Soluções dos Exercícios — Capítulo 15¶
✏️ Exercício 15.1¶
Monopolista com \( C(q) = 100 + 10q \) e demanda \( p = 50 - 2q \).
(a) Preço, quantidade e lucro de monopólio¶
A receita total é:
A receita marginal é:
O custo marginal é:
A condição de maximização de lucro do monopolista é \( RMg = CMg \):
Substituindo na demanda:
O lucro é:
Resultado: \( q^M = 10 \), \( p^M = 30 \) e \( \pi^M = 100 \).
(b) Índice de Lerner e elasticidade-preço no equilíbrio¶
O índice de Lerner mede o poder de mercado:
Para a elasticidade-preço da demanda, partimos da função de demanda \( p = 50 - 2q \), ou equivalentemente \( q = 25 - \frac{p}{2} \). Logo:
No ponto de equilíbrio \( (q^M, p^M) = (10, 30) \):
Pela relação fundamental do monopólio, \( L = \frac{1}{|\varepsilon_d|} \):
Interpretação: O monopolista opera na porção elástica da demanda (\( |\varepsilon_d| = 1{,}5 > 1 \)). Quanto menor a elasticidade, maior o poder de mercado e maior o markup sobre o custo marginal.
(c) Peso morto e comparação com concorrência perfeita¶
Equilíbrio competitivo (\( p = CMg \)):
Excedente do consumidor em concorrência perfeita (área do triângulo entre a curva de demanda e o preço):
Excedente do produtor em concorrência perfeita (como \( CMg \) é constante e igual ao preço, o lucro variável é zero, mas há custo fixo de 100):
Logo, \( W^{CP} = EC^{CP} + EP^{CP} = 400 \). (O lucro econômico é \( \pi^{CP} = 0 \times 20 - 100 = -100 \), mas o excedente total exclui custos fixos na análise de bem-estar marginal.)
Monopólio:
Excedente do consumidor:
Excedente do produtor (receita acima do custo marginal):
Bem-estar total no monopólio:
Peso morto (DWL):
Alternativamente, o triângulo de Harberger:
Interpretação: O peso morto do monopólio é igual ao lucro do monopolista neste caso. A perda de bem-estar decorre da restrição de quantidade: o monopolista produz apenas metade da quantidade competitiva (\( q^M = 10 \) vs. \( q^{CP} = 20 \)).
✏️ Exercício 15.2¶
Monopolista com dois mercados segmentados: \( p_1 = 100 - q_1 \), \( p_2 = 60 - 2q_2 \), \( CMg = 20 \).
(a) Preços e quantidades ótimos com discriminação de terceiro grau¶
Mercado 1:
Igualando ao custo marginal:
Mercado 2:
Igualando ao custo marginal:
Lucro com discriminação:
(b) Índices de Lerner e relação com elasticidades¶
Mercado 1:
Da demanda \( q_1 = 100 - p_1 \), temos \( \frac{dq_1}{dp_1} = -1 \), logo:
Verificação: \( \frac{1}{|\varepsilon_1|} = \frac{2}{3} = L_1 \quad \checkmark \)
Mercado 2:
Da demanda \( q_2 = 30 - \frac{p_2}{2} \), temos \( \frac{dq_2}{dp_2} = -\frac{1}{2} \), logo:
Verificação: \( \frac{1}{|\varepsilon_2|} = \frac{1}{2} = L_2 \quad \checkmark \)
Interpretação: O mercado 1 tem demanda menos elástica (\( |\varepsilon_1| = 1{,}5 < |\varepsilon_2| = 2 \)), logo recebe o preço mais alto (\( p_1 = 60 > p_2 = 40 \)). Este é o princípio central da discriminação de terceiro grau: cobrar mais de quem tem menor sensibilidade ao preço.
(c) Comparação com preço uniforme ótimo¶
Com preço uniforme, a demanda agregada é obtida somando as quantidades. Para \( p \leq 60 \) (ambos mercados ativos):
Invertendo: \( p = \frac{260 - 2Q}{3} \).
