Concavidade, Homogeneidade e Teorema de Euler¶
2.8 Quando as CPOs Bastam: Concavidade e Quase-Concavidade¶
Nas seções anteriores, encontramos candidatos a ótimo (CPO) e os classificamos (CSO). Mas em muitos problemas econômicos, podemos pular a CSO inteiramente — porque a forma da função garante que qualquer ponto estacionário é automaticamente o ótimo global. Essa garantia vem de propriedades de curvatura: concavidade, convexidade e, especialmente, quase-concavidade.
Conjuntos convexos¶
Conjunto Convexo
Um conjunto \(S \subseteq \mathbb{R}^n\) é convexo se, para quaisquer \(x, y \in S\) e \(\theta \in [0, 1]\):
Geometricamente: o segmento de reta entre quaisquer dois pontos do conjunto está inteiramente contido nele.
Exemplos econômicos: a restrição orçamentária \(\{x : px \leq m\}\) é convexa; o conjunto de cestas preferidas \(\{x : U(x) \geq \bar{u}\}\) é convexo quando \(U\) é quase-côncava.
Funções côncavas e convexas¶
Concavidade e Convexidade
Uma função \(f: S \to \mathbb{R}\) (com \(S\) convexo) é:
- Côncava se, para todo \(x, y \in S\) e \(\theta \in [0, 1]\):
- Convexa se a desigualdade é invertida (\(\leq\)).
- Estritamente côncava/convexa se a desigualdade é estrita para \(x \neq y\) e \(\theta \in (0, 1)\).
Intuição Econômica
Em uma frase: Uma função côncava "fica abaixo das cordas" — qualquer média ponderada dos inputs dá um output pelo menos tão bom quanto a média dos outputs.
Pense assim: A utilidade côncava é o fundamento da aversão ao risco (Capítulo 7): o consumidor prefere o valor esperado da loteria à loteria em si, porque a curva de utilidade está acima da corda que liga os dois resultados possíveis. A Desigualdade de Jensen (\(E[U(x)] \leq U(E[x])\)) é literalmente a definição de concavidade aplicada a esperanças.
Caracterização via derivadas¶
| Propriedade | Condição em \(f''\) (1 var.) | Condição na Hessiana \(H\) (\(n\) var.) |
|---|---|---|
| Côncava | \(f'' \leq 0\) | \(H\) semidefinida negativa |
| Estritamente côncava | \(f'' < 0\) | \(H\) definida negativa |
| Convexa | \(f'' \geq 0\) | \(H\) semidefinida positiva |
Quase-concavidade: a curvatura que importa para as preferências¶
Quase-Concavidade
\(f\) é quase-côncava se, para todo \(x, y\) com \(f(x) \geq f(y)\) e \(\theta \in [0, 1]\):
Equivalentemente: os conjuntos de nível superior \(\{x : f(x) \geq c\}\) são convexos para todo \(c\).
Intuição Econômica
Em uma frase: Quase-concavidade garante curvas de indiferença "bem comportadas" — convexas em direção à origem.
Por que importa mais que concavidade para preferências: A utilidade é ordinal no Capítulo 3 — transformações monotônicas crescentes não alteram as preferências. Concavidade não é preservada por transformações monotônicas, mas quase-concavidade sim. Logo, quase-concavidade é a propriedade "certa" para curvas de indiferença: ela garante que a tangência com a reta orçamentária encontra um máximo global, sem depender da escala de \(U\).
Concavidade, quase-concavidade e suficiência¶
| Propriedade de \(f\) | CPO necessária? | CPO suficiente? | Exemplo econômico |
|---|---|---|---|
| Estritamente côncava | ✅ | ✅ (máx global único) | \(U = \ln x_1 + \ln x_2\) |
| Côncava | ✅ | ✅ (máx global, possivelmente múltiplo) | \(U = \min(x_1, x_2)\) |
| Quase-côncava | ✅ | ✅ (com restrição convexa) | \(U = x_1 x_2\) |
| Nenhuma das anteriores | ✅ | ❌ (CSO necessária) | \(U = x_1^2 + x_2^2\) |
Erro Comum
Confundir côncava com quase-côncava. Toda função côncava é quase-côncava, mas a recíproca é falsa. \(f(x) = x^3\) é quase-côncava (em \(\mathbb{R}\)) mas não côncava. Para preferências, quase-concavidade basta; para aversão ao risco, precisa-se de concavidade "de verdade".
