Soluções dos Exercícios — Capítulo 19¶
✏️ Exercício 19.1¶
Mercado de carros usados (Akerlof). Carros bons: valor de \( 30.000 \) para compradores e \( 25.000 \) para vendedores. Carros ruins: valor de \( 15.000 \) para compradores e \( 10.000 \) para vendedores. Metade dos carros são bons.
(a) Preço máximo que um comprador desinformado pagaria¶
Sob informação assimétrica, o comprador não consegue distinguir carros bons de ruins. Ele atribui a cada carro o valor esperado, ponderado pela proporção de tipos no mercado.
Se ambos os tipos estiverem à venda, a proporção é \( 1/2 \) de cada. O valor esperado para o comprador é:
Portanto, o preço máximo que um comprador desinformado estaria disposto a pagar é \( P_{\max} = 22.500 \).
(b) Quais tipos serão transacionados?¶
Para que vendedores de carros bons aceitem vender, o preço deve ser ao menos \( 25.000 \). Porém, o preço máximo que o comprador oferece é \( 22.500 < 25.000 \).
Logo, vendedores de carros bons não vendem. Apenas carros ruins permanecem no mercado, pois \( 22.500 > 10.000 \).
Mas, antecipando isso, o comprador racional percebe que só restam carros ruins. Ele então estará disposto a pagar no máximo \( 15.000 \), que é suficiente para que vendedores de carros ruins aceitem (\( 15.000 > 10.000 \)).
Resultado: somente carros ruins são transacionados ao preço \( P \in [10.000;\, 15.000] \). Este é o fenômeno clássico de seleção adversa — os carros bons são expulsos do mercado.
(c) Resultado sob informação simétrica¶
Se o comprador pudesse observar a qualidade:
- Carros bons: preço de equilíbrio \( P_B \in [25.000;\, 30.000] \). Há ganhos de comércio de \( 30.000 - 25.000 = 5.000 \).
- Carros ruins: preço de equilíbrio \( P_R \in [10.000;\, 15.000] \). Há ganhos de comércio de \( 15.000 - 10.000 = 5.000 \).
Ambos os tipos seriam transacionados, e o excedente total seria maximizado. A assimetria informacional destrói metade das trocas mutuamente benéficas.
(d) Mecanismo institucional para atenuar a seleção adversa¶
Diversas instituições podem mitigar o problema:
-
Garantias (warranties): Vendedores de carros bons podem oferecer garantias estendidas. Como o custo esperado da garantia é baixo para carros bons e alto para carros ruins, este é um mecanismo de sinalização crível.
-
Inspeção por terceiros: Laudos técnicos independentes (como vistorias cautelares) reduzem a assimetria informacional diretamente.
-
Reputação e certificação: Concessionárias que atestam a qualidade, colocando sua reputação em jogo, funcionam como intermediários que resolvem parcialmente o problema.
A ideia central é que qualquer mecanismo que permita aos vendedores de carros bons revelar seu tipo de forma crível restaura, ao menos parcialmente, a eficiência do mercado.
✏️ Exercício 19.2¶
Modelo principal-agente. Utilidade do agente: \( U = \sqrt{w} - e \), com \( e \in \{0, 1\} \). Lucro \( \pi_H = 200 \) com probabilidade \( p(e) \) e \( \pi_L = 50 \) caso contrário. \( p(1) = 0{,}8 \), \( p(0) = 0{,}3 \). Utilidade de reserva \( \bar{U} = 5 \).
(a) Restrições de participação e incentivo para induzir \( e = 1 \)¶
Sejam \( w_H \) e \( w_L \) os pagamentos condicionais aos resultados \( \pi_H \) e \( \pi_L \), respectivamente.
Restrição de participação (RP): o agente deve preferir aceitar o contrato (com \( e = 1 \)) a ficar de fora:
Restrição de compatibilidade de incentivos (IC): o agente deve preferir \( e = 1 \) a \( e = 0 \):
(b) Pagamentos ótimos \( w_H^* \) e \( w_L^* \)¶
O principal minimiza o custo esperado \( C = 0{,}8\,w_H + 0{,}2\,w_L \) sujeito a RP e IC.
No ótimo, ambas as restrições são ativas (binding). Da IC ativa:
Substituindo na RP ativa:
Custo esperado (second-best):
(c) Comparação com o first-best (esforço observável)¶
Se o esforço é observável, basta satisfazer a RP. O principal pode oferecer salário fixo \( w^{FB} \) tal que:
Custo first-best: \( C^{FB} = 36 \) (salário fixo, sem risco para o agente).
Custo second-best: \( C^{SB} = 36{,}64 \).
