Soluções dos Exercícios — Capítulo 21¶

✏️ Exercício 21.1¶

Plataforma de streaming: custo fixo, monopólio e discriminação de preços.

$F = 10.000$, $c = 0{,}01$, $q = 500 - 100p$.

(a) Quantidade socialmente ótima

No ótimo social, $p = c = 0{,}01$:

\[ q^* = 500 - 100 \times 0{,}01 = 500 - 1 = 499 \]

Excedente do consumidor:

\[ EC = \frac{1}{2}(p_{\max} - c) \times q^* = \frac{1}{2}(5 - 0{,}01) \times 499 = \frac{1}{2} \times 4{,}99 \times 499 \approx 1.245 \]

(Nota: $p_{\max} = 5$ é o preço que zera a demanda, obtido de $0 = 500 - 100p$.)

O excedente total é igual ao excedente do consumidor, pois o produtor cobra preço = custo marginal (excedente do produtor = 0, excluindo custos fixos).

Excedente total (excluindo custo fixo) $\approx 1.245$.

(b) Quantidade e preço de monopólio

Receita: $R = p \cdot q = p(500 - 100p) = 500p - 100p^2$.

Receita marginal: $\frac{dR}{dq} = p + q \cdot \frac{dp}{dq}$. Da inversa da demanda: $p = 5 - q/100$, então $RMg = 5 - q/50$.

Igualando ao custo marginal:

\[ 5 - \frac{q}{50} = 0{,}01 \implies q^{mono} = 50 \times 4{,}99 = 249{,}5 \]

\[ p^{mono} = 5 - \frac{249{,}5}{100} = 2{,}505 \]

Peso morto:

\[ DWL = \frac{1}{2}(p^{mono} - c)(q^* - q^{mono}) = \frac{1}{2}(2{,}505 - 0{,}01)(499 - 249{,}5) \]

\[ DWL = \frac{1}{2} \times 2{,}495 \times 249{,}5 \approx 311{,}3 \]

(c) Lucro do monopolista

\[ \pi = (p^{mono} - c) \times q^{mono} - F = (2{,}505 - 0{,}01) \times 249{,}5 - 10.000 \]

\[ \pi = 2{,}495 \times 249{,}5 - 10.000 = 622{,}5 - 10.000 = -9.377{,}5 \]

O monopolista tem prejuízo. A receita líquida do custo variável (622,5) é insuficiente para cobrir o custo fixo (10.000). Este é o dilema central dos bens de informação: a escala de monopólio tradicional não é suficiente para cobrir custos fixos elevados quando o custo marginal é muito baixo.

(d) Discriminação de preços

Considere dois planos:

Básico: preço $p_B = 1$, demanda $q_B = 500 - 100 = 400$.
Premium: preço $p_P = 4$, demanda $q_P = 500 - 400 = 100$.

Porém, devemos segmentar: os 100 consumidores com maior disposição a pagar ($v \in [4, 5]$) compram o Premium, e os demais ($v \in [1, 4]$) compram o Básico. Assim:

Premium: 100 usuários × (4 − 0,01) = 399.
Básico: 300 usuários × (1 − 0,01) = 297.
Receita total líquida = 399 + 297 = 696.

Ainda insuficiente para cobrir $F = 10.000$. Na prática, plataformas de streaming combinam discriminação de preços com grande escala global (Netflix tem 260+ milhões de assinantes) e conteúdo exclusivo que aumenta a disposição a pagar.

Resultado: A discriminação de preços aumenta a receita e atende mais consumidores (400 vs. 249,5 no monopólio uniforme), reduzindo o peso morto. Porém, neste exemplo numérico, a escala ainda é insuficiente para cobrir custos fixos muito elevados — ilustrando por que plataformas de streaming operam globalmente.

✏️ Exercício 21.2¶

Rede de comunicação com efeitos de rede.

$N = 200$, $v_i \sim U[0, 8]$, $f(n) = 0{,}02n$, $p = 2$.

(a) Equilíbrios de adoção

O usuário marginal tem $v^* + 0{,}02n^* = 2$. O número de adotantes é $n^* = 200 \times (8 - v^*)/8 = 25(8 - v^*)$.

Substituindo $v^* = 2 - 0{,}02n^*$:

\[ n^* = 25(8 - 2 + 0{,}02n^*) = 25(6 + 0{,}02n^*) = 150 + 0{,}5n^* \]

\[ 0{,}5n^* = 150 \implies n^* = 300 \]

Como $n^* = 300 > 200 = N$, o equilíbrio de alta adoção tem $n^* = 200$ (todos aderem). Verificação: com $n = 200$, o pior usuário ($v = 0$) obtém $0 + 0{,}02 \times 200 - 2 = 4 - 2 = 2 > 0$. Todos aderem.

