Soluções dos Exercícios — Capítulo 24¶

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✏️ Exercício 24.1¶

Imposto pigouviano vs. cap-and-trade com duas fábricas.

Cada fábrica emite 80 t de SO₂. CMgA$_A = 3e_A$, CMgA$_B = 6e_B$. Meta: reduzir 80 t no total.

(a) Comando e controle (redução uniforme de 40 t cada)

\[ \text{Custo}_A = \int_0^{40} 3e \, de = \frac{3}{2}(40)^2 = 2{.}400 \]

\[ \text{Custo}_B = \int_0^{40} 6e \, de = \frac{6}{2}(40)^2 = 4{.}800 \]

Custo total: $2{.}400 + 4{.}800 = \mathbf{7{.}200}$.

(b) Alocação eficiente

Igualar custos marginais de abatimento: $3e_A = 6e_B$, portanto $e_A = 2e_B$.

Com $e_A + e_B = 80$: $2e_B + e_B = 80 \implies e_B = 26{,}7$ e $e_A = 53{,}3$.

\[ \text{Custo}_A = \frac{3}{2}(53{,}3)^2 \approx 4{.}267 \]

\[ \text{Custo}_B = \frac{6}{2}(26{,}7)^2 \approx 2{.}138 \]

Custo total: $4{.}267 + 2{.}138 = \mathbf{6{.}405}$ — economia de ~11% em relação ao comando e controle.

(c) Imposto pigouviano ótimo

No ótimo, $t = \text{CMgA}_A(e_A^*) = 3 \times 53{,}3 = 160$ e $t = \text{CMgA}_B(e_B^*) = 6 \times 26{,}7 = 160$.

O imposto ótimo é $t = \mathbf{160}$ por tonelada de SO₂.

(d) Cap-and-trade

Com 80 permissões (cada fábrica recebe 40), o preço de equilíbrio iguala os CMgA: $p_E = 160$.

Fábrica A reduz 53,3 t (precisa só de 80 − 53,3 = 26,7 permissões) → vende 40 − 26,7 = 13,3 permissões.
Fábrica B reduz 26,7 t (precisa de 80 − 26,7 = 53,3 permissões) → compra 53,3 − 40 = 13,3 permissões.

O mercado equilibra automaticamente: Fábrica A (menor custo) reduz mais e vende permissões; Fábrica B (maior custo) reduz menos e compra.

✏️ Exercício 24.2¶

O custo social do carbono e a taxa de desconto.

Danos de US$ 10/ano perpetuamente a partir de $t = 1$ para cada tCO₂ emitida hoje.

(a) SCC para diferentes taxas de desconto

O SCC é o valor presente de uma perpetuidade de US$ 10/ano:

\[ \text{SCC} = \frac{D}{r} = \frac{10}{r} \]

$r = 1\%$: $\text{SCC} = 10/0{,}01 = \text{US\$} \; 1.000$
$r = 3\%$: $\text{SCC} = 10/0{,}03 \approx \text{US\$} \; 333$
$r = 5\%$: $\text{SCC} = 10/0{,}05 = \text{US\$} \; 200$

A diferença é dramática: o SCC com $r = 1\%$ é 5 vezes maior que com $r = 5\%$.

(b) Razão entre SCCs

\[ \frac{\text{SCC}(r_1)}{\text{SCC}(r_2)} = \frac{D/r_1}{D/r_2} = \frac{r_2}{r_1} \]

Depende apenas da razão entre as taxas, não do dano $D$. Isso demonstra a extrema sensibilidade do SCC à taxa de desconto.

(c) SCC com a taxa de Stern

Usando a proporcionalidade:

\[ \text{SCC}(1{,}4\%) = 51 \times \frac{3\%}{1{,}4\%} = 51 \times 2{,}14 \approx \text{US\$} \; 109 \]

A taxa de Stern mais que duplica o SCC estimado — e com ela, o imposto ótimo sobre carbono.

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✏️ Exercício 24.3¶

Weitzman: preços vs. quantidades.

Benefício marginal: $BMg = 100 - 2e$. Custo marginal de abatimento: $CMgA = 20 + e + \varepsilon$, com $E[\varepsilon] = 0$ e $\text{Var}(\varepsilon) = \sigma^2$.

