Soluções dos Exercícios — Capítulo 9d¶
✏️ Exercício 9d.1¶
Solução.
Dados: \(\theta_H = 3\), \(\theta_L = 1\), \(c(e, \theta) = e^2/(2\theta)\).
No equilíbrio separador, firmas pagam \(w = \theta\) para o tipo identificado. Tipo L escolhe \(e_L = 0\) (salário 1); tipo H escolhe \(e_H = e^*\) (salário 3).
IC do tipo L (não imitar H): \(1 - 0 \geq 3 - (e^*)^2/(2 \times 1)\)
IC do tipo H (não imitar L): \(3 - (e^*)^2/(2 \times 3) \geq 1\)
Equilíbrio separador menos custoso: \(e^* = 2\).
Payoffs:
- Tipo H: \(3 - 4/6 = 3 - 2/3 = 7/3 \approx 2{,}33\).
- Tipo L: 1.
Comparação com \(\theta_H = 2\) (do Exercício Resolvido): \(e^* = \sqrt{2}\), payoff do tipo H = \(2 - (\sqrt{2})^2/(2 \times 2) = 2 - 1/2 = 3/2 = 1{,}5\).
Com \(\theta_H = 3\): (i) o sinal necessário é maior (\(e^* = 2\) vs. \(\sqrt{2}\)), porque a diferença de produtividade é maior e o tipo L tem mais incentivo para imitar; (ii) o custo social da sinalização é maior em valor absoluto (\(4/6 = 0{,}67\) vs. \(1/2 = 0{,}5\)), mas menor em fração do salário; (iii) o tipo H captura mais da diferença de produtividade (gap produtividade = 2, custo = 0,67, captura líquida = 1,33).
Interpretação econômica: Quanto maior a diferença de produtividade entre tipos, mais custosa a sinalização necessária para separar — mas o retorno líquido também é maior. A eficiência social depende do trade-off entre o custo da sinalização e o ganho informacional para os empregadores.
✏️ Exercício 9d.2¶
Solução.
O vendedor sabe se o carro é limão (0) ou bom (10). Preço fixo: 6. O vendedor pode dizer "bom" ou "limão".
Não existe equilíbrio em que o comprador acredita no vendedor. Eis o motivo:
Se o comprador acredita: "bom" → compra, "limão" → não compra.
- Vendedor com carro bom: diz "bom" (vende por 6, que é menos que 10 mas é receita positiva). ✓
- Vendedor com limão: diz "bom" (vende por 6, obtendo 6 > 0). Desvia!
O vendedor de limão sempre mente. Logo, "bom" é dito por ambos os tipos, e a mensagem não transmite informação. O comprador racional ignora a mensagem.
Equilíbrio: Babbling equilibrium — ambos os tipos dizem "bom" (ou qualquer coisa), o comprador ignora e decide com base nas priors. Com \(\Pr(\text{bom}) = 0{,}5\):
O comprador não compra (valor esperado 5 < preço 6).
Isso é um caso de cheap talk não crível: como falar é gratuito e os incentivos do vendedor são óbvios (sempre quer vender), a comunicação não transmite informação. Para que a sinalização funcione, ela precisa ser custosa de forma diferencial entre tipos (como no modelo de Spence).
✏️ Exercício 9d.3¶
Solução.
Dados: 60% baixo risco (custo 1.000), 40% alto risco (custo 5.000).
Prêmio atuarialmente justo para a média:
Quem compra a \(P = 2600\)?
- Alto risco: custo esperado 5.000 > 2.600 → compra (ótimo negócio).
- Baixo risco: custo esperado 1.000 < 2.600 → não compra (paga mais do que vale).
Apenas alto risco compra → seleção adversa.