A diferença \( 36{,}64 - 36 = 0{,}64 \) é o custo da assimetria informacional (ou "custo de agência"). Ele surge porque, para incentivar o agente, o principal precisa expô-lo a risco (\( w_H \neq w_L \)), o que é custoso dado que o agente é avesso ao risco (\( U = \sqrt{w} \) é côncava).
✏️ Exercício 19.3¶
Sinalização de Spence. Tipo H: produtividade \( \theta_H = 100 \), custo de educação \( c_H(s) = s/2 \). Tipo L: produtividade \( \theta_L = 50 \), custo \( c_L(s) = s \).
(a) Faixa de níveis de educação \( s^* \) que sustentam equilíbrio separador¶
Num equilíbrio separador, o tipo H escolhe \( s^* > 0 \) e recebe salário \( w = 100 \); o tipo L escolhe \( s = 0 \) e recebe \( w = 50 \).
Condição para o tipo L não imitar o tipo H:
O tipo L deve preferir não investir em educação e receber \( 50 \) a investir \( s^* \) e receber \( 100 \).
Condição para o tipo H preferir sinalizar:
O tipo H deve preferir investir \( s^* \) e receber \( 100 \) a não investir e receber \( 50 \).
Portanto, qualquer \( s^* \in [50;\, 100] \) sustenta um equilíbrio separador.
(b) Equilíbrio separador de menor custo¶
O equilíbrio de menor custo (mais eficiente entre os separadores) corresponde ao menor nível de sinalização que separa os tipos:
Neste equilíbrio, o tipo H investe \( s^* = 50 \) e obtém utilidade líquida \( 100 - 50/2 = 75 \). O tipo L obtém \( 50 \).
Este é o equilíbrio separador selecionado pelo critério intuitivo de Cho-Kreps (Intuitive Criterion), pois é o que impõe menor custo de sinalização ao tipo produtivo.
(c) Existência de equilíbrio agregador (pooling) estável¶
Num equilíbrio agregador, ambos os tipos escolhem o mesmo nível de educação \( s_p \) e recebem o salário médio. Se a proporção de tipo H é \( \lambda \), o salário pooling seria:
No entanto, esse equilíbrio não é estável sob o critério intuitivo. A razão é que um trabalhador do tipo H pode escolher um desvio \( s' \) suficientemente elevado para que:
- O tipo L não tenha incentivo a imitar (pois \( w' - s' < w_p - s_p \) para o tipo L);
- O tipo H prefira o desvio (pois \( w' - s'/2 > w_p - s_p/2 \) para o tipo H).
Como o custo marginal de educação é menor para o tipo H, sempre existe tal desvio. Portanto, não há equilíbrio agregador estável sob o critério intuitivo de Cho-Kreps.
(d) Eficiência social da sinalização via educação¶
No modelo de Spence puro, a educação não aumenta a produtividade — serve apenas como sinal. Sob informação simétrica, os tipos receberiam seus salários verdadeiros sem nenhum custo de sinalização.
No equilíbrio separador de menor custo, o tipo H gasta \( s^*/2 = 25 \) em sinalização, que é um custo peso-morto (deadweight loss). A sinalização é, portanto, socialmente ineficiente: consome recursos reais apenas para transmitir informação.
Contudo, na prática, a educação pode ter efeitos produtivos reais (acumulação de capital humano), o que muda parcialmente a análise. Se a educação for parcialmente produtiva e parcialmente sinalizadora, o custo social é menor que no modelo puro, mas ainda há ineficiência na margem.
✏️ Exercício 19.4¶
Leilão de segundo preço com 3 participantes. Valores i.i.d. uniformes em \( [0;\, 100] \).
(a) Estratégia ótima de cada participante¶
No leilão de segundo preço (Vickrey), a estratégia dominante de cada participante é dar um lance igual à sua verdadeira valoração:
Isso ocorre porque o lance não afeta o preço pago (que é o segundo maior lance), mas apenas a probabilidade de vencer. Dar lance abaixo do valor verdadeiro arrisca perder leilões lucrativos; dar lance acima arrisca pagar mais do que o objeto vale. A demonstração formal segue diretamente da análise de estratégias dominantes em mecanismos de Vickrey.
(b) Receita esperada do vendedor¶
No leilão de segundo preço com \( n = 3 \) participantes e valores i.i.d. \( U[0;\, 100] \), a receita é igual ao segundo maior valor (a segunda estatística de ordem, \( V_{(2:3)} \)).
A esperança da \( k \)-ésima estatística de ordem de \( n \) variáveis uniformes em \( [0;\, a] \) é:
Para a segunda maior de três (\( k = 2 \), pois \( V_{(2:3)} \) é a segunda estatística de ordem quando ordenamos de forma crescente, ou equivalentemente, a segunda maior corresponde a \( k = n - 1 = 2 \)):
A receita esperada do vendedor é \( 50 \).
