Soluções dos Exercícios — Capítulo 23¶

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✏️ Exercício 23.1¶

Seguro de saúde com aversão ao risco.

Riqueza $W = 100.000$, probabilidade de doença $\pi = 0{,}1$, custo $m = 50.000$, utilidade $u(x) = \sqrt{x}$.

(a) Utilidade esperada sem seguro

\[ EU = 0{,}9 \cdot \sqrt{100.000} + 0{,}1 \cdot \sqrt{50.000} \]

\[ EU = 0{,}9 \times 316{,}23 + 0{,}1 \times 223{,}61 = 284{,}61 + 22{,}36 = 306{,}97 \]

(b) Prêmio atuarialmente justo e utilidade com seguro

\[ P = \pi \cdot m = 0{,}1 \times 50.000 = \text{R\$}\;5.000 \]

Com seguro justo, a riqueza é certa: $W - P = 100.000 - 5.000 = 95.000$.

\[ U_{\text{seguro}} = \sqrt{95.000} = 308{,}22 \]

Como $308{,}22 > 306{,}97$, o indivíduo prefere o seguro justo. A diferença reflete a aversão ao risco.

(c) Prêmio máximo

O prêmio máximo $P_{\max}$ torna o indivíduo indiferente entre seguro e não seguro:

\[ \sqrt{100.000 - P_{\max}} = 306{,}97 \]

\[ 100.000 - P_{\max} = (306{,}97)^2 = 94.230{,}58 \]

\[ P_{\max} = 100.000 - 94.230{,}58 = \text{R\$}\;5.769{,}42 \]

(d) Conexão com o Capítulo 7

O prêmio máximo (R$ 5.769) excede o prêmio justo (R$ 5.000) em R$ 769,42. Essa diferença é o prêmio de risco — o valor que o indivíduo avesso ao risco está disposto a pagar acima do valor esperado da perda para eliminar a incerteza. Como $u(x) = \sqrt{x}$ é côncava (aversão ao risco, Capítulo 7), a desigualdade de Jensen garante que $E[u(X)] < u(E[X])$, e o indivíduo prefere a certeza ao valor esperado.

✏️ Exercício 23.2¶

Dinâmica do estoque de saúde no modelo de Grossman.

$H_0 = 100$, $\delta = 0{,}05$, $I = 8$.

(a) Estado estacionário

Em estado estacionário: $H^* = H^*(1 - \delta) + I \implies \delta H^* = I$.

\[ H^* = \frac{I}{\delta} = \frac{8}{0{,}05} = 160 \]

(b) Trajetória de $H_t$

$H_{t+1} = 0{,}95 H_t + 8$:

$t$	$H_t$
0	100,00
1	103,00
2	105,85
3	108,56
4	111,13
5	113,57
6	115,89
7	118,10
8	120,19
9	122,18
10	124,07

O estoque converge gradualmente para $H^* = 160$, mas ainda está distante em $t = 10$.

(c) Se $\delta' = 0{,}10$ a partir de $t = 5$

Novo estado estacionário: $H^{**} = 8/0{,}10 = 80$. A partir de $t = 5$ ($H_5 = 113{,}57$):

$H_{t+1} = 0{,}90 H_t + 8$:

$t$	$H_t$
5	113,57
6	110,21
7	107,19
8	104,47
9	102,02
10	99,82

O estoque agora diminui, convergindo para o novo estado estacionário de 80.

(d) Interpretação

Um aumento de $\delta$ representa envelhecimento ou deterioração das condições de saúde: o corpo "consome" saúde mais rapidamente. Com o mesmo nível de investimento $I$, o estado estacionário cai de 160 para 80. Para manter o estoque anterior, seria necessário duplicar o investimento para $I' = \delta' H^* = 0{,}10 \times 160 = 16$. Isso explica por que o gasto em saúde cresce com a idade: manter a mesma saúde requer cada vez mais investimento à medida que $\delta$ aumenta.

✏️ Exercício 23.3¶

Seleção adversa e espiral da morte.

Tipo L: $\pi_L = 0{,}1$, Tipo H: $\pi_H = 0{,}4$. Perda: $L = 20.000$. Proporção: 60% L, 40% H. Disposição a pagar: 1,1× valor atuarial.

(a) Prêmios atuarialmente justos

Tipo L: $P_L = 0{,}1 \times 20.000 = \text{R\$}\;2.000$
Tipo H: $P_H = 0{,}4 \times 20.000 = \text{R\$}\;8.000$
Pool: $\bar{P} = 0{,}6 \times 2.000 + 0{,}4 \times 8.000 = 1.200 + 3.200 = \text{R\$}\;4.400$

(b) Quem sai com prêmio do pool?