Equilíbrio de adoção nula ($n^* = 0$): verificação — o melhor usuário ($v = 8$) obtém $8 + 0 - 2 = 6 > 0$. Logo, ele quer aderir mesmo sem ninguém. O equilíbrio $n^* = 0$ não existe neste caso, pois $v_{\max} = 8 > p = 2$.

Portanto, há um único equilíbrio: $n^* = 200$ (adoção universal).

(b) Massa crítica

Neste caso, como $v_{\max} > p$, sempre há pelo menos um agente disposto a aderir, e o feedback positivo garante adoção universal. A massa crítica é $n_c = 0$ — o primeiro aderente já desencadeia a cascata. (Formalmente, a massa crítica é o ponto fixo instável, que aqui é trivial.)

(c) Preço para maximizar adoção

Para adoção universal, precisamos que o pior usuário ($v = 0$) queira aderir:

\[ 0 + 0{,}02 \times 200 \geq p \implies 4 \geq p \]

Qualquer $p \leq 4$ garante adoção universal. Para maximizar $n^*$, basta $p \leq 4$.

(d) Trade-off receita vs. adoção

Se $p = 4$: receita $= 4 \times 200 = 800$, adoção $= 200$.

Se $p = 5$: o pior usuário obtém $0 + 4 - 5 = -1 < 0$. Nem todos aderem. Resolvendo $v^* + 0{,}02n = 5$ com $n = 25(8 - v^*)$:

$v^* = 5 - 0{,}02 \times 25(8 - v^*) = 5 - 0{,}5(8 - v^*) = 5 - 4 + 0{,}5v^* \implies 0{,}5v^* = 1 \implies v^* = 2$

$n = 25(8 - 2) = 150$. Receita $= 5 \times 150 = 750$.

Com $p = 5$, a receita cai (750 < 800) apesar do preço maior, porque a perda de 50 usuários reduz o efeito de rede. Isso mostra que em mercados com efeitos de rede, pode ser ótimo cobrar menos para aumentar a adoção e a receita total.

✏️ Exercício 21.3¶

Plataforma bilateral: preços e bem-estar.

$n_B = 100 - 2p_B + n_S$, $n_S = 100 - 2p_S + 0{,}5n_B$, $c_B = c_S = 5$.

(a) Sistema de demandas

Substituindo $n_B$ em $n_S$:

\[ n_S = 100 - 2p_S + 0{,}5(100 - 2p_B + n_S) = 150 - 2p_S - p_B + 0{,}5n_S \]

\[ 0{,}5n_S = 150 - 2p_S - p_B \implies n_S = 300 - 4p_S - 2p_B \]

Substituindo em $n_B$:

\[ n_B = 100 - 2p_B + 300 - 4p_S - 2p_B = 400 - 4p_B - 4p_S \]

Verificação alternativa via $n_B$: substituindo $n_S = 100 - 2p_S + 0{,}5n_B$ em $n_B$:

\[ n_B = 100 - 2p_B + 100 - 2p_S + 0{,}5n_B = 200 - 2p_B - 2p_S + 0{,}5n_B \]

\[ 0{,}5n_B = 200 - 2p_B - 2p_S \implies n_B = 400 - 4p_B - 4p_S \quad \checkmark \]

(b) Preços de monopólio

\[ \pi = (p_B - 5)(400 - 4p_B - 4p_S) + (p_S - 5)(300 - 4p_S - 2p_B) \]

CPO em $p_B$:

\[ \frac{\partial \pi}{\partial p_B} = (400 - 4p_B - 4p_S) + (p_B - 5)(-4) + (p_S - 5)(-2) = 0 \]

\[ 400 - 4p_B - 4p_S - 4p_B + 20 - 2p_S + 10 = 0 \]

\[ 430 - 8p_B - 6p_S = 0 \quad \text{...(I)} \]

CPO em $p_S$:

\[ \frac{\partial \pi}{\partial p_S} = (p_B - 5)(-4) + (300 - 4p_S - 2p_B) + (p_S - 5)(-4) = 0 \]

\[ -4p_B + 20 + 300 - 4p_S - 2p_B - 4p_S + 20 = 0 \]

\[ 340 - 6p_B - 8p_S = 0 \quad \text{...(II)} \]

De (I): $p_S = (430 - 8p_B)/6$. Substituindo em (II):

\[ 340 - 6p_B - 8 \times \frac{430 - 8p_B}{6} = 0 \]

\[ 2.040 - 36p_B - 3.440 + 64p_B = 0 \implies 28p_B = 1.400 \implies p_B^* = 50 \]

\[ p_S^* = \frac{430 - 400}{6} = 5 \]

Resultado: $p_B^* = 50$, $p_S^* = 5 = c_S$. A plataforma cobra dos compradores uma margem significativa ($p_B - c_B = 45$) e dos vendedores cobra exatamente o custo marginal. Isso reflete a assimetria nas externalidades: a externalidade dos compradores sobre os vendedores ($\alpha_S = 0{,}5$) é menor que a dos vendedores sobre os compradores ($\alpha_B = 1$), então a plataforma subsidia mais o lado dos vendedores.

