Soluções dos Exercícios — Capítulo 18¶
✏️ Exercício 18.1¶
Consumidor vive dois períodos, \( Y_1 = 100 \), \( Y_2 = 110 \), \( U(C_1, C_2) = \ln C_1 + \frac{1}{1{,}1} \ln C_2 \). Taxa de juros \( r = 10\% \).
(a) Riqueza intertemporal \( W \)¶
A riqueza intertemporal é o valor presente do fluxo de renda:
Interpretação: O consumidor dispõe de uma riqueza equivalente a R$200 em termos de valor presente. Esse é o montante máximo que poderia consumir no período 1 se trouxesse toda a renda futura para o presente.
(b) Escolhas ótimas \( C_1^* \) e \( C_2^* \)¶
O consumidor maximiza:
Pelo método de Lagrange, a condição de primeira ordem (igualdade da TMS à razão de preços intertemporais) é:
Substituindo na restrição orçamentária:
Nota alternativa: Com a função \( U = \ln C_1 + \beta \ln C_2 \) onde \( \beta = 1/1{,}1 \), a fórmula geral dá \( C_1^* = \frac{W}{1 + \beta} = \frac{200}{1 + 1/1{,}1} = \frac{200}{2{,}1/1{,}1} = \frac{220}{2{,}1} \approx 104{,}76 \). Porém, atenção: usando a restrição corretamente, temos:
Verificando: como \( \beta(1+r) = (1/1{,}1)(1{,}1) = 1 \), temos \( C_2^* = C_1^* \approx 104{,}76 \). De fato, quando o fator de desconto subjetivo é exatamente \( \beta = 1/(1+r) \), o consumidor deseja suavizar perfeitamente o consumo.
Portanto:
(c) Poupador ou tomador de empréstimo?¶
A poupança no período 1 é:
Como \( S_1 < 0 \), o consumidor é tomador de empréstimo (borrower). Ele toma emprestado aproximadamente R$4,76 no período 1.
Interpretação econômica: A renda no período 2 (\( Y_2 = 110 \)) é relativamente alta em comparação com a do período 1 (\( Y_1 = 100 \)). Como o consumidor deseja suavizar seu consumo ao longo do tempo e a taxa de desconto subjetiva coincide com a taxa de juros, ele prefere antecipar parte da renda futura, tomando um pequeno empréstimo.
(d) Se \( r \) sobe para 20%, como mudam \( C_1^* \) e \( C_2^* \)?¶
Nova riqueza intertemporal:
Novas escolhas ótimas (com \( \beta = 1/1{,}1 \) e \( r = 20\% \)):
Decomposição em efeitos substituição e renda:
-
Efeito substituição: O aumento de \( r \) encarece o consumo presente relativamente ao futuro. Isso incentiva o consumidor a reduzir \( C_1 \) e aumentar \( C_2 \) (substituição intertemporal).
-
Efeito renda: Como o consumidor era tomador de empréstimo (\( S_1 < 0 \)), o aumento da taxa de juros o torna mais pobre (o custo de sua dívida sobe). Isso reduz ambos \( C_1 \) e \( C_2 \).
-
Efeito líquido: Ambos os efeitos atuam na mesma direção para \( C_1 \), que diminui (de 104,76 para 100,40). Para \( C_2 \), os efeitos são opostos: o efeito substituição aumenta \( C_2 \), mas o efeito renda o reduz. No caso, o efeito renda domina ligeiramente e \( C_2 \) também diminui (de 104,76 para 109,52 — na verdade, aqui o efeito substituição domina e \( C_2 \) sobe).
Resumindo:
| Variável | \( r = 10\% \) | \( r = 20\% \) | Variação |
|---|---|---|---|
| \( C_1^* \) | 104,76 | 100,40 | \(-4{,}36\) |
| \( C_2^* \) | 104,76 | 109,52 | \(+4{,}76\) |
Para o tomador de empréstimo, o aumento dos juros tem efeito renda negativo e efeito substituição que favorece consumo futuro. O consumo presente cai inequivocamente; o consumo futuro sobe porque o efeito substituição supera o efeito renda neste caso.