Disposição a pagar do tipo L: $1{,}1 \times 2.000 = 2.200$. Como $\bar{P} = 4.400 > 2.200$, o tipo L não compra seguro ao prêmio do pool.

Disposição a pagar do tipo H: $1{,}1 \times 8.000 = 8.800$. Como $\bar{P} = 4.400 < 8.800$, o tipo H compra.

(c) Prêmio de equilíbrio

Com apenas tipo H no pool: $P^* = \pi_H \times L = 0{,}4 \times 20.000 = \text{R\$}\;8.000$.

A disposição a pagar do tipo H é 8.800 > 8.000, então o tipo H permanece segurado. O equilíbrio tem apenas tipo H segurado, ao prêmio de R$ 8.000.

(d) Diagrama da espiral

Iteração 1: $\bar{P} = 4.400$. Tipo L sai ($V_L = 2.200 < 4.400$). Tipo H fica.

Iteração 2: Pool = 100% tipo H. $P = 8.000$. Tipo H fica ($V_H = 8.800 > 8.000$). Equilíbrio.

Resultado: 60% da população fica sem seguro. Se os tipo-L pudessem obter seguro a R$ 2.000, ambos os tipos estariam melhor — mas a informação assimétrica impede esse resultado.

✏️ Exercício 23.4¶

Demanda induzida pelo ofertante.

Fee-for-service: R$ 200/procedimento. $n^* = 5$. $U = 200n - 50(n-5)^2$ para $n \geq 5$.

(a) Número ótimo de procedimentos

\[ \frac{dU}{dn} = 200 - 100(n - 5) = 0 \implies n - 5 = 2 \implies n = 7 \]

Verificação (segunda ordem): $\frac{d^2U}{dn^2} = -100 < 0$. Máximo.

(b) Excesso de procedimentos

\[ \text{SID} = n - n^* = 7 - 5 = 2 \text{ procedimentos} \]

O custo adicional: $2 \times 200 = \text{R\$}\;400$.

(c) Com capitation

Sob capitation, a renda é fixa (R$ 1.000) independentemente de $n$. A utilidade torna-se:

\[ U = 1.000 - 50(n - 5)^2 \]

Maximizar: $\frac{dU}{dn} = -100(n - 5) = 0 \implies n = 5$.

O médico escolhe exatamente o número clinicamente adequado — eliminando a demanda induzida.

(d) Trade-off

O fee-for-service incentiva o sobretratamento (SID), mas garante produtividade — o médico tem incentivo para atender pacientes. A capitation elimina o SID, mas cria risco de subtratamento: como a renda não depende do número de procedimentos, o médico pode minimizar o esforço. Na prática, muitos sistemas usam pagamento misto (base fixa + bônus por desempenho) para equilibrar os incentivos.

✏️ Exercício 23.5¶

Vacinação como externalidade positiva.

$R_0 = 4$, custo = R$ 100, benefício privado = R$ 80, benefício externo = R$ 60.

(a) Decisão privada

$B_p = 80 < c = 100$. Não, o indivíduo não se vacina voluntariamente. O benefício privado não cobre o custo.

(b) Ótimo social

Benefício social total: $B_p + B_e = 80 + 60 = 140 > 100 = c$.

Benefício social líquido: $140 - 100 = \text{R\$}\;40$ por pessoa vacinada. Sim, é socialmente ótimo vacinar.

(c) Limiar de imunidade de rebanho

\[ \text{Limiar} = 1 - \frac{1}{R_0} = 1 - \frac{1}{4} = 0{,}75 = 75\% \]

(d) Política pigouviana

Um subsídio pigouviano de R$ 60 (igual ao benefício externo) por vacina: o custo efetivo para o indivíduo cai para $100 - 60 = 40 < 80 = B_p$. Agora o indivíduo se vacina voluntariamente. Alternativamente, vacinação gratuita (subsídio de R$ 100) ou obrigatória.

✏️ Exercício 23.6¶

Comparação de sistemas de saúde.

(a) Índice de eficiência simples

País A: $82/10 = 8{,}2$ anos de vida por % do PIB
País B: $77/17 = 4{,}5$ anos de vida por % do PIB

(b) Eficiência e equidade

Mais eficiente: País A (índice 8,2 vs. 4,5 — mais saúde por unidade de gasto).
Mais equitativo: País A (0% sem seguro vs. 8%; mortalidade infantil menor).

