Soluções dos Exercícios — Capítulo 20¶

✏️ Exercício 20.1¶

Externalidade de poluição e imposto pigouviano.

Uma fábrica de celulose produz $ q $ toneladas com custo $ C(q) = 10q + q^2 $, vende ao preço $ P = 110 $. O custo externo da poluição é $ E(q) = 2q^2 $.

(a) Quantidade sem regulação

Sem regulação, a firma maximiza seu lucro privado:

\[ \pi(q) = Pq - C(q) = 110q - 10q - q^2 = 100q - q^2 \]

Condição de primeira ordem:

\[ \frac{d\pi}{dq} = 100 - 2q = 0 \implies q^* = 50 \]

Sem regulação, a firma produz $ q = 50 $ toneladas.

(b) Quantidade socialmente ótima

O planejador social maximiza o bem-estar líquido, considerando o custo externo:

\[ W(q) = Pq - C(q) - E(q) = 110q - 10q - q^2 - 2q^2 = 100q - 3q^2 \]

Condição de primeira ordem:

\[ \frac{dW}{dq} = 100 - 6q = 0 \implies q^{**} = \frac{100}{6} = \frac{50}{3} \approx 16{,}67 \]

Alternativamente, no ótimo social o benefício marginal (preço líquido do custo marginal privado) iguala o custo marginal externo:

\[ P - C'(q) = E'(q) \implies 110 - 10 - 2q = 4q \implies 100 = 6q \implies q^{**} = \frac{50}{3} \]

A quantidade socialmente ótima é $ q^{**} = \frac{50}{3} \approx 16{,}67 $ toneladas.

(c) Imposto pigouviano ótimo

O imposto pigouviano ótimo é igual ao dano marginal externo avaliado na quantidade eficiente:

\[ t^* = E'(q^{**}) = 4q^{**} = 4 \cdot \frac{50}{3} = \frac{200}{3} \approx 66{,}67 \]

Verificação: Com o imposto $ t^* $, a firma maximiza:

\[ \pi(q) = Pq - C(q) - t^* q = 110q - 10q - q^2 - \frac{200}{3}q = \left(100 - \frac{200}{3}\right)q - q^2 = \frac{100}{3}q - q^2 \]

Condição de primeira ordem:

\[ \frac{d\pi}{dq} = \frac{100}{3} - 2q = 0 \implies q = \frac{100}{6} = \frac{50}{3} = q^{**} \checkmark \]

O imposto pigouviano $ t^* = \frac{200}{3} \approx 66{,}67 $ por tonelada induz a firma a escolher exatamente a quantidade socialmente eficiente.

(d) Peso morto da ausência de regulação

O peso morto (DWL) corresponde à perda de bem-estar social causada pela produção excessiva, ou seja, a área entre o custo marginal social e o benefício marginal, de $ q^{**} $ a $ q^* $:

O custo marginal social é $ C'(q) + E'(q) = 10 + 2q + 4q = 10 + 6q $, e o benefício marginal é $ P = 110 $. A diferença é:

\[ CMgS(q) - P = (10 + 6q) - 110 = 6q - 100 \]

\[ DWL = \int_{q^{**}}^{q^*} \left[ CMgS(q) - P \right] dq = \int_{50/3}^{50} (6q - 100)\, dq \]

\[ = \left[ 3q^2 - 100q \right]_{50/3}^{50} = \left(3 \cdot 2500 - 5000\right) - \left(3 \cdot \frac{2500}{9} - \frac{5000}{3}\right) \]

\[ = (7500 - 5000) - \left(\frac{2500}{3} - \frac{5000}{3}\right) = 2500 - \left(-\frac{2500}{3}\right) = 2500 + \frac{2500}{3} = \frac{10000}{3} \approx 3333{,}33 \]

O peso morto da ausência de regulação é $ DWL = \frac{10\,000}{3} \approx 3333{,}33 $.

Interpretação: essa é a perda líquida de bem-estar social provocada pela produção de 50 toneladas em vez das 16,67 toneladas eficientes. A firma ignora o dano ambiental que impõe a terceiros, gerando superprodução significativa.

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✏️ Exercício 20.2¶

Provisão eficiente de bem público e preços de Lindahl.

Três indivíduos (A, B, C) com valorações marginais pelo bem público $ G $:

$ G $	$ BMg_A $	$ BMg_B $	$ BMg_C $	$ \sum BMg $	$ CMg $
1	40	30	20	90	60
2	35	25	15	75	60
3	25	20	10	55	60
4	15	10	5	30	60
5	5	5	2	12	60

(a) Nível eficiente de provisão

A condição de Samuelson para bens públicos exige que a soma das valorações marginais iguale o custo marginal:

\[ \sum_{i} BMg_i(G) = CMg \]

Calculando a soma das valorações marginais para cada nível:

$ G = 1 $: $ 40 + 30 + 20 = 90 > 60 $ — vale a pena prover mais.
$ G = 2 $: $ 35 + 25 + 15 = 75 > 60 $ — vale a pena prover mais.
$ G = 3 $: $ 25 + 20 + 10 = 55 < 60 $ — não vale a pena prover mais.

Como a soma dos benefícios marginais excede o custo marginal até $ G = 2 $ e é inferior a partir de $ G = 3 $, o nível eficiente é:

\[ \boxed{G^* = 2} \]

(b) Preços de Lindahl

Os preços de Lindahl são contribuições personalizadas que refletem a valoração marginal de cada indivíduo no nível eficiente $ G^* = 2 $:

\[ p_A^L = BMg_A(2) = 35, \quad p_B^L = BMg_B(2) = 25, \quad p_C^L = BMg_C(2) = 15 \]

Os preços de Lindahl são: $ p_A^L = 35 $, $ p_B^L = 25 $ e $ p_C^L = 15 $.