(a) Nível ótimo de abatimento e imposto ótimo

No ótimo esperado ($\varepsilon = 0$): $BMg = CMgA$

\[ 100 - 2e = 20 + e \implies 3e = 80 \implies e^* = 26{,}7 \text{ (aprox.)} \]

\[ t^* = BMg(e^*) = 100 - 2(26{,}7) = 46{,}7 \]

(b) Perda esperada com imposto fixo

Com imposto fixo $t^*$, a firma escolhe $e$ tal que $CMgA = t^*$:

\[ 20 + e + \varepsilon = 46{,}7 \implies e = 26{,}7 - \varepsilon \]

O abatimento desvia de $e^*$ por $-\varepsilon$. A perda de bem-estar (triângulo de Harberger):

\[ L_P = \frac{1}{2} \cdot \frac{|BMg'|}{(|CMgA'|)^2} \cdot \sigma^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1} \cdot \sigma^2 = \sigma^2 \]

(c) Perda esperada com quantidade fixa

Com quantidade fixa $e^*$, o custo marginal realizado difere do benefício marginal. A perda:

\[ L_Q = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \sigma^2 \cdot 2 = \frac{\sigma^2}{4} \]

Usando a fórmula de Weitzman:

\[ L_P - L_Q = \frac{\sigma^2}{2} \cdot \frac{|BMg'| - |CMgA'|}{|CMgA'|^2} = \frac{\sigma^2}{2} \cdot \frac{2 - 1}{1} = \frac{\sigma^2}{2} > 0 \]

(d) Quando o imposto é preferível ao cap?

O imposto gera perda esperada maior que o cap ($L_P > L_Q$) porque $|BMg'| = 2 > |CMgA'| = 1$ — a curva de benefício marginal é mais inclinada. Neste caso, o cap é preferível. O imposto seria preferível se a curva de custo de abatimento fosse mais inclinada que a de benefício marginal.

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✏️ Exercício 24.4¶

Regra de Hotelling.

Depósito com $S_0 = 100$ unidades, custo de extração zero, demanda inversa $p(q) = 200 - 2q$, taxa de juros $r = 10\%$, dois períodos.

(a) Condição de Hotelling

Com custo de extração zero, o preço líquido é o próprio preço. A regra de Hotelling:

\[ p_2 = (1 + r) \cdot p_1 = 1{,}1 \cdot p_1 \]

(b) Quantidades e preços de equilíbrio

Da demanda inversa: $p_1 = 200 - 2q_1$ e $p_2 = 200 - 2q_2$.

Do estoque: $q_2 = 100 - q_1$.

Da condição de Hotelling:

\[ 200 - 2(100 - q_1) = 1{,}1 \cdot (200 - 2q_1) \]

\[ 200 - 200 + 2q_1 = 220 - 2{,}2q_1 \]

\[ 4{,}2q_1 = 220 \implies q_1 = 52{,}4; \quad q_2 = 47{,}6 \]

\[ p_1 = 200 - 2(52{,}4) = 95{,}2; \quad p_2 = 200 - 2(47{,}6) = 104{,}8 \]

Verificação: $104{,}8 / 95{,}2 = 1{,}10$. ✓

(c) Efeito de aumento na taxa de juros

Com $r = 20\%$: $200 - 2(100 - q_1) = 1{,}2 \cdot (200 - 2q_1)$

\[ 2q_1 = 240 - 2{,}4q_1 \implies 4{,}4q_1 = 240 \implies q_1 = 54{,}5 \]

A extração no período 1 aumenta (de 52,4 para 54,5). Intuição: com taxa de juros maior, o custo de oportunidade de deixar o recurso no solo é maior — é mais atraente extrair hoje e investir a receita. A regra de Hotelling implica que juros altos favorecem extração presente e elevam o preço futuro mais rapidamente.

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✏️ Exercício 24.5¶

Valoração contingente do Parque Barigui.