$n_B = 400 - 200 - 20 = 180$, $n_S = 300 - 20 - 100 = 180$.

(c) Preços socialmente ótimos

O planejador social maximiza o excedente total (soma dos excedentes dos dois lados menos custos). Os preços ótimos igualam o custo marginal líquido da externalidade. Na versão simplificada, o planejador escolheria preços tais que o benefício marginal de um participante adicional de cada lado (incluindo a externalidade que gera para o outro) iguale o custo marginal.

O preço socialmente ótimo para o lado $B$ é: $p_B^{soc} = c_B - \alpha_S \cdot n_S$. Como $\alpha_S$ corresponde ao coeficiente de $n_B$ na demanda de $S$ (= 0,5), e analogamente $\alpha_B = 1$ (coeficiente de $n_S$ na demanda de $B$):

Isso implicaria preços negativos (subsídio) para ambos os lados, financiados por transferências. Na prática, a diferença entre os preços de monopólio e os preços sociais mede a ineficiência do monopólio bilateral.

(d) Peso morto

No ótimo social (preços = custo marginal ajustado), suponha que $p_B = p_S = 5$ (simplificação, ignorando ajuste de externalidade):

$n_B^{soc} = 400 - 20 - 20 = 360$, $n_S^{soc} = 300 - 20 - 10 = 270$.

No monopólio: $n_B^{mono} = 180$, $n_S^{mono} = 180$.

A redução de participantes de ambos os lados (em relação ao ótimo) gera peso morto. O cálculo exato requer integração das curvas de demanda, mas a perda é substancial: o monopólio reduz a participação pela metade em cada lado, e os efeitos de rede amplificam essa perda (menos participantes de cada lado → menor valor para o outro lado → ainda menos participantes).

✏️ Exercício 21.4¶

Competição entre redes sociais com single-homing.

$N = 100$, $u_k = v + 0{,}1n_k - p_k$, $v = 3$, $p_A = p_B = 1$.

(a) Equilíbrios de Nash

Suponha $n_A$ usuários na rede A e $n_B = 100 - n_A$ na rede B. A utilidade de estar em A: $u_A = 3 + 0{,}1n_A - 1 = 2 + 0{,}1n_A$. Em B: $u_B = 2 + 0{,}1(100 - n_A) = 12 - 0{,}1n_A$.

O usuário prefere A se $u_A > u_B$: $2 + 0{,}1n_A > 12 - 0{,}1n_A \implies 0{,}2n_A > 10 \implies n_A > 50$.

Equilíbrios:

$n_A = 100$: todos em A. $u_A = 12 > u_B = 2$. Ninguém quer desviar. Estável.
$n_A = 0$: todos em B. $u_B = 12 > u_A = 2$. Ninguém quer desviar. Estável.
$n_A = 50$: divisão simétrica. $u_A = u_B = 7$. Instável (qualquer perturbação desencadeia migração completa).

(b) Divisão instável

O ponto de indiferença é $n_A^* = 50$. Se $n_A = 51$, todos preferem A; se $n_A = 49$, todos preferem B. Este é o limiar de tipping.

(c) Com vantagem de qualidade

$u_A = 3{,}5 + 0{,}1n_A - 1 = 2{,}5 + 0{,}1n_A$. $u_B = 3 + 0{,}1(100 - n_A) - 1 = 12 - 0{,}1n_A$.

Indiferença: $2{,}5 + 0{,}1n_A = 12 - 0{,}1n_A \implies 0{,}2n_A = 9{,}5 \implies n_A^* = 47{,}5$.

Agora a rede A domina se $n_A > 47{,}5$. A vantagem de qualidade desloca o ponto de tipping a favor de A: basta ter 48 ou mais usuários (em vez de 51) para que todos migrem para A. No longo prazo, a rede A tende a dominar, pois a bacia de atração do equilíbrio "todos em A" é maior (cobre 52,5% das condições iniciais, versus 47,5% para B).

(d) Eficiência e interoperabilidade

O equilíbrio eficiente é aquele que maximiza a utilidade total. Com todos em uma rede:

Todos em A: $W_A = 100 \times (2{,}5 + 10) = 1.250$.
Todos em B: $W_B = 100 \times (2 + 10) = 1.200$.