Cada indivíduo paga exatamente sua valoração marginal, de modo que todos "concordam" com o nível $ G^* = 2 $.

(c) Por que a provisão voluntária resultaria em $ G < G^* $

Na provisão voluntária, cada indivíduo decide quanto contribuir considerando apenas seu benefício privado, não o benefício que sua contribuição gera para os demais. Isso ocorre porque o bem público é não-excludente: cada indivíduo pode usufruir da quantidade provida pelos outros sem contribuir.

Formalmente, cada indivíduo compara seu benefício marginal individual $ BMg_i $ com o custo marginal total $ CMg = 60 $. Como:

$ BMg_A(1) = 40 < 60 $
$ BMg_B(1) = 30 < 60 $
$ BMg_C(1) = 20 < 60 $

Nenhum indivíduo, isoladamente, teria incentivo para financiar sequer a primeira unidade do bem público, pois seu benefício marginal individual é inferior ao custo. Esse é o problema do carona (free-rider): cada um espera que os outros financiem o bem, resultando em subprovisão ou provisão nula.

(d) Verificação do equilíbrio orçamentário

A soma dos preços de Lindahl no nível eficiente deve cobrir exatamente o custo marginal:

\[ p_A^L + p_B^L + p_C^L = 35 + 25 + 15 = 75 \]

Comparando com $ CMg = 60 $:

\[ 75 > 60 \]

A soma dos preços de Lindahl (75) excede o custo marginal (60). Isso ocorre porque $ G^* = 2 $ é uma solução discreta — a condição de Samuelson não é satisfeita com igualdade exata. Na verdade, a soma dos benefícios marginais em $ G = 2 $ é 75 (ainda acima do custo), mas em $ G = 3 $ cairia para 55 (abaixo do custo). Se o nível ótimo contínuo existisse, ele estaria entre 2 e 3, e os preços de Lindahl somariam exatamente 60.

Para a solução discreta $ G^* = 2 $, os preços de Lindahl geram um superávit de $ 75 - 60 = 15 $, que poderia ser redistribuído entre os indivíduos como um desconto proporcional, mantendo a eficiência da provisão.

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✏️ Exercício 20.3¶

Alocação custo-efetiva de abatimento e cap-and-trade.

Duas firmas emitem poluentes. Custos de abatimento: $ CA_1(a_1) = 2a_1^2 $, $ CA_2(a_2) = a_2^2 $. Cada firma emite 100 toneladas sem regulação. O regulador deseja reduzir as emissões totais em 60 toneladas.

(a) Alocação custo-efetiva do abatimento

A alocação custo-efetiva minimiza o custo total de abatimento sujeito à restrição $ a_1 + a_2 = 60 $:

\[ \min_{a_1, a_2} \; 2a_1^2 + a_2^2 \quad \text{s.a.} \quad a_1 + a_2 = 60 \]

A condição de eficiência exige igualdade dos custos marginais de abatimento:

\[ CMgA_1(a_1) = CMgA_2(a_2) \implies 4a_1 = 2a_2 \]

Portanto $ a_2 = 2a_1 $. Substituindo na restrição:

\[ a_1 + 2a_1 = 60 \implies 3a_1 = 60 \implies a_1 = 20, \quad a_2 = 40 \]

A alocação custo-efetiva é $ a_1 = 20 $ toneladas (firma 1) e $ a_2 = 40 $ toneladas (firma 2).

A firma com menor custo marginal de abatimento (firma 2) abate mais, o que é o princípio da equalização marginal.

Custo total eficiente:

\[ CT^{ef} = 2(20)^2 + (40)^2 = 2 \cdot 400 + 1600 = 800 + 1600 = 2400 \]

(b) Custo total com abatimento uniforme

Se cada firma abate 30 toneladas:

\[ CT^{unif} = 2(30)^2 + (30)^2 = 2 \cdot 900 + 900 = 1800 + 900 = 2700 \]

O custo total com abatimento uniforme é 2700.

(c) Comparação e economia

\[ \text{Economia} = CT^{unif} - CT^{ef} = 2700 - 2400 = 300 \]

A alocação custo-efetiva gera uma economia de 300 em relação ao abatimento uniforme, uma redução de $ \frac{300}{2700} \approx 11{,}1\% $.

Essa economia surge porque o abatimento uniforme ignora as diferenças nos custos marginais entre as firmas. A firma 1, com custo marginal mais alto ($ CMgA_1 = 4a_1 $), é forçada a abater tanto quanto a firma 2, que tem custo marginal mais baixo ($ CMgA_2 = 2a_2 $). Ao realocar abatimento da firma 1 para a firma 2, reduz-se o custo total sem alterar a redução total de emissões.

(d) Preço de equilíbrio das permissões (cap-and-trade)

Num sistema de cap-and-trade, cada firma recebe permissões e pode negociá-las. No equilíbrio, o preço da permissão iguala os custos marginais de abatimento:

\[ p = CMgA_1(a_1^*) = 4 \cdot 20 = 80 \]

Verificando com a firma 2:

\[ p = CMgA_2(a_2^*) = 2 \cdot 40 = 80 \checkmark \]

O preço de equilíbrio das permissões é $ p = 80 $ por tonelada.

Interpretação: a firma 1 (custo marginal alto) compraria permissões da firma 2 (custo marginal baixo) até que os custos marginais se igualem. O mercado de permissões atinge automaticamente a alocação custo-efetiva, independentemente da distribuição inicial das permissões (resultado análogo ao Teorema de Coase).

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✏️ Exercício 20.4¶

Bem público discreto, problema do carona e mecanismo de Clarke.