(a) DAP média e mediana

DAP média:

\[ \overline{\text{DAP}} = \frac{0(50) + 5(120) + 10(180) + 20(100) + 50(40) + 100(10)}{500} \]

\[ = \frac{0 + 600 + 1{.}800 + 2{.}000 + 2{.}000 + 1{.}000}{500} = \frac{7{.}400}{500} = \text{R\$} \; 14{,}80 \]

DAP mediana: o valor para o qual 50% dos respondentes declararam DAP igual ou inferior. Acumulando: 50 (até R$ 0) + 120 (até R$ 5) = 170 < 250; + 180 (até R$ 10) = 350 > 250. A mediana é R$ 10/mês.

(b) Valor anual para Curitiba

\[ V_{\text{anual}} = 2{.}000{.}000 \times 14{,}80 \times 12 = \text{R\$} \; 355{,}2 \text{ milhões/ano} \]

(Nota: essa estimativa assume que a DAP da amostra é representativa da população total, o que é uma simplificação.)

(c) DAP mediana vs. média

A DAP mediana (R$ 10) é menor que a média (R$ 14,80) porque a distribuição é assimétrica à direita — poucos respondentes com DAP muito alta (R$ 50–100) "puxam" a média para cima. A mediana é mais robusta a outliers e a vieses de resposta estratégica (respondentes que declaram valores extremamente altos para influenciar a decisão política). Por isso, o painel NOAA (Arrow et al., 1993) recomenda o uso da mediana como estimativa conservadora da DAP.

(d) Vieses potenciais

Viés hipotético: os respondentes podem declarar DAP maior do que realmente pagariam, pois não há consequência financeira real. Mitigação: usar formato de referendo ("Você pagaria R$ X? Sim/Não") em vez de pergunta aberta, e incluir "cheap talk script" alertando sobre o viés.
Viés de protesto: os 50 respondentes com DAP = 0 podem incluir pessoas que valorizam o parque mas se recusam a precificá-lo (por considerarem responsabilidade do governo) — inflando artificialmente os "zeros". Mitigação: incluir pergunta de acompanhamento para identificar "zeros verdadeiros" vs. "zeros de protesto", e excluir os últimos da análise.

✏️ Exercício 24.6¶

Recurso pesqueiro com crescimento logístico.

$G(S) = 0{,}5 \cdot S(1 - S/1.000)$, preço $p = 1$, custo $c = 50/S$.

(a) Rendimento máximo sustentável

$G(S) = 0{,}5S - 0{,}0005S^2$. Maximizando: $G'(S) = 0{,}5 - 0{,}001S = 0$

\[ S^{\text{RMS}} = 500 \text{ toneladas} \]

\[ G(500) = 0{,}5(500)(1 - 500/1.000) = 0{,}5(500)(0{,}5) = 125 \text{ t/ano} \]

O rendimento máximo sustentável é 125 toneladas/ano.

(b) Equilíbrio de acesso livre

No equilíbrio de acesso livre, lucro econômico = 0: receita média = custo médio.

Receita por tonelada de peixe = $p = 1$. Custo por tonelada = $50/S$.

Condição de lucro zero: $p = c/S \implies 1 = 50/S \implies S = 50$.

Espere — vamos verificar. O custo total de pescar $h$ toneladas é $c \cdot h = (50/S) \cdot h$. A receita é $p \cdot h = h$. Lucro: $\pi = h - 50h/S = h(1 - 50/S)$.

Lucro zero: $1 - 50/S = 0 \implies S^{\text{AL}} = 50$.

No estado estacionário de acesso livre: $h = G(50) = 0{,}5(50)(1 - 50/1.000) = 0{,}5(50)(0{,}95) = 23{,}75$ t/ano.

(c) Comparação

$S^{\text{RMS}} = 500$ vs. $S^{\text{AL}} = 50$. O estoque de acesso livre é apenas 10% do estoque RMS — sobreexploração extrema. O rendimento também é muito menor: 23,75 t/ano vs. 125 t/ano. O acesso livre leva simultaneamente a menos peixes no mar e a menos peixes capturados — a "tragédia dos comuns" em ação.

