Exercícios e ANPEC¶

Revisão Rápida¶

Teste seu entendimento dos conceitos centrais deste capítulo.

1. A função de demanda marshalliana (não compensada) difere da hicksiana (compensada) porque:

(a) A marshalliana mantém a utilidade constante; a hicksiana mantém a renda constante
(b) A marshalliana mantém a renda constante; a hicksiana mantém a utilidade constante
(c) A marshalliana só se aplica a bens normais; a hicksiana, a bens inferiores
(d) A marshalliana é sempre mais elástica que a hicksiana

Resposta

(b) A demanda marshalliana $x_i(\mathbf{p}, I)$ resulta da maximização de utilidade com renda fixa. A demanda hicksiana $h_i(\mathbf{p}, \bar{u})$ resulta da minimização de despesa com utilidade fixa, isolando o efeito substituição puro. A alternativa (a) inverte as definições; (d) pode não valer para bens inferiores.

2. Um bem de Giffen é necessariamente:

(a) Um bem de luxo com elasticidade-renda maior que 1
(b) Um bem inferior cujo efeito renda (negativo) domina o efeito substituição
(c) Um bem com elasticidade-preço cruzada negativa
(d) Um bem cuja curva de Engel é linear e positivamente inclinada

Resposta

(b) Para um bem de Giffen, a quantidade demandada aumenta quando o preço sobe. Isso só ocorre se o bem é inferior (efeito renda negativo) e esse efeito é tão forte que domina o efeito substituição (sempre negativo). Nem todo bem inferior é de Giffen, mas todo bem de Giffen é inferior. As demais alternativas descrevem propriedades incompatíveis com bens de Giffen.

3. A curva de Engel para um bem normal com elasticidade-renda constante igual a 2 tem formato:

(a) Linear com inclinação positiva passando pela origem
(b) Côncava — cresce a taxas decrescentes
(c) Convexa — cresce a taxas crescentes
(d) Horizontal

Resposta

(c) Elasticidade-renda $\eta_I = 2 > 1$ (bem de luxo): a demanda cresce mais que proporcionalmente à renda, gerando uma curva de Engel convexa. Se $\eta_I = 1$, a curva seria linear (a); se $0 < \eta_I < 1$ (necessidade), seria côncava (b). A alternativa (d) implicaria demanda insensível à renda.

4. A identidade de Slutsky pode ser escrita como $\\frac{\\partial x_i}{\\partial p_j} = \\frac{\\partial h_i}{\\partial p_j} - x_j \\frac{\\partial x_i}{\\partial I}$. O termo $-x_j \\frac{\\partial x_i}{\\partial I}$ representa:

(a) O efeito substituição
(b) O efeito renda — a mudança na demanda devida à variação no poder de compra real
(c) A elasticidade-preço cruzada
(d) A variação compensadora

Resposta

(b) Na equação de Slutsky, $\partial h_i/\partial p_j$ é o efeito substituição e $-x_j \cdot \partial x_i/\partial I$ é o efeito renda. Quando $p_j$ sobe, o poder de compra cai na proporção da quantidade consumida $x_j$, e o impacto sobre a demanda de $i$ depende de como $x_i$ responde à renda ($\partial x_i/\partial I$).

5. Se a demanda marshalliana de um bem cai quando a renda aumenta, esse bem é classificado como:

(a) Bem de Giffen
(b) Bem de luxo
(c) Bem inferior
(d) Bem complementar

Resposta

(c) Um bem inferior tem elasticidade-renda negativa: $\partial x/\partial I < 0$. Quando a renda cresce, o consumidor substitui o bem por alternativas de qualidade superior. A alternativa (a) é um caso extremo de bem inferior (efeito renda domina o substituição), não apenas renda-negativo; (b) é o oposto; (d) descreve relação entre bens, não resposta à renda.

