Soluções dos Exercícios — Capítulo 22¶

✏️ Exercício 22.1¶

Experimento de valor induzido: oferta, demanda e eficiência de mercado.

Compradores: $v_B = \{20, 16, 12, 8, 4\}$. Vendedores: $c_S = \{2, 6, 10, 14, 18\}$.

(a) Equilíbrio competitivo

Ordenando por disposição a pagar (decrescente) e por custo (crescente):

Unidade	Comprador (valor)	Vendedor (custo)
1ª	20	2
2ª	16	6
3ª	12	10
4ª	8	14
5ª	4	18

A 3ª unidade gera excedente positivo: $12 - 10 = 2 > 0$. A 4ª unidade geraria excedente negativo: $8 - 14 = -6 < 0$. Portanto, $q^* = 3$ unidades são transacionadas.

O preço de equilíbrio situa-se no intervalo onde a 3ª transação ocorre e a 4ª não: $p^* \in [10, 12]$. O preço de equilíbrio é $p^* = 11$ (ponto médio).

(b) Excedente total no equilíbrio

\[ EC = (20 - 11) + (16 - 11) + (12 - 11) = 9 + 5 + 1 = 15 \]

\[ EP = (11 - 2) + (11 - 6) + (11 - 10) = 9 + 5 + 1 = 15 \]

\[ ET = EC + EP = 30 \]

Alternativamente: $ET = (20-2) + (16-6) + (12-10) = 18 + 10 + 2 = 30$.

(c) Eficiência com $p = 13$

A $p = 13$: compradores que compram são aqueles com $v \geq 13$, ou seja, $v = 20$ e $v = 16$. Vendedores que vendem são aqueles com $c \leq 13$, ou seja, $c = 2$, $c = 6$ e $c = 10$. Porém, como $q = \min(2, 3) = 2$ (só 2 transações são possíveis), o excedente realizado é:

\[ ET_{\text{real}} = (20 - 2) + (16 - 6) = 18 + 10 = 28 \]

Eficiência: $\frac{28}{30} = 93{,}3\%$.

A perda de eficiência ocorre porque o preço $p = 13$ exclui a 3ª transação (comprador com $v = 12 < 13$), que geraria excedente de 2.

(d) Convergência nas rodadas

Smith (1962) observou que, nas primeiras rodadas, os preços eram dispersos e distantes do equilíbrio. Ao longo de 3–5 rodadas, os preços convergiram para a faixa de equilíbrio ($[10, 12]$) e a eficiência de mercado atingiu 95–100%. Esse resultado demonstra que o mecanismo de leilão de dupla é notavelmente eficaz em coordenar as decisões de agentes com informação limitada — cada participante conhece apenas seu próprio valor/custo.

✏️ Exercício 22.2¶

Jogo do ultimato com aversão à desigualdade.

Propositor tem R$ 100. Utilidade do respondente: $u_R(x) = x - \alpha \cdot \max\{50 - x, 0\}$.

(a) Valor de $\alpha$ que torna o respondente indiferente com $x = 20$

Para $x = 20 < 50$:

\[ u_R(20) = 20 - \alpha(50 - 20) = 20 - 30\alpha \]

Indiferente entre aceitar ($u = 20 - 30\alpha$) e rejeitar ($u = 0$):

\[ 20 - 30\alpha = 0 \implies \alpha = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \approx 0{,}667 \]

(b) Menor oferta aceita com $\alpha = 2$

O respondente aceita se $u_R(x) \geq 0$. Para $x < 50$:

\[ x - 2(50 - x) \geq 0 \implies x - 100 + 2x \geq 0 \implies 3x \geq 100 \implies x \geq 33{,}33 \]

A menor oferta aceita é R$ 33,33 (ou R$ 34 em valores inteiros).

(c) Oferta do propositor racional

O propositor sabe que ofertas abaixo de R$ 33,33 serão rejeitadas. Seu payoff é $100 - x$ se aceito, 0 se rejeitado. Para maximizar payoff, oferece o mínimo aceito: $x^* = 33{,}33$, ficando com R$ 66,67.

(d) Comparação

Modelo padrão ($\alpha = 0$): propositor oferece ~R$ 0; respondente aceita. Propositor fica com ~R$ 100.
Modelo com aversão ($\alpha = 2$): propositor oferece ~R$ 33; propositor fica com ~R$ 67.
Dados experimentais: oferta modal de 40–50%, ofertas abaixo de 20% rejeitadas em ~50% dos casos.