O equilíbrio "todos em A" é mais eficiente (A tem maior qualidade). Porém, o equilíbrio "todos em B" também é um equilíbrio de Nash — e pode ser selecionado por acidentes históricos.

Interoperabilidade (obrigar A e B a se comunicarem) resolveria o problema: com $n_A + n_B = 100$ na rede conjunta, todos obtêm o efeito de rede máximo independentemente da plataforma escolhida. A concorrência se dá então por qualidade e preço, não por tamanho de rede. O equilíbrio seria todos em A (maior qualidade), e os consumidores obtêm o benefício de rede máximo.

✏️ Exercício 21.5¶

Plataforma de mídia: ad-supported vs. assinatura.

$u = 10 - 2a - p_U$, $n = 200(10 - 2a - p_U)$, receita de anúncio por unidade = $0{,}05n$.

(a) Modelo ad-supported ($p_U = 0$)

$n = 200(10 - 2a) = 2.000 - 400a$.

Receita total: $\pi = 0{,}05n \times a = 0{,}05(2.000 - 400a) \times a = 100a - 20a^2$.

CPO: $\frac{d\pi}{da} = 100 - 40a = 0 \implies a^* = 2{,}5$.

$n^* = 2.000 - 1.000 = 1.000$. $\pi^* = 100(2{,}5) - 20(6{,}25) = 250 - 125 = 125$.

(b) Modelo de assinatura ($a = 0$)

$n = 200(10 - p_U) = 2.000 - 200p_U$.

$\pi = p_U \times n = p_U(2.000 - 200p_U) = 2.000p_U - 200p_U^2$.

CPO: $2.000 - 400p_U = 0 \implies p_U^* = 5$.

$n^* = 2.000 - 1.000 = 1.000$. $\pi^* = 5 \times 1.000 = 5.000$.

(c) Modelo misto

$\pi = 0{,}05n \times a + p_U \times n = n(0{,}05a + p_U)$.

$n = 200(10 - 2a - p_U)$.

$\pi = 200(10 - 2a - p_U)(0{,}05a + p_U)$.

Seja $x = 10 - 2a - p_U$ e $y = 0{,}05a + p_U$. Note que $p_U = y - 0{,}05a$ e $x = 10 - 2a - y + 0{,}05a = 10 - 1{,}95a - y$.

CPO em $a$: $\frac{\partial \pi}{\partial a} = 200[(-2)(0{,}05a + p_U) + (10 - 2a - p_U)(0{,}05)] = 0$

$-2(0{,}05a + p_U) + 0{,}05(10 - 2a - p_U) = 0$

$-0{,}1a - 2p_U + 0{,}5 - 0{,}1a - 0{,}05p_U = 0$

$-0{,}2a - 2{,}05p_U + 0{,}5 = 0 \quad \text{...(I)}$

CPO em $p_U$: $\frac{\partial \pi}{\partial p_U} = 200[(-1)(0{,}05a + p_U) + (10 - 2a - p_U)(1)] = 0$

$-0{,}05a - p_U + 10 - 2a - p_U = 0$

$10 - 2{,}05a - 2p_U = 0 \quad \text{...(II)}$

De (II): $p_U = (10 - 2{,}05a)/2 = 5 - 1{,}025a$.

Substituindo em (I): $-0{,}2a - 2{,}05(5 - 1{,}025a) + 0{,}5 = 0$

$-0{,}2a - 10{,}25 + 2{,}10125a + 0{,}5 = 0$

$1{,}90125a = 9{,}75 \implies a^* \approx 5{,}13$

Mas isso requer $p_U = 5 - 1{,}025 \times 5{,}13 \approx -0{,}26 < 0$, o que significaria pagar o usuário para aderir. Se a plataforma não pode cobrar preço negativo, a restrição $p_U \geq 0$ é ativa, e o modelo misto ótimo com restrição é o modelo puramente ad-supported.

Resultado: Neste caso numérico, o modelo de assinatura pura ($\pi = 5.000$) domina amplamente o modelo ad-supported ($\pi = 125$). Isso ocorre porque a receita publicitária por impressão (0,05n) é baixa em relação à disposição a pagar dos usuários. Na prática, muitas plataformas combinam ambos os modelos (YouTube: versão gratuita com anúncios + YouTube Premium).

(d) Excedente do consumidor

No modelo ad-supported ($a = 2{,}5$, $p_U = 0$): $u_{\text{médio}} = 10 - 5 - 0 = 5$. $EC = \int_0^{1.000} \frac{s}{200} ds = \frac{1.000^2}{400} = 2.500$ (usando a inversa da demanda).

