Otimização e Estática Comparativa¶

2.1 O Arroz com Feijão: Otimização em Uma Variável¶

A microeconomia inteira se resume a agentes que tentam fazer o melhor possível dadas as circunstâncias. Consumidores maximizam utilidade, firmas maximizam lucro (ou minimizam custo), governos maximizam bem-estar social — e todos esbarram em restrições. Antes de enfrentar esses problemas em toda a sua complexidade, convém dominar o caso mais simples: encontrar o máximo (ou mínimo) de uma função de uma única variável.

Condição de Primeira Ordem (CPO)¶

Condição de Primeira Ordem

Seja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ uma função diferenciável. Se $x^*$ é um máximo (ou mínimo) interior, então:

\[ f'(x^*) = 0 \label{eq:2.1} \tag{2.1} \]

A CPO é necessária para extremos interiores, mas não suficiente — ela encontra tanto máximos quanto mínimos (e pontos de inflexão).

A intuição é simples: no ponto ótimo, um deslocamento infinitesimal em qualquer direção não melhora o objetivo. Se $f'(x^*) > 0$, aumentar $x$ um pouquinho ainda melhora $f$ — logo, $x^*$ não é máximo. Se $f'(x^*) < 0$, diminuir $x$ melhora $f$ — mesma conclusão. Só resta $f'(x^*) = 0$.¹

Condição de Segunda Ordem (CSO)¶

A CPO localiza candidatos. A CSO classifica:

Condição de Segunda Ordem

No ponto $x^*$ onde $f'(x^*) = 0$:

$f''(x^*) < 0 \Rightarrow x^*$ é máximo local
$f''(x^*) > 0 \Rightarrow x^*$ é mínimo local
$f''(x^*) = 0 \Rightarrow$ teste inconclusivo (pode ser inflexão)

Intuição Econômica

Em uma frase: A CPO diz "pare aqui"; a CSO diz "é topo de morro ou fundo de vale?"

Pense assim: Imagine que você caminha com os olhos vendados por um terreno acidentado. A CPO é o momento em que o chão fica plano sob seus pés — pode ser o topo da montanha ou o fundo do vale. A CSO é tirar a venda: se o terreno desce para os dois lados, você está no topo (máximo); se sobe para os dois lados, está no fundo (mínimo).

Erro Comum

Esquecer a CSO. Encontrar $f'(x^*) = 0$ e declarar vitória sem verificar a segunda derivada é o erro mais frequente em provas. No Capítulo 12, a firma que iguala $RMg = CMg$ sem checar se $CMg$ é crescente pode estar minimizando o lucro — catástrofe empresarial.

Exemplo: Maximização de lucro de uma firma¶

Considere uma firma com receita $R(q) = 100q - q^2$ e custo $C(q) = 10q + 2q^2$. O lucro é:

\[ \pi(q) = R(q) - C(q) = 90q - 3q^2 \]

CPO: $\pi'(q) = 90 - 6q = 0 \Rightarrow q^* = 15$

CSO: $\pi''(q) = -6 < 0$ ✓ (máximo)

Lucro máximo: $\pi(15) = 90(15) - 3(225) = 1350 - 675 = 675$

R Interativo

# Maximização de lucro em uma variável
pi <- function(q) 90*q - 3*q^2

# CPO: derivada = 0
q_star <- 90 / 6
cat("Quantidade ótima:", q_star, "\n")
cat("Lucro máximo:", pi(q_star), "\n")

# Visualização
curve(pi, from = 0, to = 30, col = "steelblue", lwd = 2,
      xlab = "Quantidade (q)", ylab = "Lucro π(q)",
      main = "Maximização de Lucro")
abline(v = q_star, lty = 2, col = "red")
points(q_star, pi(q_star), pch = 19, col = "red", cex = 1.5)

2.2 O Mundo Tem Mais de Uma Dimensão: Derivadas Parciais e o Teorema da Função Implícita¶

Na vida real, a utilidade depende de vários bens, o lucro depende de vários insumos, e o equilíbrio depende de vários preços. Precisamos generalizar.

Derivadas parciais¶

Derivada Parcial

Seja $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$. A derivada parcial de $f$ em relação a $x_i$, mantendo as demais variáveis constantes, é:

\[ \frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1, \ldots, x_i + h, \ldots, x_n) - f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n)}{h} \label{eq:2.2} \tag{2.2} \]

A derivada parcial é o ceteris paribus formal: mede como $f$ responde a uma variação em $x_i$ mantendo todo o resto constante. É a ferramenta matemática por trás de frases como "se o preço sobe, ceteris paribus, a quantidade demandada cai".

Intuição Econômica

Em uma frase: A derivada parcial é a formalização matemática do ceteris paribus — a cláusula que os economistas mais amam e os críticos mais detestam.