O modelo com aversão à desigualdade ($\alpha \approx 1{,}5$–2) aproxima-se razoavelmente dos dados, capturando tanto as ofertas "generosas" dos propositores quanto as rejeições de ofertas baixas pelos respondentes.

✏️ Exercício 22.3¶

Jogo de bens públicos com punição e repetição.

$N = 5$, $w = 10$, $\alpha = 2{,}5$. Payoff: $\pi_i = (10 - g_i) + 0{,}5 \sum g_j$.

(a) Equilíbrio de Nash

\[ \pi_i = 10 - g_i + 0{,}5 g_i + 0{,}5 \sum_{j \neq i} g_j = 10 - 0{,}5 g_i + 0{,}5 \sum_{j \neq i} g_j \]

\[ \frac{\partial \pi_i}{\partial g_i} = -0{,}5 < 0 \]

Como o payoff é decrescente em $g_i$, a melhor resposta é $g_i^* = 0$ para todo $i$. Equilíbrio de Nash: contribuição zero.

(b) Ótimo social

\[ \sum \pi_i = 5 \times 10 - \sum g_i + 5 \times 0{,}5 \sum g_j = 50 - \sum g_i + 2{,}5 \sum g_i = 50 + 1{,}5 \sum g_i \]

Bem-estar crescente em $\sum g_i$, logo $g_i^* = 10$ para todo $i$. Ótimo social: contribuição total.

Payoff no Nash: $\pi_i = 10$. Total: 50.
Payoff no ótimo: $\pi_i = 0 + 0{,}5 \times 50 = 25$. Total: 125.

(c) Punição em jogo de uma rodada

A punição custa 1 ao punidor e inflige 3 ao punido. Em um jogo de uma rodada com agentes egoístas, punir é irracional: o punidor gasta R$ 1 e não obtém benefício futuro (o jogo termina). Portanto, no equilíbrio de Nash, ninguém pune — e, antecipando isso, ninguém contribui.

Experimentalmente, porém, a punição é amplamente observada (Fehr e Gächter, 2000). Possíveis explicações: (i) preferências sociais — punir quem "trapaceia" gera satisfação intrínseca; (ii) reciprocidade negativa — vontade de retribuir comportamento injusto; (iii) normas sociais — a punição sinaliza desaprovação e reforça a norma de cooperação.

(d) Jogo repetido com trigger strategy

No ótimo, $g_i = 10$ e $\pi_i = 25$. Desvio ótimo: $g_i = 0$ enquanto todos os demais contribuem 10:

\[ \pi_i^{\text{desvio}} = 10 + 0{,}5 \times 40 = 10 + 20 = 30 \]

Após o desvio, todos revertem para Nash ($g = 0$): $\pi_i^{\text{Nash}} = 10$.

Condição para cooperação (trigger strategy):

\[ \frac{25}{1 - \delta} \geq 30 + \frac{10\delta}{1 - \delta} \]

\[ 25 \geq 30(1 - \delta) + 10\delta = 30 - 30\delta + 10\delta = 30 - 20\delta \]

\[ 20\delta \geq 5 \implies \delta \geq \frac{1}{4} = 0{,}25 \]

$\delta_{\min} = 0{,}25$. A cooperação é sustentável com fator de desconto relativamente baixo, porque o ganho de cooperação (25 vs. 10) é grande em relação ao ganho de desvio (30 vs. 25).

✏️ Exercício 22.4¶

Viés de seleção e RCT.

(a) Viés de seleção

Não. A diferença de R$ 600 inclui o efeito do treinamento mais o viés de seleção: trabalhadores que escolhem participar do treinamento podem ser mais motivados, habilidosos ou conectados — e ganhariam mais mesmo sem o treinamento. Formalmente:

\[ \bar{Y}_{\text{particip.}} - \bar{Y}_{\text{não-particip.}} = \underbrace{\text{ATE}}_{\text{efeito causal}} + \underbrace{E[Y(0)|\text{Participa}] - E[Y(0)|\text{Não participa}]}_{\text{viés de seleção} > 0} \]

(b) Condições para o RCT identificar o ATE

A randomização garante $E[Y(0)|\text{Tratado}] = E[Y(0)|\text{Controle}]$, eliminando o viés de seleção. Condições: (i) randomização efetiva (sem autoeleção ao tratamento); (ii) sem atrito diferencial; (iii) sem efeitos de transbordamento (tratados não afetam controles).