Prêmio de equilíbrio: Se só alto risco compra, o custo da pool é 5.000. O prêmio de equilíbrio é \(P = 5000\). Verifica: alto risco compra (justo); baixo risco não compra (5.000 >> 1.000). ✓
Existe equilíbrio com ambos os tipos? Precisaria \(P \leq 1000\) (para baixo risco aceitar). Mas \(P = 1000\) gera custo médio \(0{,}6 \times 1000 + 0{,}4 \times 5000 = 2600 > 1000\). A seguradora teria prejuízo. Não existe equilíbrio pooling viável.
Resultado: o mercado colapsa para baixo risco (desaparece), e alto risco paga prêmio alto. É o mecanismo de Akerlof (1970) aplicado a seguros.
Interpretação econômica: O mercado brasileiro de planos de saúde individuais sofre desse problema. Antes da regulação da ANS (Lei 9.656/1998), planos individuais eram caros e cobriam predominantemente pessoas de alto risco. A obrigatoriedade de coberturas mínimas e a proibição de diferenciação excessiva por idade são respostas regulatórias ao problema de seleção adversa.
✏️ Exercício 9d.4¶
Solução.
(a) Bônus por desempenho de professores (Ceará): O programa vincula remuneração ao desempenho dos alunos em avaliações externas (como o SPAECE). Isso mitiga moral hazard ao alinhar os incentivos do professor (agente) com os do sistema educacional (principal). O professor que se esforça mais gera melhores resultados e recebe compensação. O mecanismo é análogo a um contrato por desempenho (\(w = w_0 + \alpha \cdot q\)), onde \(q\) é observável (notas dos alunos).
Limitações: risco de teaching to the test (otimizar a métrica, não o aprendizado); multitarefa (Holmström, 1991) — se apenas matemática e português são medidos, outras dimensões do ensino são negligenciadas.
(b) DPVAT com franquia: O seguro obrigatório de veículos cobria danos a terceiros. A franquia (participação do segurado no custo) mitiga moral hazard ao impor cost-sharing: se o segurado arca com parte do custo, tem incentivo para dirigir com mais cuidado. Sem franquia, o seguro total eliminaria incentivos à prudência.
Formalmente: A franquia transforma o contrato de seguro total (\(w_R = 0\) → sem incentivo) em seguro parcial (\(w_R = -\text{franquia}\) → incentivo preservado).
(c) Stock options em empresas da B3: Opções de ações alinham o interesse do executivo (agente) com o dos acionistas (principal). O executivo se beneficia quando o preço da ação sobe, incentivando decisões que maximizam valor de longo prazo. O mecanismo funciona como um contrato \(w = w_0 + \beta \cdot \max(S - K, 0)\), onde \(S\) é o preço da ação e \(K\) o strike.
Limitações: manipulação de resultados de curto prazo para inflar o preço; repricing de opções quando o preço cai (eliminando o incentivo negativo); exposição a risco de mercado (preço pode cair por fatores alheios ao esforço do executivo), violando o princípio de informatividade.
Interpretação econômica: Todos os três mecanismos seguem o princípio básico do principal-agente: tornar a remuneração contingente em resultados observáveis que são correlacionados com o esforço. O trade-off central é entre incentivos (alta variabilidade salarial) e seguro (baixa variabilidade), dado que o agente é avesso ao risco.
✏️ Exercício 9d.5¶
Solução.
Dados: carros bons valem 12.000, limões valem 4.000, fração de bons = \(\lambda\), valor de reserva do vendedor = 0,9 do valor.
(a) O valor esperado para o comprador se acredita na proporção \(\lambda\):
O comprador aceita pagar até \(P^{\max}(\lambda) = 4000 + 8000\lambda\).
(b) Para que um carro bom seja vendido, o preço deve ser pelo menos o valor de reserva do vendedor: \(P \geq 0{,}9 \times 12000 = 10800\). Isso exige:
Para que um limão seja vendido: \(P \geq 0{,}9 \times 4000 = 3600\), ou seja, \(4000 + 8000\lambda \geq 3600\), que é sempre satisfeito (pois \(\lambda \geq 0\)).