✏️ Exercício 18.2¶
Firma considera investir em máquina: custo R$500.000, vida útil 5 anos, depreciação linear, receita líquida anual R$150.000.
(a) VPL para \( r = 8\% \) e \( r = 15\% \)¶
O VPL é dado por:
O fator de anuidade é \( a(r, n) = \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r} \).
Para \( r = 8\% \):
Para \( r = 15\% \):
Interpretação: O projeto é viável em ambas as taxas, porém a viabilidade se reduz drasticamente quando o custo de capital sobe de 8% para 15%. Isso ilustra a alta sensibilidade de projetos de investimento à taxa de juros.
(b) Taxa Interna de Retorno (TIR)¶
A TIR é a taxa \( r^* \) tal que \( \text{VPL} = 0 \):
Por interpolação entre os valores calculados:
- \( a(0{,}15;\, 5) = 3{,}3522 \implies \text{VPL} = +2.830 \)
- \( a(0{,}16;\, 5) = \frac{1 - (1{,}16)^{-5}}{0{,}16} = \frac{1 - 0{,}4761}{0{,}16} = 3{,}2743 \implies \text{VPL} = -500.000 + 150.000 \times 3{,}2743 = -8.855 \)
Interpolando linearmente:
(c) Decisão com Selic real de 8% e prêmio de risco setorial de 4%¶
O custo de capital relevante é:
Para \( r = 12\% \):
Como \( \text{VPL} > 0 \) (equivalentemente, \( \text{TIR} = 15{,}24\% > 12\% \)), o projeto deve ser aceito.
Interpretação: Mesmo incorporando o prêmio de risco setorial, o projeto gera valor econômico positivo de aproximadamente R$40.720 em termos de valor presente. A TIR de 15,24% supera o custo de capital ajustado ao risco de 12%, confirmando a viabilidade.
✏️ Exercício 18.3¶
Recurso não-renovável com \( S_0 = 1000 \) unidades, \( P_0 = 50 \), custo marginal de extração \( c = 10 \), \( r = 5\% \).
(a) Preço em 10 anos pela regra de Hotelling¶
A regra de Hotelling estabelece que a renda de escassez (preço líquido do custo de extração) deve crescer à taxa de juros:
Para \( t = 10 \):
Interpretação: O preço sobe de R$50 para R$75,16 em 10 anos. A lógica é que, em equilíbrio, o proprietário do recurso deve ser indiferente entre extrair hoje (e investir a receita à taxa \( r \)) e extrair no futuro. Isso requer que o lucro unitário da extração cresça exatamente à taxa de juros.
(b) Redução do custo de extração para \( c = 5 \)¶
Com \( c' = 5 \), a nova trajetória de preços parte de:
Os efeitos são:
-
Efeito no preço inicial: A redução do custo de extração aumenta a renda de escassez líquida para cada unidade. Com mais lucro por unidade, há incentivo para extrair mais agora, o que pressiona o preço inicial para baixo. Portanto, \( P_0' < P_0 \).
-
Efeito na trajetória: A renda de escassez \( (P_t - c') \) continua crescendo a \( r = 5\% \), mas partindo de um nível diferente. Como o preço inicial cai, a trajetória inteira se desloca para baixo.
-
Velocidade de exaustão: O recurso é exaurido mais rapidamente. A redução do custo torna a extração mais lucrativa em todos os períodos, aumentando a quantidade extraída. Com estoque fixo \( S_0 = 1000 \), a exaustão se antecipa.
Intuição econômica: A inovação tecnológica que reduz custos de extração funciona como um "aumento efetivo" do recurso em termos de valor, mas ao tornar a extração mais barata, acelera o esgotamento físico. Paradoxalmente, a tecnologia que deveria "economizar" o recurso pode apressar sua exaustão.
(c) Aumento da taxa de juros para \( r = 10\% \)¶
Com \( r' = 10\% \), a extração se torna mais rápida. A intuição é:
- O custo de oportunidade de manter o recurso no solo aumenta. Deixar uma unidade no solo significa renunciar a um retorno de 10% (em vez de 5%) sobre o capital obtido com a venda.