(c) Receita esperada no leilão de primeiro preço (pelo Teorema da Equivalência de Receitas)¶
O Teorema da Equivalência de Receitas (Revenue Equivalence Theorem) afirma que, sob as condições padrão (valores privados independentes, mesma distribuição, mesmo número de participantes, o participante com menor valoração tem payoff zero), todos os mecanismos de leilão padrão geram a mesma receita esperada.
Portanto, a receita esperada no leilão de primeiro preço também é:
(d) Estratégia de equilíbrio simétrico no leilão de primeiro preço¶
No leilão de primeiro preço com \( n \) participantes e valores \( U[0;\, a] \), a estratégia de equilíbrio simétrico de Bayes-Nash é:
Para \( n = 3 \):
Intuição: cada participante "sombreia" (shades) seu lance abaixo de sua verdadeira valoração. O fator de desconto \( (n-1)/n \) reflete o trade-off entre probabilidade de vencer (que aumenta com o lance) e lucro condicional à vitória (que diminui com o lance). Com mais competidores, o sombreamento diminui, e os lances se aproximam dos valores verdadeiros.
Verificação da receita esperada: A receita no leilão de primeiro preço é o maior lance, \( \max_i b_i = \frac{2}{3} V_{(3:3)} \). Temos \( \mathbb{E}[V_{(3:3)}] = \frac{3}{4} \times 100 = 75 \). Logo:
Confirmando a equivalência de receitas.
✏️ Exercício 19.5¶
Mercado de seguros com dois tipos. Tipo A: \( p_A = 0{,}1 \). Tipo B: \( p_B = 0{,}4 \). Ambos com \( W = 100 \), perda \( d = 80 \). Proporção de tipo A: \( 60\% \). Utilidade: \( U(W) = \ln(W) \).
(a) Contratos de seguro completo atuarialmente justos para cada tipo¶
Um contrato de seguro completo cobre toda a perda \( d = 80 \). O prêmio atuarialmente justo iguala o prêmio ao custo esperado do sinistro.
Tipo A:
Com seguro completo: riqueza certa de \( W - \text{Prêmio}_A = 100 - 8 = 92 \).
Tipo B:
Com seguro completo: riqueza certa de \( W - \text{Prêmio}_B = 100 - 32 = 68 \).
(b) Mostrar que contrato agregador com seguro completo à taxa média não é equilíbrio¶
O prêmio médio com seguro completo seria:
Riqueza certa sob o contrato pooling: \( 100 - 17{,}6 = 82{,}4 \).
Agora, considere uma seguradora entrante que ofereça um contrato apenas para o tipo A: seguro completo ao prêmio \( \text{Prêmio}' = 8 + \varepsilon \) (ligeiramente acima do atuarialmente justo para A), com riqueza certa \( 100 - 8 - \varepsilon = 92 - \varepsilon \).
Para o tipo A: \( \ln(92 - \varepsilon) > \ln(82{,}4) \) para \( \varepsilon \) pequeno. O tipo A prefere o novo contrato.
Para o tipo B: este contrato também é atraente para B (\( 92 - \varepsilon > 82{,}4 \)), então ele não funciona diretamente como separador com seguro completo. A chave, porém, é que podemos oferecer um contrato com cobertura parcial que atrai apenas o tipo A.
Formalmente, considere um contrato com cobertura \( q < 80 \) e prêmio \( \pi = p_A \times q + \varepsilon' \). Para \( q \) suficientemente próximo de \( 80 \) e \( \varepsilon' \) pequeno:
- Tipo A prefere este contrato ao pooling (pois o prêmio por unidade de cobertura é quase justo para ele);
- Tipo B prefere o contrato pooling (pois seu risco é alto e a cobertura parcial a taxa baixa não compensa a perda de cobertura).
Tal contrato é lucrativo (pois atrai predominantemente tipo A, de baixo risco) e desvia os tipos A do contrato pooling. Com a saída dos tipos A, o contrato pooling fica com proporção maior de tipo B, tornando-se deficitário.
Portanto, o contrato pooling com seguro completo à taxa média não é um equilíbrio de Nash no sentido de Rothschild-Stiglitz.
(c) Restrição de compatibilidade de incentivos para cobertura máxima do tipo A¶
No equilíbrio separador de Rothschild-Stiglitz, o tipo B recebe seguro completo ao prêmio justo (\( \text{Prêmio}_B = 32 \), riqueza certa \( 68 \)).
O contrato do tipo A oferece cobertura parcial \( q_A \leq 80 \) ao prêmio atuarialmente justo \( \pi_A = p_A \times q_A = 0{,}1\, q_A \).
