Soluções dos Exercícios — Capítulo 12¶
✏️ Exercício 12.1¶
Solução.
(a) CF = 50. CV = \(2q + 0{,}5q^2\). CMe = \(50/q + 2 + 0{,}5q\). CVMe = \(2 + 0{,}5q\). CMg = \(2 + q\).
(b) Ponto de fechamento: mínimo do CVMe. Como \(CVMe = 2 + 0{,}5q\) é crescente, o mínimo é em \(q = 0\) com \(CVMe(0) = 2\). O preço mínimo para operar é \(p = 2\).
(c) Ponto de break-even: mínimo do CMe. \(d(CMe)/dq = -50/q^2 + 0{,}5 = 0 \implies q^2 = 100 \implies q = 10\). \(CMe(10) = 5 + 2 + 5 = 12\). O preço de break-even é \(p = 12\).
(d) A firma oferta onde \(p = CMg\) e \(p \geq CVMe\): \(p = 2 + q \implies q^s(p) = p - 2\) para \(p \geq 2\).
(e) \(q^s(12) = 10\). \(\pi = 12 \times 10 - (50 + 20 + 50) = 120 - 120 = 0\). Lucro zero — a firma está no break-even.
✏️ Exercício 12.2¶
Solução.
(a) \(RT = pq = (a-bq)q = aq - bq^2\). \(RMg = dRT/dq = a - 2bq\). A inclinação da RMg (\(-2b\)) é o dobro da da demanda inversa (\(-b\)). ✓
(b) Receita máxima: \(RMg = 0 \implies a - 2bq = 0 \implies q = a/(2b)\). ✓
(c) No ponto \(q = a/(2b)\): \(p = a - b \cdot a/(2b) = a/2\). Elasticidade: \(\varepsilon_d = (dq/dp)(p/q) = (-1/b)(a/2)/(a/(2b)) = -1\). ✓
(d) \(\pi = (p-c)q = (a - bq - c)q\). CPO: \(a - 2bq - c = 0 \implies q^M = (a-c)/(2b)\). Preço: \(p^M = a - b(a-c)/(2b) = (a+c)/2\). Markup: \(p^M - c = (a-c)/2 > 0\).
Interpretação econômica: O preço de monopólio é a média entre o intercepto da demanda (\(a\)) e o custo marginal (\(c\)). O markup \((a-c)/2\) reflete o poder de mercado: quanto mais inelástica a demanda (menor \(b\)), maior o markup em valor absoluto.
✏️ Exercício 12.3¶
Solução.
(a) Maximizar \(\pi = pq - wL - rK = 27K^{1/3}L^{2/3} - 2L - K\).
CPOs: \(9K^{1/3}L^{-1/3} = w = 2\) e \(18K^{-2/3}L^{2/3} = r = 1\)... Corrigindo: \(\partial \pi/\partial K = 27 \cdot (1/3)K^{-2/3}L^{2/3} - 1 = 0 \implies 9K^{-2/3}L^{2/3} = 1\). E \(\partial \pi/\partial L = 27 \cdot (2/3)K^{1/3}L^{-1/3} - 2 = 0 \implies 18K^{1/3}L^{-1/3} = 2\).
Da segunda: \(K^{1/3}L^{-1/3} = 1/9 \implies L/K = 9^3/1 = 729\)... Isso parece excessivo. Recalculando: \(K^{1/3}/L^{1/3} = 1/9 \implies (K/L)^{1/3} = 1/9 \implies K/L = 1/729\).
Da primeira: \(9(L/K)^{2/3} = 1 \implies (L/K)^{2/3} = 1/9 \implies L/K = (1/9)^{3/2} = 1/27\).
Contradição — recalculemos com mais cuidado.
CPO para \(K\): \(9K^{-2/3}L^{2/3} = 1\) → \((L/K)^{2/3} = 1/9\) → \(L/K = 1/27\). Então \(L = K/27\).
CPO para \(L\): \(18K^{1/3}L^{-1/3} = 2\) → \((K/L)^{1/3} = 1/9\) → \(K/L = 1/729\). Então \(K = L/729\).