(d) Quota para o RMS

A quota que restabelece o RMS é simplesmente $h = G(S^{\text{RMS}}) = 125$ t/ano. Porém, essa quota só é sustentável quando o estoque se recuperar para $S = 500$. Durante a recuperação, a quota deve ser menor que $G(S)$ para permitir que o estoque cresça. Na prática, isso requer uma moratória ou quota muito reduzida enquanto o estoque se recupera de 50 para 500 toneladas.

✏️ Exercício 24.7¶

Poupança genuína.

PIB = 1.000, $S_{\text{bruta}} = 200$, $D_K = 80$, $D_N = 30$, $P = 15$, $E = 25$.

(a)

\[ S^* = S_{\text{bruta}} - D_K - D_N + E - P = 200 - 80 - 30 + 25 - 15 = \mathbf{100} \]

(b)

Sim, $S^* = 100 > 0$. A economia está em trajetória sustentável no sentido fraco: o investimento líquido em capital total (produzido + humano − depleção natural − dano ambiental) é positivo. O estoque total de capital está crescendo.

(c)

Se o preço do mineral dobra (mantendo a quantidade extraída constante), a renda de escassez dobra, e portanto $D_N$ dobra para 60.

\[ S^{*'} = 200 - 80 - 60 + 25 - 15 = 70 \]

A poupança genuína cai (de 100 para 70). Interpretação: um preço mais alto do mineral aumenta a depleção econômica do recurso — cada tonelada extraída representa uma perda maior de riqueza natural. A economia precisa poupar mais em outras formas de capital para compensar. Paradoxalmente, o aumento do preço do mineral eleva o PIB (pela receita de exportação), mas reduz a sustentabilidade — a menos que a receita adicional seja reinvestida (regra de Hartwick).

✏️ Exercício 24.8¶

EU ETS: preço de equilíbrio e estabilização.

Oferta: $Q_s = 100$. Demanda: $Q_d = 150 - 2p$.

(a) Equilíbrio

\[ 150 - 2p = 100 \implies p = 25 \text{ (€/tCO₂)} \]

Receita do leilão: $100 \times 25 = \text{€} \; 2{.}500$.

(b) Price floor de €30

A $p = 30$: $Q_d = 150 - 60 = 90 < 100$. Há excesso de oferta de 10 permissões. O preço de mercado não pode cair abaixo de €30 (por definição do piso). O regulador absorve as 10 permissões excedentes (comprando-as ao preço mínimo ou retirando-as do mercado). O efeito líquido: emissões caem de 100 para 90, e o preço é €30.

(c) Recessão

Nova demanda: $Q_d' = 120 - 2p$.

\[ 120 - 2p = 100 \implies p = 10 \text{ (€/tCO₂)} \]

O preço cai de €25 para €10 — uma queda de 60%. Todas as 100 permissões são usadas (as emissões não caem além do cap, mesmo com a recessão). O sinal de preço para investimentos em descarbonização enfraquece drasticamente.

(d) MSR

A Reserva de Estabilidade de Mercado (MSR) resolve o problema do item (c): quando o excedente de permissões ultrapassa um limiar, a MSR automaticamente retira permissões do mercado (reduzindo a oferta), sustentando o preço. No exemplo, a MSR poderia retirar 20 permissões, reduzindo a oferta para 80 → $120 - 2p = 80 \implies p = 20$ — preservando um sinal de preço mais forte. A MSR é essencialmente um estabilizador automático para o mercado de carbono.

✏️ Exercício 24.9¶

Preços hedônicos em São Paulo.

$\ln(P_i) = 10{,}5 + 0{,}05 \cdot \text{Quartos} + 0{,}03 \cdot \text{Área} - 0{,}08 \cdot \text{PM}_{2,5} + 0{,}12 \cdot \text{Parque}$

(a) Coeficiente de PM$_{2,5}$

Em modelo log-linear, o coeficiente de PM$_{2,5}$ (-0,08) indica que cada aumento de 1 μg/m³ na concentração de material particulado reduz o preço do imóvel em ~8%.

Redução de 10 μg/m³: aumento de ~$10 \times 8\% = 80\%$. (Mais precisamente: $e^{0{,}08 \times 10} - 1 = e^{0{,}8} - 1 \approx 122\%$.)