(c) Estimativa do TOT

Taxa de adesão: $1 - 0{,}20 = 0{,}80$.

\[ \text{TOT} = \frac{\text{ITT}}{\text{taxa de adesão}} = \frac{480}{0{,}80} = \text{R\$ 600} \]

Interpretação: o efeito do treinamento sobre quem efetivamente participou é de R$ 600 — mas essa estimativa assume que a não-adesão é aleatória (exclusion restriction).

(d) ITT vs. TOT para política

O ITT é preferível quando a política não pode forçar participação. Se o governo oferece o treinamento a todos os elegíveis, mas apenas 80% participam, o efeito da política (oferecer treinamento) é o ITT = R$ 480, não o TOT = R$ 600. Para calcular custo-benefício do programa, o ITT é a medida relevante: o custo é incorrido para todos os atribuídos ao tratamento, não apenas para os que aderem.

✏️ Exercício 22.5¶

Card e Krueger (1994): diferenças-em-diferenças.

(a) Estimador DD

\[ \hat{\tau}_{DD} = (21{,}03 - 20{,}44) - (21{,}17 - 23{,}33) = 0{,}59 - (-2{,}16) = +2{,}76 \]

(b) Interpretação

O emprego médio em restaurantes de fast food em NJ aumentou em 2,76 empregados a mais do que em PA. Como NJ implementou o aumento do salário mínimo e PA não, o estimador DD sugere que o aumento do salário mínimo aumentou o emprego — contrariando a previsão do modelo competitivo de mercado de trabalho.

(c) Hipótese-chave

Tendências paralelas (parallel trends): na ausência do aumento do salário mínimo em NJ, o emprego em restaurantes fast food em NJ teria seguido a mesma tendência que em PA. Ou seja, a queda de emprego observada em PA (de 23,33 para 21,17) teria ocorrido igualmente em NJ.

(d) Argumentos

A favor: NJ e PA oriental são economicamente similares (região metropolitana de Filadélfia), compartilham o mesmo mercado de trabalho e enfrentam os mesmos choques macroeconômicos. Dados pré-tratamento mostram tendências paralelas de emprego nos anos anteriores.

Contra: Outros fatores podem ter diferenciado NJ de PA exatamente nesse período — por exemplo, crescimento econômico diferencial, mudanças regulatórias estaduais, ou composição setorial distinta. Além disso, o aumento do salário mínimo pode ter sido implementado justamente porque o mercado de trabalho em NJ estava aquecido (endogeneidade da política).

✏️ Exercício 22.6¶

Regressão descontínua: programa social.

(a) Estimativa por RDD

\[ \hat{\tau}_{RDD} = 92 - 87 = 5 \text{ pontos percentuais} \]

O programa aumenta a frequência escolar em 5 pontos percentuais para famílias próximas ao limiar de elegibilidade.

(b) Hipótese de identificação

Continuidade: todas as variáveis que afetam a frequência escolar (escolaridade dos pais, localização, qualidade da escola, etc.) variam continuamente em torno do limiar de R$ 600. A única descontinuidade em $X = 600$ é o recebimento do benefício.

(c) Comparabilidade local

Famílias com renda de R$ 590 e R$ 610 são quase idênticas em todas as características observáveis e não observáveis — a diferença de R$ 20 na renda é trivial e, em torno do limiar, a classificação como beneficiário ou não é "como se fosse aleatória" (erros de medida, timing da declaração). Famílias com R$ 300 e R$ 900, por outro lado, diferem sistematicamente em escolaridade, ocupação, localização e outras características que afetam a frequência escolar independentemente do programa.

(d) Ameaça: manipulação

Se famílias subdeclaram renda para ficar abaixo do limiar, a composição dos grupos muda: o grupo de beneficiários inclui famílias com renda "verdadeira" acima de R$ 600, que podem ser sistematicamente diferentes. Isso viola a hipótese de continuidade. O pesquisador testa essa ameaça com o teste de McCrary: verificar se há descontinuidade na densidade da variável de atribuição em torno do limiar. Uma concentração anômala de observações logo abaixo de R$ 600 sugere manipulação.

✏️ Exercício 22.7¶

Variáveis instrumentais: distância e educação.

(a) Relevância

Famílias mais próximas de universidades têm custos de transporte e moradia menores para que seus filhos frequentem a universidade. Estudos mostram que a distância reduz significativamente a probabilidade e a duração do ensino superior. A condição de relevância $\text{Cov}(Z, X) \neq 0$ é testável e geralmente satisfeita.