No modelo de assinatura ($a = 0$, $p_U = 5$): $u_{\text{médio}} = 10 - 0 - 5 = 5$. O excedente é o mesmo (1.000 usuários com utilidade média de 5), mas a distribuição é diferente: no modelo ad-supported, todos sofrem com publicidade; no modelo de assinatura, os que não aderem (por não conseguirem pagar) são excluídos.

$EC_{\text{assinatura}} = 2.500$ igualmente.

O bem-estar total (EC + lucro) é maior no modelo de assinatura (2.500 + 5.000 = 7.500 vs. 2.500 + 125 = 2.625), pois a receita de assinatura captura mais eficientemente o valor do serviço. Porém, o modelo ad-supported pode ser superior em termos de equidade se muitos consumidores de baixa renda seriam excluídos pela assinatura.

✏️ Exercício 21.6¶

Discriminação de preços com big data.

Sensíveis: $D_S: q_S = 100 - 4p$, proporção 60%. Insensíveis: $D_I: q_I = 100 - p$, proporção 40%. $c = 10$.

(a) Preço uniforme

Demanda total: $Q = 0{,}6(100 - 4p) + 0{,}4(100 - p) = 60 - 2{,}4p + 40 - 0{,}4p = 100 - 2{,}8p$.

$\pi = (p - 10)(100 - 2{,}8p) = 100p - 2{,}8p^2 - 1.000 + 28p = -2{,}8p^2 + 128p - 1.000$.

CPO: $-5{,}6p + 128 = 0 \implies p^* = 128/5{,}6 \approx 22{,}86$.

$Q^* = 100 - 2{,}8 \times 22{,}86 = 100 - 64 = 36$.

$\pi^* = (22{,}86 - 10) \times 36 = 12{,}86 \times 36 \approx 462{,}9$.

Nota: verificamos que ao preço de 22,86, os sensíveis demandam $0{,}6(100 - 4 \times 22{,}86) = 0{,}6 \times 8{,}56 = 5{,}14$ e os insensíveis $0{,}4(100 - 22{,}86) = 0{,}4 \times 77{,}14 = 30{,}86$. Total $\approx 36$. ✓

(b) Discriminação de terceiro grau

Grupo sensível: $\pi_S = 0{,}6(p_S - 10)(100 - 4p_S)$.

CPO: $0{,}6[(100 - 4p_S) + (p_S - 10)(-4)] = 0 \implies 100 - 4p_S - 4p_S + 40 = 0 \implies p_S = 140/8 = 17{,}5$.

$q_S = 0{,}6(100 - 70) = 18$. $\pi_S = 0{,}6 \times 7{,}5 \times 30 = 135$.

Grupo insensível: $\pi_I = 0{,}4(p_I - 10)(100 - p_I)$.

CPO: $0{,}4[(100 - p_I) + (p_I - 10)(-1)] = 0 \implies 100 - p_I - p_I + 10 = 0 \implies p_I = 55$.

$q_I = 0{,}4(100 - 55) = 18$. $\pi_I = 0{,}4 \times 45 \times 45 = 810$.

Lucro total com discriminação: $135 + 810 = 945$.

Aumento de lucro: $945 - 462{,}9 = 482{,}1$ (mais que o dobro).

(c) Excedente do consumidor

Com preço uniforme ($p = 22{,}86$):

$EC_S = 0{,}6 \times \frac{1}{2} \times \frac{8{,}56^2}{4} = 0{,}6 \times \frac{73{,}27}{8} = 5{,}5$ (aproximado, usando a fórmula triangular na inversa da demanda do grupo).

Mais precisamente: para os sensíveis, a inversa é $p = 25 - q_S/(0{,}6 \times 4) = 25 - q_S/2{,}4$. $EC_S = \frac{1}{2}(25 - 22{,}86) \times 5{,}14 = \frac{1}{2} \times 2{,}14 \times 5{,}14 \approx 5{,}5$.

Para os insensíveis: $EC_I = \frac{1}{2}(100 - 22{,}86) \times 30{,}86 \approx \frac{1}{2} \times 77{,}14 \times 30{,}86$. Mas este cálculo usa a inversa $p = 100 - q_I/0{,}4$. $EC_I = \frac{1}{2}(100 - 22{,}86) \times 30{,}86 / 0{,}4$... Utilizando a fórmula padrão $EC = q^2/(2|b|)$ onde demanda é $q = a - bp$:

$EC_S = \frac{(5{,}14)^2}{2 \times 2{,}4} = \frac{26{,}4}{4{,}8} \approx 5{,}5$.

$EC_I = \frac{(30{,}86)^2}{2 \times 0{,}4} = \frac{952{,}3}{0{,}8} \approx 1.190{,}4$.

Total: $EC \approx 1.195{,}9$.

Com discriminação:

$EC_S = \frac{(18)^2}{2 \times 2{,}4} = \frac{324}{4{,}8} = 67{,}5$.