Com este contrato, as riquezas do tipo A nos dois estados são:
- Sem sinistro: \( W_1 = 100 - 0{,}1\, q_A \)
- Com sinistro: \( W_2 = 100 - 80 + q_A - 0{,}1\, q_A = 20 + 0{,}9\, q_A \)
A restrição de incentivos exige que o tipo B não queira desviar para o contrato do tipo A:
A cobertura máxima \( q_A^* \) é o valor de \( q_A \) que satisfaz esta restrição com igualdade:
Temos \( \ln(68) \approx 4{,}2195 \). Resolvendo numericamente (por exemplo, por bisseção), define-se \( f(q) = 0{,}6\,\ln(100 - 0{,}1\,q) + 0{,}4\,\ln(20 + 0{,}9\,q) \).
- \( f(0) = 0{,}6\,\ln(100) + 0{,}4\,\ln(20) = 0{,}6 \times 4{,}6052 + 0{,}4 \times 2{,}9957 \approx 3{,}9614 \)
- \( f(80) = \ln(92) \approx 4{,}5218 \) (seguro completo para A)
- \( f(40) = 0{,}6\,\ln(96) + 0{,}4\,\ln(56) \approx 0{,}6 \times 4{,}5643 + 0{,}4 \times 4{,}0254 \approx 4{,}3488 \)
- \( f(20) = 0{,}6\,\ln(98) + 0{,}4\,\ln(38) \approx 0{,}6 \times 4{,}5850 + 0{,}4 \times 3{,}6376 \approx 4{,}2061 \)
- \( f(22) = 0{,}6\,\ln(97{,}8) + 0{,}4\,\ln(39{,}8) \approx 0{,}6 \times 4{,}5830 + 0{,}4 \times 3{,}6840 \approx 4{,}2234 \)
Logo, \( q_A^* \approx 21 \). O tipo A recebe cobertura de aproximadamente \( 21 \) (de um máximo de \( 80 \)), pagando prêmio de cerca de \( 2{,}1 \). Isso ilustra a distorção imposta ao tipo bom para garantir separação: o tipo A recebe cobertura muito inferior à que receberia sob informação simétrica.
(d) Discussão sobre como as proporções afetam a existência do equilíbrio separador¶
A existência do equilíbrio separador de Rothschild-Stiglitz depende crucialmente da proporção dos tipos na população.
Quando há muitos tipos A (baixo risco): O lucro potencial de um contrato pooling é grande, pois o prêmio médio é próximo do justo para A. Um contrato pooling com seguro completo à taxa média seria atraente para ambos os tipos e potencialmente lucrativo. Nesse caso, o equilíbrio separador pode não existir, pois uma seguradora entrante poderia oferecer um contrato pooling que domina os contratos separadores (especialmente o contrato distorcido do tipo A).
Quando há muitos tipos B (alto risco): O prêmio médio do contrato pooling é alto, tornando-o pouco atraente para o tipo A. A distorção imposta ao tipo A no equilíbrio separador é mais tolerável comparada ao contrato pooling. Nesse caso, o equilíbrio separador tende a existir.
Formalmente, existe um limiar \( \bar{\lambda} \) para a proporção de tipo A tal que:
- Se \( \lambda < \bar{\lambda} \): o equilíbrio separador existe.
- Se \( \lambda > \bar{\lambda} \): o equilíbrio separador pode não existir (pois um desvio pooling é lucrativo).
Esse resultado é um dos achados mais importantes de Rothschild e Stiglitz (1976): em mercados competitivos com seleção adversa, o equilíbrio pode simplesmente não existir, dependendo da composição da população. Isso contrasta com o resultado de mercados com informação simétrica, nos quais o equilíbrio competitivo sempre existe sob condições padrão.
✏️ Exercício 19.6¶
Mercado de carros usados com três qualidades. Alta: \( v_A = 90 \), \( c_A = 70 \). Média: \( v_M = 60 \), \( c_M = 50 \). Baixa: \( v_B = 30 \), \( c_B = 20 \). Proporção \( 1/3 \) cada.
(a) Preço máximo e primeira rodada de seleção adversa¶
Se todos os tipos estivessem à venda, o valor esperado para o comprador desinformado seria:
O comprador paga no máximo \( P = 60 \). A esse preço:
- Vendedores de qualidade alta exigem \( c_A = 70 > 60 \): saem do mercado.
- Vendedores de qualidade média aceitam: \( c_M = 50 \leq 60 \). ✓
- Vendedores de qualidade baixa aceitam: \( c_B = 20 \leq 60 \). ✓
Na primeira rodada, os carros de qualidade alta são expulsos.
(b) Iteração do raciocínio — equilíbrio final¶
Com apenas tipos M e B no mercado (proporção \( 1/2 \) cada), o comprador racional recalcula:
Preço máximo: \( P = 45 \). A esse preço:
- Tipo M exige \( c_M = 50 > 45 \): sai do mercado.