- A regra de Hotelling exige que a renda de escassez cresça a 10%. Para que o mercado absorva quantidades decrescentes ao longo do tempo com preços subindo mais rapidamente, é necessário que mais seja extraído no presente.
- O preço inicial \( P_0 \) cai (maior oferta corrente) e o preço sobe mais rápido ao longo do tempo.
O estoque se esgota em um horizonte menor.
Interpretação: Taxas de juros altas favorecem a extração presente e penalizam a conservação. Isso tem implicações profundas para política ambiental: países com altas taxas de juros reais tendem a explorar mais rapidamente seus recursos naturais, uma previsão testável da teoria de Hotelling.
✏️ Exercício 18.4¶
Dois projetos mutuamente excludentes:
| Projeto A | Projeto B | |
|---|---|---|
| Investimento | 100.000 | 200.000 |
| Fluxo anual | 35.000 | 62.000 |
| Duração | 5 anos | 5 anos |
| TIR | 22,1% | 16,8% |
(a) VPL de cada projeto para \( r = 10\% \)¶
O fator de anuidade para \( r = 10\% \) e \( n = 5 \):
Projeto A:
Projeto B:
(b) Qual projeto por cada critério?¶
- Critério do VPL: Projeto B (\( \text{VPL}_B = 35.030 > \text{VPL}_A = 32.678 \)).
- Critério da TIR: Projeto A (\( \text{TIR}_A = 22{,}1\% > \text{TIR}_B = 16{,}8\% \)).
Há conflito entre os dois critérios. Isso ocorre porque os projetos têm escalas diferentes de investimento.
(c) Taxa de Fisher (taxa onde ambos têm mesmo VPL)¶
A taxa de Fisher \( r_F \) é a solução de \( \text{VPL}_A(r_F) = \text{VPL}_B(r_F) \):
Precisamos encontrar \( r_F \) tal que \( a(r_F;\, 5) = 3{,}7037 \).
Testando valores:
- \( a(0{,}11;\, 5) = \frac{1 - (1{,}11)^{-5}}{0{,}11} = \frac{1 - 0{,}5935}{0{,}11} = 3{,}6959 \)
- \( a(0{,}105;\, 5) \approx 3{,}7429 \)
Interpolando:
Interpretação: Para taxas de desconto abaixo de 10,9%, o Projeto B tem VPL maior (a maior escala de investimento compensa). Acima de 10,9%, o Projeto A tem VPL maior. Na taxa de Fisher, ambos são equivalentes.
(d) Por que o VPL é critério superior?¶
O VPL é considerado o critério superior ao da TIR por diversas razões:
-
Maximização de valor: O VPL mede diretamente a criação de riqueza em termos monetários. A TIR mede rentabilidade percentual, que não considera a escala do investimento. Um projeto com TIR de 50% sobre R$1.000 gera menos valor do que um com TIR de 20% sobre R$1.000.000.
-
Problemas de escala: Como ilustrado neste exercício, a TIR favorece o Projeto A (menor e mais rentável percentualmente), enquanto o VPL corretamente identifica que o Projeto B cria mais riqueza para o acionista.
-
Hipótese de reinvestimento: A TIR assume implicitamente que os fluxos intermediários são reinvestidos à própria TIR, o que é irrealista. O VPL assume reinvestimento ao custo de capital, hipótese mais razoável.
-
Existência e unicidade: A TIR pode não existir ou não ser única em projetos com fluxos de caixa não convencionais (alternância de sinais). O VPL é sempre bem definido.
-
Aditividade: O VPL é aditivo — o VPL de uma carteira é a soma dos VPLs individuais. A TIR não possui essa propriedade.
✏️ Exercício 18.5¶
(a) Impacto da redução da taxa de juros real de longo prazo de 6% para 3%¶
A afirmação está fundamentada em sólida base teórica. A taxa de juros real afeta o investimento produtivo por múltiplos canais:
Canal do custo de capital: O custo de uso do capital \( c_K \) é dado por:
onde \( \delta \) é a taxa de depreciação e \( p_K \) o preço do bem de capital. Uma redução de \( r \) de 6% para 3% pode reduzir \( c_K \) significativamente. Por exemplo, com \( \delta = 5\% \) e \( p_K = 1 \):
Uma redução de 27% no custo de uso do capital, o que expande substancialmente o conjunto de projetos viáveis.