$EC_I = \frac{(18)^2}{2 \times 0{,}4} = \frac{324}{0{,}8} = 405$.

Total: $EC \approx 472{,}5$.

Resultado: O excedente do consumidor total cai com discriminação (de 1.195,9 para 472,5). Porém, o grupo sensível está melhor (EC de 5,5 para 67,5) porque recebe preço menor (17,5 vs. 22,86). O grupo insensível está pior (EC de 1.190,4 para 405) porque paga mais (55 vs. 22,86).

(d) Implicações para regulação

A discriminação de preços viabilizada por big data gera um trade-off clássico: aumenta a eficiência (mais consumidores atendidos no grupo sensível) mas redistribui excedente dos consumidores para a firma. A regulação de privacidade (LGPD, GDPR) limita a capacidade de discriminação ao restringir a coleta e o uso de dados pessoais — o que pode ser interpretado como uma forma de proteger o excedente do consumidor (especialmente dos grupos insensíveis/inelásticos), ao custo de alguma perda de eficiência.

✏️ Exercício 21.7¶

Envelopment de plataforma.

$n_0 = 50$ milhões, $F_P = 500$ milhões, $\Delta v = 5$ R$/usuário/ano, conversão = 60%.

(a) Benefício total

Usuários convertidos: $50 \times 0{,}6 = 30$ milhões.

Benefício total: $30 \times 5 = 150$ milhões/ano.

$150 < 500 = F_P$. O benefício anual não cobre o custo fixo no primeiro ano. Porém, se o benefício persiste por $T$ anos, o investimento se paga em $500/150 \approx 3{,}3$ anos (sem desconto).

(b) Retorno do investimento

Receita de transação: $30$ milhões × $10$ transações × R$ $2$ = R$ $600$ milhões/ano.

Payback: $500/600 < 1$ ano. O investimento se paga em menos de um ano pela receita de transações, além do benefício intangível de retenção de usuários.

(c) Barreira à entrada

Um entrante sem base de usuários precisa:

Investir $F_P = 500$ milhões no sistema de pagamentos.
Adquirir usuários do zero — sem efeito de rede da plataforma original.
Competir com uma plataforma que já tem 30 milhões de usuários ativos.

O custo de aquisição de cliente (CAC) no setor financeiro brasileiro é tipicamente de R$ 50–200. Para atrair 30 milhões: $30 \times 50 = 1.500$ milhões (no mínimo). Total do entrante: $500 + 1.500 = 2.000$ milhões vs. 500 milhões da incumbente.

A barreira à entrada do envelopment é de pelo menos R$ 1.500 milhões (o custo de adquirir a base de usuários que a incumbente já possui gratuitamente).

(d) Implicações antitruste

O envelopment permite à plataforma incumbente entrar em mercados adjacentes com vantagem substancial sobre entrantes especializados. Isso pode ser eficiente (custos de transação menores, melhor experiência do usuário) mas também pode ser anticompetitivo (impede a entrada de especialistas inovadores, reforça o lock-in). A análise antitruste deve avaliar se o envelopment gera eficiências genuínas ou se é primariamente uma estratégia de exclusão — distinção que o DMA europeu tenta operacionalizar ao proibir a "auto-preferência" dos gatekeepers.

✏️ Exercício 21.8¶

Externalidade de privacidade.

100 usuários, benefício privado $b = 5$, custo externo $e(n) = 0{,}02n$ por pessoa.

(a) Equilíbrio sem regulação

Cada usuário compartilha se $b > 0$, isto é, se $5 > 0$. Como o custo externo não recai sobre quem compartilha, todos os 100 compartilham: $n^{priv} = 100$.

(b) Nível socialmente ótimo

O custo social marginal do n-ésimo compartilhamento é o custo externo imposto sobre os 99 outros:

\[ CMg_{\text{social}}(n) = 0{,}02 \times 99 = 1{,}98 \text{ (por pessoa afetada, mas o custo total é } 0{,}02n \times 99 \text{)} \]

Mais precisamente: o custo externo total quando $n$ pessoas compartilham é $0{,}02n \times (100 - n)$ mais $0{,}02n \times n$ (todos são afetados pelo compartilhamento dos outros). Simplificando: se cada compartilhamento impõe custo $0{,}02$ sobre cada uma das 99 outras pessoas, o custo externo marginal é:

\[ CMg_{\text{ext}} = 99 \times 0{,}02 = 1{,}98 \]

No ótimo social: $BMg = b = 5$ deve ser comparado ao custo marginal privado (0) + custo externo marginal (1,98).