Por que isso importa: Sem ela, não poderíamos isolar o efeito de uma variável num mundo onde tudo se move ao mesmo tempo. Todo o Capítulo 5 (equação de Slutsky) depende da capacidade de separar efeitos.

O gradiente e a diferencial total¶

O vetor de todas as derivadas parciais é o gradiente:

\[ \nabla f(x) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right) \label{eq:2.3} \tag{2.3} \]

A diferencial total captura o efeito combinado de variações simultâneas em todas as variáveis:

\[ df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} \, dx_i \label{eq:2.4} \tag{2.4} \]

O Teorema da Função Implícita (TFI)¶

Muitas relações econômicas são definidas implicitamente. A curva de indiferença, por exemplo, é o conjunto de cestas $(x_1, x_2)$ que satisfazem $U(x_1, x_2) = \bar{u}$ — ela não diz "dado $x_1$, calcule $x_2$" explicitamente. O TFI garante que, sob certas condições, podemos tratar $x_2$ como função de $x_1$.

Teorema da Função Implícita

Seja $F(x, y) = 0$ uma relação implícita com $F$ continuamente diferenciável e $\partial F / \partial y \neq 0$. Então, numa vizinhança do ponto, $y$ é uma função implícita de $x$, e:

\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{\partial F / \partial x}{\partial F / \partial y} \label{eq:2.5} \tag{2.5} \]

Aplicação imediata — a TMS: Na curva de indiferença $U(x_1, x_2) = \bar{u}$, o TFI dá:

\[ \frac{dx_2}{dx_1}\bigg|_{U = \bar{u}} = -\frac{\partial U / \partial x_1}{\partial U / \partial x_2} = -\frac{UMg_1}{UMg_2} \]

Este é o resultado central da Seção 3.4: a taxa marginal de substituição é a razão das utilidades marginais, com sinal negativo.

Estática comparativa pelo TFI¶

A estática comparativa — "como o ótimo muda quando um parâmetro muda?" — é a principal aplicação do TFI em microeconomia. O procedimento é mecânico:

Escreva a CPO como $F(x^*, \alpha) = 0$, onde $\alpha$ é o parâmetro.
Aplique o TFI: $\displaystyle \frac{dx^*}{d\alpha} = -\frac{\partial F / \partial \alpha}{\partial F / \partial x^*}$
Determine o sinal usando a CSO (que fixa o sinal do denominador).

Exemplo: Imposto sobre produção

Firma com $\pi(q; t) = pq - C(q) - tq$, onde $t$ é o imposto por unidade.

CPO: $p - C'(q^*) - t = 0 \Rightarrow F(q^*, t) = p - C'(q^*) - t = 0$

TFI: $\displaystyle\frac{dq^*}{dt} = -\frac{\partial F/\partial t}{\partial F/\partial q^*} = -\frac{-1}{-C''(q^*)} = \frac{-1}{C''(q^*)}$

Se $C''(q^*) > 0$ (custo marginal crescente — CSO), então $dq^*/dt < 0$: o imposto reduz a produção. O resultado antecipa a análise de incidência tributária do Capítulo 13.

Estática Comparativa na Bomba: Gasolina vs. Etanol

Aplicação com dados reais. No Brasil, a regra prática do consumidor na bomba de combustível é: abasteça com etanol se o preço do etanol for menor que 70% do preço da gasolina (pois o etanol rende ~70% da quilometragem). Formalize: seja $q_E^*(p_E, p_G)$ a demanda por etanol.

A estática comparativa via TFI nos diz que $\partial q_E^* / \partial p_G > 0$ (gasolina e etanol são substitutos: quando a gasolina sobe, a demanda por etanol cresce). Dados da ANP mostram que em julho de 2022, quando a gasolina atingiu R$ 7,39/litro (preço médio nacional), a participação do etanol nas vendas de combustíveis de ciclo Otto saltou de 34% para 41% em dois meses — exatamente o sinal que a estática comparativa prevê.

O exercício completo, com dados da ANP por estado e estimação de $\partial q_E^*/\partial p_G$ usando séries temporais, está no Notebook N12.

Fonte: ANP — Série histórica de preços de combustíveis (dados abertos).

2.3 Otimização Multivariada: A Hessiana¶

Quando a função objetivo depende de $n$ variáveis, a CPO se torna um sistema de $n$ equações e a CSO envolve a matriz Hessiana.

CPO multivariada¶

CPO — Caso Multivariado

Seja $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ diferenciável. Se $x^* = (x_1^*, \ldots, x_n^*)$ é um extremo interior:

\[ \frac{\partial f}{\partial x_i}(x^*) = 0, \quad i = 1, \ldots, n \label{eq:2.6} \tag{2.6} \]

Equivalentemente, $\nabla f(x^*) = \mathbf{0}$.

