Soluções dos Exercícios — Capítulo 11¶

✏️ Exercício 11.1¶

Solução.

(a) Minimizando custo sujeito a $K^{1/2}L^{1/2} = q$: CPO dá $L/K = r/w = 1/4$, logo $L = K/4$. Da restrição: $K^{1/2}(K/4)^{1/2} = q \implies K/(2) = q \implies K^c = 2q$, $L^c = q/2$.

(b) $C = wL^c + rK^c = 4(q/2) + 1(2q) = 2q + 2q = 4q$.

(c) $\partial C/\partial w = q/2 = L^c$ ✓. $\partial C/\partial r = 2q = K^c$ ✓. Lema de Shephard confirmado.

(d) $C(10) = 4 \times 10 = 40$.

(e) $CMg = dC/dq = 4$. $CMe = C/q = 4$. Ambos são constantes e iguais. Isso ocorre porque $\alpha + \beta = 1/2 + 1/2 = 1$ (rendimentos constantes de escala). Com RCE, o custo é linear em $q$, logo CMg = CMe = constante.

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✏️ Exercício 11.2¶

Solução.

(a) CF = 100. CV(q) = $10q - 2q^2 + q^3/3$.

(b)

\[ CMe = \frac{100}{q} + 10 - 2q + \frac{q^2}{3}, \quad CVMe = 10 - 2q + \frac{q^2}{3}, \quad CMg = 10 - 4q + q^2 \]

(c) Mínimo do CVMe: $\frac{d(CVMe)}{dq} = -2 + 2q/3 = 0 \implies q = 3$. $CVMe(3) = 10 - 6 + 3 = 7$.

Mínimo do CMe: $\frac{d(CMe)}{dq} = -100/q^2 - 2 + 2q/3 = 0$. Resolvendo numericamente: $q \approx 5{,}24$.

(d) CMg no mínimo do CVMe: $CMg(3) = 10 - 12 + 9 = 7 = CVMe(3)$ ✓.

CMg no mínimo do CMe: $CMg(5{,}24) \approx 10 - 20{,}96 + 27{,}46 \approx 16{,}5$. Verificando $CMe(5{,}24) \approx 19{,}08 + 10 - 10{,}48 + 9{,}15 \approx 27{,}75$... O cálculo exato requer resolver o cúbico. O princípio é que CMg cruza CMe e CVMe em seus respectivos mínimos porque: se $CMg < CMe$, o CMe está caindo; se $CMg > CMe$, o CMe está subindo. Logo, $CMg = CMe$ no mínimo.

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✏️ Exercício 11.3¶

Solução.

(a) Com $q = \min\{K, 2L\}$, no ótimo: $K = 2L$, ou $K = q$ e $L = q/2$.

\[ C(q) = rK + wL = 8q + 2(q/2) = 8q + q = 9q \]

(b) $CMe = 9$, $CMg = 9$. Ambos constantes. Com Leontief e rendimentos constantes de escala ($\min\{K, 2L\}$ é homogênea de grau 1), o custo é linear.

(c) Tanto a Leontief quanto a Cobb-Douglas com RCE produzem custo linear ($CMg = CMe = \text{constante}$). A diferença é que na Cobb-Douglas a razão $K/L$ responde a mudanças nos preços relativos dos insumos, enquanto na Leontief é fixa. O custo unitário da Cobb-Douglas é $c(w,r) = \text{função dos preços}$ que depende de $w/r$, enquanto na Leontief é sempre $r + w/2 = 9$ para esses parâmetros.

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✏️ Exercício 11.4¶

Solução.

(a) Com $q = K^{1/3}L^{1/3}$ e $w = r = 1$, minimizando custo: CPO dá $K = L$. Da restrição: $K^{2/3} = q \implies K = L = q^{3/2}$.

\[ C_{LP}(q) = 2q^{3/2}, \quad CMe_{LP} = 2q^{1/2} \]

(Rendimentos decrescentes: $\alpha + \beta = 2/3 < 1$, custo cresce mais que linearmente.)

(b) Com $\bar{K} = 4$: $q = 4^{1/3}L^{1/3} \approx 1{,}587 L^{1/3}$, logo $L = (q/1{,}587)^3 = q^3/4$.

\[ C_{CP}(q; \bar{K}=4) = 4 + q^3/4 \]

\[ CMe_{CP} = 4/q + q^2/4 \]

(c) Igualdade: $CMe_{LP} = CMe_{CP}$ quando $2q^{1/2} = 4/q + q^2/4$. No ponto onde $\bar{K} = 4$ é ótimo no LP: $K^* = q^{3/2} = 4 \implies q = 4^{2/3} \approx 2{,}52$.