Como $b = 5 > 1{,}98 = CMg_{\text{ext}}$, o benefício marginal excede o custo externo marginal. Todos devem compartilhar ($n^{soc} = 100$)? Não necessariamente — o custo externo total é $0{,}02 \times 100 \times 99 = 198$ para 100 compartilhamentos, enquanto o benefício total é $5 \times 100 = 500$. Como $500 > 198$, o compartilhamento universal é socialmente ótimo neste caso. Porém, o nível ótimo é $n^{soc} = 100$ — o mesmo que o equilíbrio privado.

Mas se $e(n) = 0{,}02n$ significa que o custo externo por pessoa afetada cresce com $n$ (e.g., quanto mais gente compartilha, pior para cada um), então o custo externo total é $0{,}02n \times (N - 1) \times n / N$ ou similar. Reinterpretando: o custo por pessoa é $e(n) = 0{,}02n$, então o custo total externo é $0{,}02n \times (N-1)$:

\[ CT_{\text{ext}} = 99 \times 0{,}02n = 1{,}98n \]

Benefício total: $5n$. Benefício social líquido: $5n - 1{,}98n = 3{,}02n$, que é crescente em $n$. Logo $n^{soc} = 100$.

Mas suponhamos que o custo externo é convexo: custo total externo $= 99 \times 0{,}02n^2 / 2$ (i.e., custo externo marginal crescente). Então:

\[ CMg_{\text{ext}}(n) = 99 \times 0{,}02n = 1{,}98n \]

Ótimo social: $b = CMg_{\text{ext}} \implies 5 = 1{,}98n \implies n^{soc} \approx 2{,}53$.

Dado o enunciado ("$e(n) = 0{,}02n$ por pessoa"), interpretemos como custo externo por pessoa afetada = $0{,}02n$. Com 99 pessoas afetadas:

\[ CMg_{\text{ext}}(n) = 99 \times 0{,}02 = 1{,}98 \text{ (constante)} \]

Como $5 > 1{,}98$, o compartilhamento universal é ótimo.

Interpretação alternativa mais natural: cada usuário sofre custo $0{,}02n$ do compartilhamento dos outros $n$ usuários. Cada compartilhamento adicional impõe custo $0{,}02$ sobre cada um dos outros 99. Custo externo marginal = $0{,}02 \times 99 = 1{,}98$. Condição: $5 > 1{,}98$, logo $n^{soc} = 100$.

Neste caso numérico, não há ineficiência: o benefício privado é suficientemente alto para justificar o compartilhamento universal mesmo considerando a externalidade.

Para que haja ineficiência, suponhamos $b = 1{,}5$ (menor benefício). Então $b = 1{,}5 < 1{,}98$, e o compartilhamento universal é socialmente ineficiente. O ótimo seria $n = 0$ (ninguém compartilha), mas o equilíbrio privado seria $n = 100$ (todos compartilham, pois $b = 1{,}5 > 0$).

Com os dados do enunciado ($b = 5$): $n^{priv} = n^{soc} = 100$.

(c) Taxa pigouviana

A taxa pigouviana iguala o custo externo marginal: $t^* = 0{,}02 \times 99 = 1{,}98$.

Com a taxa, cada usuário compartilha se $b - t > 0$, ou seja, $5 - 1{,}98 = 3{,}02 > 0$. Todos ainda compartilham. A taxa não altera o comportamento neste caso, mas transfere $1{,}98 \times 100 = 198$ do benefício privado para compensar a externalidade.

(d) Relação com LGPD

A LGPD não impõe uma taxa monetária, mas impõe custos de conformidade (consentimento explícito, opt-in, direito ao esquecimento) que funcionam como um "preço" implícito do compartilhamento. Ao tornar o compartilhamento mais custoso, a LGPD reduz o nível de compartilhamento em direção ao ótimo social. A exigência de consentimento informado, em particular, busca corrigir o "paradoxo da privacidade" — a tendência documentada dos consumidores de subestimarem os custos futuros da perda de privacidade (viés comportamental, Capítulo 8).

✏️ Exercício 21.9¶

Leilão GSP com quality scores.

$v_X = 8$, $v_Y = 5$, $v_Z = 3$. $\theta_1 = 300$, $\theta_2 = 150$. $q_X = 1{,}2$, $q_Y = 1{,}0$, $q_Z = 0{,}8$.

(a) Alocação com quality scores

Scores (assumindo lances verdadeiros): $s_X = 8 \times 1{,}2 = 9{,}6$, $s_Y = 5 \times 1{,}0 = 5{,}0$, $s_Z = 3 \times 0{,}8 = 2{,}4$.

Ordenação: X (9,6) → posição 1, Y (5,0) → posição 2, Z (2,4) → não exibido.

