Condições de Kuhn-Tucker¶

2.7 E Se a Resposta For "Nada"? Soluções de Canto e Restrições de Desigualdade¶

O Lagrange funciona perfeitamente quando a restrição é uma igualdade e a solução é interior — o consumidor compra um pouco de cada bem. Mas o mundo real é cheio de zeros: o vegano consome zero carne; a firma que não consegue cobrir o custo variável produz zero; o investidor avesso ao risco pode alocar zero em ações. Quando a solução pode estar na fronteira do domínio, precisamos das condições de Kuhn-Tucker (KKT).¹

Formulação¶

Condições de Kuhn-Tucker (KKT)

Considere o problema:

\[ \max_{x \geq 0} f(x) \quad \text{sujeito a} \quad g_j(x) \leq c_j, \quad j = 1, \ldots, m \label{eq:2.16} \tag{2.16} \]

As condições necessárias (sob constraint qualification) são:

1. CPO (estacionariedade):

\[ \frac{\partial f}{\partial x_i} - \sum_{j=1}^m \lambda_j \frac{\partial g_j}{\partial x_i} \leq 0, \quad i = 1, \ldots, n \label{eq:2.17} \tag{2.17} \]

2. Complementary slackness (variáveis):

\[ x_i \left(\frac{\partial f}{\partial x_i} - \sum_j \lambda_j \frac{\partial g_j}{\partial x_i}\right) = 0, \quad i = 1, \ldots, n \label{eq:2.18} \tag{2.18} \]

3. Factibilidade primal:

\[ g_j(x) \leq c_j, \quad j = 1, \ldots, m \label{eq:2.19} \tag{2.19} \]

4. Não-negatividade dual:

\[ \lambda_j \geq 0, \quad j = 1, \ldots, m \label{eq:2.20} \tag{2.20} \]

5. Complementary slackness (restrições):

\[ \lambda_j (c_j - g_j(x)) = 0, \quad j = 1, \ldots, m \label{eq:2.21} \tag{2.21} \]

Complementary slackness: o coração do KKT¶

Intuição Econômica

Em uma frase: Complementary slackness diz que, no ótimo, ou a restrição é ativa (\(g_j = c_j\) e \(\lambda_j > 0\)) ou o recurso sobra (\(g_j < c_j\) e \(\lambda_j = 0\)) — nunca os dois ao mesmo tempo.

Pense assim: Se você não gastou toda a renda (\(g < c\)), então a renda não é escassa — seu preço-sombra é zero (\(\lambda = 0\)). Mas se a restrição é apertada (\(g = c\)), o recurso é valioso e \(\lambda > 0\).

Para as variáveis: Se o consumidor escolhe \(x_i > 0\), a utilidade marginal por real deve ser exatamente igual ao preço-sombra (igualdade na CPO). Se \(x_i = 0\) (solução de canto), a utilidade marginal por real pode ser menor que o preço-sombra — o bem "não vale o que custa".

Solução interior vs. solução de canto¶

A distinção é fundamental para toda a teoria do consumidor:

Caso	Condição	Interpretação
Interior (\(x_i^* > 0\))	\(\frac{\partial f}{\partial x_i} = \lambda \frac{\partial g}{\partial x_i}\)	UMg/preço é igual para todos os bens consumidos
Canto (\(x_i^* = 0\))	\(\frac{\partial f}{\partial x_i} \leq \lambda \frac{\partial g}{\partial x_i}\)	UMg/preço é baixa demais para justificar o consumo

No Capítulo 4, essa distinção aparece na escolha de cestas com bens substitutos perfeitos (o consumidor compra apenas o mais barato) e em soluções com preferências quase-lineares (o consumidor pode consumir zero do bem "luxo").

Exemplo: Consumidor com dois bens e possível solução de canto

\(U(x_1, x_2) = x_1 + 2\ln(x_2)\), sujeito a \(x_1 + 4x_2 = 10\), \(x_1, x_2 \geq 0\).

Lagrangeano: \(\mathcal{L} = x_1 + 2\ln(x_2) - \lambda(x_1 + 4x_2 - 10)\)

KKT:

\(\partial \mathcal{L}/\partial x_1 = 1 - \lambda \leq 0\), \(x_1(1 - \lambda) = 0\)
\(\partial \mathcal{L}/\partial x_2 = 2/x_2 - 4\lambda = 0\) (assumindo \(x_2 > 0\))
\(x_1 + 4x_2 = 10\)

Caso 1: Interior (\(x_1 > 0\)). Então \(\lambda = 1\) e \(2/x_2 = 4 \Rightarrow x_2 = 1/2\), \(x_1 = 8\). Verificar: \(U = 8 + 2\ln(0.5) = 8 - 1.39 = 6.61\).

Caso 2: Canto (\(x_1 = 0\)). Então \(4x_2 = 10 \Rightarrow x_2 = 2.5\), \(\lambda = 2/(4 \cdot 2.5) = 0.2\). Verificar \(1 - 0.2 = 0.8 > 0\)... viola a CPO (\(\leq 0\)). Logo este caso é infactível.

Solução: Interior, \(x_1^* = 8\), \(x_2^* = 0.5\).

Condições suficientes¶

Suficiência via concavidade

Se \(f\) é côncava e cada \(g_j\) é convexa, as condições KKT são necessárias e suficientes para um máximo global.

Na prática, funções de utilidade côncavas e restrições orçamentárias lineares (portanto convexas) satisfazem automaticamente essa condição — o que explica por que as KKT funcionam tão bem nos problemas do consumidor e da firma.

Erro Comum

Ignorar a constraint qualification. As condições KKT exigem que os gradientes das restrições ativas sejam linearmente independentes no ótimo. Quando isso falha (caso raro mas possível), o KKT pode não ser necessário. Em termos práticos: se a restrição tem uma "ponta" (não é diferenciável) no ótimo, cuidado.

R Interativo

# Solução de canto vs. interior
# U = x1 + 2*ln(x2), restrição: x1 + 4*x2 = 10

x2 <- seq(0.01, 2.5, length.out = 200)
x1 <- 10 - 4 * x2
x1[x1 < 0] <- NA

U <- x1 + 2 * log(x2)

plot(x2, U, type = "l", lwd = 2, col = "steelblue",
     xlab = expression(x[2]), ylab = "U",
     main = "Utilidade ao longo da restrição orçamentária")

# Ótimo
x2_star <- 0.5
U_star <- (10 - 4*0.5) + 2*log(0.5)
points(x2_star, U_star, pch = 19, col = "red", cex = 1.5)
text(x2_star + 0.15, U_star, paste0("x2*=", x2_star), col = "red")
abline(v = x2_star, lty = 2, col = "red")

Conexão. O Lagrange e o KKT nos dizem como encontrar o ótimo. Mas nem sempre nos dizem se as CPOs bastam. A resposta depende da curvatura da função objetivo — e é precisamente isso que a Seção 2.8 examina: concavidade, convexidade e quase-concavidade.

"We are the Knights Who Say 'Ni!'" Os cavaleiros exigem condições absurdas para permitir a passagem — e se qualquer condição não for satisfeita, o deal é cancelado. As condições KKT funcionam de maneira semelhante: são um conjunto de exigências simultâneas (CPO, factibilidade, não-negatividade do multiplicador, complementary slackness) que todas devem ser satisfeitas para caracterizar o ótimo. Esqueça uma e o equilíbrio desmorona — como Arthur e seus cavaleiros descobriram ao tentar dizer "Ni" sem a licença. ↩