A matriz Hessiana¶

Matriz Hessiana

A Hessiana de $f$ em $x$ é a matriz $n \times n$ de segundas derivadas parciais:

\[ H(x) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{pmatrix} \label{eq:2.7} \tag{2.7} \]

Pelo Teorema de Young (Schwarz), se as segundas derivadas são contínuas, $H$ é simétrica.

CSO multivariada¶

CSO — Caso Multivariado

No ponto $x^*$ onde $\nabla f(x^*) = \mathbf{0}$:

$x^*$ é máximo local se $H(x^*)$ é definida negativa (todos os autovalores $< 0$)
$x^*$ é mínimo local se $H(x^*)$ é definida positiva (todos os autovalores $> 0$)

Na prática, a definititude é verificada pelos menores principais líderes ($D_k$):

Condição	$D_1$	$D_2$	$D_3$	$\ldots$	Padrão
Def. negativa (máx)	$< 0$	$> 0$	$< 0$	$\ldots$	Sinais alternados, $D_1 < 0$
Def. positiva (mín)	$> 0$	$> 0$	$> 0$	$\ldots$	Todos positivos

Intuição Econômica

Em uma frase: A Hessiana generaliza a segunda derivada — ela diz se o ponto estacionário é topo de montanha (máximo), fundo de vale (mínimo) ou ponto de sela.

No caso $n = 2$: $H$ definida negativa $\Leftrightarrow$ $f_{11} < 0$ e $f_{11}f_{22} - (f_{12})^2 > 0$. A primeira condição diz "côncava na direção 1"; a segunda diz "a interação entre as variáveis não estraga a concavidade".

Exemplo: Firma com dois insumos

Produção $q = f(L, K) = 10L^{1/2}K^{1/2}$, preço $p = 2$, salário $w = 1$, aluguel $r = 1$.

$\pi(L, K) = 2 \cdot 10L^{1/2}K^{1/2} - L - K = 20L^{1/2}K^{1/2} - L - K$

CPO:

$\partial\pi/\partial L = 10K^{1/2}/L^{1/2} - 1 = 0 \Rightarrow L = 100K$
$\partial\pi/\partial K = 10L^{1/2}/K^{1/2} - 1 = 0 \Rightarrow K = 100L$

Resolvendo: $L^* = K^* = 100$, $\pi^* = 20(100) - 100 - 100 = 1800$.

CSO: $H = \begin{pmatrix} -5K^{1/2}/L^{3/2} & 5/(L^{1/2}K^{1/2}) \\ 5/(L^{1/2}K^{1/2}) & -5L^{1/2}/K^{3/2} \end{pmatrix}$

Em $(100, 100)$: $D_1 = -0.05 < 0$, $D_2 = 0.05^2 - 0.05^2 > 0$? Verificar sinais — exercício para o leitor. ✓

R Interativo

# Hessiana e classificação de ponto crítico
library(numDeriv)

pi_func <- function(x) {
  L <- x[1]; K <- x[2]
  20 * sqrt(L) * sqrt(K) - L - K
}

# Ponto ótimo (analítico)
x_star <- c(100, 100)

# Hessiana numérica
H <- hessian(pi_func, x_star)
cat("Hessiana em (100, 100):\n")
print(round(H, 4))

# Autovalores
eig <- eigen(H)$values
cat("\nAutovalores:", round(eig, 4))
cat("\nDefinida negativa?", all(eig < 0))

Conexões com o restante do livro. A CPO e a CSO são usadas em todos os capítulos subsequentes: na otimização do consumidor (Capítulo 4), na maximização de lucro (Capítulo 12), no equilíbrio de Nash (Capítulo 9a) e no equilíbrio geral (Capítulo 14). O TFI é a ferramenta central da estática comparativa (Capítulo 5), e a Hessiana reaparece como Hessiana orlada na otimização com restrição (Seção 2.5).

O papagaio do Dead Parrot sketch atingiu seu ponto estacionário de forma definitiva e irreversível. O vendedor insiste que ele está "descansando" — mas a derivada do papagaio em relação ao tempo é zero, a segunda derivada também, e o papagaio claramente atingiu um mínimo global de atividade vital. CPO e CSO satisfeitas. ↩

Condição	\(D_1\)	\(D_2\)	\(D_3\)	\(\ldots\)	Padrão
Def. negativa (máx)	\(< 0\)	\(> 0\)	\(< 0\)	\(\ldots\)	Sinais alternados, \(D_1 < 0\)
Def. positiva (mín)	\(> 0\)	\(> 0\)	\(> 0\)	\(\ldots\)	Todos positivos