A receita total é:
Igualando ao custo marginal:
Verificando que ambos os mercados estão ativos: \( p^U \approx 53{,}33 < 60 \), logo o mercado 2 está ativo com \( q_2 = 30 - \frac{53{,}33}{2} \approx 3{,}33 > 0 \). Confirmado.
As quantidades em cada mercado:
O lucro com preço uniforme:
Comparação:
Interpretação: A discriminação de preços aumenta o lucro em \( \frac{400}{3} \approx 133{,}33 \). A firma se beneficia ao cobrar preços diferenciados. Note que a quantidade total é a mesma (\( Q = 50 \)) em ambos os casos (resultado geral para demandas lineares), mas a discriminação realoca unidades do mercado 1 (mais valorizado) para o mercado 2, cobrando mais de quem tem menor elasticidade.
✏️ Exercício 15.3¶
Imposto unitário \( t = 4 \) sobre monopolista com \( CMg = c = 10 \) e demanda \( p = 30 - q \).
(a) Preço, quantidade e lucro antes e depois do imposto¶
Antes do imposto:
Após o imposto: O custo marginal efetivo passa a ser \( CMg' = c + t = 10 + 4 = 14 \).
(Note que o lucro é calculado após o pagamento do imposto.)
| Variável | Antes | Depois |
|---|---|---|
| Quantidade | 10 | 8 |
| Preço | 20 | 22 |
| Lucro | 100 | 64 |
(b) Fração do imposto repassada ao consumidor¶
O preço subiu de 20 para 22, ou seja, o aumento foi \( \Delta p = 2 \).
A fração repassada ao consumidor (pass-through) é:
Interpretação: Com demanda linear e custo marginal constante, o monopolista repassa exatamente metade do imposto ao consumidor. Isso contrasta com a concorrência perfeita, onde, com essas mesmas curvas, o imposto seria integralmente repassado. O monopolista absorve metade do imposto porque já opera com markup, e aumentar demais o preço reduziria muito a quantidade vendida. De modo geral, para demanda linear \( p = a - bq \) e \( CMg \) constante, o pass-through do monopólio é sempre \( \frac{1}{2} \).
(c) Receita fiscal vs. variação do peso morto¶
Receita fiscal:
DWL antes do imposto (triângulo de Harberger entre \( q_0 = 10 \) e \( q^{CP} = 20 \)):
DWL após o imposto: O nível eficiente continua sendo \( q^{CP} = 20 \) (o custo social de produção é \( CMg = 10 \), pois o imposto é uma transferência, não um custo social). A distorção total é:
Variação do peso morto:
Comparação:
Interpretação: A receita fiscal (32) excede o aumento no peso morto (22), o que significa que o imposto gera um ganho líquido de bem-estar se a receita fiscal for devolvida à sociedade como transferência lump-sum. Contudo, o DWL total aumentou: a tributação do monopólio agrava a distorção preexistente, pois a quantidade cai de 10 para 8, afastando-se ainda mais do ótimo social (\( q^{CP} = 20 \)).
✏️ Exercício 15.4¶
Monopólio natural com \( C(q) = 1000 + 5q \) e demanda \( p = 45 - q \).
(a) Monopólio não regulado¶
Espere — o lucro é negativo. Verifiquemos se o monopolista prefere produzir. Se não produz, \( \pi = 0 \) (sem custos fixos irrecuperáveis) ou \( \pi = -1000 \) (se o custo fixo é irrecuperável). Assumindo que 1000 é custo fixo irrecuperável (sunk cost), a decisão de curto prazo compara receita com custo variável:
Porém, se o custo fixo não é irrecuperável, verifiquemos o custo médio no ponto de monopólio:
O monopolista tem prejuízo. Para que o monopólio não regulado seja viável no longo prazo, a demanda precisa ser suficientemente alta. Neste caso, a firma não consegue cobrir seus custos. Vamos verificar se existe algum preço onde \( p \geq CMe \):
Discriminante: \( \Delta = 1600 - 4000 = -2400 < 0 \).