Canal do VPL — sensibilidade de projetos de longo prazo:
Considere um projeto com fluxo perpétuo \( R \) por ano. Seu VPL é:
A redução de \( r \) de 6% para 3% dobra o valor presente dos fluxos futuros. Para projetos de prazo mais curto, o efeito é menor, mas ainda expressivo. Por exemplo, para uma anuidade de 20 anos com fluxo \( R = 100 \):
Um aumento de 30% no valor presente.
Considerações empíricas para o Brasil: O Brasil historicamente apresenta taxas de juros reais entre as mais altas do mundo. Isso constitui um obstáculo estrutural ao investimento, especialmente em setores intensivos em capital e com maturação longa (infraestrutura, energia, saneamento). A redução permanente e crível da taxa real de 6% para 3% induziria: (i) viabilização de projetos antes rejeitados; (ii) aumento do estoque de capital de equilíbrio; (iii) realocação para setores de retorno mais longo. O efeito seria de fato "enorme", embora a magnitude exata dependa da elasticidade-juro do investimento agregado.
(b) Por que a regra de Hotelling pode não se verificar empiricamente para preços do petróleo¶
A regra de Hotelling prevê que a renda de escassez \( (P_t - c_t) \) cresce à taxa de juros. Empiricamente, os preços do petróleo não seguem essa trajetória suave por diversas razões:
-
Progresso tecnológico na extração: Inovações (fraturamento hidráulico, perfuração horizontal, recuperação terciária) reduzem continuamente o custo \( c_t \), deslocando a trajetória de preços para baixo. A regra de Hotelling assume tecnologia constante.
-
Descoberta de novas reservas: O estoque \( S \) não é fixo. Novas jazidas são continuamente descobertas (pré-sal, xisto), efetivamente "reiniciando" o horizonte de exaustão e reduzindo a renda de escassez corrente.
-
Poder de mercado (OPEP): O modelo de Hotelling assume mercados competitivos. A OPEP exerce poder de cartel, manipulando quantidades e preços de forma estratégica, gerando volatilidade que não corresponde ao crescimento suave previsto.
-
Incerteza e choques: Guerras, revoluções, pandemias, transições energéticas e mudanças regulatórias geram choques imprevisíveis sobre oferta e demanda. O modelo determinístico de Hotelling não captura essa volatilidade.
-
Substitutos e backstop technology: A existência de fontes de energia alternativas (solar, eólica, nuclear) coloca um teto no preço de longo prazo. À medida que renováveis barateiam, o preço do petróleo é pressionado para baixo, contrariando a trajetória ascendente de Hotelling.
-
Taxa de desconto variável: O modelo pressupõe uma taxa de juros constante. Na prática, \( r \) varia ao longo do tempo, alterando continuamente a trajetória ótima.
Assim, a regra de Hotelling é mais útil como benchmark teórico e referência para pensar sobre alocação intertemporal de recursos do que como previsão empírica acurada.
(c) Para infraestrutura de longo prazo: taxa real de juros ou estabilidade regulatória?¶
A resposta é que ambos importam, mas a estabilidade regulatória tende a ser mais determinante. A análise pelo VPL fundamenta essa conclusão:
Efeito da taxa de juros real:
Para projetos de 20-30 anos, a sensibilidade à taxa de desconto é alta:
Uma redução de \( r \) de 6% para 4% aumenta \( a(r;\, 30) \) de 13,76 para 17,29 — um acréscimo de 25,6% no valor presente. Isso é relevante.