(b) Exclusão

A condição de exclusão requer que a distância afete salários apenas via educação. Possíveis violações:

Regiões próximas a universidades podem ter economias mais dinâmicas (mais oportunidades de emprego).
A presença de universidades pode afetar a qualidade das escolas locais.
Famílias que escolhem morar perto de universidades podem ser sistematicamente diferentes.

A exclusão é mais plausível se controlamos por características regionais e familiares. Não é testável diretamente.

(c) Estimativa por IV

\[ \hat{\beta}_{IV} = \frac{\text{Forma reduzida}}{\text{Primeiro estágio}} = \frac{-4\%}{-0{,}5} = 8\% \]

Cada ano adicional de educação aumenta o salário em 8%.

(d) Comparação com MQO

O MQO tende a sobrestimar o retorno à educação por viés de variável omitida: habilidade inata afeta positivamente tanto educação quanto salários. Se pessoas mais habilidosas estudam mais e ganham mais (independentemente da educação), o MQO captura tanto o retorno da educação quanto o "prêmio de habilidade".

Se $\hat{\beta}_{MQO} = 10\%$ e $\hat{\beta}_{IV} = 8\%$, os 2 pontos percentuais de diferença refletem o viés ascendente por habilidade omitida. O IV identifica o retorno "limpo" da educação — pelo menos para o subgrupo de pessoas cuja decisão educacional é afetada pela distância (LATE — Local Average Treatment Effect).

✏️ Exercício 22.8¶

Leilão de primeiro preço.

(a) Função de lance de equilíbrio

No equilíbrio simétrico com $N$ licitantes e valores $v \sim U[0, 100]$, a estratégia ótima é:

\[ b(v) = v - \frac{v}{N} = \frac{N - 1}{N} v \]

Derivação resumida: O licitante com valor $v$ vence quando todos os $N-1$ rivais têm valor menor. A probabilidade de vencer com lance $b$ é $(b \cdot N/(N-1) / 100)^{N-1}$ (pois o rival marginal tem valor $v' = b \cdot N/(N-1)$). Maximizando o lucro esperado $(v - b) \cdot P(\text{vencer})$ em relação a $b$, obtém-se $b^*(v) = \frac{N-1}{N} v$.

(b) Lance com $v = 60$, $N = 3$

\[ b(60) = \frac{3-1}{3} \times 60 = \frac{2}{3} \times 60 = 40 \]

(c) Overbidding e aversão ao risco

Os participantes dão lance $b = 45 > 40$ (previsão com neutralidade ao risco). Isso é consistente com aversão ao risco: um agente avesso ao risco prefere aumentar a probabilidade de vencer (lance mais alto) em troca de reduzir o lucro condicional à vitória. O lance mais alto funciona como "seguro" contra a possibilidade de perder o leilão.

Formalmente, com utilidade côncava $u(\pi)$, a condição de primeira ordem gera $b^*(v) > \frac{N-1}{N}v$ — o agente avesso ao risco dá lances mais altos que o agente neutro.

(d) Implicação para equivalência de receita

O teorema de equivalência de receita prevê que, com agentes neutros ao risco, leilões de primeiro e segundo preço geram a mesma receita esperada. Com aversão ao risco, os lances no primeiro preço são mais altos, gerando receita maior no primeiro preço do que no segundo preço. A aversão ao risco quebra a equivalência de receita em favor do leilão de primeiro preço — um resultado confirmado experimentalmente.

✏️ Exercício 22.9¶

Troca de rins e matching.

Compatibilidade: O → todos; A → A, AB; B → B, AB; AB → AB.

(a) Trocas diretas (ciclos de 2)

Para uma troca direta entre pares $X$ e $Y$: o doador de $X$ deve ser compatível com o receptor de $Y$, e o doador de $Y$ deve ser compatível com o receptor de $X$.

Par A ↔ Par B: Doador de A é tipo O → compatível com receptor de B (tipo A). Doador de B é tipo B → compatível com receptor de A (tipo B). Troca possível.
Par A ↔ Par C: Doador de A (O) → compatível com receptor de C (O). Doador de C (A) → não compatível com receptor de A (B). Troca impossível.
Par A ↔ Par D: Doador de A (O) → compatível com receptor de D (A). Doador de D (AB) → não compatível com receptor de A (B). Troca impossível.
Par B ↔ Par C: Doador de B (B) → não compatível com receptor de C (O). Troca impossível.
Par B ↔ Par D: Doador de B (B) → não compatível com receptor de D (A). Troca impossível.
Par C ↔ Par D: Doador de C (A) → compatível com receptor de D (A). Doador de D (AB) → não compatível com receptor de C (O). Troca impossível.