Como o discriminante é negativo, não existe quantidade para a qual \( p \geq CMe \). A demanda é insuficiente para cobrir os custos totais. O monopólio não é viável sem subsídio.
Resultado do monopólio não regulado (se operasse): \( q^M = 20 \), \( p^M = 25 \), \( \pi^M = -600 \). Na prática, a firma não entraria neste mercado sem subsídio.
Nota: Para tornar a análise regulatória mais instrutiva, prosseguimos com os cálculos das partes (b) e (c) assumindo que a firma opera (por exemplo, com compromisso de serviço público ou subsídio parcial).
(b) Regulação por custo marginal (\( p = CMg \))¶
Lucro:
A firma tem prejuízo de 1000 (exatamente o custo fixo). A regulação pelo custo marginal maximiza o bem-estar, mas resulta em prejuízo para a firma, pois o preço é inferior ao custo médio:
Este é o dilema clássico do monopólio natural: a eficiência alocativa (\( p = CMg \)) é incompatível com a viabilidade financeira quando há custos fixos elevados. A solução típica é subsidiar a firma no valor de 1000 ou usar tarifas em duas partes.
(c) Regulação por custo médio (\( p = CMe \))¶
A condição \( p = CMe \) com a demanda é:
Multiplicando por \( q \):
Como o discriminante é negativo, não existe interseção entre a curva de demanda e a curva de custo médio. Isso confirma que a demanda é insuficiente para que a firma cubra seus custos a qualquer preço.
Peso morto residual: Como a regulação por custo médio não é viável neste caso, não é possível calcular o DWL residual de forma convencional. Se a firma fosse subsidiada para operar com \( p = CMg = 5 \), o DWL seria zero (eficiência plena), mas o subsídio de 1000 deveria ser financiado, potencialmente gerando distorções em outros mercados.
Interpretação geral: Este exercício ilustra um caso extremo de monopólio natural em que a escala mínima eficiente excede o tamanho do mercado. Nenhuma estrutura de mercado — nem monopólio, nem concorrência — viabiliza a produção sem subsídio externo. A decisão de provisão depende de se o excedente total bruto (sem considerar o custo fixo) justifica o subsídio:
Como \( EC^{CMg} = 800 < 1000 = \text{custo fixo} \), o benefício social não justifica o custo, e a produção é socialmente ineficiente neste caso.
✏️ Exercício 15.5¶
Tarifa em duas partes com dois tipos de consumidores. Tipo 1: \( q_1 = 20 - p \), Tipo 2: \( q_2 = 10 - p \). 100 consumidores de cada tipo. \( CMg = c = 2 \).
(a) Preço uniforme ótimo¶
Com preço uniforme (sem taxa fixa), a demanda agregada para \( p \leq 10 \) (ambos os tipos ativos) é:
Invertendo: \( p = 15 - \frac{Q}{200} \).
A receita total é:
Igualando ao custo marginal:
Verificando: \( q_1 = 20 - 8{,}5 = 11{,}5 \) e \( q_2 = 10 - 8{,}5 = 1{,}5 \). Ambos os tipos estão ativos.
Lucro:
(b) Tarifa em duas partes servindo ambos os tipos¶
Com tarifa em duas partes \( (T, p) \), cada consumidor paga uma taxa fixa \( T \) mais o preço unitário \( p \). O consumidor do tipo \( i \) participa se e somente se seu excedente do consumidor for pelo menos \( T \).
O excedente do consumidor do tipo \( i \) ao preço \( p \) é:
onde \( a_1 = 20 \) e \( a_2 = 10 \) são as interseções com o eixo dos preços.
Para servir ambos os tipos, a restrição de participação vinculante é a do tipo 2 (menor excedente):
No ótimo, \( T^* = \frac{(10 - p)^2}{2} \).