Efeito da instabilidade regulatória (prêmio de risco):
Porém, a instabilidade regulatória entra na taxa de desconto via prêmio de risco regulatório \( \pi_{\text{reg}} \):
Em ambientes regulatoriamente instáveis, \( \pi_{\text{reg}} \) pode ser muito elevado (5-10 p.p. ou mais). Isso pode dominar completamente o efeito de uma redução na taxa básica. Por exemplo:
- Cenário A: \( r = 6\% \), \( \pi_{\text{reg}} = 2\% \) \( \implies r_{\text{efetivo}} = 8\% \), \( a(0{,}08;\, 30) = 11{,}26 \)
- Cenário B: \( r = 4\% \), \( \pi_{\text{reg}} = 8\% \) \( \implies r_{\text{efetivo}} = 12\% \), \( a(0{,}12;\, 30) = 8{,}06 \)
Mesmo com taxa real menor, a instabilidade regulatória eleva o custo de capital efetivo e reduz o VPL.
Além disso, a instabilidade regulatória afeta não apenas a taxa de desconto, mas os próprios fluxos de caixa \( R_t \). Se o governo pode alterar tarifas, revogar concessões ou mudar regras tributárias, os fluxos esperados se reduzem e sua variância aumenta. Isso constitui um efeito de primeira ordem sobre o VPL.
Conclusão: O governo deveria priorizar a estabilidade regulatória. Uma taxa de juros real baixa é condição necessária mas não suficiente para atrair investimento em infraestrutura de longo prazo. O prêmio de risco regulatório, ao ser aplicado sobre fluxos de caixa de 20-30 anos, tem efeito cumulativo devastador sobre o VPL. Marcos regulatórios claros, contratos críveis e instituições sólidas reduzem \( \pi_{\text{reg}} \) e são, portanto, tão ou mais importantes que a política monetária para viabilizar grandes projetos de infraestrutura.
✏️ Exercício 18.6¶
Consumidor com \( U = \sqrt{C_1} + 0{,}9\sqrt{C_2} \), \( Y_1 = 120 \), \( Y_2 = 55 \), \( r = 10\% \).
(a) Equação de Euler¶
A condição de primeira ordem iguala a utilidade marginal do consumo presente à utilidade marginal descontada do consumo futuro, ponderada por \( (1+r) \):
(b) Consumo ótimo¶
Riqueza intertemporal: \( W = 120 + 55/1{,}1 = 120 + 50 = 170 \).
Substituindo \( C_2 = 0{,}9801 C_1 \) na restrição:
(c) Classificação¶
Poupança: \( S = Y_1 - C_1^* = 120 - 89{,}90 = 30{,}10 > 0 \).
O consumidor é poupador. A renda é concentrada no período 1 (\( Y_1 = 120 \gg Y_2 = 55 \)), e o consumidor deseja suavizar o consumo ao longo do tempo, transferindo R$ 30,10 do período 1 para o período 2.
(d) Se \( r \) cai para 5%¶
Nova riqueza: \( W' = 120 + 55/1{,}05 = 120 + 52{,}38 = 172{,}38 \).
Nova equação de Euler: \( C_2 = (0{,}9 \times 1{,}05)^2 C_1 = 0{,}945^2 C_1 = 0{,}8930 C_1 \).
Poupança: \( S' = 120 - 93{,}10 = 26{,}90 \).
O consumidor continua poupador (\( S' > 0 \)), mas poupa menos (R$ 26,90 vs. R$ 30,10).
Interpretação: O efeito substituição da queda de \( r \) reduz o incentivo a poupar (o retorno da poupança caiu). O efeito renda é ambíguo para o poupador, mas aqui ele é positivo porém insuficiente para compensar o efeito substituição. O resultado líquido é menos poupança — o consumidor "antecipa" mais consumo.
✏️ Exercício 18.7¶
Estação de tratamento de água: investimento R$ 10 milhões, receita R$ 1,2 milhão/ano, 20 anos, \( r_E = 14\% \).
(a) VPL do projeto¶
O fator de anuidade: \( a(0{,}14;\, 20) = \frac{1 - (1{,}14)^{-20}}{0{,}14} = \frac{1 - 0{,}0728}{0{,}14} = \frac{0{,}9272}{0{,}14} = 6{,}6231 \).
O projeto não é viável com \( r_E = 14\% \).
(b) Com subsídio (investimento de R$ 7 milhões)¶
Com o subsídio, o projeto se torna viável (VPL > 0).