- Tipo B aceita: \( c_B = 20 \leq 45 \). ✓
Agora, somente carros de qualidade baixa permanecem. O comprador antecipa isso e oferece no máximo \( P = 30 \). Como \( 30 > c_B = 20 \), o mercado funciona apenas para carros ruins.
Equilíbrio final: apenas carros de qualidade baixa são transacionados a \( P \in [20;\, 30] \). Este é um exemplo de unraveling completo — a seleção adversa expulsa sequencialmente todos os tipos bons.
(c) Perda de bem-estar¶
Sob informação simétrica, todos os tipos seriam transacionados:
- Excedente por carro de qualidade alta: \( v_A - c_A = 90 - 70 = 20 \)
- Excedente por carro de qualidade média: \( v_M - c_M = 60 - 50 = 10 \)
- Excedente por carro de qualidade baixa: \( v_B - c_B = 30 - 20 = 10 \)
Excedente total esperado (por carro): \( \frac{1}{3}(20 + 10 + 10) = \frac{40}{3} \approx 13{,}33 \).
Sob informação assimétrica, apenas tipo B é transacionado:
Excedente realizado (por carro na população): \( \frac{1}{3}(10) = \frac{10}{3} \approx 3{,}33 \).
Perda de bem-estar: \( \frac{40}{3} - \frac{10}{3} = 10 \) por carro na população, equivalente a 75% do excedente potencial destruído pela assimetria informacional.
(d) Garantia como mecanismo de sinalização¶
Se a garantia custa \( 5 \) para vendedores de carros bons e \( 25 \) para os demais, o vendedor de qualidade alta pode oferecer garantia como sinal.
Para o vendedor de qualidade alta: utilidade líquida com garantia = \( P_{sinal} - 70 - 5 \). Para que valha a pena sinalizar (em vez de ser confundido com tipo baixo e receber no máximo \( 30 \)): \( P_{sinal} - 75 > 30 - 70 \), logo basta \( P_{sinal} > 35 \). Como o comprador está disposto a pagar até \( 90 \) por um carro com garantia (sabendo que é bom), há amplo espaço para comércio.
Para o vendedor de qualidade média/baixa: custo de imitar = \( 25 \). Tipo M obtém \( P_{sinal} - 50 - 25 = P_{sinal} - 75 \) com imitação, versus \( P_{sem} - 50 \) sem garantia. Tipo B obtém \( P_{sinal} - 20 - 25 = P_{sinal} - 45 \), versus \( P_{sem} - 20 \).
Se o mercado sem garantia oferece \( P_{sem} \leq 30 \) (apenas tipo B), o tipo M não participa sem garantia. Mas o tipo M não quer imitar se \( P_{sinal} - 75 < 0 \), ou seja, se \( P_{sinal} < 75 \). Com \( P_{sinal} \in (35;\, 75) \), a garantia separa o tipo A dos demais.
Entretanto, o tipo M continua excluído. Para resolver completamente, seria necessário um segundo nível de sinal (por exemplo, garantia de duração intermediária). A garantia resolve parcialmente o problema, restaurando o mercado para carros de alta qualidade mas não necessariamente para os de qualidade média.
✏️ Exercício 19.7¶
Risco moral no seguro com esforço contínuo. \( p(e) = 1 - e \), \( C(e) = e^2/2 \), \( L = 100 \), cobertura \( \alpha \), prêmio justo \( \pi = \alpha \cdot p(e) \cdot L \).
(a) Nível ótimo de precaução sob observabilidade (first-best)¶
Se o esforço é observável, o planejador (ou a seguradora) escolhe \( e \) para minimizar o custo social total — sinistro esperado mais custo do esforço:
CPO:
Porém, como \( e \in [0, 1] \), temos uma solução de canto: \( e^{FB} = 1 \).
Verificação: com \( e = 1 \), \( p(1) = 0 \) (nenhum sinistro) e \( C(1) = 1/2 \). Custo total = \( 0 + 0{,}5 = 0{,}5 \). Com \( e = 0 \): custo total = \( 100 + 0 = 100 \). Claramente, o esforço máximo é ótimo.
Nota: Para tornar o problema interior, reparametrizemos com \( L = 1 \) (ou, equivalentemente, considere que o custo do esforço é \( C(e) = 50\,e^2 \)). Com \( C(e) = 50\,e^2 \):
CPO: \( -100 + 100\,e = 0 \implies e^{FB} = 1 \). Ainda solução de canto. Usemos então a formulação original e interpretemos: o first-best é \( e^{FB} = 1 \).
(b) Esforço escolhido com cobertura \( \alpha \) (esforço não observável)¶
O segurado escolhe \( e \) para minimizar seu custo esperado privado. Com cobertura \( \alpha \) e prêmio \( \pi = \alpha(1-e) \cdot 100 \), o custo que o segurado internaliza é:
- Prêmio: \( 100\alpha(1-e) \) (pago com certeza).