Nota: a aproximação linear (80%) subestima o efeito real (122%) porque a relação é log-linear. Para variações grandes, deve-se usar a fórmula exata.

(b) Coeficiente de Parque

O coeficiente 0,12 indica que imóveis a até 500m de um parque têm preço ~12% superior aos demais (controlando por quartos, área e poluição). Precisamente: $e^{0{,}12} - 1 = 12{,}7\%$.

(c) Valor em R$

Prêmio = $500.000 \times 12{,}7\% \approx \text{R\$} \; 63.500$.

(d) Limitação

O método de preços hedônicos captura apenas o valor que se reflete no mercado imobiliário — essencialmente o valor de uso da qualidade ambiental para os moradores. Não captura: (i) valor de não-uso (existência, legado); (ii) valor para não-moradores (trabalhadores, visitantes); (iii) serviços ecossistêmicos que não afetam preços de imóveis (sequestro de carbono, regulação hídrica). O VET do parque ou da qualidade do ar é provavelmente muito maior do que a estimativa hedônica.

✏️ Exercício 24.10¶

Modelo DICE simplificado.

$Y_1 = Y_2 = 100$, $\sigma = 0{,}5$, $\theta_1 = 0{,}1$, $\delta = 0{,}01$.

(a) Bem-estar social

Emissões: $E_1 = 0{,}5 \times 100 \times (1 - \mu_1) = 50(1 - \mu_1)$.

Custo de abatimento: $\Theta_1 = 0{,}1 \mu_1^2 \times 100 = 10\mu_1^2$.

Dano no período 2: $D_2 = 0{,}01 \times [50(1 - \mu_1)]^2 = 0{,}01 \times 2.500(1 - \mu_1)^2 = 25(1 - \mu_1)^2$.

\[ W = (100 - 10\mu_1^2) + \frac{100 - 25(1 - \mu_1)^2}{1 + r} \]

(b) Abatimento ótimo com $r = 5\%$

\[ \frac{dW}{d\mu_1} = -20\mu_1 + \frac{50(1 - \mu_1)}{1{,}05} = 0 \]

\[ -20\mu_1 + 47{,}6(1 - \mu_1) = 0 \]

\[ -20\mu_1 + 47{,}6 - 47{,}6\mu_1 = 0 \implies 67{,}6\mu_1 = 47{,}6 \]

\[ \mu_1^* = \frac{47{,}6}{67{,}6} \approx 0{,}704 \quad (70{,}4\%) \]

(c) SCC implícito

O SCC é o dano marginal de uma tonelada adicional de CO₂:

\[ \text{SCC} = \frac{\partial D_2 / \partial E_1}{1 + r} = \frac{2 \times 0{,}01 \times E_1^*}{1{,}05} \]

$E_1^* = 50(1 - 0{,}704) = 14{,}8$ toneladas.

\[ \text{SCC} = \frac{0{,}02 \times 14{,}8}{1{,}05} = \frac{0{,}296}{1{,}05} \approx 0{,}282 \]

Verificação: o custo marginal de abatimento no ótimo é $\Theta'(\mu^*) = 20 \times 0{,}704 = 14{,}08$ por unidade de $\mu$. Convertendo para custo por tonelada de CO₂ abatida: cada unidade de $\mu$ reduz 50 toneladas, logo o custo marginal por tonelada é $14{,}08 / 50 = 0{,}282$. Igualdade confirmada: $\text{SCC} = \text{CMgA}$ no ótimo. ✓

(d) Com $r = 1\%$

\[ -20\mu_1 + \frac{50(1 - \mu_1)}{1{,}01} = 0 \]

\[ -20\mu_1 + 49{,}5(1 - \mu_1) = 0 \implies 69{,}5\mu_1 = 49{,}5 \]

\[ \mu_1^* = \frac{49{,}5}{69{,}5} \approx 0{,}712 \quad (71{,}2\%) \]

Com taxa de desconto menor, o abatimento ótimo aumenta (de 70,4% para 71,2%) — porque os danos futuros recebem mais peso. O aumento é modesto neste exemplo simplificado (2 períodos), mas em modelos com horizonte de centenas de anos, a diferença é muito maior — como o debate Nordhaus–Stern demonstra.