(c) Com beta reduzido para 0,8¶
Novo custo de capital: \( r_E' = r_f + \beta' \times (E[r_m] - r_f) = 6\% + 0{,}8 \times 6{,}7\% = 6\% + 5{,}36\% = 11{,}36\% \).
Novo fator de anuidade: \( a(0{,}1136;\, 20) = \frac{1 - (1{,}1136)^{-20}}{0{,}1136} \).
\( (1{,}1136)^{20} = e^{20 \ln(1{,}1136)} = e^{20 \times 0{,}1074} = e^{2{,}148} \approx 8{,}567 \). Logo \( (1{,}1136)^{-20} \approx 0{,}1167 \).
A redução do risco regulatório melhora muito o VPL (de -2,05 mi para -0,67 mi), mas por si só não torna o projeto viável. Seria necessário uma combinação de menor risco regulatório e algum subsídio, ou uma redução adicional no beta.
Comparação: O subsídio direto de R$ 3 milhões é mais eficaz neste caso (+R$ 947 mil de VPL) do que a redução de risco (-R$ 669 mil). Porém, a redução de risco regulatório beneficia todos os projetos do setor, enquanto o subsídio beneficia apenas este projeto específico. A longo prazo, melhorar o ambiente regulatório é a política mais eficiente.
✏️ Exercício 18.8¶
Tesouro Prefixado (12% nominal, 3 anos) vs. Tesouro IPCA+ (6% real + IPCA, 3 anos). Inflação: 2%, 4% ou 8%, cada com prob. 1/3.
(a) Retorno real esperado¶
Tesouro Prefixado: O retorno nominal é fixo em 12%. O retorno real depende da inflação:
- Se \( \pi = 2\% \): \( r = (1{,}12/1{,}02) - 1 = 9{,}80\% \)
- Se \( \pi = 4\% \): \( r = (1{,}12/1{,}04) - 1 = 7{,}69\% \)
- Se \( \pi = 8\% \): \( r = (1{,}12/1{,}08) - 1 = 3{,}70\% \)
Tesouro IPCA+: O retorno real é fixo em 6%, independentemente da inflação.
(b) Variância do retorno real¶
Tesouro Prefixado:
Tesouro IPCA+: \( \text{Var}(r_{\text{IPCA+}}) = \boxed{0} \) (retorno real certo).
(c) Preferência do investidor avesso ao risco¶
O Tesouro Prefixado tem retorno real esperado maior (7,06% > 6,00%), mas carrega risco inflacionário (variância positiva). O Tesouro IPCA+ oferece retorno real certo de 6%.
O equivalente de certeza do Tesouro Prefixado para um agente avesso ao risco é menor que seu valor esperado: \( EC < E[r_{\text{pré}}] = 7{,}06\% \). Se a aversão ao risco for suficientemente alta, o equivalente de certeza cairá abaixo de 6%, e o investidor preferirá o IPCA+. Para um investidor com aversão moderada, a diferença de 1,06 p.p. no retorno esperado pode ou não compensar o risco.
Na prática, a forte demanda por Tesouro IPCA+ no Brasil sugere que muitos investidores são suficientemente avessos ao risco inflacionário para aceitar o retorno real garantido menor.
✏️ Exercício 18.9¶
\( U = C_1^{0{,}5} C_2^{0{,}5} \), \( Y_1 = 200 \), \( Y_2 = 100 \), \( r = 8\% \).
(a) Consumo ótimo¶
Com Cobb-Douglas simétrica, o consumidor aloca metade da riqueza para cada período (em valor presente):
Poupança: \( S = Y_1 - C_1^* = 200 - 146{,}30 = 53{,}70 > 0 \). O consumidor é poupador.
(b) Restrição de crédito¶
Na solução irrestrita da parte (a), o consumidor já é poupador (\( S > 0 \)), então a restrição de crédito \( S \geq 0 \) não é ativa — a solução não muda.
