Soluções dos Exercícios — Capítulo 10¶
✏️ Exercício 10.1¶
Solução.
(a) Com \(q = 10K^{0,3}L^{0,7}\):
(b) \(\frac{\partial^2 q}{\partial K^2} = 3(-0{,}7)K^{-1,7}L^{0,7} = -2{,}1K^{-1,7}L^{0,7} < 0\) ✓
\(\frac{\partial^2 q}{\partial L^2} = 7(-0{,}3)K^{0,3}L^{-1,3} = -2{,}1K^{0,3}L^{-1,3} < 0\) ✓
(c) \(TMST_{L,K} = \frac{PMg_L}{PMg_K} = \frac{7K^{0,3}L^{-0,3}}{3K^{-0,7}L^{0,7}} = \frac{7}{3}\frac{K}{L}\)
Ao longo de uma isoquanta, quando \(L\) aumenta, \(K\) diminui, logo \(K/L\) diminui e a TMST decresce. ✓
(d) \(\alpha + \beta = 0{,}3 + 0{,}7 = 1\): rendimentos constantes de escala.
(e) Para Cobb-Douglas, \(\sigma = 1\) sempre (por definição da forma funcional). Confirmação: \(\sigma = \frac{d\ln(K/L)}{d\ln(TMST)} = \frac{d\ln(K/L)}{d\ln(3L/(7K))} = 1\), pois \(\ln(TMST) = \ln(3/7) + \ln(L/K)\), e a relação é linear com coeficiente 1.
✏️ Exercício 10.2¶
Solução.
(a) A forma CES geral é \(q = [\delta K^\rho + (1-\delta)L^\rho]^{\gamma/\rho}\). Comparando com \(q = [0{,}5K^{-1} + 0{,}5L^{-1}]^{-1}\):
\(\delta = 0{,}5\), \(\rho = -1\), \(\gamma = 1\) (pois o expoente externo é \(\gamma/\rho = 1/(-1) = -1\)).
(b) \(\sigma = \frac{1}{1-\rho} = \frac{1}{1-(-1)} = \frac{1}{2}\).
(c) \(q(tK, tL) = [0{,}5(tK)^{-1} + 0{,}5(tL)^{-1}]^{-1} = [t^{-1}(0{,}5K^{-1} + 0{,}5L^{-1})]^{-1} = t \cdot q(K,L)\).
Rendimentos constantes de escala (\(\gamma = 1\)). ✓
(d) Com \(\sigma = 1/2 < 1\), as isoquantas são mais curvas que as Cobb-Douglas (\(\sigma = 1\)), aproximando-se da forma em "L" dos complementos perfeitos. A substituição entre K e L é mais difícil: uma mudança de 1% nos preços relativos induz apenas 0,5% de mudança na razão K/L.
✏️ Exercício 10.3¶
Solução.
(a) No ótimo, \(2K = 3L\), logo \(K/L = 3/2\). A firma usa 3 unidades de capital para cada 2 de trabalho.
(b) Para \(q = 60\): \(2K = 60 \implies K = 30\) e \(3L = 60 \implies L = 20\). Verificação: \(\min\{60, 60\} = 60\). ✓
(c) Se \(K = 30\) e dobramos \(L\) de 20 para 40: \(q = \min\{60, 120\} = 60\). O produto não muda. O produto marginal do trabalho é zero quando \(3L > 2K\). Intuitivamente, sem máquinas adicionais, trabalhadores extras ficam ociosos — o capital é o gargalo.
Interpretação econômica: A Leontief modela processos produtivos com proporções fixas (como uma linha de montagem com uma máquina por operador). Não há substituição entre fatores, e o excesso de qualquer fator é puro desperdício.
✏️ Exercício 10.4¶
Solução.
(a) \(\alpha + \beta = 0{,}6 + 0{,}8 = 1{,}4 > 1\): rendimentos crescentes de escala.
(b) A elasticidade de escala é \(e = \alpha + \beta = 1{,}4\). Se todos os insumos aumentam em 1%, o produto aumenta em 1,4%.