Apenas a troca A ↔ B é possível (2 transplantes).

(b) Alocação máxima (incluindo ciclos maiores)

Com a troca A ↔ B, os pares C e D permanecem sem transplante. Verificando ciclos de 3 ou 4 que incluam C e D: nenhum ciclo viável existe, pois o receptor de C (tipo O) só pode receber de doador tipo O, e nenhum par restante tem doador tipo O. Máximo: 2 transplantes (A ↔ B).

(c) Doador altruísta tipo O

Um doador altruísta tipo O pode doar diretamente ao receptor de C (tipo O). Agora o doador de C (tipo A) fica "liberado" para iniciar uma cadeia:

Doador de C (A) → Receptor de D (A). Compatível!
Doador de D (AB) → não pode doar a nenhum receptor restante (apenas AB receptores aceitariam, e não há).

Cadeia: Altruísta → Receptor de C; Doador de C → Receptor de D. Total: 2 transplantes adicionais.

Com a troca A ↔ B, o total sobe para 4 transplantes (todos os pares atendidos).

(d) Eficiência de Pareto e proibição do mercado

A alocação com 4 transplantes é Pareto-eficiente: não é possível melhorar a situação de nenhum par sem piorar a de outro (todos já recebem transplante). A alocação sem matching (0 transplantes) é Pareto-ineficiente.

A proibição do mecanismo de preços (venda de órgãos) baseia-se em argumentos éticos: (i) coerção — pessoas em pobreza extrema poderiam ser "forçadas" pela necessidade financeira a vender órgãos; (ii) equidade — um mercado de órgãos beneficiaria desproporcionalmente os ricos; (iii) repugnância moral — a sociedade considera a mercantilização do corpo humano moralmente inaceitável. O mecanismo de troca de Roth resolve a falha de alocação sem usar preços — é um exemplo de "mercado sem dinheiro" que alcança eficiência por meio de design institucional.

✏️ Exercício 22.10¶

Replicação, significância e pré-registro.

(a) Estatística $t$ e p-valor

\[ t = \frac{\hat{\tau}}{SE} = \frac{3{,}2}{1{,}5} \approx 2{,}13 \]

Para um teste bilateral com distribuição normal (amostra grande): $p \approx 0{,}033$.

Como $p < 0{,}05$, o resultado é significativo a 5%.

(b) Múltiplas hipóteses e falso positivo

Se o pesquisador testou 20 hipóteses e reportou apenas a significativa, a probabilidade de pelo menos um falso positivo é:

\[ P(\text{pelo menos 1 falso positivo}) = 1 - (1 - 0{,}05)^{20} = 1 - 0{,}95^{20} \approx 1 - 0{,}358 = 0{,}642 \]

Há 64,2% de probabilidade de que o resultado "significativo" seja um falso positivo!

Com correção de Bonferroni, o nível de significância ajustado é $\alpha_{\text{adj}} = 0{,}05/20 = 0{,}0025$. O p-valor de 0,033 não é significativo após correção.

(c) Comparação com replicação

Estudo original: $\hat{\tau} = 3{,}2$, $SE = 1{,}5$, intervalo de 95%: $[0{,}26; \ 6{,}14]$.

Replicação: $\hat{\tau} = 1{,}8$, $SE = 0{,}7$, intervalo de 95%: $[0{,}43; \ 3{,}17]$.

O efeito replicado (1,8) é 56% do original (3,2) — consistente com o padrão de Camerer et al. (2016), em que efeitos replicados são ~66% dos originais. Os intervalos de confiança se sobrepõem, então os resultados não são estatisticamente incompatíveis. A replicação sugere que o efeito é real, mas menor do que o estudo original indicava — provavelmente inflado pelo viés de publicação.

(d) Pré-registro

O pré-registro resolve a preocupação de (b) ao exigir que o pesquisador deposite publicamente, antes de coletar os dados: (i) a hipótese a ser testada; (ii) o modelo estatístico; (iii) o nível de significância; (iv) o número de testes. Isso impede:

P-hacking: não se pode testar 20 hipóteses e reportar apenas a significativa, pois a hipótese principal foi pré-declarada.
HARKing: não se pode apresentar resultados exploratórios como se fossem hipóteses a priori.
Viés de publicação: registros públicos (como o AEA RCT Registry) permitem verificar quantos estudos foram planejados mas não publicados (evidência de "gaveta de arquivo").