Para $q = 2{,}52$: $CMe_{LP} = 2(2{,}52)^{0,5} \approx 3{,}17$ e $CMe_{CP} = 4/2{,}52 + (2{,}52)^2/4 \approx 1{,}59 + 1{,}59 = 3{,}17$. ✓

Para qualquer outro $q$, $CMe_{CP} > CMe_{LP}$ porque o capital está "errado": a firma não pode ajustar $\bar{K}$ no curto prazo. A envoltória resulta de a firma escolher otimamente $K$ para cada $q$ no longo prazo.

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✏️ Exercício 11.5¶

Solução.

(a) Com $\alpha + \beta = 1$, a função de produção é homogênea de grau 1. A função custo de uma firma com RCE é linear: $C = c(w,r) \cdot q$, onde $c$ é o custo de produzir uma unidade.

Demonstração: se $(K_1, L_1)$ produz $q = 1$ ao custo mínimo $c$, então $(tK_1, tL_1)$ produz $q = t$ ao custo $tc$. Logo, $C(q) = cq$.

(b) Minimizando $wL + rK$ s.a. $AK^\alpha L^\beta = 1$ (com $\beta = 1 - \alpha$):

CPO: $K/L = (\alpha/(1-\alpha))(w/r)$. Substituindo na restrição e simplificando:

\[ c(w,r) = \frac{1}{A}\left(\frac{w}{1-\alpha}\right)^{1-\alpha}\left(\frac{r}{\alpha}\right)^\alpha \]

Verificando homogeneidade: $c(tw, tr) = t \cdot c(w,r)$ ✓ (grau 1 nos preços).

(c) $CMg = dC/dq = c(w,r)$. $CMe = C/q = c(w,r)$. Ambos iguais e constantes. ✓

(d) Com RCE, dobrar a produção exige exatamente dobrar os insumos, logo dobrar o custo. O custo cresce proporcionalmente ao produto, implicando custo marginal constante. Intuitivamente, a "próxima unidade" custa sempre o mesmo que a anterior porque a tecnologia não apresenta nem economias nem deseconomias de escala.

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✏️ Exercício 11.6¶

Solução.

(a) De $C(q) = 100 + 4q + q^2$: Custo fixo = $CF = 100$. Custo variável = $CV(q) = 4q + q^2$.

(b)

\[ \mathrm{CMg} = \frac{dC}{dq} = 4 + 2q \]

\[ \mathrm{CMe} = \frac{C(q)}{q} = \frac{100}{q} + 4 + q \]

\[ \mathrm{CVMe} = \frac{CV(q)}{q} = 4 + q \]

(c) Igualar $\mathrm{CMg} = \mathrm{CMe}$:

\[ 4 + 2q = \frac{100}{q} + 4 + q \implies 2q = \frac{100}{q} + q \implies q = \frac{100}{q} \implies q^2 = 100 \implies q^* = 10 \]

Custo médio no mínimo: $\mathrm{CMe}(10) = 100/10 + 4 + 10 = 10 + 4 + 10 = 24$.

Verificação: $\mathrm{CMg}(10) = 4 + 20 = 24 = \mathrm{CMe}(10)$ ✓

(d) O ponto $q^* = 10$ é a escala eficiente mínima da firma no curto prazo — o nível de produção que minimiza o custo médio. Para $q < 10$, o CMe é decrescente (o CMg está abaixo do CMe); para $q > 10$, o CMe é crescente (o CMg está acima do CMe). Em um mercado competitivo de longo prazo (Capítulo 12), as firmas operarão exatamente nesse ponto, com preço $p = \mathrm{CMe}_{min} = 24$ e lucro econômico zero.

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✏️ Exercício 11.7¶

Solução.

(a) Falso. Custos irrecuperáveis já foram incorridos e não podem ser recuperados. Eles não afetam os custos marginais ou futuros da firma — que são os únicos relevantes para a decisão de nível de produção corrente. Apenas custos evitáveis (prospectivos) devem ser considerados na otimização.

(b) Falso. A afirmação correta é que $\mathrm{LRAC}(q) \leq \mathrm{SRAC}(q; \bar{K})$ para todo $q$ e para qualquer $\bar{K}$ fixo — com igualdade apenas no ponto ótimo de escala de planta de cada SRAC. O LRAC não está estritamente abaixo: ele tangencia cada SRAC em um ponto, e é menor ou igual em todos os demais. "Sempre abaixo" é incorreto porque há igualdade nos pontos de tangência.

(c) Verdadeiro. Com rendimentos constantes de escala ($f(tK, tL) = t \cdot f(K,L)$ para todo $t > 0$), a função custo é linear em $q$: $C(q) = c(w,v) \cdot q$. Portanto, $\mathrm{LRAC}(q) = C(q)/q = c(w,v)$ — uma constante. O custo médio de longo prazo é constante para qualquer nível de produto.