O lucro total (200 consumidores pagam \( T \), e a margem unitária é \( p - c \)):
Expandindo:
Somando:
Maximizando:
Lucro:
Verificação: Quantidades: \( q_1 = 20 - 7 = 13 \), \( q_2 = 10 - 7 = 3 \).
(c) Tarifa em duas partes servindo apenas o tipo 1¶
Se a firma exclui o tipo 2, atende apenas 100 consumidores do tipo 1. A taxa fixa pode ser igualada ao excedente total do tipo 1:
O lucro é:
Seja \( x = 20 - p \):
Maximizando em \( x \):
Quando \( p = CMg = c = 2 \):
Lucro:
Comparação dos três cenários:
| Estratégia | Preço unitário | Taxa fixa | Lucro |
|---|---|---|---|
| Preço uniforme | 8,5 | — | 8.450 |
| Tarifa 2 partes (ambos) | 7 | 4,5 | 8.900 |
| Tarifa 2 partes (só tipo 1) | 2 | 162 | 16.200 |
Interpretação: A estratégia mais lucrativa é servir apenas o tipo 1, cobrando preço igual ao custo marginal (\( p = 2 \)) e extraindo todo o excedente via taxa fixa (\( T = 162 \)). Ao excluir o tipo 2, a firma pode fixar a taxa fixa no nível do excedente do tipo 1, que é muito maior. O trade-off da tarifa em duas partes com dois tipos é: servir ambos limita \( T \) ao excedente do tipo com menor disposição a pagar, enquanto excluir o tipo menor permite capturar todo o excedente do tipo maior. Neste caso, a perda de receita dos 100 consumidores do tipo 2 é mais do que compensada pela taxa fixa muito mais alta cobrada dos 100 consumidores do tipo 1.
✏️ Exercício 15.6¶
Monopolista com \( C(q) = 200 + 20q \) e demanda \( p = 80 - 0{,}5q \). Comparação com demanda \( p = 80 - 2q \).
(a) Quantidade, preço e lucro de monopólio¶
A receita total é:
A receita marginal é:
O custo marginal é:
Igualando \( RMg = CMg \):
Substituindo na demanda:
O lucro é:
Resultado: \( q^M = 60 \), \( p^M = 50 \) e \( \pi^M = 1600 \).
(b) Índice de Lerner e verificação¶
O índice de Lerner é:
Para a elasticidade, a demanda inversa é \( p = 80 - 0{,}5q \), logo \( q = 160 - 2p \) e \( \frac{dq}{dp} = -2 \).
No ponto de equilíbrio \( (q^M, p^M) = (60, 50) \):
Verificação:
(c) Comparação com demanda \( p = 80 - 2q \)¶
Com a nova demanda:
O índice de Lerner é:
O preço e o Lerner são idênticos nos dois casos, pois ambas as demandas têm a mesma interceptação vertical (\( a = 80 \)) e o mesmo CMg. A diferença está na inclinação: a demanda mais inclinada (\( b = 2 \)) gera menor quantidade (\( q = 15 \) vs. 60) e menor lucro (\( \pi = 250 \) vs. 1600). A elasticidade no ponto de monopólio também é \( 5/3 \) em ambos os casos — resultado geral para demanda linear \( p = a - bq \) com CMg constante, pois o Lerner depende apenas de \( a \) e \( c \), não de \( b \).
Interpretação: A inclinação da demanda afeta a escala de produção e o lucro absoluto, mas não o markup relativo nem a elasticidade no ótimo, quando a interceptação é a mesma.
✏️ Exercício 15.7¶
Discriminação de primeiro grau. Demanda individual \( q = 10 - p \), 50 consumidores, \( CMg = c = 2 \).
(a) Lucro sob preço uniforme de monopólio¶
A demanda agregada é \( Q = 50(10 - p) = 500 - 50p \), ou inversamente \( p = 10 - Q/50 \).