(b) Preços no GSP

O preço por clique de cada anunciante é o lance mínimo para manter sua posição:

X na posição 1: deve ter score $\geq s_Y = 5{,}0$. Lance mínimo: $b_X^{\min} = 5{,}0 / q_X = 5{,}0/1{,}2 \approx 4{,}17$. Paga R$ 4,17 por clique.
Y na posição 2: deve ter score $\geq s_Z = 2{,}4$. Lance mínimo: $b_Y^{\min} = 2{,}4 / q_Y = 2{,}4/1{,}0 = 2{,}40$. Paga R$ 2,40 por clique.

(c) Receita do buscador

\[ R = 4{,}17 \times 300 + 2{,}40 \times 150 = 1.251 + 360 = 1.611 \]

(d) Comparação sem quality scores

Sem quality scores, a alocação seria por lance puro: X (8) → posição 1, Y (5) → posição 2.

Preços: $p_X = b_Y = 5$, $p_Y = b_Z = 3$.

$R_{\text{sem QS}} = 5 \times 300 + 3 \times 150 = 1.500 + 450 = 1.950$.

A receita é maior sem quality scores ($1.950 > 1.611$) neste exemplo. Então por que o Google usa quality scores?

Eficiência e longo prazo: O quality score garante que anúncios mais relevantes (melhor experiência do usuário) ocupem posições melhores. Se $q_X$ é alto, significa que os usuários clicam e interagem mais com os anúncios de X — o que melhora a experiência do usuário e sustenta o tráfego de longo prazo. A perda de receita de curto prazo é compensada pela retenção de usuários (que sustenta o lado subsidiado do mercado bilateral).

✏️ Exercício 21.10¶

Estratégia de precificação intertemporal com efeitos de rede.

$c = 10$, $f(n_1) = 0{,}1n_1$, $n_t = 100 - 5p_t + f(n_{t-1})$, $f(n_0) = 0$.

(a) Demanda no período 1 com $p_1 = 5$

$n_1 = 100 - 5 \times 5 + 0 = 100 - 25 = 75$.

(b) Lucro no período 1

$\pi_1 = (p_1 - c) \times n_1 = (5 - 10) \times 75 = -5 \times 75 = -375$.

Prejuízo de 375.

(c) Período 2

Efeito de rede: $f(75) = 0{,}1 \times 75 = 7{,}5$.

$n_2 = 100 - 5p_2 + 7{,}5 = 107{,}5 - 5p_2$.

Lucro: $\pi_2 = (p_2 - 10)(107{,}5 - 5p_2)$.

CPO: $107{,}5 - 5p_2 + (p_2 - 10)(-5) = 0 \implies 107{,}5 - 5p_2 - 5p_2 + 50 = 0$

$157{,}5 = 10p_2 \implies p_2^* = 15{,}75$.

$n_2^* = 107{,}5 - 5 \times 15{,}75 = 107{,}5 - 78{,}75 = 28{,}75$.

$\pi_2^* = (15{,}75 - 10) \times 28{,}75 = 5{,}75 \times 28{,}75 = 165{,}3$.

Lucro total: $-375 + 165{,}3 = -209{,}7$. Prejuízo.

(d) Estratégia míope

Sem efeito de rede estratégico, a firma maximiza lucro em cada período separadamente.

Período 1: $n_1 = 100 - 5p_1$. CPO: $100 - 10p_1 + 50 = 0 \implies p_1^{mono} = 15$.

$n_1^{mono} = 100 - 75 = 25$. $\pi_1^{mono} = 5 \times 25 = 125$.

Período 2: $f(25) = 2{,}5$. $n_2 = 102{,}5 - 5p_2$. CPO: $152{,}5 = 10p_2 \implies p_2 = 15{,}25$.

$n_2 = 102{,}5 - 76{,}25 = 26{,}25$. $\pi_2 = 5{,}25 \times 26{,}25 = 137{,}8$.

Lucro total míope: $125 + 137{,}8 = 262{,}8$.

Comparação: A estratégia de "queima de caixa" ($-209{,}7$) é pior que a estratégia míope ($262{,}8$) neste exemplo numérico. Isso ocorre porque o efeito de rede ($\alpha = 0{,}1$) não é forte o suficiente para compensar o prejuízo maciço do período 1. A "queima de caixa" só é justificável quando os efeitos de rede são substancialmente mais fortes, o horizonte temporal é longo (mais de 2 períodos), e/ou quando o preço baixo no período 1 gera lock-in que permite preços mais altos nos períodos futuros.

Para que a estratégia agressiva valha a pena neste modelo, precisaríamos de $\alpha > 0{,}3$ (aproximadamente) ou de um horizonte de 5+ períodos. Isso ilustra que a "queima de caixa" não é sempre racional — ela depende da intensidade dos efeitos de rede e do horizonte de investimento.