Conclusão:
- Se \(\lambda \geq 0{,}85\): ambos os tipos são vendidos. O preço de equilíbrio pode ser \(P = P^{\max}(\lambda)\).
- Se \(\lambda < 0{,}85\): vendedores de carros bons não aceitam o preço que o comprador está disposto a pagar. Apenas limões são vendidos. O preço de equilíbrio com apenas limões: o comprador sabe que só há limões, então \(V^e = 4000\). O vendedor aceita se \(4000 \geq 3600\). ✓ Equilíbrio com apenas limões existe para qualquer \(\lambda\).
(c) Com \(\lambda = 0{,}6\):
Valor de reserva do vendedor de carro bom: 10.800 > 8.800. Logo, vendedores de carros bons não vendem. O mercado colapsa para apenas limões ao preço de até 4.000.
Perda de bem-estar: Existem \(\lambda = 0{,}6\) de carros bons cujos donos valorizam em 10.800 e compradores valorizam em 12.000. Essas transações não ocorrem — pura perda de eficiência gerada pela assimetria informacional. O excedente potencial não realizado por veículo bom é \(12000 - 10800 = 1200\), multiplicado pela proporção 0,6 de carros bons. A informação assimétrica destrói valor que beneficiaria ambas as partes.
✏️ Exercício 9d.6¶
Solução.
(a) Banco e crédito pessoal — Seleção adversa. A assimetria existe antes do contrato: tomadores de alto risco de inadimplência sabem disso melhor do que o banco. A taxa uniforme é atrativa exatamente para quem tem menor probabilidade de pagar — que é quem mais se candidata. O banco não está observando uma ação pós-contratual; está atraindo desproporcionalmente os tipos ruins antes de firmar o empréstimo.
(b) Gerente com salário fixo — Moral hazard. O contrato está firmado; o problema surge depois, quando o gerente decide como alocar seu tempo. O salário fixo elimina o incentivo a esforçar-se pois não há diferença no pagamento entre alto e baixo esforço. Não há ocultação de informação pré-contratual relevante aqui — o problema é de ação oculta.
(c) Motoristas e seguro de automóvel — Moral hazard (predominante). O comportamento mais arriscado surge após a contratação do seguro, em resposta ao incentivo criado pelo contrato (custo marginal de acidentes reduzido). Pode haver também seleção adversa (motoristas mais descuidados buscam seguro com mais avidez), mas o mecanismo descrito — mudança de comportamento depois de ter seguro — é moral hazard.
(d) Plano de saúde coletivo e funcionários doentes — Seleção adversa. A adesão ao plano é uma decisão pré-contratual: funcionários que sabem que são mais doentes têm mais incentivo para aderir. A empresa observa o pool resultante ser mais custoso do que a população geral — mas esse é o produto da autosseleção, não de comportamento pós-contratual.
(e) Crédito imobiliário subsidiado e inadimplentes futuros — Seleção adversa (com elemento de moral hazard). A seleção adversa é o mecanismo primário: compradores que antecipam sua incapacidade de pagamento têm mais incentivo para aproveitar o subsídio (taxa baixa + expectativa de renegociação ou perdão). O elemento de moral hazard aparece na decisão de pagamento após a concessão: o subsídio pode reduzir o esforço para honrar a dívida (especialmente se há expectativa de renegociação).
Síntese da distinção operacional:
| Pergunta diagnóstica | Resposta positiva → |
|---|---|
| A assimetria existe antes do contrato ser firmado? | Seleção adversa |
| O comportamento problemático surge após o contrato? | Moral hazard |
| A assimetria é sobre características do agente? | Seleção adversa |
| A assimetria é sobre ações do agente? | Moral hazard |
✏️ Exercício 9d.7¶
Solução.
Dados: \(\theta_H = 4\), \(\theta_L = 1\), \(c(e, \theta) = e/\theta\), \(p = 0{,}5\).