Uma comunidade com 100 moradores decide sobre a construção de um parque público que custa R$50.000. Cada morador $ i $ tem valoração $ v_i $ uniformemente distribuída entre R$200 e R$800.

(a) O parque deve ser construído?

A valoração esperada de cada morador é:

\[ E[v_i] = \frac{200 + 800}{2} = 500 \]

A soma esperada das valorações dos 100 moradores é:

\[ \sum_{i=1}^{100} E[v_i] = 100 \times 500 = 50\,000 \]

Como $ \sum E[v_i] = 50\,000 = \text{Custo} $, em termos de valor esperado a provisão é marginalmente eficiente. Na realidade, como $ v_i \sim U[200, 800] $, a soma das valorações tem média 50.000 e desvio-padrão $ \sigma = \sqrt{100 \cdot \frac{(800-200)^2}{12}} = 10 \cdot \frac{600}{\sqrt{12}} \approx 1732{,}05 $.

Portanto, em cerca de metade das realizações, a soma das valorações excederá o custo. Se usarmos o critério de eficiência esperada, o parque está na fronteira de viabilidade. Na prática, porém, como a soma pode superar 50.000 com probabilidade significativa e os benefícios distribuem-se por todos, há um argumento razoável a favor da construção, especialmente se considerarmos que a decisão é "construir ou não" (discreta).

(b) Quantos contribuiriam voluntariamente com R$500?

Um morador contribui R$500 voluntariamente se e somente se sua valoração $ v_i \geq 500 $. Como $ v_i \sim U[200, 800] $:

\[ P(v_i \geq 500) = \frac{800 - 500}{800 - 200} = \frac{300}{600} = \frac{1}{2} \]

Espera-se que 50 dos 100 moradores contribuam voluntariamente.

Porém, essa análise ignora o raciocínio estratégico. Mesmo moradores com $ v_i \geq 500 $ podem optar por não contribuir se acreditarem que o parque será construído com as contribuições dos outros. Além disso, com apenas 50 contribuições de R$500, arrecadam-se R$25.000, insuficiente para cobrir o custo de R$50.000.

(c) O problema do carona (free-rider)

O parque público é um bem não-excludente: uma vez construído, todos os moradores se beneficiam, independentemente de terem contribuído. Isso gera o problema do carona:

Incentivo individual a não contribuir: cada morador percebe que sua contribuição individual (R$500) tem efeito marginal na provisão total, mas o custo é certo. O benefício de "pegar carona" — usufruir do parque sem pagar — domina a decisão individual.
Sub-revelação de preferências: se a contribuição é voluntária, moradores têm incentivo a declarar valorações menores que as verdadeiras ou simplesmente não contribuir, esperando que outros financiem o bem.
Resultado ineficiente: o equilíbrio de Nash da contribuição voluntária resulta em provisão inferior à eficiente (ou provisão nula), mesmo quando a soma das valorações verdadeiras excede o custo.

Esse é o fundamento teórico para a intervenção governamental na provisão de bens públicos, tipicamente via tributação compulsória.

(d) Mecanismo de imposto pivotal (Clarke)

O mecanismo de Clarke (ou mecanismo pivotal) funciona da seguinte forma:

Etapa 1 — Declaração de valorações. Cada morador $ i $ declara sua valoração $ \hat{v}_i $ pelo parque.

Etapa 2 — Decisão de provisão. O parque é construído se e somente se:

\[ \sum_{i=1}^{100} \hat{v}_i \geq 50\,000 \]

Cada morador paga uma parcela fixa do custo: $ c_i = \frac{50\,000}{100} = 500 $.

Etapa 3 — Imposto pivotal. Verifica-se se o morador $ i $ é pivotal, ou seja, se sua declaração altera a decisão coletiva. Define-se:

\[ S_{-i} = \sum_{j \neq i} (\hat{v}_j - c_j) \]

Se $ S_{-i} > 0 $ (o parque seria construído mesmo sem $ i $) e a decisão final é construir: morador $ i $ não é pivotal e paga imposto zero.
Se $ S_{-i} < 0 $ (sem $ i $ o parque não seria construído) mas com $ i $ é construído: morador $ i $ é pivotal e paga um imposto adicional igual a $ |S_{-i}| $, compensando exatamente o "prejuízo líquido" imposto aos demais.

Propriedade de compatibilidade de incentivos: O mecanismo de Clarke torna a declaração verdadeira ($ \hat{v}_i = v_i $) uma estratégia dominante para cada morador. Isso ocorre porque o imposto pivotal depende apenas das declarações dos outros, e o morador só afeta a decisão (e seu imposto) quando é pivotal — nesse caso, declarar a verdade maximiza sua utilidade líquida.

Limitação: O mecanismo de Clarke não é orçamentariamente equilibrado — a receita dos impostos pivotais é um excedente que não pode ser redistribuído aos participantes sem comprometer os incentivos.

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✏️ Exercício 20.5¶

Condição de Samuelson e provisão voluntária de bem público.

Economia com bem privado $ x $ e bem público $ G $, dois consumidores:

\[ U_1 = \ln(x_1) + 2\ln(G), \quad U_2 = \ln(x_2) + \ln(G) \]

Preço do bem privado = 1, custo marginal do bem público = $ c $. Cada consumidor tem renda $ W $.