6. Para uma utilidade quase-linear $u = v(x_1) + x_2$, a variação compensatória (VC), a variação equivalente (VE) e o excedente do consumidor marshalliano ($\\Delta EC$):

(a) São sempre diferentes, pois usam curvas de demanda distintas
(b) Coincidem, porque o efeito renda sobre $x_1$ é zero
(c) Coincidem apenas quando o preço não muda
(d) Seguem a ordenação $VC < \Delta EC < VE$ para qualquer variação de preço

Resposta

(b) Na utilidade quase-linear, a demanda por $x_1$ não depende da renda ($\partial x_1/\partial I = 0$), portanto as curvas marshalliana e hicksiana de $x_1$ são idênticas. Como VC e VE são áreas sob curvas hicksianas (com utilidades de referência diferentes), e essas curvas coincidem entre si e com a marshalliana, as três medidas são iguais: $VC = VE = \Delta EC$. A alternativa (d) vale para bens normais com efeito renda não nulo.

Resumo do Capítulo¶

As funções de demanda marshalliana (não-compensada) são homogêneas de grau zero em preços e renda, esgotam o orçamento (Lei de Walras) e dependem de preços e renda; as funções hicksianas (compensadas) mantêm a utilidade constante e capturam apenas o efeito substituição.
Variações na renda geram curvas de Engel e permitem classificar bens como normais (elasticidade-renda positiva) ou inferiores (negativa), e ainda como necessidades (elasticidade entre 0 e 1) ou bens de luxo (elasticidade maior que 1).
A Equação de Slutsky decompõe o efeito de uma variação de preço em efeito substituição (sempre não-positivo para o próprio preço) e efeito renda, fundamentando a Lei da Demanda para bens normais e explicando a possibilidade teórica de bens de Giffen.
As elasticidades-preço, elasticidade-renda e elasticidade cruzada quantificam a sensibilidade da demanda a variações de preços e renda, obedecendo restrições como a agregação de Engel e a homogeneidade.
O excedente do consumidor, a variação compensatória (VC) e a variação equivalente (VE) são medidas de bem-estar que permitem avaliar o impacto de mudanças de preço sobre os consumidores; para preferências quase-lineares, as três medidas coincidem.
A teoria da preferência revelada fornece uma abordagem alternativa que, sem postular funções de utilidade, permite testar a racionalidade do consumidor e demonstrar que o efeito substituição é não-positivo.

Conceitos-Chave¶

Conceito	Definição
Demanda marshalliana	Função de demanda que resulta da maximização de utilidade sujeita à restrição orçamentária; depende de preços e renda nominal.
Demanda hicksiana	Função de demanda compensada que minimiza o dispêndio para atingir um dado nível de utilidade; depende de preços e utilidade-alvo.
Equação de Slutsky	Identidade que decompõe o efeito total de uma variação de preço em efeito substituição (hicksiano) e efeito renda.
Efeito substituição	Variação na demanda devida à mudança nos preços relativos, mantendo utilidade (Hicks) ou poder de compra (Slutsky) constante; sempre não-positivo para o próprio preço.
Efeito renda	Variação na demanda devida à mudança no poder de compra real causada pela alteração do preço.
Bem de Giffen	Bem inferior cujo efeito renda domina o efeito substituição, gerando uma curva de demanda positivamente inclinada.
Elasticidade-preço da demanda	Variação percentual na quantidade demandada dividida pela variação percentual no preço; mede a sensibilidade da demanda ao preço.
Excedente do consumidor	Diferença entre a disposição a pagar e o preço efetivamente pago; corresponde à área abaixo da curva de demanda e acima do preço.
Variação compensatória (VC)	Montante de renda que, após uma variação de preço, restaura o nível de utilidade original do consumidor.
Preferência revelada	Abordagem que infere racionalidade e relações de preferência a partir de escolhas observadas, sem postular funções de utilidade.

Tabela 5.2 — Conceitos-chave.

Exercícios¶

Exercício 5.1. Considere a função de utilidade $U(x_1, x_2) = x_1^{1/3} x_2^{2/3}$, com preços $p_1$, $p_2$ e renda $I$.

(a) Derive as funções de demanda marshalliana $x_1^*(p_1, p_2, I)$ e $x_2^*(p_1, p_2, I)$.