- Perda não coberta em caso de sinistro: \( (1-\alpha) \cdot 100 \) com probabilidade \( (1-e) \).
- Custo do esforço: \( e^2/2 \).
Porém, ao escolher \( e \), o segurado toma o prêmio como dado (pois a seguradora não observa \( e \) no momento do contrato e fixa o prêmio com base no \( e \) esperado de equilíbrio). Assim, o segurado minimiza:
(O prêmio é um custo fixo do ponto de vista da escolha de \( e \).)
CPO:
Como \( e \in [0, 1] \): para \( \alpha \leq 0{,}99 \), teríamos \( e^* \geq 1 \), portanto \( e^* = \min\{100(1-\alpha),\, 1\} \).
Para que a solução seja interior, consideremos novamente \( C(e) = 50e^2 \). Então:
CPO: \( -(1-\alpha) \cdot 100 + 100e = 0 \implies e^*(\alpha) = 1 - \alpha \).
Usando \( C(e) = 50e^2 \): \( e^*(\alpha) = 1 - \alpha \).
(c) Comparação: risco moral¶
Com \( C(e) = 50e^2 \): \( e^{FB} = 1 \) e \( e^*(\alpha) = 1 - \alpha \).
Para qualquer \( \alpha > 0 \):
O segurado exerce menos precaução quando possui seguro. Isso é o risco moral: a cobertura reduz o custo marginal privado de ser descuidado. Com seguro completo (\( \alpha = 1 \)): \( e^*(1) = 0 \) — nenhuma precaução. O custo total recai sobre a seguradora.
(d) Cobertura ótima¶
O bem-estar do segurado (custo total, incluindo prêmio em equilíbrio) é:
Substituindo \( e^* = 1 - \alpha \):
Minimizando: \( \frac{dW}{d\alpha} = 100\alpha = 0 \implies \alpha^* = 0 \).
O seguro completo não é ótimo. A cobertura ótima é \( \alpha^* = 0 \) (nenhum seguro), com custo total \( W(0) = 50 \). Com seguro completo: \( W(1) = 100 \).
Interpretação: Neste modelo simplificado com segurado neutro ao risco (custos lineares em riqueza), o seguro não traz benefício de suavização de risco, e o risco moral torna qualquer cobertura custosa. Na prática, com aversão ao risco, a cobertura ótima é positiva mas parcial (\( 0 < \alpha^* < 1 \)), refletindo o trade-off clássico entre seguro e incentivos.
✏️ Exercício 19.8¶
Sinalização de Spence com contínuo de tipos. \( \theta \sim U[1, 2] \), \( c(s, \theta) = s/\theta \), firma oferece \( w(s) \).
(a) Condição de autosseleção¶
No equilíbrio separador, cada tipo \( \theta \) escolhe \( s(\theta) \) para maximizar:
CPO:
No equilíbrio, a firma infere \( \theta \) a partir de \( s \), então \( w(s) = \theta(s) \) (salário igual à produtividade). Seja \( s(\theta) \) a função de sinalização (invertível). Então \( \theta(s) = s^{-1}(s) \) e:
Portanto, \( s'(\theta) = \theta \). Esta é a equação diferencial que governa o equilíbrio separador.
(b) Função de sinalização e esquema salarial¶
Integrando \( s'(\theta) = \theta \) com condição de contorno \( s(1) = 0 \) (o tipo mais baixo não sinaliza):
Invertendo: \( \theta = \sqrt{2s + 1} \).
Esquema salarial:
Verificação: \( w'(s) = \frac{1}{\sqrt{2s+1}} = \frac{1}{\theta} \). ✓
(c) Custo social total da sinalização¶
O custo de sinalização do tipo \( \theta \) é:
O custo social total (esperado, com \( \theta \sim U[1, 2] \)):
Sob informação simétrica, cada trabalhador receberia \( w = \theta \) sem nenhum custo de sinalização. O excedente total seria simplesmente a produtividade média: \( \mathbb{E}[\theta] = 3/2 \) (que vai ao trabalhador ou é dividido).
O custo de sinalização \( \approx 0{,}403 \) representa aproximadamente 27% da produtividade média — uma perda significativa de recursos reais gastos apenas para transmitir informação.
(d) Imposto sobre educação¶
Um imposto sobre educação \( \tau \) por unidade de \( s \) aumenta o custo para \( (1/\theta + \tau) \cdot s \). No equilíbrio, isso reduziria \( s(\theta) \), diminuindo o custo de sinalização.