(a) Condição de Samuelson

A condição de Samuelson para provisão eficiente de bens públicos exige que a soma das taxas marginais de substituição (TMS) entre bem público e bem privado iguale o custo marginal relativo:

\[ \sum_{i} TMS_{G,x}^i = CMg_G \]

Para o consumidor 1:

\[ TMS_{G,x}^1 = \frac{\partial U_1 / \partial G}{\partial U_1 / \partial x_1} = \frac{2/G}{1/x_1} = \frac{2x_1}{G} \]

Para o consumidor 2:

\[ TMS_{G,x}^2 = \frac{\partial U_2 / \partial G}{\partial U_2 / \partial x_2} = \frac{1/G}{1/x_2} = \frac{x_2}{G} \]

A condição de Samuelson é:

\[ \boxed{\frac{2x_1}{G} + \frac{x_2}{G} = c} \quad \Longleftrightarrow \quad 2x_1 + x_2 = cG \]

(b) Nível eficiente $ G^* $

A restrição de recursos da economia é:

\[ x_1 + x_2 + cG = 2W \]

Da condição de Samuelson: $ 2x_1 + x_2 = cG $.

Para encontrar $ G^* $, resolvemos o problema do planejador social. Maximizamos $ U_1 + U_2 $ (com pesos iguais) sujeito à restrição de recursos. Pelo Lagrangeano:

\[ \mathcal{L} = \ln(x_1) + 2\ln(G) + \ln(x_2) + \ln(G) - \lambda(x_1 + x_2 + cG - 2W) \]

Condições de primeira ordem:

\[ \frac{1}{x_1} = \lambda, \quad \frac{1}{x_2} = \lambda, \quad \frac{3}{G} = \lambda c \]

Das duas primeiras condições: $ x_1 = x_2 = \frac{1}{\lambda} $.

Da terceira: $ G = \frac{3}{\lambda c} $.

Substituindo na restrição de recursos:

\[ \frac{1}{\lambda} + \frac{1}{\lambda} + c \cdot \frac{3}{\lambda c} = 2W \implies \frac{2}{\lambda} + \frac{3}{\lambda} = 2W \implies \frac{5}{\lambda} = 2W \implies \lambda = \frac{5}{2W} \]

Portanto:

\[ G^* = \frac{3}{\lambda c} = \frac{3}{\frac{5}{2W} \cdot c} = \frac{6W}{5c} \]

\[ \boxed{G^* = \frac{6W}{5c}} \]

E os consumos privados: $ x_1^* = x_2^* = \frac{2W}{5} $.

(c) Provisão voluntária (equilíbrio de Nash)

Na provisão voluntária, cada consumidor $ i $ escolhe sua contribuição $ g_i \geq 0 $ ao bem público, tomando a contribuição do outro como dada. O nível total é $ G = g_1 + g_2 $.

Consumidor 1 maximiza:

\[ \max_{g_1} \; \ln(W - g_1) + 2\ln(g_1 + g_2) \]

Condição de primeira ordem:

\[ -\frac{1}{W - g_1} + \frac{2}{g_1 + g_2} = 0 \implies g_1 + g_2 = 2(W - g_1) \implies 3g_1 + g_2 = 2W \]

Consumidor 2 maximiza:

\[ \max_{g_2} \; \ln(W - g_2) + \ln(g_1 + g_2) \]

Condição de primeira ordem:

\[ -\frac{1}{W - g_2} + \frac{1}{g_1 + g_2} = 0 \implies g_1 + g_2 = W - g_2 \implies g_1 + 2g_2 = W \]

Resolvendo o sistema:

\[ \begin{cases} 3g_1 + g_2 = 2W \\ g_1 + 2g_2 = W \end{cases} \]

Da segunda equação: $ g_1 = W - 2g_2 $. Substituindo na primeira:

\[ 3(W - 2g_2) + g_2 = 2W \implies 3W - 6g_2 + g_2 = 2W \implies W = 5g_2 \implies g_2 = \frac{W}{5} \]

\[ g_1 = W - \frac{2W}{5} = \frac{3W}{5} \]

O nível total de bem público no equilíbrio de Nash é:

\[ G^{Nash} = g_1 + g_2 = \frac{3W}{5} + \frac{W}{5} = \frac{4W}{5} \]

Com custo marginal $ c $, a quantidade efetiva de bem público é:

\[ \boxed{G^{Nash} = \frac{4W}{5c}} \]

(assumindo que cada unidade monetária contribuída compra $ 1/c $ unidades de bem público).

Os consumos privados são: $ x_1^{Nash} = W - g_1 = \frac{2W}{5} $ e $ x_2^{Nash} = W - g_2 = \frac{4W}{5} $.

(d) Comparação: $ G^{Nash} < G^* $

Comparando os dois níveis:

\[ G^{Nash} = \frac{4W}{5c} < \frac{6W}{5c} = G^* \]

\[ \frac{G^{Nash}}{G^*} = \frac{4W/5c}{6W/5c} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

O equilíbrio de Nash produz apenas $ \frac{2}{3} $ do nível eficiente de bem público.

Interpretação econômica:

A subprovisão no equilíbrio voluntário ocorre porque cada consumidor, ao decidir quanto contribuir, considera apenas seu próprio benefício marginal, ignorando o benefício que sua contribuição gera para o outro consumidor. Este é o cerne do problema de externalidade positiva na provisão de bens públicos.

Especificamente:

O consumidor 1 iguala sua $ TMS_{G,x}^1 = c $ (em vez de contribuir até que a soma das TMS iguale $ c $).
O consumidor 2 faz o mesmo com sua $ TMS_{G,x}^2 = c $.

Cada um "pega carona" parcialmente no outro, e o resultado é que ambos subinvestem no bem público. A condição de Samuelson $ \sum TMS = c $ não é satisfeita no equilíbrio de Nash; em vez disso, cada consumidor individualmente iguala $ TMS^i = c $, o que resulta em $ \sum TMS^i > c $ no equilíbrio — sinalizando que mais bem público seria desejável do ponto de vista social.

Este resultado fundamenta a necessidade de mecanismos coletivos (tributação, mecanismos de revelação) para atingir a provisão eficiente de bens públicos.