(c) \(q(2K, 2L) = (2K)^{0,6}(2L)^{0,8} = 2^{0,6+0,8} q = 2^{1,4} q \approx 2{,}64 q\). O produto mais que dobra.
(d) Os produtos marginais de cada fator são decrescentes (\(\alpha - 1 < 0\) e \(\beta - 1 < 0\)), significando que adicionar mais de um fator mantendo o outro fixo gera retornos decrescentes. Porém, quando ambos os fatores aumentam simultaneamente, há complementaridade: mais capital eleva a produtividade marginal do trabalho e vice-versa. Os rendimentos crescentes de escala emergem dessa interação, não do comportamento isolado de cada fator.
✏️ Exercício 10.5¶
Solução.
(a) \(A(t) = e^{0,02t}\), logo \(\dot{A}/A = 0{,}02 = 2\%\) ao ano.
(b) Pela contabilidade do crescimento: \(\hat{q} = \hat{A} + \alpha \hat{K} + \beta \hat{L}\):
(c) Decomposição:
| Fonte | Contribuição | % do total |
|---|---|---|
| Capital (\(0{,}4 \times 3\%\)) | 1,2% | 31,6% |
| Trabalho (\(0{,}6 \times 1\%\)) | 0,6% | 15,8% |
| PTF | 2,0% | 52,6% |
| Total | 3,8% | 100% |
(d) O progresso técnico é neutro no sentido de Hicks: \(A(t)\) multiplica ambos os fatores proporcionalmente, sem alterar a razão \(K/L\) ótima para dados preços. A TMST \(= (\alpha/\beta)(L/K)\) não depende de \(A\).
(e) Em \(t = 0\): \(A(0) = 1\), \(q(0) = 1 \times 100^{0,4} \times 200^{0,6}\).
\(100^{0,4} = e^{0,4 \ln 100} = e^{1,842} \approx 6{,}31\)
\(200^{0,6} = e^{0,6 \ln 200} = e^{3,178} \approx 23{,}99\)
\(q(0) \approx 6{,}31 \times 23{,}99 \approx 151{,}4\)
Em \(t = 10\): \(A(10) = e^{0,2} \approx 1{,}221\). \(K(10) = 100 \times 1{,}03^{10} \approx 134{,}4\). \(L(10) = 200 \times 1{,}01^{10} \approx 220{,}9\).
\(q(10) = 1{,}221 \times 134{,}4^{0,4} \times 220{,}9^{0,6} \approx 1{,}221 \times 7{,}61 \times 27{,}15 \approx 252{,}3\)
Crescimento total: \(252{,}3/151{,}4 - 1 \approx 66{,}6\%\) em 10 anos, consistente com \((1{,}038)^{10} - 1 \approx 45{,}3\%\). A diferença vem da aproximação contínua vs. discreta.
✏️ Exercício 10.6¶
Solução.
(a) Com \(f(K,L) = K^{0,3}L^{0,7}\):
(b) Verificação do Teorema de Euler:
O Teorema de Euler é verificado com igualdade, o que confirma que a função é homogênea de grau 1 (\(\alpha + \beta = 0{,}3 + 0{,}7 = 1\)) e apresenta rendimentos constantes de escala. Em geral, para uma função homogênea de grau \(\nu\), o Teorema de Euler estabelece que \(\mathrm{PMg}_K \cdot K + \mathrm{PMg}_L \cdot L = \nu \cdot f(K,L)\). Com \(\nu = 1\), recuperamos a identidade acima.
(c) Produtos marginais decrescentes:
Ambas as segundas derivadas são negativas, confirmando rendimentos marginais decrescentes para cada fator individualmente.
✏️ Exercício 10.7¶
Solução.
(a) \(f(K, L) = KL\)
Como \(t^2 > t\) para \(t > 1\): rendimentos crescentes de escala (a função é homogênea de grau 2).
(b) \(f(K, L) = K + L\)
Rendimentos constantes de escala (homogênea de grau 1, substitutos perfeitos com \(\sigma = \infty\)).
