u'(W)/u''(W)$
(b) $A(W) = -u''(W)/u'(W)$
(c) $A(W) = u''(W)/u'(W)$
(d) $A(W) = -u'(W) \cdot u''(W)$

Resposta

(b) O coeficiente de Arrow-Pratt $A(W) = -u''(W)/u'(W)$ mede a curvatura relativa da função de utilidade. É positivo para avessos ao risco ($u'' < 0$). A alternativa (a) inverte a fração; (c) dá valor negativo para avessos ao risco; (d) não tem interpretação econômica padrão.

4. No mercado de seguros com informação simétrica, um agente avesso ao risco e uma seguradora neutra ao risco alcançam eficiência quando:

(a) O prêmio do seguro é igual ao dobro da perda esperada
(b) O agente compra seguro parcial para manter incentivo a ter cuidado
(c) O agente compra seguro completo ao prêmio atuarialmente justo (igual à perda esperada)
(d) A seguradora cobra prêmio igual ao equivalente certeza do agente

Resposta

(c) Com informação simétrica, a alocação eficiente transfere todo o risco do avesso ao risco para o neutro (seguradora). O prêmio atuarialmente justo $\pi = p \cdot L$ (probabilidade vezes perda) é suficiente para a seguradora cobrir as perdas esperadas, e o agente, sendo avesso ao risco, prefere pagar esse prêmio a enfrentar a incerteza. As demais alternativas descrevem situações subótimas ou incorretas.

5. O axioma de independência na teoria da utilidade esperada afirma que:

(a) As preferências por loterias dependem apenas dos payoffs, não das probabilidades
(b) Se $A \succ B$, então misturar $A$ e $B$ com uma terceira loteria $C$ preserva a preferência: $\alpha A + (1-\alpha)C \succ \alpha B + (1-\alpha)C$
(c) Loterias com o mesmo valor esperado são sempre indiferentes
(d) O agente é indiferente entre receber um prêmio agora ou no futuro

Resposta

(b) O axioma de independência estabelece que a preferência entre duas loterias não é afetada pela mistura com uma terceira loteria comum. É o axioma mais distintivo (e controverso) da teoria de VNM, violado sistematicamente no Paradoxo de Allais. A alternativa (a) é absurda; (c) descreve neutralidade ao risco; (d) refere-se a preferências intertemporais.

6. Na abordagem estado-preferência, se os preços dos ativos contingentes são atuarialmente justos ($\psi_s = \pi_s$) e o agente é avesso ao risco, a alocação ótima é:

(a) Consumir tudo no estado mais provável e nada nos demais
(b) Igualar o consumo em todos os estados — suavização perfeita
(c) Comprar apenas o ativo contingente ao estado de maior retorno
(d) Distribuir a riqueza proporcionalmente às probabilidades, sem equalizar consumo

Resposta

(b) Quando $\psi_s = \pi_s$ (preços justos), a condição de primeira ordem $\pi_s u'(c_s) / \psi_s = \lambda$ implica $u'(c_s) = \lambda$ para todo $s$. Como $u$ é estritamente côncava ($u'' < 0$), $u'$ é estritamente decrescente, e a igualdade $u'(c_s) = \lambda$ exige $c_s = c_{s'}$ para todo par de estados. O agente equaliza o consumo, eliminando todo o risco — resultado análogo ao seguro total sob prêmio justo (Seção 7.6.1).

📋 Resumo do Capítulo¶

Uma loteria é uma distribuição de probabilidade sobre resultados monetários; o valor esperado é a média ponderada dos payoffs, mas não captura a atitude do agente em relação ao risco.
A Hipótese da Utilidade Esperada (Von Neumann-Morgenstern) axiomatiza a escolha sob incerteza: agentes racionais maximizam a esperança de uma função de utilidade, com os axiomas de completude, transitividade, continuidade e independência fundamentando o teorema.
A aversão ao risco corresponde à concavidade da função de utilidade (desigualdade de Jensen): o agente prefere o valor esperado com certeza à própria loteria; neutralidade e propensão ao risco correspondem a linearidade e convexidade, respectivamente.
As medidas de Arrow-Pratt quantificam a aversão ao risco: a medida absoluta (ARA) determina o comportamento frente a riscos de magnitude fixa, enquanto a medida relativa (RRA) se aplica a riscos proporcionais à riqueza; funções CARA, CRRA e DARA capturam diferentes padrões.
O prêmio de risco e o equivalente de certeza conectam a teoria à prática: o prêmio de risco é o valor que o agente pagaria para eliminar a incerteza, e a aproximação de Arrow-Pratt o relaciona à variância da loteria e à curvatura da utilidade.
Diversificação, seguros e mercados de ativos contingentes (abordagem estado-preferência) são mecanismos para reduzir ou redistribuir riscos; problemas de informação assimétrica (seleção adversa e risco moral) limitam a eficiência desses mercados.