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✏️ Exercício 20.6¶

Imposto pigouviano com incerteza sobre a alíquota ótima.

Uma indústria siderúrgica produz $ q $ toneladas de aço com custo total $ C(q) = 20q + 0{,}5q^2 $, vende ao preço $ P = 80 $. Custo externo: $ E(q) = q^2 $.

(a) Quantidade sem regulação e quantidade socialmente ótima

Sem regulação, a firma maximiza lucro privado:

\[ \pi(q) = Pq - C(q) = 80q - 20q - 0{,}5q^2 = 60q - 0{,}5q^2 \]

Condição de primeira ordem:

\[ \frac{d\pi}{dq} = 60 - q = 0 \implies q^{priv} = 60 \]

Ótimo social — o planejador maximiza bem-estar líquido:

\[ W(q) = Pq - C(q) - E(q) = 80q - 20q - 0{,}5q^2 - q^2 = 60q - 1{,}5q^2 \]

\[ \frac{dW}{dq} = 60 - 3q = 0 \implies q^{soc} = 20 \]

Sem regulação: $ q^{priv} = 60 $. Ótimo social: $ q^{soc} = 20 $.

(b) Imposto pigouviano ótimo

O imposto pigouviano ótimo iguala o dano marginal externo avaliado na quantidade eficiente:

\[ t^* = E'(q^{soc}) = 2q^{soc} = 2 \times 20 = 40 \]

Verificação: Com $ t^* = 40 $, a firma maximiza:

\[ \pi(q) = 80q - 20q - 0{,}5q^2 - 40q = 20q - 0{,}5q^2 \]

\[ \frac{d\pi}{dq} = 20 - q = 0 \implies q = 20 = q^{soc} \checkmark \]

O imposto pigouviano ótimo é $ t^* = 40 $ por tonelada.

(c) Receita fiscal e peso morto eliminado

A receita fiscal do imposto pigouviano é:

\[ R = t^* \cdot q^{soc} = 40 \times 20 = 800 \]

O peso morto da ausência de regulação é a perda de bem-estar entre $ q^{soc} = 20 $ e $ q^{priv} = 60 $. O custo marginal social é $ CMgS(q) = C'(q) + E'(q) = 20 + q + 2q = 20 + 3q $, e o benefício marginal é $ P = 80 $:

\[ DWL = \int_{20}^{60} \left[ CMgS(q) - P \right] dq = \int_{20}^{60} (20 + 3q - 80)\, dq = \int_{20}^{60} (3q - 60)\, dq \]

\[ = \left[ \frac{3q^2}{2} - 60q \right]_{20}^{60} = \left(\frac{3 \cdot 3600}{2} - 3600\right) - \left(\frac{3 \cdot 400}{2} - 1200\right) \]

\[ = (5400 - 3600) - (600 - 1200) = 1800 - (-600) = 2400 \]

A receita fiscal é 800 e o peso morto eliminado pelo imposto é $ DWL = 2400 $.

(d) Imposto incorreto $ t = 30 $

Com $ t = 30 $, a firma maximiza:

\[ \pi(q) = 80q - 20q - 0{,}5q^2 - 30q = 30q - 0{,}5q^2 \]

\[ \frac{d\pi}{dq} = 30 - q = 0 \implies q = 30 \]

O peso morto residual corresponde à perda entre $ q^{soc} = 20 $ e $ q = 30 $:

\[ DWL_{res} = \int_{20}^{30} (3q - 60)\, dq = \left[ \frac{3q^2}{2} - 60q \right]_{20}^{30} \]

\[ = \left(\frac{3 \cdot 900}{2} - 1800\right) - \left(\frac{3 \cdot 400}{2} - 1200\right) = (1350 - 1800) - (600 - 1200) \]

\[ = (-450) - (-600) = 150 \]

Com imposto incorreto $ t = 30 $, a firma produz $ q = 30 $ (acima do ótimo), e o peso morto residual é 150. O imposto subótimo elimina a maior parte da ineficiência (reduz DWL de 2400 para 150, ou seja, remove 93,75% do peso morto), mas não a totalidade, pois o imposto é inferior ao dano marginal externo na quantidade eficiente.

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✏️ Exercício 20.7¶

Teorema de Coase: fazendeiro vs. lavrador.

Lucro do fazendeiro: $ \pi_F(n) = 120n - 3n^2 $. Dano à lavoura: $ D(n) = 2n^2 $.

(a) Equilíbrio sem negociação

O fazendeiro maximiza seu lucro privado:

\[ \frac{d\pi_F}{dn} = 120 - 6n = 0 \implies n^{priv} = 20 \]

Sem negociação, o fazendeiro cria $ n^{priv} = 20 $ cabeças. Lucro: $ \pi_F(20) = 120 \times 20 - 3 \times 400 = 2400 - 1200 = 1200 $. Dano: $ D(20) = 2 \times 400 = 800 $.

(b) Número socialmente ótimo

O bem-estar social é o lucro do fazendeiro menos o dano ao lavrador:

\[ W(n) = \pi_F(n) - D(n) = 120n - 3n^2 - 2n^2 = 120n - 5n^2 \]

\[ \frac{dW}{dn} = 120 - 10n = 0 \implies n^{soc} = 12 \]

O número socialmente ótimo é $ n^{soc} = 12 $ cabeças. Lucro: $ \pi_F(12) = 120 \times 12 - 3 \times 144 = 1440 - 432 = 1008 $. Dano: $ D(12) = 2 \times 144 = 288 $.

(c) Negociação coaseana — fazendeiro tem o direito

Se o fazendeiro tem o direito de criar gado livremente, ele escolheria $ n = 20 $. O lavrador pode oferecer uma compensação $ T $ para que o fazendeiro reduza o rebanho de 20 para 12 cabeças.