As duas condições dão \(K/L = 1/729\) e \(K/L = 27\), que são contraditórias. Reavaliemos: da segunda CPO: \(18(K/L)^{1/3} = 2 \implies (K/L)^{1/3} = 1/9\), logo \(K/L = 1/729\), ou \(L = 729K\).
Da primeira: \(9(L/K)^{2/3} = 1 \implies (729)^{2/3} = 81\), e \(9 \times 81 = 729 \neq 1\).
(b) Reconsiderando: dividindo as CPOs para obter a razão:
Substituindo na CPO para K: \(9K^{-2/3}K^{2/3} = 1 \implies 9 = 1\). Contradição novamente.
O problema é que \(\alpha + \beta = 1\) (RCE) e \(p = 27\). Com RCE, a função lucro é linear em escala e a CPO padrão não tem solução interior finita se \(p > c(w,r)\) ou não há solução se \(p < c(w,r)\). Calculemos \(c\): com \(L = K\) e \(w=2, r=1\), custo unitário = \(wL + rK\) para \(q=1\): \(K^{1/3}L^{2/3} = 1\) com \(L = K\) dá \(K = 1\), custo = 3. Mas \(p = 27 > 3\), logo a firma quer produzir infinito.
Na prática, com RCE e \(p > c\), o lucro cresce sem limite. A firma opera em escala infinita (ou até que os preços se ajustem). Se o exercício requer solução finita, interpretar como \(q = K^{1/3}L^{2/3}\) com rendimentos decrescentes (\(\alpha + \beta = 1\) mas é tomadora de preços). A solução correta é usar a abordagem dual: \(c(w,r) = 3\), e com RCE a firma é indiferente em escala quando \(p = c\), ou quer expansão infinita quando \(p > c\). Com \(p = 27 > 3\), não há solução interior.
✏️ Exercício 12.4¶
Solução.
(a) \(q = 4L^{1/2} \implies L = q^2/16\). \(CT = r\bar{K} + wL = 2(16) + 8(q^2/16) = 32 + q^2/2\).
(b) \(CMg = q\). \(CVMe = q/2\).
(c) Ponto de fechamento: \(\min CVMe = 0\) (em \(q = 0\)). O CVMe é crescente, logo o preço mínimo é \(p > 0\) (a firma opera para qualquer preço positivo no curto prazo). Formalmente, a firma fecha se \(p < CVMe(q)\) para todo \(q > 0\), mas como \(CVMe(q) = q/2 \to 0\) quando \(q \to 0\), a firma sempre pode produzir alguma quantidade lucrativa.
(d) \(p = CMg \implies 16 = q\). \(\pi = 16 \times 16 - (32 + 128) = 256 - 160 = 96\).
(e) No longo prazo, a firma pode ajustar \(K\). Com \(q = K^{1/2}L^{1/2}\), \(w = 8\), \(r = 2\): custo unitário \(c = 2(wr)^{1/2} = 2\sqrt{16} = 8\). Se \(p = 16 > 8 = c\), a firma quer escala infinita (RCE). No equilíbrio de longo prazo com livre entrada, \(p = c = 8\) e cada firma é indiferente em escala.
✏️ Exercício 12.5¶
Solução.
(a) Se \(p \geq CVMe\) mas \(p < CMe\), a firma tem prejuízo mas cobre os custos variáveis e parte dos fixos. Fechar geraria prejuízo igual ao custo fixo total. Exemplo: CF = 100, CV = 60, RT = 80. Operando: \(\pi = 80 - 160 = -80\). Fechando: \(\pi = -100\). Operar é menos ruim.
(b) A convexidade da função lucro nos preços significa que \(\pi(p)\) é convexa: \(d^2\pi/dp^2 = dq^*/dp > 0\). Implicação: a firma se beneficia mais de variabilidade de preços do que de preço estável ao mesmo nível médio. Pela desigualdade de Jensen: \(E[\pi(p)] \geq \pi(E[p])\). Intuitivamente, quando o preço sobe, a firma expande e captura mais lucro; quando cai, contrai e limita as perdas.
(c) Na teoria da firma, não existe "insumo de Giffen" porque a demanda condicionada por insumos vem da minimização de custo (equivalente ao problema dual do consumidor). As demandas hicksianas (compensadas) sempre satisfazem a lei da demanda: \(\partial h_i/\partial w_i \leq 0\). No consumidor, o efeito Giffen surge pelo efeito-renda no problema primal. Na firma, a demanda condicionada é análoga à hicksiana (utilidade fixada = produto fixado), logo não há efeito-renda e não há Giffen.