(c) \(f(K, L) = \min\{K, 2L\}\)
Rendimentos constantes de escala (Leontief com proporção fixa \(K/L = 2\)).
(d) \(f(K, L) = K^{0,4} L^{0,4}\)
Como \(t^{0,8} < t\) para \(t > 1\): rendimentos decrescentes de escala (\(\alpha + \beta = 0{,}8 < 1\)).
Resumo:
| Função | Grau de homogeneidade | Rendimentos de escala |
|---|---|---|
| \(KL\) | 2 | Crescentes |
| \(K + L\) | 1 | Constantes |
| \(\min\{K, 2L\}\) | 1 | Constantes |
| \(K^{0,4}L^{0,4}\) | 0,8 | Decrescentes |
✏️ Exercício 10.8¶
Solução.
A função CES com \(\delta = 0{,}5\) e \(\rho = -1\) é \(q = [0{,}5K^{-1} + 0{,}5L^{-1}]^{-1}\), com \(\sigma = 1/(1-\rho) = 1/2\).
(a) TMST com \(K = 10\), \(L = 20\)
Para a CES, \(\mathrm{TMST}_{L,K} = \dfrac{1-\delta}{\delta}\left(\dfrac{K}{L}\right)^{1-\rho}\).
Com \(\delta = 0{,}5\), \(\rho = -1\):
(b) Verificação da condição de mínimo de custo
Para minimizar custos, a firma deve satisfazer \(\mathrm{TMST}_{L,K} = w/r\):
Como \(\mathrm{TMST} = 0{,}25 \neq 0{,}6 = w/r\), a firma não está minimizando custos.
(c) Direção do ajuste
A condição de ótimo é \(\mathrm{TMST} = w/r\). Como \(\mathrm{TMST} = 0{,}25 < 0{,}6 = w/r\), a TMST está abaixo da razão de preços. Isso significa que o capital está "barato demais" em relação ao trabalho na margem: a firma deveria aumentar K (substituindo trabalho por capital) até que a TMST suba e se iguale a \(w/r = 0{,}6\). Na nova combinação ótima, \(K/L\) será maior que \(10/20 = 0{,}5\).
No ótimo, \(\mathrm{TMST} = (K/L)^2 = 0{,}6\), portanto \(K/L = \sqrt{0{,}6} \approx 0{,}775\).
(d) Elasticidade de substituição
Com \(\sigma = 0{,}5 < 1\), capital e trabalho são mais complementares do que na Cobb-Douglas. Uma variação de 1% na razão de preços \(w/r\) induz apenas 0,5% de variação na razão capital-trabalho \(K/L\) — a tecnologia impõe relativa rigidez na proporção de insumos.
✏️ Exercício 10.9¶
Solução.
(a) Tempo para dobrar o produto com insumos fixos
Com insumos fixos \(\bar{K}\) e \(\bar{L}\), o produto é \(q(t) = A(t) \cdot \bar{K}^{0,4}\bar{L}^{0,6}\). Se \(A\) cresce à taxa constante de \(g_A = 3\%\) ao ano, então \(A(t) = A(0) e^{0,03t}\) e o produto cresce à mesma taxa de 3% ao ano.
O produto dobra quando \(e^{0,03t} = 2\), ou seja:
Regra de 70: \(t \approx 70/3 \approx 23{,}3\) anos — muito próxima do valor exato.
(b) Comparação com os dados brasileiros
Se \(A\) cresce 3% ao ano com insumos fixos, o produto também cresce 3% ao ano. Os dados mostram crescimento de produtividade de ~1,9% ao ano entre 2000 e 2023. A diferença entre 3% (crescimento potencial se insumos fossem fixos) e 1,9% (crescimento observado da produtividade por hectare) não é inconsistência — reflete que os insumos também cresceram. Em particular, a mecanização agrícola (aumento de \(K\)) e a intensificação do uso de fertilizantes e agroquímicos (insumos intermediários) elevaram a produtividade, mas como esses insumos também aumentaram, apenas parte do crescimento de 1,9% é atribuível ao \(A\) puro.