Perda do fazendeiro ao reduzir de 20 para 12:

\[ \Delta \pi_F = \pi_F(20) - \pi_F(12) = 1200 - 1008 = 192 \]

Ganho do lavrador com a redução:

\[ \Delta D = D(20) - D(12) = 800 - 288 = 512 \]

A negociação ocorre se o ganho do lavrador excede a perda do fazendeiro: $ 512 > 192 $. O excedente da negociação é $ 512 - 192 = 320 $.

A compensação $ T $ deve satisfazer:

\[ 192 \leq T \leq 512 \]

O fazendeiro aceita reduzir o rebanho se recebe ao menos 192 (sua perda de lucro). O lavrador aceita pagar no máximo 512 (o dano evitado). A negociação conduz ao ótimo social $ n = 12 $, com compensação $ T \in [192, 512] $.

(d) Negociação coaseana — lavrador tem o direito

Se o lavrador tem direito a não sofrer danos, o fazendeiro precisa compensar o lavrador pelo dano causado. O fazendeiro oferece $ T' $ para poder criar $ n = 12 $ cabeças (ele não criaria $ n = 20 $ pois teria que compensar todo o dano, e o dano marginal excede o lucro marginal para $ n > 12 $).

Ganho do fazendeiro ao criar 12 cabeças (partindo de 0):

\[ \pi_F(12) = 1008 \]

Dano ao lavrador com 12 cabeças:

\[ D(12) = 288 \]

A compensação $ T' $ deve satisfazer:

\[ 288 \leq T' \leq 1008 \]

O lavrador aceita se recebe ao menos 288 (compensação integral pelo dano). O fazendeiro aceita pagar no máximo 1008 (seu lucro total). O excedente é $ 1008 - 288 = 720 $.

A negociação novamente conduz a $ n = 12 $, com compensação $ T' \in [288, 1008] $. Isso confirma o Teorema de Coase: a alocação eficiente é alcançada independentemente da distribuição inicial dos direitos de propriedade. A diferença está apenas na distribuição do excedente — quem detém o direito obtém maior parcela do ganho.

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✏️ Exercício 20.8¶

Condição de Samuelson e subprovisão de bem público com $ N $ consumidores.

$ N = 50 $ consumidores idênticos, renda $ W = 100 $, utilidade $ U_i = x_i + 10\sqrt{G} $, custo $ C(G) = G $.

(a) Condição de Samuelson e $ G^* $

A TMS de cada consumidor entre bem público e bem privado é:

\[ TMS_{G,x}^i = \frac{\partial U_i / \partial G}{\partial U_i / \partial x_i} = \frac{10 / (2\sqrt{G})}{1} = \frac{5}{\sqrt{G}} \]

A condição de Samuelson exige:

\[ \sum_{i=1}^{N} TMS^i = CMg_G \implies N \cdot \frac{5}{\sqrt{G}} = 1 \implies \frac{50 \cdot 5}{\sqrt{G}} = 1 \]

\[ \sqrt{G^*} = 250 \implies \boxed{G^* = 62\,500} \]

Verificação da viabilidade: O custo do bem público é $ G^* = 62\,500 $, e a renda total é $ 50 \times 100 = 5000 $. Como $ 62\,500 > 5000 $, o nível eficiente não é viável com essas rendas.

Reconsiderando com a restrição de recursos $ \sum x_i + G = NW = 5000 $ e $ x_i \geq 0 $, o nível eficiente alcançável é limitado. Na verdade, se toda a renda fosse destinada ao bem público, $ G^{max} = 5000 $. Neste caso, como a solução interior exige $ G^* = 62\,500 $, temos uma solução de canto onde $ G^* = 5000 $ e $ x_i = 0 $ para todo $ i $.

No entanto, para a análise comparativa, consideremos o caso com parâmetros ajustados em que a solução é interior. Com a utilidade quasilinear, se $ G^* = 62\,500 $ excede a renda total, interpretamos que a condição de Samuelson indica $ G^* = 62\,500 $ como ótimo irrestrito. O nível eficiente irrestrito é $ G^* = 62\,500 $.

(b) Equilíbrio de Nash de contribuição voluntária

No equilíbrio de Nash, cada consumidor $ i $ escolhe $ g_i $ para maximizar:

\[ \max_{g_i} \; (W - g_i) + 10\sqrt{g_i + G_{-i}} \]

onde $ G_{-i} = \sum_{j \neq i} g_j $. Condição de primeira ordem:

\[ -1 + \frac{10}{2\sqrt{g_i + G_{-i}}} = 0 \implies \frac{5}{\sqrt{G}} = 1 \implies \sqrt{G} = 5 \implies G = 25 \]

No equilíbrio simétrico com $ N = 50 $ consumidores idênticos: $ g_i = G/N = 25/50 = 0{,}5 $.

\[ \boxed{G^{Nash} = 25} \]

(c) Razão $ G^{Nash}/G^* $

\[ \frac{G^{Nash}}{G^*} = \frac{25}{62\,500} = \frac{1}{2500} = \frac{1}{N^2} \]

Com $ N = 50 $: $ G^{Nash}/G^* = 1/2500 = 0{,}04\% $. A provisão voluntária produz uma fração ínfima do nível eficiente. Isso ocorre porque cada consumidor iguala sua TMS individual (não a soma) ao custo marginal: $ 5/\sqrt{G} = 1 $ vs. $ 250/\sqrt{G} = 1 $.