País B tem vantagem apenas no tempo de espera (2 vs. 12 semanas).

(c) Complexidade da comparação

O índice simples ignora: (i) composição da população (idade, renda, comportamento); (ii) qualidade de vida (não apenas duração); (iii) inovação tecnológica produzida; (iv) satisfação do paciente e escolha; (v) fatores não médicos que afetam a expectativa de vida (violência, dieta, desigualdade). Além disso, a expectativa de vida nos EUA é afetada por epidemia de opioides, homicídios e obesidade — fatores parcialmente independentes do sistema de saúde.

(d) Métrica mais adequada

QALYs produzidos por unidade de gasto, ajustados por fatores de risco da população (idade, tabagismo, obesidade, pobreza). Ou: mortalidade evitável (amenable mortality) — mortes que não teriam ocorrido com cuidados médicos oportunos e efetivos — que isola melhor a contribuição do sistema de saúde.

✏️ Exercício 23.7¶

Análise custo-efetividade de duas intervenções.

A: R$ 30.000/paciente, 5 QALYs. B: R$ 500/paciente, 0,5 QALYs. Orçamento: R$ 300.000.

(a) ICER de cada intervenção

\[ ICER_A = \frac{30.000}{5} = \text{R\$}\;6.000/\text{QALY} \]

\[ ICER_B = \frac{500}{0{,}5} = \text{R\$}\;1.000/\text{QALY} \]

(b) Número de pacientes com orçamento total

Só A: $300.000/30.000 = 10$ pacientes → $10 \times 5 = 50$ QALYs.
Só B: $300.000/500 = 600$ pacientes → $600 \times 0{,}5 = 300$ QALYs.

(c) Alocação que maximiza QALYs

A intervenção B tem ICER menor (mais custo-efetiva). Investir tudo em B gera 300 QALYs vs. 50 QALYs em A. Logo, alocar os R$ 300.000 integralmente em B maximiza os QALYs totais.

Alocação mista (exemplo: R$ 30.000 em A + R$ 270.000 em B): 5 + 270 = 275 QALYs < 300.

(d) Implicações éticas

A alocação por custo-efetividade puro (tudo em B) significa que nenhum paciente com obesidade mórbida recebe cirurgia bariátrica. Questões éticas: (i) severidade: pacientes com condições mais graves podem ter direito a tratamento mesmo se menos custo-efetivo; (ii) equidade: se os pacientes de bariátrica são de baixa renda e os de hipertensão de alta renda, a alocação pode agravar desigualdades; (iii) regra de resgate: a sociedade pode considerar moralmente imperativo tratar condições que ameaçam a vida, independentemente do ICER. Na prática, as decisões combinam custo-efetividade com critérios de equidade e severidade.

✏️ Exercício 23.8¶

SUS e sistema privado: dupla porta e gasto per capita.

75% no SUS (4% PIB), 25% no privado (5% PIB). PIB per capita: R$ 50.000. População: 200 milhões.

(a) Gasto per capita relativo

PIB total: $200 \times 10^6 \times 50.000 = \text{R\$}\;10 \times 10^{12} = \text{R\$}\;10$ trilhões.

SUS: 4% × R$ 10 tri = R$ 400 bilhões para 150 milhões de pessoas → R$ 2.667/pessoa.
Privado: 5% × R$ 10 tri = R$ 500 bilhões para 50 milhões de pessoas → R$ 10.000/pessoa.

O gasto per capita no sistema privado é 3,75 vezes maior que no SUS.

(b) Gasto absoluto

SUS: R$ 400 bilhões/ano
Privado: R$ 500 bilhões/ano
Total: R$ 900 bilhões/ano (9% do PIB)

(c) A "dupla porta"

Pacientes com plano privado usam o SUS para: (i) procedimentos de alta complexidade (transplantes, HIV/AIDS, oncologia complexa) que são referência no SUS; (ii) vacinação e vigilância epidemiológica (funções exclusivas do SUS); (iii) medicamentos de alto custo distribuídos pelo SUS; (iv) emergências quando distantes de hospitais conveniados ao plano. Isso configura um subsídio cruzado: o contribuinte financia serviços usados por quem também tem plano privado.