Excedente do consumidor:
(b) Lucro sob discriminação de primeiro grau¶
Com discriminação perfeita, o monopolista cobra de cada consumidor exatamente sua disposição a pagar. O preço é reduzido até \( p = CMg = 2 \), e toda a área entre a curva de demanda e o custo marginal é capturada como lucro.
Quantidade total: \( Q^{DP} = 50(10 - 2) = 400 \).
O excedente total (área entre demanda e CMg) é:
Sob discriminação perfeita, todo o excedente vai para o produtor:
(c) Comparação de excedentes e peso morto¶
| Variável | Preço uniforme | Discriminação perfeita |
|---|---|---|
| Quantidade | 200 | 400 |
| Preço | 6 | varia (de 10 a 2) |
| EC | 400 | 0 |
| Lucro (EP) | 800 | 1600 |
| Bem-estar total | 1200 | 1600 |
| DWL | 400 | 0 |
A DWL sob preço uniforme é:
Interpretação: A discriminação de primeiro grau elimina completamente a perda de peso morto, pois o monopolista produz a quantidade eficiente (\( Q = 400 \), como em concorrência perfeita). Contudo, todo o excedente é capturado pelo produtor: os consumidores ficam com excedente zero. A discriminação perfeita é eficiente no sentido de Pareto em relação à situação de monopólio (o produtor ganha mais e nenhum consumidor perde em relação a não consumir), mas levanta questões distributivas.
✏️ Exercício 15.8¶
Monopólio natural com \( C(q) = 500 + 2q \) e demanda \( p = 52 - q \).
(a) Monopólio não regulado¶
Resultado: \( q^M = 25 \), \( p^M = 27 \), \( \pi^M = 125 \). O monopolista é viável sem regulação.
(b) Regulação por custo marginal (\( p = CMg \))¶
Lucro:
A firma tem prejuízo de 500 (exatamente o custo fixo). O custo médio no ponto regulado é:
A regulação por custo marginal maximiza o bem-estar, mas a firma não é viável sem um subsídio de 500.
(c) Regulação por custo médio (\( p = CMe \))¶
A condição \( p = CMe \) é:
Multiplicando por \( q \):
Como \( 5\sqrt{5} \approx 11{,}18 \):
- \( q_1 = 25 + 11{,}18 = 36{,}18 \) (solução relevante — maior quantidade)
- \( q_2 = 25 - 11{,}18 = 13{,}82 \)
O regulador escolhe a solução com maior quantidade (maior bem-estar):
Lucro: \( \pi^{CMe} = 0 \) (por construção, \( p = CMe \)).
Subsídios necessários:
| Regime | Quantidade | Preço | Lucro | Subsídio necessário |
|---|---|---|---|---|
| Monopólio não regulado | 25 | 27 | 125 | 0 |
| Regulação \( p = CMg \) | 50 | 2 | \(-500\) | 500 |
| Regulação \( p = CMe \) | 36,18 | 15,82 | 0 | 0 |
Interpretação: Neste caso, diferentemente do Exercício 15.4, a demanda é suficiente para viabilizar a regulação por custo médio. A solução \( p = CMe \) é um compromisso: produz mais do que o monopólio não regulado (36,18 vs. 25), cobra menos (15,82 vs. 27) e não requer subsídio. A regulação por CMg é a mais eficiente (maximiza o excedente total), mas exige um subsídio de 500. A escolha entre os regimes depende do custo de financiamento público do subsídio.
✏️ Exercício 15.9¶
Cálculo da DWL com \( CMg = c = 10 \), demanda \( p = 100 - 2q \). Depois, \( c' = 30 \).
(a) Equilíbrio de monopólio e DWL¶
Equilíbrio competitivo (\( p = CMg \)):
DWL (triângulo de Harberger):
(b) DWL como fração da receita e do excedente competitivo¶
Receita do monopolista:
Excedente total competitivo:
Interpretação: A DWL representa 25% do excedente total que seria gerado sob concorrência perfeita — uma fração substancial.