(d) Efeito do tamanho do grupo

Com $ N = 200 $:

\[ G^* = (200 \times 5)^2 = 1\,000\,000, \quad G^{Nash} = 25 \text{ (inalterado)} \]

\[ \frac{G^{Nash}}{G^*} = \frac{25}{1\,000\,000} = \frac{1}{40\,000} \]

A razão diminui dramaticamente. O nível de Nash não muda (cada consumidor resolve o mesmo problema individual), mas o nível eficiente cresce com $ N^2 $. À medida que o grupo aumenta, o free-riding se agrava: cada consumidor é uma fração menor do total, seu impacto na provisão é insignificante, e o incentivo a contribuir diminui. Este é o resultado clássico de Olson (1965): grupos maiores enfrentam problemas de ação coletiva mais severos, pois o benefício individual da contribuição é diluído entre mais membros.

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✏️ Exercício 20.9¶

Tragédia dos comuns: pesca em lago de acesso aberto.

Captura total: $ Q = E(100 - E) $. Preço do peixe: $ p = 1 $. Custo por unidade de esforço: $ w = 10 $. $ n = 10 $ pescadores idênticos.

(a) Esforço total de equilíbrio (acesso aberto)

No equilíbrio simétrico de Nash, cada pescador escolhe $ e_i $ tomando $ E_{-i} $ como dado. A receita do pescador $ i $ é:

\[ R_i = \frac{e_i}{E} \cdot E(100 - E) = e_i(100 - E) \]

O lucro do pescador $ i $ é:

\[ \pi_i = e_i(100 - E) - we_i = e_i(100 - E - w) \]

Com $ E = e_i + E_{-i} $ e no equilíbrio simétrico $ e_i = E/n $:

\[ \frac{\partial \pi_i}{\partial e_i} = (100 - E - w) - e_i = 0 \]

\[ 100 - E - 10 - \frac{E}{n} = 0 \implies 90 = E + \frac{E}{n} = E\left(\frac{n+1}{n}\right) \]

\[ E^{Nash} = \frac{90n}{n+1} = \frac{90 \times 10}{11} = \frac{900}{11} \approx 81{,}82 \]

O esforço total de equilíbrio é $ E^{Nash} = 900/11 \approx 81{,}82 $.

(b) Esforço socialmente eficiente

O planejador social maximiza o lucro total:

\[ \Pi(E) = E(100 - E) - wE = 100E - E^2 - 10E = 90E - E^2 \]

\[ \frac{d\Pi}{dE} = 90 - 2E = 0 \implies E^{soc} = 45 \]

O esforço socialmente eficiente é $ E^{soc} = 45 $.

(c) Peso morto do acesso aberto

Lucro total no ótimo social:

\[ \Pi(45) = 90 \times 45 - 45^2 = 4050 - 2025 = 2025 \]

Lucro total no equilíbrio de acesso aberto:

\[ \Pi\left(\frac{900}{11}\right) = 90 \times \frac{900}{11} - \left(\frac{900}{11}\right)^2 = \frac{81\,000}{11} - \frac{810\,000}{121} = \frac{891\,000 - 810\,000}{121} = \frac{81\,000}{121} \approx 669{,}42 \]

\[ DWL = \Pi^{soc} - \Pi^{Nash} = 2025 - \frac{81\,000}{121} = \frac{245\,025 - 81\,000}{121} = \frac{164\,025}{121} \approx 1355{,}58 \]

O peso morto do acesso aberto é aproximadamente 1355,58, representando $ 1355{,}58 / 2025 \approx 66{,}9\% $ do excedente potencial desperdiçado.

(d) Políticas para alcançar o ótimo

Política 1 — Imposto pigouviano sobre esforço. O regulador cobra um imposto $ t $ por unidade de esforço que internalize a externalidade negativa. No equilíbrio, cada pescador iguala:

\[ 100 - E - \frac{E}{n} - t = 0 \]

Para induzir $ E^{soc} = 45 $:

\[ t = 90 - 45\left(\frac{n+1}{n}\right) = 90 - 45 \times \frac{11}{10} = 90 - 49{,}5 = 40{,}5 \]

O imposto corrige a cunha entre produto médio e produto marginal, fazendo cada pescador perceber o custo social de seu esforço.

Política 2 — Sistema de quotas individuais transferíveis (ITQ). O regulador fixa o esforço total em $ E^{soc} = 45 $ e distribui permissões de pesca. Cada pescador recebe uma quota de $ 45/10 = 4{,}5 $ unidades de esforço. As quotas são transferíveis, permitindo que pescadores mais eficientes comprem quotas dos menos eficientes. Com pescadores idênticos, não há comércio, mas o cap garante o nível eficiente. O preço de equilíbrio da quota reflete o produto marginal social da pesca no ótimo.

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✏️ Exercício 20.10¶

Cap-and-trade vs. imposto sobre emissões com três firmas.

Custos marginais de abatimento: $ CMgA_1 = 2a_1 $, $ CMgA_2 = 4a_2 $, $ CMgA_3 = a_3 $. Meta: redução total de 100 toneladas.

(a) Alocação custo-efetiva e equivalência dos instrumentos de mercado

A alocação custo-efetiva equaliza os custos marginais de abatimento:

\[ 2a_1 = 4a_2 = a_3 = \mu \]

onde $ \mu $ é o preço-sombra (ou preço da permissão). Portanto:

\[ a_1 = \frac{\mu}{2}, \quad a_2 = \frac{\mu}{4}, \quad a_3 = \mu \]

Pela restrição $ a_1 + a_2 + a_3 = 100 $:

\[ \frac{\mu}{2} + \frac{\mu}{4} + \mu = 100 \implies \frac{7\mu}{4} = 100 \implies \mu = \frac{400}{7} \approx 57{,}14 \]

\[ a_1 = \frac{200}{7} \approx 28{,}57, \quad a_2 = \frac{100}{7} \approx 14{,}29, \quad a_3 = \frac{400}{7} \approx 57{,}14 \]

Cap-and-trade: Cada firma negocia permissões até igualar seu custo marginal de abatimento ao preço da permissão $ p $. No equilíbrio: $ p = \mu = 400/7 \approx 57{,}14 $.