(d) \(RMg = p(1 + 1/\varepsilon_d)\). Se \(|\varepsilon_d| < 1\), então \(1/\varepsilon_d < -1\) e \(RMg < 0\). Como \(CMg > 0\), nunca \(RMg = CMg\) na região inelástica. Intuitivamente, na região inelástica, reduzir a produção aumenta a receita (demanda insensível ao preço), então a firma sempre reduz até atingir \(|\varepsilon_d| \geq 1\).
(e) Segundo Coase (1937), a firma cresce até que o custo marginal de organizar uma transação internamente iguale o custo de realizá-la no mercado. Deseconomias de escala organizacional (burocracia, custos de monitoramento, perda de informação em hierarquias) limitam o crescimento. Essas deseconomias são análogas aos rendimentos decrescentes de escala na produção, mas operam no nível da gestão.
✏️ Exercício 12.6¶
Solução.
(a) Quantidade ótima.
\(C(q) = 50 + 2q + 0{,}5q^2 \implies \mathrm{CMg}(q) = 2 + q\).
Condição \(p = \mathrm{CMg}\): \(12 = 2 + q \implies q^* = 10\).
(b) Lucro.
\(\pi = p \cdot q^* - C(q^*) = 12 \times 10 - (50 + 20 + 50) = 120 - 120 = 0\).
O lucro é zero: \(q^* = 10\) é o ponto de break-even (confirma-se no item c).
(c) Condição de segunda ordem (CSO).
\(\mathrm{CMg}'(q) = 1 > 0\) para todo \(q\). Como o custo marginal é estritamente crescente, a CSO está satisfeita: \(q^* = 10\) é de fato um máximo global de lucro.
Verificação alternativa: \(\pi''(q) = -\mathrm{CMg}'(q) = -1 < 0\). ✓
(d) Decisão de operar.
\(\mathrm{CVMe}(q) = 2 + 0{,}5q\). Esta função é crescente, portanto \(\mathrm{CVMe}_{\min} = \mathrm{CVMe}(0) = 2\).
Como \(p = 12 > 2 = \mathrm{CVMe}_{\min}\), a firma deve operar. ✓
Interpretação econômica: Este é precisamente o Exercício 12.1(c): \(q^* = 10\) é o ponto de lucro zero (break-even), em que \(p = \mathrm{CMe}_{\min} = 12\). No equilíbrio competitivo de longo prazo, todas as firmas operam nesse ponto, e o lucro econômico é zero.
✏️ Exercício 12.7¶
Solução.
(a) FALSO. Uma firma fecha no curto prazo apenas se \(p < \mathrm{CVMe}_{\min}\). Se \(\pi < 0\) mas \(p \geq \mathrm{CVMe}_{\min}\), operar minimiza o prejuízo (que seria igual a CF se fechasse). A decisão de fechar depende da comparação entre prejuízo operando e prejuízo fechando (-CF), não do sinal do lucro.
(b) VERDADEIRO. O Lema de Hotelling estabelece exatamente que \(\partial \pi^* / \partial p = q^*(p, w, v)\), ou seja, a derivada da função lucro máximo em relação ao preço do produto é a função de oferta ótima.
(c) VERDADEIRO. A função lucro \(\pi^*(p, w, v) = \max_q \{pq - C(q,w,v)\}\) é o máximo pontual de funções lineares (afins) em \((p, w, v)\). O máximo de funções convexas (em particular lineares) é convexo — esse é o argumento do Exercício 12.10. A convexidade em \(p\) implica lei da oferta (\(\partial q^*/\partial p \geq 0\)); a convexidade em \(w\) implica lei da demanda por insumos (\(\partial L^*/\partial w \leq 0\)).
(d) VERDADEIRO. Se a demanda da firma é perfeitamente elástica (horizontal), o preço é fixado pelo mercado e \(dp/dq = 0\). Então \(\mathrm{RMg} = p + q \cdot (dp/dq) = p + 0 = p\). Esta é exatamente a situação da firma tomadora de preços (concorrência perfeita): a receita marginal iguala o preço de mercado.