Se os parâmetros fossem tais que a solução irrestrita implicasse \( S < 0 \) (o consumidor desejasse tomar empréstimo), a restrição de crédito forçaria \( C_1 = Y_1 \) e \( C_2 = Y_2 \): o consumidor ficaria preso ao ponto de dotação, sem poder suavizar o consumo. A perda de bem-estar seria a diferença entre a utilidade no ótimo irrestrito e a utilidade no ponto de dotação.
(c) Restrições de crédito no Brasil¶
Restrições de crédito são altamente relevantes na economia brasileira. Segundo dados do Banco Central, o crédito ao setor privado como proporção do PIB no Brasil (~55% em 2023) é muito inferior ao de economias avançadas (EUA ~200%, zona do euro ~100%). Além disso:
- Spreads bancários elevados funcionam como restrição parcial ao crédito, encarecendo o empréstimo a ponto de torná-lo inviável para muitos agentes.
- Famílias de baixa renda frequentemente não têm acesso a crédito formal, dependendo de crédito informal a taxas ainda mais altas.
- A consequência é que muitos consumidores brasileiros não conseguem suavizar o consumo intertemporalmente, ficando presos a variações de renda — exatamente o oposto do que o modelo de Fisher prevê sob mercados perfeitos.
✏️ Exercício 18.10¶
Jazida: \( S_0 = 2.000 \), \( p_0 = 120 \), \( c = 40 \), \( r = 6\% \), demanda inversa \( p_t = 200 - 2q_t \).
(a) Renda de escassez¶
Em 10 anos: \( R_{10} = 80 \times (1{,}06)^{10} = 80 \times 1{,}7908 = 143{,}27 \).
Verificação: pela regra de Hotelling, \( R_{10}/R_0 = (1{,}06)^{10} = 1{,}7908 \). ✓
(b) Quantidade extraída¶
Da demanda inversa: \( p_t = 200 - 2q_t \implies q_t = (200 - p_t)/2 \).
Como \( p_t = R_t + c = R_0(1+r)^t + 40 \):
A quantidade extraída decresce ao longo do tempo (à medida que \( R_t \) sobe, \( p_t \) sobe e \( q_t \) cai).
(c) Determinação de \( R_0 \) com 2 períodos¶
Simplificando para extração em 2 períodos (\( t = 0, 1 \)):
O resultado negativo indica que, com apenas 2 períodos e estoque de 2.000, a demanda é insuficiente para esgotar o recurso nas condições dadas (o estoque é muito grande em relação à demanda por período). Na prática, a extração se estenderia por muitos mais períodos. Com horizonte mais longo, \( R_0 \) seria positivo e menor, pois a extração se distribui ao longo de mais períodos.
Para um horizonte \( T \) grande, a condição de estoque se torna \( \sum_{t=0}^{T} [80 - (R_0/2)(1{,}06)^t] = 2.000 \), e \( R_0 \) é encontrado numericamente.
(d) Efeito de uma taxa de carbono de R$ 20/unidade¶
A taxa de carbono eleva o custo efetivo de extração para \( c' = 40 + 20 = 60 \). Nova renda de escassez: \( R_0' = p_0 - c' = 120 - 60 = 60 < 80 \).
Efeitos:
-
Velocidade de exaustão diminui: Com custo de extração mais alto, menos unidades são extraídas em cada período, prolongando a vida da jazida.
-
Trajetória de preços: O preço inicial pode cair (se a renda de escassez diminui mais do que o custo sobe) ou subir (se o efeito custo domina). No caso, \( p_0 = R_0' + c' = 60 + 60 = 120 \) — o preço inicial não muda, mas a composição entre renda de escassez e custo se altera.
-
Transição energética: A taxa de carbono funciona como um mecanismo para "internalizar" a externalidade das emissões. Ao encarecer a extração, ela incentiva: (i) redução do consumo corrente do recurso; (ii) investimento em tecnologias alternativas (o backstop fica relativamente mais atrativo); (iii) conservação do recurso para períodos em que substitutos ainda não estejam disponíveis.
A taxa de carbono é, portanto, consistente com a lógica de Hotelling: altera o custo efetivo de extração e, por conseguinte, toda a trajetória ótima, desacelerando a exaustão e favorecendo a transição para fontes de energia limpas.