Imposto uniforme: Se o regulador fixa o imposto $ t = 400/7 $, cada firma abate até $ CMgA_i = t $, resultando em $ a_1 = 200/7 $, $ a_2 = 100/7 $, $ a_3 = 400/7 $ — exatamente a alocação custo-efetiva.

Ambos os instrumentos de mercado atingem a mesma alocação custo-efetiva, com o mesmo preço implícito $ \mu = 400/7 $.

(b) Custo total: custo-efetiva vs. uniforme

Os custos de abatimento são $ CA_1 = a_1^2 $, $ CA_2 = 2a_2^2 $, $ CA_3 = 0{,}5a_3^2 $ (integrando os custos marginais).

Custo custo-efetivo:

\[ CT^{ef} = \left(\frac{200}{7}\right)^2 + 2\left(\frac{100}{7}\right)^2 + 0{,}5\left(\frac{400}{7}\right)^2 \]

\[ = \frac{40\,000}{49} + \frac{20\,000}{49} + \frac{80\,000}{49} = \frac{140\,000}{49} = \frac{20\,000}{7} \approx 2857{,}14 \]

Custo com abatimento uniforme ($ a_i = 100/3 $ para cada firma):

\[ CT^{unif} = \left(\frac{100}{3}\right)^2 + 2\left(\frac{100}{3}\right)^2 + 0{,}5\left(\frac{100}{3}\right)^2 = 3{,}5 \times \frac{10\,000}{9} = \frac{35\,000}{9} \approx 3888{,}89 \]

Economia:

\[ CT^{unif} - CT^{ef} = \frac{35\,000}{9} - \frac{20\,000}{7} = \frac{245\,000 - 180\,000}{63} = \frac{65\,000}{63} \approx 1031{,}75 \]

A alocação custo-efetiva gera economia de aproximadamente 1031,75, ou 26,5% do custo uniforme. A economia é substancial porque os custos marginais são muito heterogêneos: a firma 3 (custo marginal mais baixo) abate quatro vezes mais que a firma 2 (custo marginal mais alto).

(c) Imposto vs. cap-and-trade com custos subestimados

Se os verdadeiros custos de abatimento são 50% maiores: $ CMgA_1^{real} = 3a_1 $, $ CMgA_2^{real} = 6a_2 $, $ CMgA_3^{real} = 1{,}5a_3 $.

Com imposto $ t = 40 $: Cada firma abate até $ CMgA_i^{real} = 40 $:

\[ a_1 = \frac{40}{3} \approx 13{,}33, \quad a_2 = \frac{40}{6} \approx 6{,}67, \quad a_3 = \frac{40}{1{,}5} \approx 26{,}67 \]

Abatimento total: $ 13{,}33 + 6{,}67 + 26{,}67 = 46{,}67 $ toneladas (abaixo da meta de 100).

O dano da poluição residual extra ($ 100 - 46{,}67 = 53{,}33 $ toneladas a mais) é: $ D' \times 53{,}33 = 40 \times 53{,}33 = 2133{,}33 $.

Porém, a economia no custo de abatimento (por abater menos) também importa. O custo total social (abatimento + dano) com o imposto reflete o trade-off correto dado o preço $ t = 40 $.

Com cap-and-trade (cap = 100 toneladas): A meta de 100 toneladas é atingida independentemente dos custos reais. O preço da permissão ajusta-se para cima:

\[ \frac{\mu'}{3} + \frac{\mu'}{6} + \frac{\mu'}{1{,}5} = 100 \implies \mu'\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{2}{3}\right) = 100 \implies \mu' \times \frac{7}{6} = 100 \implies \mu' = \frac{600}{7} \approx 85{,}71 \]

Como o dano marginal é constante ($ D' = 40 $), o custo marginal de abatimento no cap-and-trade ($ \mu' \approx 85{,}71 $) excede muito o dano marginal (40). Isso significa que a sociedade está gastando mais em abatimento do que o dano evitado justifica.

O imposto é preferível neste caso, pois mantém o custo marginal de abatimento ($ t = 40 $) alinhado com o dano marginal ($ D' = 40 $), mesmo que o abatimento total fique abaixo da meta.

(d) Relação com Weitzman (1974)

O resultado de Weitzman (1974) mostra que a escolha entre preços (imposto) e quantidades (cap) depende das inclinações relativas das curvas de custo marginal de abatimento e de dano marginal:

Quando a curva de dano marginal é plana (como neste exercício, com $ D' = 40 $ constante) e a curva de custo marginal de abatimento é inclinada, o instrumento de preço (imposto) é preferível. Isso porque erros na estimação dos custos de abatimento levam a variações na quantidade abatida, mas o custo social dessas variações é pequeno quando o dano marginal é constante — o imposto mantém o custo marginal de abatimento igual ao dano marginal (a condição de eficiência).
Quando a curva de dano marginal é inclinada (danos catastróficos acima de certo limiar) e a curva de custo de abatimento é plana, o instrumento de quantidade (cap) é preferível, pois garante que o nível de emissão não ultrapasse o limiar, mesmo que os custos sejam mal estimados.

No nosso exercício, com dano marginal constante e custos subestimados: o imposto errou na quantidade (abateu 46,67 em vez de 100), mas manteve a eficiência marginal. O cap-and-trade atingiu a meta, mas a um custo marginal de 85,71, muito acima do dano marginal de 40 — gerando ineficiência por abatimento excessivo em termos de custo-benefício. O imposto domina porque a curva de dano é plana.

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