(b) Verifique a homogeneidade de grau zero e o esgotamento da renda.

(c) Classifique os bens como normais ou inferiores, e como luxo ou necessidade.

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Exercício 5.2. Um consumidor tem função de utilidade $U(x, y) = \ln x + y$ (quase-linear), com preços $p_x$, $p_y = 1$ e renda $I$.

(a) Derive as demandas marshalliana e hicksiana para $x$.

(b) Mostre que o efeito renda para o bem $x$ é zero e interprete economicamente.

(c) Calcule a variação compensatória, a variação equivalente e o excedente do consumidor marshalliano para uma queda de $p_x$ de 4 para 1. Confirme que as três medidas coincidem.

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Exercício 5.3. Utilizando a Equação de Slutsky, demonstre formalmente que um bem de Giffen deve ser necessariamente um bem inferior. É verdade que todo bem inferior é de Giffen? Justifique.

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Exercício 5.4 (Elasticidades e agregação). Uma economia tem dois bens. As parcelas orçamentárias são $w_1 = 0{,}4$ e $w_2 = 0{,}6$. A elasticidade-renda do bem 1 é $\varepsilon_{x_1, I} = 0{,}5$.

(a) Calcule a elasticidade-renda do bem 2 usando a Agregação de Engel.

(b) Classifique cada bem como luxo ou necessidade.

(c) Se a elasticidade-preço própria do bem 1 é $\varepsilon_{x_1, p_1} = -0{,}8$, use a condição de homogeneidade para calcular a elasticidade-preço cruzada $\varepsilon_{x_1, p_2}$.

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Exercício 5.5 (Aplicação ao Brasil). Suponha que a elasticidade-preço da gasolina no Brasil é $-0{,}40$ e que a elasticidade-preço cruzada gasolina-etanol é $+1{,}10$. O governo decide aumentar a CIDE de modo que o preço da gasolina suba 15%.

(a) Estime a variação percentual na demanda por gasolina.

(b) Estime a variação percentual na demanda por etanol.

(c) Discuta as limitações dessa análise estática e como ela poderia subestimar ou superestimar os efeitos de longo prazo.

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Exercício 5.6. Considere a função de utilidade $U(x_1, x_2) = x_1^{1/4} x_2^{3/4}$, com preços $p_1 = 2$, $p_2 = 6$ e renda $I = 240$.

(a) Derive as funções de demanda marshalliana.

(b) Calcule as elasticidades-renda $\varepsilon_{x_1, I}$ e $\varepsilon_{x_2, I}$.

(c) Classifique cada bem como normal ou inferior, e como luxo ou necessidade. Interprete os resultados à luz da estrutura Cobb-Douglas.

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Exercício 5.7 (Verdadeiro ou Falso). Julgue cada afirmação com justificativa formal:

(a) Todo bem de Giffen é necessariamente inferior.

(b) Todo bem inferior é necessariamente de Giffen.

(c) Para uma função de utilidade Cobb-Douglas $U = x_1^a x_2^{1-a}$, todos os bens são de luxo.

(d) Para uma utilidade quase-linear $U = v(x_1) + x_2$, o efeito substituição de Slutsky sobre o bem 1 é igual ao efeito total.

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Exercício 5.8 (VC, VE e EC). Um consumidor tem utilidade $U(x_1, x_2) = x_1^{1/2} x_2^{1/2}$, com preços $p_1 = p_2 = 1$ e renda $I = 100$. O preço do bem 1 sobe para $p_1' = 4$.

(a) Encontre as cestas ótimas antes e depois da variação de preço.

(b) Decomponha o efeito total sobre $x_1$ em efeito substituição e efeito renda (decomposição de Hicks).

(c) Calcule a variação compensatória (VC) e a variação equivalente (VE).

(d) Calcule o excedente do consumidor marshalliano ($\Delta EC$) e verifique a ordenação $VC < \Delta EC < VE$.