Uma decomposição formal exigiria isolar o efeito de cada insumo, exatamente como na contabilidade de Solow (Seção 10.6).
(c) Expansão extensiva vs. intensiva
A expansão expressiva da área plantada (de 13,6 para 44,1 milhões de hectares entre 2000 e 2023) indica predominância da expansão extensiva — produzir mais adicionando mais terra (insumo). A produtividade crescendo modestamente (1,9% ao ano) indica que a expansão do produto foi liderada pela quantidade de terra, não apenas pela PTF.
Isso não é evidência de rendimentos crescentes ou decrescentes de escala em sentido estrito — é simplesmente acumulação do fator terra. Em termos da função de produção, a firma (setor agrícola) moveu-se para uma isoquanta mais alta adicionando mais \(K\) (terra + maquinário), não apenas por deslocamento da função (\(A\) maior). Os rendimentos de escala dizem respeito à variação proporcional de todos os insumos — o que não é o que ocorreu aqui, já que terra cresceu muito mais que trabalho.
✏️ Exercício 10.10¶
Solução.
(a) Caminho de expansão linear para funções homotéticas
Seja \(f(K, L) = g(h(K, L))\) com \(h\) homogênea de grau 1 e \(g' > 0\). A condição de mínimo de custo é:
Por regra da cadeia: \(\partial f/\partial L = g'(h) \cdot h_L\) e \(\partial f/\partial K = g'(h) \cdot h_K\). Logo:
Como \(h\) é homogênea de grau 1, pelo Teorema de Euler: \(h_K(\lambda K, \lambda L) = h_K(K,L)\) e \(h_L(\lambda K, \lambda L) = h_L(K,L)\) (os produtos marginais de funções homogêneas de grau 1 são homogêneos de grau 0). Portanto, \(\mathrm{TMST}_{L,K}\) depende apenas de \(K/L\).
A condição de ótimo \(\mathrm{TMST}_{L,K}(K/L) = w/r\) determina univocamente a razão ótima \((K/L)^* = \phi(w/r)\), que é constante para quaisquer preços fixos \((w, r)\) e para qualquer nível de produto. O locus de combinações ótimas é, portanto, a reta \(K = \phi(w/r) \cdot L\) — um raio a partir da origem. \(\blacksquare\)
(b) Forma separável da função de custo
No raio ótimo, \(K = \phi \cdot L\), podemos expressar o custo como:
Para atingir nível de produto \(q = g(h(K,L))\) com \(K = \phi L\):
Substituindo:
O custo se separa: \(C = c(w,r) \cdot g^{-1}(q)\). Isso implica que o custo marginal é \(\partial C/\partial q = c(w,r) \cdot (g^{-1})'(q)\) e o custo médio é \(C/q = c(w,r) \cdot g^{-1}(q)/q\) — ambos com a mesma estrutura multiplicativa entre preços e quantidade.
(c) Verificação para Cobb-Douglas com CRS
Com \(f(K,L) = K^{\alpha}L^{1-\alpha}\) e CRS (\(\alpha + (1-\alpha) = 1\)), a função já é homogênea de grau 1 (portanto \(g = \text{identidade}\) e \(h = f\)).
Condição de ótimo: \(\mathrm{TMST} = \frac{(1-\alpha)K}{\alpha L} = w/r \implies K/L = \frac{\alpha w}{(1-\alpha)r} \equiv \phi\).
Custo com \(K = \phi L\):
Para atingir produto \(q\): \(q = (\phi L)^{\alpha} L^{1-\alpha} = \phi^{\alpha} L\), logo \(L = q/\phi^{\alpha}\).
Confirmamos a forma separável \(C = c(w,r) \cdot q\), com \(g^{-1}(q) = q\) (custo linear no produto, ou seja, custo médio constante — consequência direta dos rendimentos constantes de escala). \(\blacksquare\)