(d) Verdadeiro. Essa é exatamente a afirmação do Lema de Shephard (Seção 11.4): $\partial C(w,v,q)/\partial w = L^c(w,v,q)$ e $\partial C(w,v,q)/\partial v = K^c(w,v,q)$. As demandas condicionadas são as derivadas parciais da função custo em relação aos preços dos respectivos insumos.

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✏️ Exercício 11.8¶

Solução.

(a) Com $q = K^{0{,}3}L^{0{,}7}$, $\alpha = 0{,}3$, $\beta = 0{,}7$, $\alpha + \beta = 1$ (retornos constantes de escala). Da condição de tangência:

\[ \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{L}{K} = \frac{r}{w} \implies \frac{0{,}3}{0{,}7} \cdot \frac{L}{K} = \frac{20}{10} = 2 \implies \frac{L}{K} = \frac{2 \times 0{,}7}{0{,}3} = \frac{14}{3} \]

Logo $L = \frac{14}{3} K$. Substituindo na restrição $K^{0{,}3}L^{0{,}7} = q$:

\[ K^{0{,}3} \left(\frac{14}{3} K\right)^{0{,}7} = q \implies K \cdot \left(\frac{14}{3}\right)^{0{,}7} = q \implies K^c = q \cdot \left(\frac{3}{14}\right)^{0{,}7} \]

\[ L^c = \frac{14}{3} K^c = q \cdot \frac{14}{3} \cdot \left(\frac{3}{14}\right)^{0{,}7} = q \cdot \left(\frac{14}{3}\right)^{0{,}3} \]

Função custo:

\[ C = rK^c + wL^c = 20 \cdot q \cdot \left(\frac{3}{14}\right)^{0{,}7} + 10 \cdot q \cdot \left(\frac{14}{3}\right)^{0{,}3} \]

Numericamente: $(3/14)^{0{,}7} \approx 0{,}3135$ e $(14/3)^{0{,}3} \approx 1{,}470$.

\[ C(q) \approx q \cdot [20 \times 0{,}3135 + 10 \times 1{,}470] = q \cdot [6{,}270 + 14{,}70] = q \cdot 20{,}97 \approx 20{,}97\,q \]

A forma geral é $C(q) = \kappa \cdot w^{0{,}7} r^{0{,}3} \cdot q$, onde $\kappa = (0{,}3/0{,}7)^{-0{,}7} + (0{,}7/0{,}3)^{0{,}3} \cdot (0{,}3/0{,}7)^{-0{,}3}$ — uma constante que depende apenas de $\alpha$ e $\beta$.

(b) Com retornos constantes de escala, $C$ é linear em $q$:

\[ \mathrm{CMg} = \frac{dC}{dq} \approx 20{,}97 \qquad \mathrm{CMe} = \frac{C}{q} \approx 20{,}97 \]

$\mathrm{CMg} = \mathrm{CMe} = \text{constante}$ — consequência direta de $\alpha + \beta = 1$.

(c) Lema de Shephard: $\partial C / \partial w = L^c$?

Da expressão geral $C = \kappa \cdot w^{\beta} r^{\alpha} \cdot q$ com $\alpha = 0{,}3$, $\beta = 0{,}7$:

\[ \frac{\partial C}{\partial w} = \kappa \cdot \beta \cdot w^{\beta-1} r^{\alpha} \cdot q = 0{,}7 \cdot \kappa \cdot w^{-0{,}3} r^{0{,}3} q \]

Isso deve coincidir com $L^c = q \cdot (14/3)^{0{,}3}$. Com $w = 10$ e $r = 20$: $(r/w)^{0{,}3} = 2^{0{,}3} \approx 1{,}231$. E $(14/3)^{0{,}3} = (14/3)^{0{,}3}$. Dado que $14/3 = (2 \times 0{,}7)/(0{,}3) \times (r/w) = (0{,}7/0{,}3) \times 2 = 14/3$ ✓ — o Lema de Shephard é verificado.

(d) Como $\alpha + \beta = 1$ (RCE), a função custo é linear em $q$ e côncava nos preços. Se $\alpha + \beta > 1$ (RCrE), $C$ seria côncava em $q$ e o CMg decrescente; se $\alpha + \beta < 1$ (RDE), $C$ seria convexa em $q$ e o CMg crescente. Com RCE, a curva de CMg é uma linha horizontal — a firma não ganha nem perde eficiência ao escalar a produção.

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✏️ Exercício 11.9¶

Solução.