✏️ Exercício 12.8¶
Solução.
Dados: \(p = 100 - 2Q\); \(C(Q) = 10Q + Q^2\).
(a) Receita marginal.
\(RT = pQ = (100 - 2Q)Q = 100Q - 2Q^2\).
\(\mathrm{RMg} = \frac{dRT}{dQ} = 100 - 4Q\).
(b) Quantidade e preço ótimos.
\(\mathrm{CMg} = C'(Q) = 10 + 2Q\).
\(\mathrm{RMg} = \mathrm{CMg} \implies 100 - 4Q = 10 + 2Q \implies 90 = 6Q \implies Q^* = 15\).
\(p^* = 100 - 2(15) = 70\).
Verificação da CSO: \(\mathrm{CMg}'(Q) = 2 > 0 = \mathrm{RMg}'(Q) \cdot (-4/(-4))\)... mais diretamente: \(\pi''(Q) = \mathrm{RMg}' - \mathrm{CMg}' = -4 - 2 = -6 < 0\). ✓
(c) Índice de Lerner (markup).
\(\mathrm{CMg}(Q^*) = 10 + 2(15) = 40\).
Verificação pela elasticidade: na demanda \(p = 100 - 2Q\), tem-se \(dQ/dp = -1/2\).
\(\varepsilon_d = \frac{dQ}{dp} \cdot \frac{p}{Q} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{70}{15} = -\frac{7}{3}\).
\(L = \frac{1}{|\varepsilon_d|} = \frac{3}{7}\). ✓
(d) Comparação com resultado competitivo.
No resultado competitivo, \(p^c = \mathrm{CMg}\):
\(100 - 2Q^c = 10 + 2Q^c \implies 90 = 4Q^c \implies Q^c = 22{,}5\).
\(p^c = 100 - 2(22{,}5) = 55\).
| Monopólio | Competição | |
|---|---|---|
| Quantidade | \(Q^* = 15\) | \(Q^c = 22{,}5\) |
| Preço | \(p^* = 70\) | \(p^c = 55\) |
| Markup | \(L = 3/7 \approx 0{,}43\) | \(L = 0\) |
O monopolista produz menos (\(Q^* < Q^c\)) e cobra mais (\(p^* > p^c\)). A perda de peso morto (triângulo de ineficiência) é proporcional à redução de quantidade: \(\Delta Q = 22{,}5 - 15 = 7{,}5\) unidades não produzidas. No Capítulo 15, quantificaremos essa perda em termos de área (excedente total perdido).
✏️ Exercício 12.9¶
Solução.
Dados: \(Q = 500 - 2P\); custo marginal do diesel = \(p_w + t = p_w + 5\) (preço de importação mais transporte).
(a) Preço e quantidade ótimos.
A Petrobras é monopolista no mercado doméstico. Demanda inversa: \(P = 250 - Q/2\).
\(RT = PQ = (250 - Q/2)Q = 250Q - Q^2/2\).
\(\mathrm{RMg} = 250 - Q\).
\(\mathrm{CMg} = p_w + 5\).
Condição de maximização: \(\mathrm{RMg} = \mathrm{CMg}\):
Lucro: \(\pi^* = (P^* - \mathrm{CMg}) \cdot Q^* = \left(\frac{255 + p_w}{2} - p_w - 5\right)(245 - p_w)\).
Simplificando o markup: \(P^* - \mathrm{CMg} = \frac{255 + p_w}{2} - p_w - 5 = \frac{245 - p_w}{2}\).
(b) Efeito de aumento de 20% em \(p_w\).
Seja \(p_w' = 1{,}2\,p_w\).
Variação percentual de \(P^*\): \(\Delta P/P^* = (0{,}1\,p_w) / (127{,}5 + 0{,}5\,p_w)\).
Para \(p_w = 100\) (valor ilustrativo): \(P^* = 177{,}5\); \(P^{**} = 187{,}5\); \(\Delta P/P^* = 10/177{,}5 \approx 5{,}6\%\).