🔑 Conceitos-Chave¶

Conceito	Definição
Loteria	Distribuição de probabilidade sobre um conjunto finito de resultados monetários.
Utilidade esperada (VNM)	Representação de preferências sob incerteza em que o agente maximiza a esperança matemática de uma função de utilidade.
Aversão ao risco	Preferência pelo valor esperado de uma loteria (com certeza) em relação à própria loteria; implica função de utilidade côncava.
Medida de Arrow-Pratt (ARA)	Coeficiente de aversão ao risco absoluta, definido como $-u''(W)/u'(W)$; mede a curvatura local da utilidade.
Medida de Arrow-Pratt (RRA)	Coeficiente de aversão ao risco relativa, definido como $-W \cdot u''(W)/u'(W)$; mede a aversão a riscos proporcionais à riqueza.
Equivalente de certeza	Valor certo que proporciona a mesma utilidade esperada de uma loteria; é menor que o valor esperado para agentes avessos ao risco.
Prêmio de risco	Diferença entre o valor esperado da loteria e o equivalente de certeza; mede quanto o agente pagaria para eliminar o risco.
Diversificação	Estratégia de alocação de riqueza entre ativos imperfeitamente correlacionados para reduzir o risco total do portfólio.
Seleção adversa	Problema de informação assimétrica pré-contratual em que a parte menos informada atrai desproporcionalmente agentes de alto risco.
Risco moral	Problema de informação assimétrica pós-contratual em que o agente segurado altera seu comportamento de forma não observável.

Tabela 7.2 — Conceitos-chave.

✏️ Exercícios¶

Exercício 7.1. Um investidor com função de utilidade $u(W) = \ln(W)$ e riqueza inicial $W_0 = 10.000$ pode participar de uma loteria que paga $+5.000$ com probabilidade $0{,}5$ e $-5.000$ com probabilidade $0{,}5$.

(a) Calcule a utilidade esperada da loteria.

(b) Calcule o equivalente de certeza.

(c) Calcule o prêmio de risco exato e compare com a aproximação de Arrow-Pratt.

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Exercício 7.2. Mostre que a função de utilidade $u(W) = -e^{-aW}$, com $a > 0$, apresenta aversão absoluta ao risco constante (CARA). Calcule $A(W)$ e $R(W)$ e discuta as implicações econômicas de cada medida.

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Exercício 7.3. Um agricultor no Cerrado brasileiro enfrenta a seguinte situação: com probabilidade $0{,}7$ a safra é boa e ele obtém receita de R$ 200.000; com probabilidade $0{,}3$ há seca e a receita cai para R$ 50.000. Sua função de utilidade é $u(W) = \sqrt{W}$.

(a) Qual o valor esperado da receita?

(b) Qual o equivalente de certeza?

(c) Qual o prêmio máximo que ele pagaria por um seguro de cobertura total?

(d) Se uma seguradora oferece seguro a um prêmio de R$ 60.000, o agricultor contrata? Justifique.

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Exercício 7.4. Considere dois estados da natureza, $s_1$ (expansão) e $s_2$ (recessão), com probabilidades $\pi_1 = 0{,}6$ e $\pi_2 = 0{,}4$. Um agente com riqueza $W = 100$ e utilidade $u(c) = \ln(c)$ pode comprar ativos contingentes ao preço $\psi_1 = 0{,}6$ e $\psi_2 = 0{,}4$.

(a) Formule o problema de maximização.

(b) Encontre a alocação ótima $(c_1^*, c_2^*)$.

(c) Interprete o resultado à luz da suavização de consumo entre estados.

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Exercício 7.5. Considere dois agentes, A com $u_A(W) = \ln(W)$ e B com $u_B(W) = -e^{-0{,}001W}$, ambos com riqueza $W = 10.000$.