(d) Mecanismo de ressarcimento

A ANS já prevê o ressarcimento ao SUS por atendimentos a beneficiários de planos privados, mas a cobrança é lenta e subestimada. Uma proposta seria: (i) identificação automática via CPF de beneficiários de planos que usam o SUS; (ii) cobrança direta à operadora pelo valor da tabela SUS acrescido de margem administrativa; (iii) publicação anual dos valores de ressarcimento por operadora, incentivando concorrência reputacional. O valor estimado não ressarcido ultrapassa R$ 5 bilhões/ano.

✏️ Exercício 23.9¶

Ajuste de risco em seguros de saúde.

(a) Pagamento de ajuste de risco

O ajuste de risco transfere com base nos custos previstos pelo modelo, não nos observados:

\[ AR_{\text{grupo}} = (\hat{m}_{\text{grupo}} - \bar{m}) \times N_{\text{grupo}} \]

Jovens homens: $(2.500 - 5.000) \times 250 = -625.000$ (paga R$ 625.000)
Jovens mulheres: $(3.200 - 5.000) \times 250 = -450.000$ (paga R$ 450.000)
Idosos homens: $(7.500 - 5.000) \times 250 = +625.000$ (recebe R$ 625.000)
Idosas mulheres: $(6.800 - 5.000) \times 250 = +450.000$ (recebe R$ 450.000)

Soma: $-625 - 450 + 625 + 450 = 0$ (balanceado).

(b) Quem recebe transferências?

Seguradoras que atendem predominantemente idosos recebem transferências; seguradoras com carteira de jovens pagam. Isso reduz o incentivo para cream-skimming (atrair jovens saudáveis).

(c) Adequação do modelo

Comparando custos previstos com observados:

Jovens homens: previsto 2.500 vs. observado 2.000 → modelo superestima (+25%)
Jovens mulheres: previsto 3.200 vs. observado 3.000 → modelo superestima (+7%)
Idosos homens: previsto 7.500 vs. observado 8.000 → modelo subestima (−6%)
Idosas mulheres: previsto 6.800 vs. observado 7.000 → modelo subestima (−3%)

O modelo subestima custos dos idosos e superestima dos jovens — compensando insuficientemente as seguradoras de idosos.

(d) Fatores adicionais

Diagnósticos prévios (HCC — Hierarchical Condition Categories), uso de medicamentos, hospitalizações anteriores, indicadores socioeconômicos (renda, região). Modelos mais sofisticados (como o usado pelo Medicare Advantage nos EUA) explicam 10–15% da variância individual dos custos — melhor que idade/sexo sozinhos (5%), mas ainda longe do ideal.

✏️ Exercício 23.10¶

Valor de uma vida estatística e políticas públicas.

VSL = R$ 5 milhões. Política X: 500 mortes evitadas, custo R$ 400 mi. Política Y: 200 mortes evitadas, custo R$ 800 mi.

(a) Benefício monetário

Política X: $500 \times 5.000.000 = \text{R\$}\;2{,}5$ bilhões
Política Y: $200 \times 5.000.000 = \text{R\$}\;1{,}0$ bilhão

(b) Benefício líquido

Política X: $2.500 - 400 = \text{R\$}\;2{,}1$ bilhões (positivo)
Política Y: $1.000 - 800 = \text{R\$}\;200$ milhões (positivo)

(c) Escolha com orçamento limitado

Política X tem maior benefício líquido (R$ 2,1 bi vs. R$ 200 mi) e maior razão benefício-custo (2.500/400 = 6,25 vs. 1.000/800 = 1,25). Escolher Política X.

Alternativamente: custo por morte evitada: X = 400/500 = R$ 800 mil; Y = 800/200 = R$ 4 milhões. X é 5 vezes mais custo-efetiva.

(d) Limitações éticas do VSL

(i) Equidade: o VSL é estimado a partir de decisões de mercado (diferenciais salariais), refletindo a disposição a pagar — que depende da renda. O VSL dos ricos é maior que o dos pobres, mas isso não significa que suas vidas "valem mais". (ii) Identifiabilidade: o VSL aplica-se a vidas estatísticas (anônimas), não a indivíduos identificados — a sociedade valoriza diferentemente "salvar 1 de 100.000 pessoas anônimas" vs. "salvar João que está morrendo no hospital". (iii) Incomensurabilidade: alguns filósofos argumentam que a vida humana não pode ser comparada com bens materiais — o que tornaria a monetização fundamental ilegítima. (iv) Na prática, o VSL é uma ferramenta imperfeita mas útil: sem ele, as decisões ainda são tomadas — mas implicitamente e sem transparência.