Variação percentual de \(Q^*\): \(\Delta Q/Q^* = (-0{,}2\,p_w)/(245 - p_w)\). Para \(p_w = 100\): \(Q^* = 145\); \(Q^{**} = 125\); \(\Delta Q/Q^* = -20/145 \approx -13{,}8\%\).
(c) Interpretação econômica.
O aumento de 20% em \(p_w\) eleva o preço doméstico em apenas ~5,6% — muito menos que 20%. Por quê? O markup do monopolista é \((P^* - \mathrm{CMg})/P^* = L\). Quando \(\mathrm{CMg}\) aumenta, o monopolista absorbe parte do choque reduzindo o markup (o lucro cai). Em competição perfeita, toda a variação de CMg seria repassada ao preço; no monopólio, parte é absorvida pelo produtor. O custo de transporte \(t = 5\) fixo amortece ainda mais o repasse percentual, pois a base de custo se expande menos do que o choque em \(p_w\).
Formalmente: \(\partial P^*/\partial p_w = 1/2 < 1\). O repasse é incompleto — característica geral do monopólio com demanda linear.
✏️ Exercício 12.10¶
Solução.
Objetivo: Provar que \(\pi(p, \mathbf{w}) = \max_q \{p \cdot q - C(q, \mathbf{w})\}\) é convexa no vetor de preços \(\mathbf{v} = (p, \mathbf{w})\).
(a) Representação como supremo de funções afins.
Para cada \(q \geq 0\) fixo, defina:
Esta é uma função linear (afim) em \(\mathbf{v} = (p, \mathbf{w})\): coeficiente de \(p\) é \(q\); coeficientes de \(\mathbf{w}\) são \(-\partial C/\partial \mathbf{w}\) avaliados em \(q\) fixo. Portanto:
ou seja, \(\pi\) é o supremo pontual de uma família de funções afins em \(\mathbf{v}\).
(b) O supremo de funções convexas é convexo.
Sejam \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 \in \mathbb{R}_{++}^{1+|\mathbf{w}|}\) e \(\lambda \in [0,1]\). Para qualquer \(q \geq 0\):
(por linearidade de \(h_q\)). Tomando o supremo sobre \(q\) em ambos os lados:
[ \pi(\lambda \mathbf{v}_1 + (1-\lambda)\mathbf{v}_2) = \sup_q h_q(\lambda \mathbf{v}_1 + (1-\lambda)\mathbf{v}_2) ] [ = \sup_q [\lambda h_q(\mathbf{v}_1) + (1-\lambda) h_q(\mathbf{v}_2)] \leq \lambda \sup_q h_q(\mathbf{v}_1) + (1-\lambda) \sup_q h_q(\mathbf{v}_2) ] [ = \lambda \pi(\mathbf{v}_1) + (1-\lambda)\pi(\mathbf{v}_2) ]
A desigualdade usa que \(\sup (f + g) \leq \sup f + \sup g\). Isso completa a prova: \(\pi(\lambda \mathbf{v}_1 + (1-\lambda)\mathbf{v}_2) \leq \lambda \pi(\mathbf{v}_1) + (1-\lambda)\pi(\mathbf{v}_2)\). \(\blacksquare\)
(c) Interpretação econômica.
A convexidade de \(\pi\) em \(\mathbf{v}\) implica que a matriz de derivadas segundas de \(\pi\) é semidefinida positiva. Em particular:
- Lei da oferta: \(\partial^2\pi/\partial p^2 = \partial q^*/\partial p \geq 0\) — a oferta é não decrescente no preço do produto.
- Lei da demanda por insumos: \(\partial^2\pi/\partial w_i^2 = -\partial x_i^*/\partial w_i \geq 0\), logo \(\partial x_i^*/\partial w_i \leq 0\) — a demanda por cada insumo é não crescente em seu próprio preço.
- Simetria: \(\partial^2\pi/\partial p \partial w_i = \partial q^*/\partial w_i = -\partial x_i^*/\partial p\) (condição de Young, análoga à igualdade de Slutsky).
Intuitivamente: a firma sempre pode escolher não mudar seu plano de produção em resposta a uma mudança de preços. Se o fizer, o lucro variaria linearmente. O fato de a firma otimizar significa que ela faz melhor do que a variação linear — e isso gera a convexidade (a função valor sobe mais do que a variação linear prediz).