(a) Calcule $A(W)$ e $R(W)$ para cada agente.

(b) Compare o prêmio de risco (aproximado) que cada um exigiria para aceitar uma loteria com valor esperado zero e desvio padrão de R$ 1.000.

(c) Como o prêmio de risco de cada agente se altera se a riqueza aumenta para $W = 50.000$? Discuta a relação com DARA e CARA.

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Exercício 7.6. (Fácil) Um agente possui função de utilidade $u(W) = \sqrt{W}$ e riqueza inicial $W_0 = 100$. Ele é convidado a participar de uma loteria que paga $+60$ com probabilidade $0{,}5$ e $-60$ com probabilidade $0{,}5$.

(a) Calcule a utilidade esperada da loteria, $E[u]$.

(b) Calcule a utilidade do valor esperado da riqueza, $u(E[W])$.

(c) Com base na comparação entre $E[u]$ e $u(E[W])$, determine se o agente é avesso, neutro ou propenso ao risco. Justifique usando a desigualdade de Jensen.

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Exercício 7.7. (Fácil — Verdadeiro ou Falso) Julgue as afirmativas abaixo como verdadeiras ou falsas, com justificativa.

(a) Um agente neutro ao risco possui função de utilidade linear.

(b) A utilidade CARA implica que o prêmio de risco é independente da riqueza.

(c) Se $u''(W) < 0$, o agente sempre rejeita qualquer loteria justa.

(d) A diversificação elimina todo o risco de uma carteira de ativos.

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Exercício 7.8. (Médio) Um agente tem função de utilidade $u(W) = \ln(W)$ e riqueza inicial $W_0 = 10.000$. Ele enfrenta o seguinte risco: com probabilidade $0{,}1$ perde R$ 5.000; com probabilidade $0{,}9$ não perde nada.

(a) Calcule o equivalente de certeza e o prêmio de risco exato.

(b) Qual é o prêmio máximo que o agente pagaria por um seguro de cobertura total?

(c) Uma seguradora oferece cobertura total por R$ 600. O agente contrata? Justifique calculando a utilidade com e sem seguro.

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Exercício 7.9. (Médio — Contexto Brasileiro) Um cafeicultor de Minas Gerais possui utilidade CRRA com coeficiente de aversão relativa ao risco $\gamma = 2$, ou seja, $u(W) = -W^{-1}$, e riqueza inicial $W_0 = \text{R\$ }200.000$. Ele enfrenta o seguinte risco climático: com probabilidade $0{,}3$, uma seca severa reduz sua produção em 40%, de modo que sua riqueza cai para R$ 120.000; com probabilidade $0{,}7$, não há seca e ele mantém R$ 200.000.

O Proagro oferece um seguro que cobre integralmente a perda de R$ 80.000 em caso de seca, com prêmio de R$ 30.000 (que inclui o prêmio atuarialmente justo de R$ 24.000 mais um carregamento de 25%).

(a) Calcule o prêmio de risco exato do agricultor (o máximo que ele pagaria pelo seguro).

(b) Compare o prêmio de risco com o prêmio cobrado pelo Proagro. O agricultor contrata o seguro? Justifique calculando a utilidade esperada com e sem seguro.

(c) Qual seria o carregamento máximo $\lambda^*$ que tornaria o agricultor indiferente entre contratar e não contratar o seguro?

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Exercício 7.10. (Difícil — Demonstração) Prove que, para um agente avesso ao risco ($u'' < 0$), o prêmio de risco $\pi$ associado a um risco justo $\tilde{\varepsilon}$ com variância $\sigma^2$ satisfaz, aproximadamente:

\[ \pi \approx \frac{1}{2}\sigma^2 \cdot A(W_0) \]

onde $A(W_0) = -u''(W_0)/u'(W_0)$ é o coeficiente de Arrow-Pratt de aversão absoluta ao risco avaliado na riqueza inicial $W_0$.

Instruções: Use expansões em série de Taylor de segunda ordem para $E[u(W_0 + \tilde{\varepsilon})]$ e de primeira ordem para $u(W_0 - \pi)$. Identifique a aproximação e interprete cada termo do resultado.