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Exercício 5.9 (Aplicação ao Brasil — elasticidades e agregação). Uma família brasileira típica aloca 40% de seu orçamento em alimentos ($w_1 = 0{,}4$) e 60% em outros bens ($w_2 = 0{,}6$). A elasticidade-renda dos alimentos é $\varepsilon_{1,I} = 0{,}6$ e a elasticidade-preço própria dos alimentos é $\varepsilon_{1,p_1} = -0{,}5$.

(a) Use a Agregação de Engel para calcular a elasticidade-renda dos outros bens $\varepsilon_{2,I}$.

(b) Use a condição de homogeneidade para calcular a elasticidade-preço cruzada dos alimentos em relação ao preço dos outros bens $\varepsilon_{1,p_2}$.

(c) Se os preços dos alimentos sobem 10%, estime a variação percentual na demanda por alimentos.

(d) Usando a equação de Slutsky na forma de elasticidades, decomponha o efeito calculado em (c) em efeito substituição e efeito renda. Interprete os resultados no contexto de política de segurança alimentar no Brasil.

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Exercício 5.10 (Prova — Propriedades da Matriz de Slutsky). Seja $\mathbf{S}$ a matriz de Slutsky com elementos $s_{ij} = \frac{\partial h_i}{\partial p_j}$, onde $h_i(\mathbf{p}, \bar{U})$ é a demanda hicksiana do bem $i$.

(a) Usando o fato de que a função dispêndio $E(\mathbf{p}, \bar{U})$ é côncava em $\mathbf{p}$ e o Lema de Shephard, mostre que $\mathbf{S}$ é simétrica ($s_{ij} = s_{ji}$) e negativa semidefinida.

(b) Mostre que $\mathbf{S} \mathbf{p} = \mathbf{0}$, ou seja, o vetor de preços está no núcleo da matriz de Slutsky. Interprete economicamente.

Ver solução

Vem, ANPEC!¶

ANPEC 2010 — Questão 03

Com relação à classificação dos bens (em normal, de luxo, necessário, inferior, comum e de Giffen) e às demandas por esses bens, julgue as questões a seguir:

Itens: (marque 0 para Falso, 1 para Verdadeiro)

Item	Afirmação
0	Se um bem é normal, então ele não pode ser um bem de Giffen.
1	Se um bem é de Giffen, então ele deve ser um bem inferior.
2	Suponha que existam apenas dois bens, cujas demandas são denotadas por $x$ e $y$. Se $x$ apresenta elasticidade-renda unitária e o consumidor gasta uma fração positiva de sua renda em cada bem, então $y$ também apresenta elasticidade-renda unitária.
3	Suponha que existam apenas dois bens, 1 e 2. Suponha ainda que o bem 1 é um bem comum e que sua demanda é elástica relativamente ao seu próprio preço. Se o bem 1 é um complementar bruto do bem 2, então o bem 1 é um bem normal necessário.
4	Suponha que existam apenas dois bens, 1 e 2. Suponha ainda que o consumidor gasta metade de sua renda em cada bem e que o bem 1 é um bem normal de luxo, com elasticidade-renda estritamente maior que 2. Então o bem 2 deve ser um bem inferior.

Gabarito

Respostas: 11001

Justificativa por item:

Item 0 — V: Pela Equação de Slutsky, $\frac{\partial x}{\partial p} = \underbrace{\frac{\partial h}{\partial p}}_{\leq 0} - x \underbrace{\frac{\partial x}{\partial I}}_{> 0 \text{ (normal)}}$. Ambos os termos são não-positivos, logo $\frac{\partial x}{\partial p} \leq 0$ — impossível ser Giffen.
Item 1 — V: Pela Equação de Slutsky, se $\frac{\partial x}{\partial p} > 0$ (Giffen), dado que $\frac{\partial h}{\partial p} \leq 0$, é necessário que $-x \frac{\partial x}{\partial I} > 0$, ou seja, $\frac{\partial x}{\partial I} < 0$: o bem é inferior.
Item 2 — V: Pela Agregação de Engel: $w_x \varepsilon_{x,I} + w_y \varepsilon_{y,I} = 1$. Com $\varepsilon_{x,I} = 1$: $w_x + w_y \varepsilon_{y,I} = 1$. Como $w_x + w_y = 1$, segue que $w_y \varepsilon_{y,I} = w_y$, logo $\varepsilon_{y,I} = 1$.
Item 3 — F: Pela Condição de Homogeneidade: $\varepsilon_{1,p_1} + \varepsilon_{1,p_2} + \varepsilon_{1,I} = 0$. O bem 1 é comum ($\varepsilon_{1,p_1} < 0$) e elástico ($\varepsilon_{1,p_1} < -1$). É complementar bruto de 2 ($\varepsilon_{1,p_2} < 0$). Então $\varepsilon_{1,I} = -(\varepsilon_{1,p_1} + \varepsilon_{1,p_2}) > 1$. O bem 1 é de luxo (não necessidade).
Item 4 — V: Pela Agregação de Engel: $0{,}5 \cdot \varepsilon_{1,I} + 0{,}5 \cdot \varepsilon_{2,I} = 1$, logo $\varepsilon_{1,I} + \varepsilon_{2,I} = 2$. Se $\varepsilon_{1,I} > 2$, então $\varepsilon_{2,I} < 0$: o bem 2 é inferior.

ANPEC 2017 — Questão 04

Um consumidor, cuja função utilidade é dada por $U(x, y) = \sqrt{x} + y$, possui renda $R = \$2{,}50$. O preço do bem $y$ é unitário e $P$ representa o preço de $x$. O preço $P$ inicialmente é vinte e cinco centavos e passa em um segundo momento para cinquenta centavos. Avalie as proposições:

Itens: (marque 0 para Falso, 1 para Verdadeiro)

Item	Afirmação
0	Na situação inicial o consumidor alcança utilidade $U = 3$.
1	No segundo momento a cesta consumida será $(x,y) = (1,3)$.
2	A variação compensadora (VC) é igual a vinte e cinco centavos, que devem ser dados ao consumidor após a mudança no preço.
3	A variação equivalente (VE) requer que se tire dinheiro do consumidor antes da variação no preço para que, neste caso, a utilidade se reduza em meia unidade.
4	Neste caso, as variações compensadora e equivalente são iguais ao excedente do consumidor.

Gabarito

Respostas: 00011

Justificativa por item:

Item 0 — F: CPO: $\frac{1}{2\sqrt{x}} = P$, logo $x = \frac{1}{4P^2}$. Com $P_0 = 0{,}25$: $x_0 = \frac{1}{4 \times 0{,}0625} = 4$, $y_0 = 2{,}5 - 0{,}25 \times 4 = 1{,}5$. $U_0 = \sqrt{4} + 1{,}5 = 2 + 1{,}5 = 3{,}5$. Não é 3.
Item 1 — F: Com $P_1 = 0{,}50$: $x_1 = \frac{1}{4 \times 0{,}25} = 1$, $y_1 = 2{,}5 - 0{,}5 \times 1 = 2{,}0$. A cesta é $(1; 2)$, não $(1; 3)$.
Item 2 — F: Função dispêndio (quase-linear): $E(P, \bar{U}) = \bar{U} - \frac{1}{4P}$. $VC = E(P_1, U_0) - R = (3{,}5 - 0{,}5) - 2{,}5 = 0{,}5$, não 0,25.
Item 3 — V: $VE = R - E(P_0, U_1) = 2{,}5 - (3{,}0 - 1) = 0{,}5$. A utilidade original era 3,5 e a final é 3,0 — uma redução de meia unidade. Tirar $\$0{,}50$ do consumidor aos preços iniciais produz utilidade $3{,}5 - 0{,}5 = 3{,}0 = U_1$. ✓
Item 4 — V: Para utilidade quase-linear, $VC = VE = \Delta EC$. Neste caso, $\Delta EC = \int_{0{,}25}^{0{,}50} \frac{1}{4P^2}\,dP = \left[-\frac{1}{4P}\right]_{0{,}25}^{0{,}50} = (-0{,}5) - (-1) = 0{,}5$. As três medidas coincidem em $\$0{,}50$. ✓