2.9 Funções Homogêneas e o Teorema de Euler¶
Homogeneidade¶
Função Homogênea de Grau \(k\)
\(f: \mathbb{R}^n_+ \to \mathbb{R}\) é homogênea de grau \(k\) se, para todo \(t > 0\):
Exemplos centrais:
| Função | Grau \(k\) | Onde aparece |
|---|---|---|
| \(f(L, K) = AL^\alpha K^\beta\) (Cobb-Douglas) | \(\alpha + \beta\) | Cap. 10: retornos de escala |
| Demanda marshalliana \(x(p, m)\) | 0 em \((p, m)\) | Cap. 5: ausência de ilusão monetária |
| Função custo \(C(w, q)\) | 1 em \(w\) | Cap. 11: custos sobem proporcionalmente aos preços |
Retornos de escala¶
A homogeneidade da função de produção determina os retornos de escala — um dos conceitos mais importantes da teoria da firma:
| Grau | \(f(tL, tK)\) vs. \(tf(L, K)\) | Retornos |
|---|---|---|
| \(k > 1\) | \(>\) | Crescentes (IRS) |
| \(k = 1\) | \(=\) | Constantes (CRS) |
| \(k < 1\) | \(<\) | Decrescentes (DRS) |
Teorema de Euler¶
Teorema de Euler
Se \(f\) é homogênea de grau \(k\) e diferenciável, então:
Prova: Derive \(f(tx) = t^k f(x)\) em relação a \(t\) pela regra da cadeia: \(\sum_i x_i f_i(tx) = kt^{k-1}f(x)\). Avalie em \(t = 1\). \(\blacksquare\)
Aplicações econômicas do Teorema de Euler¶
-
Esgotamento do produto (CRS): Se \(f(L, K)\) é homogênea de grau 1, então \(L \cdot PMg_L + K \cdot PMg_K = f(L, K)\) — pagar a cada fator seu produto marginal esgota exatamente o produto total. Este resultado é a base da teoria da distribuição de renda (Capítulo 17).
-
Funções de demanda: A demanda marshalliana \(x(p, m)\) é homogênea de grau 0 em \((p, m)\) — dobrar todos os preços e a renda não muda a cesta escolhida. Pelo Teorema de Euler: \(\sum_j \frac{\partial x_i}{\partial p_j} p_j + \frac{\partial x_i}{\partial m} m = 0\), que gera a agregação de elasticidades do Capítulo 5.
Intuição Econômica
Em uma frase: O Teorema de Euler é a garantia de que, em concorrência perfeita com retornos constantes de escala, a conta fecha: a firma paga todos os fatores o que eles "merecem" e não sobra nada.
Por que isso importa: Se há retornos crescentes (\(k > 1\)), pagar cada fator seu produto marginal geraria um déficit — a soma das fatias excede o bolo. Isso é uma das razões pelas quais rendimentos crescentes e concorrência perfeita são incompatíveis, tema central do Capítulo 15 (monopólio).
Derivadas de funções homogêneas¶
Propriedade das derivadas
Se \(f\) é homogênea de grau \(k\), então \(\partial f / \partial x_i\) é homogênea de grau \(k - 1\).
Corolário: O produto marginal de uma função de produção CRS (\(k = 1\)) depende apenas das proporções dos insumos, não dos níveis. Se \(f(L, K) = L^\alpha K^{1-\alpha}\), então \(PMg_L = \alpha(K/L)^{1-\alpha}\) — função apenas da razão capital-trabalho.
R Interativo
# Verificação do Teorema de Euler para Cobb-Douglas
alpha <- 0.3; beta <- 0.7
f <- function(L, K) L^alpha * K^beta
L <- 10; K <- 20
k <- alpha + beta # grau de homogeneidade
# Derivadas parciais (numéricas)
dL <- (f(L + 0.001, K) - f(L, K)) / 0.001
dK <- (f(L, K + 0.001) - f(K, K)) / 0.001
# Lado esquerdo de Euler
euler_lhs <- L * dL + K * dK
# Lado direito
euler_rhs <- k * f(L, K)
cat("Euler LHS:", round(euler_lhs, 4), "\n")
cat("Euler RHS:", round(euler_rhs, 4), "\n")
cat("Diferença:", round(abs(euler_lhs - euler_rhs), 6), "\n")
# Homogeneidade: f(tL, tK) = t^k * f(L, K)
t <- 2
cat("\nf(2L, 2K) =", f(t*L, t*K), "\n")
cat("t^k * f(L,K) =", t^k * f(L, K), "\n")
Conexão. Este capítulo cobriu o essencial do cálculo multivariado para microeconomia. As Seções 2.10–2.13 apresentam ferramentas complementares — integração (para excedentes), equações diferenciais (para dinâmica intertemporal), probabilidade (para incerteza) e teoremas de ponto fixo (para existência de equilíbrio) — que serão mobilizadas em capítulos específicos.