(a) A curva LRAC é a envoltória inferior das duas SRACs. Precisamos encontrar para qual nível de $q$ cada planta tem menor custo médio:

\[ \mathrm{SRAC}_1(q) = 50 + 2q \qquad \mathrm{SRAC}_2(q) = 200 + 0{,}5q \]

Planta 1 é mais barata quando $\mathrm{SRAC}_1 < \mathrm{SRAC}_2$:

\[ 50 + 2q < 200 + 0{,}5q \implies 1{,}5q < 150 \implies q < 100 \]

Logo:

\[ \mathrm{LRAC}(q) = \begin{cases} 50 + 2q & \text{se } q \leq 100 \\ 200 + 0{,}5q & \text{se } q > 100 \end{cases} \]

(b) O ponto de cruzamento é $q^{**} = 100$ ton/dia. Custo médio nesse ponto:

\[ \mathrm{SRAC}_1(100) = 50 + 200 = 250 = \mathrm{SRAC}_2(100) = 200 + 50 = 250 \quad \checkmark \]

(c) Para $q < 100$, a planta 1 (menor e de baixo custo fixo) tem vantagem: os custos fixos de R$ 200/ton da planta 2 não se diluem o suficiente para compensar sua vantagem em custo variável. Acima de 100 ton/dia, o custo variável mais baixo da planta 2 (0,5/ton vs 2/ton) compensa seus maiores custos fixos. O processador deve investir na planta 2 apenas quando a demanda esperada superar 100 ton/dia — porque abaixo desse volume, o custo médio da planta grande é maior.

(d) O "custo Brasil" (tributação, burocracia, logística) age como um aumento nos custos fixos ou nos custos variáveis de ambas as plantas. Se o componente logístico (frete da soja e do farelo) for proporcional à quantidade processada (custo variável), ele eleva mais o SRAC das plantas pequenas que processam lotes menores por frete. Se for principalmente fixo (custos de certificação, burocracia), eleva os dois SRACs paralelamente. Em ambos os casos, o custo Brasil tende a elevar o limiar $q^{**}$ — tornando as economias de escala necessárias para que a planta 2 se justifique ainda maiores — ou reduzir a diferença de custo marginal entre as plantas, potencialmente mantendo mais firmas pequenas no mercado através de subsídios implícitos a quem opera na informalidade.

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✏️ Exercício 11.10¶

Solução.

(a) Queremos mostrar que para $\lambda \in [0,1]$ e vetores de preços $(w_1, r_1)$ e $(w_2, r_2)$:

\[ C(\bar{w}, \bar{r}, q) \geq \lambda C(w_1, r_1, q) + (1-\lambda) C(w_2, r_2, q) \]

onde $\bar{w} = \lambda w_1 + (1-\lambda)w_2$ e $\bar{r} = \lambda r_1 + (1-\lambda)r_2$.

(b) Seja $(K^*, L^*)$ a combinação ótima de insumos para os preços misturados $(\bar{w}, \bar{r})$, tal que $f(K^*, L^*) = q$. Por definição de custo mínimo, $(K^*, L^*)$ é factível mas não necessariamente ótimo para os preços $(w_i, r_i)$. Portanto, para $i = 1, 2$:

\[ C(w_i, r_i, q) \leq w_i L^* + r_i K^* \]

(o custo mínimo para os preços $(w_i, r_i)$ não pode ser maior que o custo de usar a cesta $(K^*, L^*)$ a esses preços).

Ponderando:

\[ \lambda C(w_1, r_1, q) + (1-\lambda) C(w_2, r_2, q) \leq \lambda(w_1 L^* + r_1 K^*) + (1-\lambda)(w_2 L^* + r_2 K^*) \]

\[ = [\lambda w_1 + (1-\lambda)w_2] L^* + [\lambda r_1 + (1-\lambda) r_2] K^* = \bar{w} L^* + \bar{r} K^* = C(\bar{w}, \bar{r}, q) \]

A última igualdade vale porque $(K^*, L^*)$ é o minimizador para os preços $(\bar{w}, \bar{r})$, e portanto $\bar{w} L^* + \bar{r} K^* = C(\bar{w}, \bar{r}, q)$. Logo:

\[ C(\bar{w}, \bar{r}, q) \geq \lambda C(w_1, r_1, q) + (1-\lambda) C(w_2, r_2, q) \qquad \blacksquare \]

(c) A concavidade de $C$ nos preços dos insumos tem uma interpretação econômica elegante: quando o preço de um insumo sobe, a firma o substitui parcialmente por insumos mais baratos. Por isso, o custo cresce menos que proporcionalmente ao aumento de preço — o aumento efetivo do custo é amortecido pelo ajuste da composição de insumos. Em termos formais, isso implica $\partial^2 C / \partial w^2 \leq 0$, o que é equivalente a $\partial L^c / \partial w \leq 0$: a demanda condicional por trabalho é não crescente em seu próprio preço (equivalente à "lei da demanda" para demandas condicionadas). Assim, a concavidade da função custo nos preços é a contraparte formal e precisa da ideia intuitiva de que firmas respondem racionalmente a mudanças nos preços dos insumos.

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