(c) Recálculo com \( c' = 30 \)¶
Equilíbrio competitivo:
DWL:
Excedente total competitivo:
| Variável | \( c = 10 \) | \( c = 30 \) |
|---|---|---|
| \( q^M \) | 22,5 | 17,5 |
| \( p^M \) | 55 | 65 |
| DWL | 506,25 | 306,25 |
| DWL / \( W^{CP} \) | 25% | 25% |
Interpretação: A DWL absoluta diminui quando o custo marginal sobe (pois o mercado encolhe), mas a DWL como fração do excedente competitivo permanece constante em 25%. Este é um resultado geral para demanda linear \( p = a - bq \) e CMg constante: pode-se mostrar que \( DWL/W^{CP} = 1/4 \), independentemente dos parâmetros. Isso ocorre porque o monopolista sempre restringe a produção à metade da quantidade competitiva (\( q^M = q^{CP}/2 \)), gerando um triângulo de Harberger que é sempre 1/4 do triângulo de excedente total.
✏️ Exercício 15.10¶
Tarifa em duas partes em parque de diversões. Demanda individual \( q = 24 - 2p \), \( CMg = c = 2 \). Depois, dois tipos de consumidores.
(a) Tarifa ótima em duas partes com consumidores idênticos¶
Com consumidores idênticos, a estratégia ótima é cobrar \( p = CMg \) e extrair todo o excedente via taxa fixa.
Com \( p = c = 2 \):
O excedente do consumidor ao preço \( p = 2 \) é a área do triângulo entre a curva de demanda e o preço. A interseção da demanda com o eixo dos preços é \( p_{max} = 12 \) (quando \( q = 0 \): \( 0 = 24 - 2p \implies p = 12 \)).
Logo:
Lucro por consumidor:
(b) Comparação com preço uniforme¶
Com preço uniforme (sem entrada), a demanda individual é \( q = 24 - 2p \), logo a demanda inversa é \( p = 12 - q/2 \).
Para um consumidor:
Lucro por consumidor:
Comparação: A tarifa em duas partes gera o dobro do lucro (\( 100 \) vs. \( 50 \)) por consumidor. Isso ocorre porque a tarifa em duas partes permite ao monopolista capturar todo o excedente do consumidor, eliminando a perda de peso morto.
(c) Dois tipos: A com \( q_A = 24 - 2p \), B com \( q_B = 12 - 2p \)¶
O tipo B tem demanda menor. Sua interseção com o eixo dos preços é \( p_{max}^B = 6 \) (quando \( q_B = 0 \)).
Para servir ambos os tipos, a taxa fixa é limitada pelo excedente do tipo B:
Nota: \( q_B(p) = 12 - 2p \) e o preço máximo é 6, logo \( EC_B(p) = \frac{1}{2}(6 - p)(12 - 2p) = (6 - p)^2 \).
No ótimo, \( T = (6 - p)^2 \).
O excedente do tipo A ao preço \( p \) é: \( EC_A(p) = \frac{1}{2}(12 - p)(24 - 2p) = (12 - p)^2 \).
O lucro total (por par de consumidores, um de cada tipo):
Expandindo:
Somando:
Maximizando:
Verificação das quantidades: \( q_A = 24 - 10 = 14 \), \( q_B = 12 - 10 = 2 \). Ambos os tipos estão ativos.
Lucro por par:
Ou diretamente: \( \pi = 2(1) + (5 - 2)(14 + 2) = 2 + 3 \times 16 = 2 + 48 = 50 \).
Se houvesse \( N \) consumidores de cada tipo, o lucro total seria \( 50N \).
Comparação: Com consumidores idênticos (tipo A), o lucro por consumidor era 100. Com dois tipos, o lucro por par cai para 50 (ou 25 por consumidor). A heterogeneidade dos consumidores reduz o poder de extração da tarifa em duas partes, pois a taxa fixa deve acomodar o tipo com menor disposição a pagar. O preço unitário sobe acima do CMg (\( p = 5 > 2 \)) para compensar parcialmente a taxa fixa mais baixa.