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🏆 Vem, ANPEC!¶

ANPEC 2018 — Questão 06

A função utilidade $U$ em termos da renda $w$ de um consumidor é dada por $U(w) = w^3$. Tal consumidor se encontra diante de uma loteria na qual possui $w = \$0$ com probabilidade $p = 0{,}5$ e $w = \$4$ com probabilidade $p = 0{,}5$. Avalie as seguintes proposições a respeito da escolha sob incerteza:

Item	Afirmação
0	Como a função utilidade é convexa em relação à origem, o consumidor é avesso ao risco.
1	A utilidade esperada da loteria é igual a trinta e dois.
2	A utilidade do valor esperado dessa loteria é superior à utilidade esperada da loteria.
3	O equivalente certeza é igual a 2,5.
4	O coeficiente absoluto de aversão ao risco é constante.

Gabarito

Respostas: 01000

Justificativa por item:

Item 0 — F: Função utilidade convexa ($u''(w) = 6w > 0$) implica propensão ao risco, não aversão. A aversão ao risco requer concavidade ($u'' < 0$).
Item 1 — V: $E[U] = 0{,}5 \times U(0) + 0{,}5 \times U(4) = 0{,}5 \times 0 + 0{,}5 \times 64 = 32$. Correto.
Item 2 — F: O valor esperado da loteria é $E[w] = 0{,}5 \times 0 + 0{,}5 \times 4 = 2$. A utilidade do valor esperado é $U(2) = 2^3 = 8$. Como $U(E[w]) = 8 < 32 = E[U]$, a utilidade do valor esperado é inferior à utilidade esperada. Isso é precisamente a propriedade de um agente propenso ao risco (desigualdade de Jensen invertida para funções convexas).
Item 3 — F: O equivalente de certeza satisfaz $U(EC) = E[U]$, ou seja, $EC^3 = 32$. Portanto, $EC = \sqrt[3]{32} = 2\sqrt[3]{4} \approx 3{,}17$, não 2,5.
Item 4 — F: $A(w) = -u''(w)/u'(w) = -6w/(3w^2) = -2/w$. O coeficiente é negativo (confirmando propensão ao risco) e depende de $w$ — portanto, não é constante.

ANPEC 2020 — Questão 11

Com relação à teoria de decisão sob incerteza, julgue os itens abaixo:

Item	Afirmação
0	Suponha que um indivíduo tem utilidade Von Neumann-Morgenstern $U(W) = \ln(W+1)$. Então sua medida relativa de aversão ao risco de Pratt $R(W)$ satisfaz $\lim_{W \to \infty} R(W) = 1$.
1	Considere um indivíduo avesso ao risco, com utilidade Von Neumann-Morgenstern e que investe em um ativo arriscado. Se o rendimento do ativo arriscado é taxado, então o consumidor tem um incentivo para investir menos nesse ativo.
2	Suponha que o $\beta$ de um ativo é igual a 1,25, que o retorno de mercado é de 10,5% e que o retorno do ativo sem risco é de 4,5%. O valor esperado do ativo é de $56. Então, de acordo com o Modelo CAPM, o preço que esse ativo deveria ser vendido hoje é de $50.
3	Considere o Modelo Média-Variância e um indivíduo avesso ao risco. Suponha que o retorno de mercado é de 11%, que o retorno do ativo sem risco é de 5% e que a variância do ativo arriscado é de 25%. Então o preço do risco é $p = 0{,}24$.
4	Suponha que um indivíduo tem utilidade Von Neumann-Morgenstern e é neutro ao risco. Se sua riqueza é aleatória, então a utilidade esperada da riqueza é maior que a utilidade da riqueza esperada.

Gabarito

Respostas: 10110

Justificativa por item:

Item 0 — V: Para $U(W) = \ln(W+1)$: $U'(W) = 1/(W+1)$, $U''(W) = -1/(W+1)^2$. A medida relativa de aversão ao risco é $R(W) = -W \cdot U''(W)/U'(W) = W/(W+1)$. Calculando o limite: $\lim_{W \to \infty} W/(W+1) = 1$. Correto.
Item 1 — F: Pelo resultado clássico de Domar-Musgrave, um imposto proporcional sobre o retorno do ativo arriscado (com compensação simétrica de perdas) faz o governo "compartilhar" o risco com o investidor. O investidor pode restaurar sua exposição original ao risco aumentando a posição no ativo arriscado. O efeito líquido depende das propriedades da função de utilidade (DARA/IARA), mas a afirmação de que sempre há incentivo para investir menos é incorreta.
Item 2 — V: Pelo CAPM, o retorno esperado do ativo é $E[r] = r_f + \beta(E[r_m] - r_f) = 4{,}5\% + 1{,}25 \times (10{,}5\% - 4{,}5\%) = 4{,}5\% + 7{,}5\% = 12\%$. Se o valor esperado do ativo é $56, o preço hoje deve ser $P_0 = 56/1{,}12 = \$50$. Correto.
Item 3 — V: No modelo média-variância, o preço do risco é definido como $p = (E[r_m] - r_f)/\sigma^2 = (11\% - 5\%)/25\% = 0{,}06/0{,}25 = 0{,}24$. Correto.
Item 4 — F: Um indivíduo neutro ao risco possui função de utilidade linear. Pela linearidade, $E[U(W)] = U(E[W])$ — a utilidade esperada é igual à utilidade da riqueza esperada, não maior.

ANPEC 2025 — Questão 02

Considere uma aposta na qual, pagando $15, você pode ganhar $5 se sair um número ímpar ou $20 se sair um número par, no lançamento de um dado não viciado. Julgue as afirmativas abaixo como verdadeiras ou falsas:

Item	Afirmação
0	O valor esperado do retorno da aposta é $15.
1	Trata-se de uma aposta justa.
2	Uma aposta justa não possui risco.
3	Se o custo da aposta fosse de $12,50, um indivíduo com aversão ao risco aceitaria jogar.
4	Uma função de utilidade estritamente côncava é associada a um comportamento de aversão ao risco.

Gabarito

Respostas: 00001

Justificativa por item:

Item 0 — F: Os resultados da aposta são $5 (se ímpar, $p = 1/2$) e $20 (se par, $p = 1/2$). O valor esperado do retorno bruto é $E[R] = 0{,}5 \times 5 + 0{,}5 \times 20 = 12{,}50$, não $15.
Item 1 — F: Uma aposta justa tem retorno esperado líquido igual a zero. Aqui, o retorno líquido esperado é $12{,}50 - 15 = -2{,}50$. Como $E[\text{líquido}] < 0$, a aposta é desfavorável ao apostador.
Item 2 — F: Uma aposta justa tem valor esperado zero, mas ainda apresenta variância positiva — logo, possui risco. "Justo" refere-se ao valor esperado, não à ausência de incerteza.
Item 3 — F: Se o custo fosse $12,50, teríamos $E[\text{líquido}] = 12{,}50 - 12{,}50 = 0$: aposta justa. Um indivíduo avesso ao risco rejeita apostas justas (ou, no máximo, é indiferente), pois $u(E[W]) > E[u(W)]$.
Item 4 — V: Concavidade estrita de $u$ ($u'' < 0$) implica, pela desigualdade de Jensen, que $u(E[X]) > E[u(X)]$ para toda variável aleatória não degenerada — definição de aversão ao risco.

Item	Afirmação
0	Suponha que um indivíduo tem utilidade Von Neumann-Morgenstern \(U(W) = \ln(W+1)\). Então sua medida relativa de aversão ao risco de Pratt \(R(W)\) satisfaz \(\lim_{W \to \infty} R(W) = 1\).
1	Considere um indivíduo avesso ao risco, com utilidade Von Neumann-Morgenstern e que investe em um ativo arriscado. Se o rendimento do ativo arriscado é taxado, então o consumidor tem um incentivo para investir menos nesse ativo.
2	Suponha que o \(\beta\) de um ativo é igual a 1,25, que o retorno de mercado é de 10,5% e que o retorno do ativo sem risco é de 4,5%. O valor esperado do ativo é de $56. Então, de acordo com o Modelo CAPM, o preço que esse ativo deveria ser vendido hoje é de $50.
3	Considere o Modelo Média-Variância e um indivíduo avesso ao risco. Suponha que o retorno de mercado é de 11%, que o retorno do ativo sem risco é de 5% e que a variância do ativo arriscado é de 25%. Então o preço do risco é \(p = 0{,}24\).
4	Suponha que um indivíduo tem utilidade Von Neumann-Morgenstern e é neutro ao risco. Se sua riqueza é aleatória, então a utilidade esperada da riqueza é maior que a utilidade da riqueza esperada.