Porém, se o imposto for alto demais, pode destruir o equilíbrio separador, levando a um equilíbrio agregador (pooling) onde todos os tipos são pagos pela produtividade média. Isso prejudica os tipos altos e beneficia os tipos baixos.
Resultado paradoxal: no modelo puro de sinalização (educação improdutiva), um imposto moderado sobre educação melhora o bem-estar, pois reduz o desperdício de recursos em sinalização sem destruir completamente a separação. Contudo, na prática, a educação tem componente produtivo real, o que torna essa política desaconselhável. A prescrição depende crucialmente de quanto da educação é sinalização vs. capital humano — uma questão empírica aberta.
✏️ Exercício 19.9¶
Triagem (screening) por um monopolista. \( \theta_H = 10 \), \( \theta_L = 4 \), \( \lambda = 0{,}5 \), \( U = \theta q - t \), \( C(q) = q^2/2 \).
(a) Contratos de first-best¶
Sob informação completa, o monopolista maximiza \( t_i - q_i^2/2 \) sujeito a \( \theta_i q_i - t_i \geq 0 \) (participação com igualdade):
Maximizando \( \theta_i q_i - q_i^2/2 \):
CPO: \( \theta_i - q_i = 0 \implies q_i^{FB} = \theta_i \).
Tipo H: \( q_H^{FB} = 10 \), \( t_H^{FB} = 100 \).
Tipo L: \( q_L^{FB} = 4 \), \( t_L^{FB} = 16 \).
Lucro do monopolista: \( 0{,}5(100 - 50) + 0{,}5(16 - 8) = 25 + 4 = 29 \).
(b) O menu de first-best não é incentivo-compatível¶
O tipo \( \theta_H = 10 \) avalia o contrato do tipo L:
O tipo \( \theta_H \) avalia seu próprio contrato:
Como \( 24 > 0 \), o tipo H prefere estritamente o contrato desenhado para o tipo L. O menu de first-best viola a restrição de compatibilidade de incentivos do tipo H.
(c) Menu ótimo de second-best¶
Aplicamos as condições padrão do problema de triagem:
- IC de \( \theta_H \) ativa: \( \theta_H q_H - t_H = \theta_H q_L - t_L \)
- RP de \( \theta_L \) ativa: \( \theta_L q_L - t_L = 0 \implies t_L = \theta_L q_L = 4q_L \)
- "No distortion at the top": \( q_H^{SB} = q_H^{FB} = \theta_H = 10 \)
- Distorção para baixo no tipo L
Da RP de L: \( t_L = 4q_L \).
Da IC de H ativa: \( 10 \times 10 - t_H = 10 \times q_L - 4q_L = 6q_L \), logo:
O lucro esperado do monopolista é:
CPO em \( q_L \):
Como \( q_L \geq 0 \), a solução é \( q_L^{SB} = 0 \): o monopolista exclui o tipo L do mercado!
Isso é um resultado clássico quando \( \lambda = 0{,}5 \) e a diferença entre tipos é grande. Recalculando com \( q_L = 0 \): \( t_L = 0 \) e \( t_H = 100 - 0 = 100 \).
Mas verificando a IC: \( U_H = 10 \times 10 - 100 = 0 \) e \( U_H \) no contrato L: \( 10 \times 0 - 0 = 0 \). A IC vale com igualdade. ✓
Resultado alternativo: Se a exclusão não é desejável (por exemplo, com \( \lambda_L \) maior), reavaliemos. Com \( \lambda = 0{,}5 \), o lucro com exclusão é \( 0{,}5(100 - 50) = 25 \), igual ao first-best para H sozinho.
Para um caso com solução interior, considere \( \lambda_H = 0{,}3 \), \( \lambda_L = 0{,}7 \):
CPO: \( 1 - 0{,}7q_L = 0 \implies q_L^{SB} = 10/7 \approx 1{,}43 \).
Para o caso original (\( \lambda = 0{,}5 \)):
(d) Renda informacional e lucro¶
Renda informacional do tipo H: \( U_H = \theta_H q_H - t_H = 100 - 100 = 0 \). Com exclusão do tipo L, o tipo H não obtém renda informacional — o monopolista extrai todo o excedente.
Se \( q_L > 0 \) (caso interior), a renda informacional do tipo H seria:
Lucro esperado (caso \( \lambda = 0{,}5 \), com exclusão):
Comparação com first-best: \( \Pi^{FB} = 29 \). A perda de \( 29 - 25 = 4 \) é o custo da assimetria informacional: o monopolista abre mão de vender ao tipo L para evitar pagar renda informacional excessiva ao tipo H.
✏️ Exercício 19.10¶
Desenho de mecanismos e VCG. Duas firmas com custos \( c_i \sim U[0, 1] \). Mecanismo direto para alocação de projeto público.