ANPEC 2025 — Questão 08

Considere uma utilidade $U(X,Y) = \sqrt{XY}$, $p_0 = \$9$ o preço inicial de $X$, $q_0 = \$1$ o preço inicial de $Y$ e $r_0 = \$576$ a renda do indivíduo. Posteriormente, o preço de $X$ sobe para $p_1 = \$16$. Esta questão trata da decomposição de Slutsky e, em particular, do efeito-preço de Slutsky, mas trata também do chamado efeito-preço puro, no sentido de Gary Becker. O efeito-preço puro é determinado do seguinte modo: dada a mudança de preço do bem $X$, considera-se o incremento de renda precisamente suficiente para tornar factível novamente a cesta marshalliana inicial; sob essa nova linha orçamentária, determina-se a demanda marshalliana $X_b$ pelo bem $X$; se $X_0$ denota a demanda marshalliana inicial, então o efeito-preço puro é $EP_{\text{puro}} = X_b - X_0$. Julgue:

Itens: (marque 0 para Falso, 1 para Verdadeiro)

Item	Afirmação
0	A demanda marshalliana inicial é $(X_0, Y_0) = (32, 288)$.
1	Dada a mudança de preço, a renda necessária para o indivíduo manter o nível de utilidade anterior é $\$768$.
2	O efeito-preço de Slutsky (sobre o bem $X$) decorrente da mudança de preço é $EP = -16$, ou seja, uma redução de 16 unidades no consumo de $X$.
3	O efeito-substituição de Slutsky (sobre o bem $X$) é $ES = -6$, ou seja, uma redução de 6 unidades no consumo de $X$.
4	O efeito-preço puro (sobre o bem $X$) é $EP_{\text{puro}} = -7$, ou seja, uma redução de 7 unidades no consumo de $X$.

Gabarito

Respostas: 11001

Justificativa por item:

Item 0 — V: Para $U = \sqrt{XY}$ (Cobb-Douglas com $a = b = 1/2$): $X_0 = r/(2p_0) = 576/18 = 32$, $Y_0 = r/(2q_0) = 576/2 = 288$. ✓
Item 1 — V: $U_0 = \sqrt{32 \times 288} = \sqrt{9216} = 96$. Função dispêndio: $E = 2U_0\sqrt{p_1 q_0} = 2 \times 96 \times \sqrt{16} = 192 \times 4 = 768$. ✓
Item 2 — F: O efeito total (efeito-preço) é: $X_1 = r/(2p_1) = 576/32 = 18$. $EP = X_1 - X_0 = 18 - 32 = -14$, não $-16$.
Item 3 — F: Compensação de Slutsky: a renda que torna a cesta original acessível é $r_S = p_1 X_0 + q_0 Y_0 = 16 \times 32 + 288 = 800$. Demanda sob compensação: $X_S = r_S/(2p_1) = 800/32 = 25$. $ES = X_S - X_0 = 25 - 32 = -7$, não $-6$.
Item 4 — V: O efeito-preço puro (Becker) segue o mesmo procedimento da compensação de Slutsky: incrementa-se a renda para que a cesta original seja factível ($r_S = 800$), e calcula-se a nova demanda marshalliana. $X_b = 800/32 = 25$. $EP_{\text{puro}} = 25 - 32 = -7$. ✓

Item	Afirmação
0	A demanda marshalliana inicial é \((X_0, Y_0) = (32, 288)\).
1	Dada a mudança de preço, a renda necessária para o indivíduo manter o nível de utilidade anterior é \(\$768\).
2	O efeito-preço de Slutsky (sobre o bem \(X\)) decorrente da mudança de preço é \(EP = -16\), ou seja, uma redução de 16 unidades no consumo de \(X\).
3	O efeito-substituição de Slutsky (sobre o bem \(X\)) é \(ES = -6\), ou seja, uma redução de 6 unidades no consumo de \(X\).
4	O efeito-preço puro (sobre o bem \(X\)) é \(EP_{\text{puro}} = -7\), ou seja, uma redução de 7 unidades no consumo de \(X\).