(a) Princípio da Revelação¶
O Princípio da Revelação (Myerson, 1981) afirma que, para qualquer mecanismo (possivelmente indireto — leilões, negociações, etc.) com um equilíbrio de Bayes-Nash, existe um mecanismo direto revelador que implementa o mesmo resultado, no qual cada agente reporta diretamente seu tipo (aqui, seu custo) e a verdade é uma estratégia de equilíbrio.
Implicação prática: o governo não precisa considerar todos os mecanismos possíveis (leilões de primeiro preço, leilões sequenciais, negociação bilateral, etc.). Pode restringir a análise a mecanismos em que as firmas reportam seus custos diretamente e a revelação verdadeira é incentivo-compatível. Se o melhor mecanismo direto revelador atinge certo resultado, nenhum mecanismo indireto pode fazer melhor.
Isso não significa que mecanismos diretos são mais práticos na implementação — apenas que são suficientes para a análise teórica. Na prática, mecanismos indiretos (como leilões) podem ser preferidos por simplicidade ou robustez.
(b) Estratégia dominante no mecanismo VCG¶
No mecanismo VCG: (i) o projeto é alocado à firma com menor custo reportado; (ii) a firma vencedora recebe pagamento igual ao custo reportado pela outra firma.
Suponha que a firma 1 tem custo verdadeiro \( c_1 \) e reporta \( \hat{c}_1 \).
- Se \( \hat{c}_1 < c_2 \): firma 1 vence e recebe \( t_1 = c_2 \). Payoff = \( c_2 - c_1 \geq 0 \) (pois \( c_1 \leq \hat{c}_1 < c_2 \) implica \( c_1 < c_2 \)).
- Se \( \hat{c}_1 > c_2 \): firma 1 perde. Payoff = 0.
- Se \( \hat{c}_1 = c_2 \): empate (irrelevante com distribuição contínua).
Desvio para \( \hat{c}_1 < c_1 \): Firma 1 pode vencer casos em que \( \hat{c}_1 < c_2 < c_1 \), mas então \( t_1 = c_2 < c_1 \), gerando payoff negativo \( c_2 - c_1 < 0 \). O desvio é prejudicial.
Desvio para \( \hat{c}_1 > c_1 \): Firma 1 perde casos em que \( c_1 < c_2 < \hat{c}_1 \), nos quais teria payoff positivo \( c_2 - c_1 > 0 \). O desvio é prejudicial.
Portanto, \( \hat{c}_1 = c_1 \) é estratégia fracamente dominante. O mesmo argumento aplica-se à firma 2. ∎
(c) Pagamento esperado do governo¶
Com revelação verdadeira, a firma vencedora é a de menor custo e recebe o custo da outra firma. Sejam \( c_{(1)} = \min(c_1, c_2) \) e \( c_{(2)} = \max(c_1, c_2) \) as estatísticas de ordem.
O pagamento do governo é \( c_{(2)} \) (o segundo menor custo, que é o custo da firma perdedora).
O custo real do projeto é \( c_{(1)} \) (o menor custo).
Com \( c_i \sim U[0, 1] \) e \( n = 2 \):
Pagamento esperado do governo: \( \mathbb{E}[t] = \frac{2}{3} \).
Custo real esperado: \( \mathbb{E}[c_{(1)}] = \frac{1}{3} \).
A diferença \( \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \) é a renda informacional esperada que a firma vencedora captura. Ela existe porque o governo não conhece os custos e precisa pagar mais do que o custo real para induzir revelação verdadeira.
(d) Eficiência e equilíbrio orçamentário¶
Eficiência: Sim, o mecanismo VCG é eficiente (alocativamente). Como a revelação verdadeira é estratégia dominante, a firma com genuinamente menor custo sempre vence. O projeto é executado pelo produtor mais eficiente — o resultado de first-best em termos de alocação.
Equilíbrio orçamentário: Não, o mecanismo VCG não é orçamentariamente equilibrado no sentido de que o governo paga mais do que o custo real (renda informacional positiva). O governo paga \( c_{(2)} > c_{(1)} \), gerando um "excesso" de pagamento. Neste caso com apenas um bem a alocar, não há como redistribuir — o excesso é a renda da firma vencedora.
Trade-off fundamental (Myerson-Satterthwaite): O Teorema de Myerson-Satterthwaite (1983) mostra que, em geral, não existe mecanismo que seja simultaneamente eficiente, incentivo-compatível, individualmente racional e orçamentariamente equilibrado quando há informação privada bilateral. O VCG sacrifica o equilíbrio orçamentário para garantir eficiência e incentivo-compatibilidade. Na prática, o governo pode usar leilões de primeiro preço (que reduzem a renda informacional à custa de menor eficiência) ou mecanismos ótimos de Myerson (que maximizam a receita/minimizam o pagamento, mas podem excluir firmas eficientes).