(a) Equilíbrio separador de menor custo:
Tipo L escolhe \(e_L = 0\) (salário 1); tipo H escolhe \(e_H = e^*\) (salário 4).
IC do tipo L (não imitar H): \(1 - 0 \geq 4 - e^*/1 \implies e^* \geq 3\)
IC do tipo H (não imitar L): \(4 - e^*/4 \geq 1 \implies e^* \leq 12\)
Equilíbrio separador de menor custo: \(e^* = 3\).
Payoffs: tipo H obtém \(4 - 3/4 = 4 - 0{,}75 = 3{,}25\); tipo L obtém 1.
(b) Equilíbrio pooling em \(e = 0\):
Se ambos escolhem \(e = 0\), o salário é a produtividade esperada:
Para que esse pooling seja equilíbrio, nenhum tipo deve desviar para \(e > 0\).
Crenças off-path necessárias: se o receptor observar \(e > 0\), deve acreditar que é o tipo L. Com essa crença, o salário para \(e > 0\) é 1.
Verificação — Tipo H não desvia: Para qualquer \(e > 0\), o salário pós-desvio é 1 (pela crença off-path pessimista). O payoff de desviar é \(1 - e/4 < 1 < 2{,}5\). ✓ Não desvia.
Verificação — Tipo L não desvia: Payoff de desviar é \(1 - e/1 = 1 - e < 2{,}5\) para \(e > 0\). ✓ Não desvia.
O pooling em \(e = 0\) é um PBE sustentado pelas crenças off-path pessimistas \(\mu(\theta_L \mid e > 0) = 1\).
(c) Critério de Dominância Intuitiva de Cho e Kreps:
O critério questiona: existe algum \(e > 0\) tal que, independentemente da crença do receptor (desde que seja crença racional), o desvio nunca seria lucrativo para o tipo L, mas poderia ser lucrativo para o tipo H?
Considere o tipo H desviando para \(e = 3\). Se o receptor acreditar que é o tipo H (crença mais favorável), o salário é 4. Payoff do desvio para tipo H: \(4 - 3/4 = 3{,}25 > 2{,}5\). ✓ O tipo H ganha com o desvio.
O tipo L nunca se beneficia de \(e = 3\): mesmo com salário 4, o payoff seria \(4 - 3/1 = 1 < 2{,}5\). O tipo L jamais desviaria para \(e = 3\), independentemente das crenças.
Portanto, o receptor deveria atribuir crença 1 ao tipo H após observar \(e = 3\), pagando salário 4. O tipo H desviaria. Logo, o equilíbrio pooling em \(e = 0\) não sobrevive ao Critério de Dominância Intuitiva.
(d) Bem-estar do tipo H:
- No separador (\(e^* = 3\)): payoff \(= 3{,}25\).
- No pooling (\(e = 0\)): payoff \(= 2{,}5\).
O tipo H prefere o equilíbrio separador (\(3{,}25 > 2{,}5\)). Intuitivamente: a diferença de produtividade é grande (\(\theta_H/\theta_L = 4\)), então o salário alto no separador compensa amplamente o custo da sinalização.
✏️ Exercício 9d.8¶
Solução.
Dados: baixo risco (BR): custo esperado 2.000, fração 0,7; alto risco (AR): custo esperado 10.000, fração 0,3. Utilidade: \(U = C \cdot \text{custo} - P\).
(a) Prêmios atuarialmente justos com informação perfeita:
- Baixo risco: \(P_L^{FB} = 1 \times 2000 = 2000\) (com cobertura total).
- Alto risco: \(P_H^{FB} = 1 \times 10000 = 10000\) (com cobertura total).
(b) Prêmio médio com contrato único e cobertura total:
Quem aceita (\(U \geq 0\), i.e., \(C \cdot \text{custo} \geq P\)):
- Baixo risco: \(1 \times 2000 - 4400 = -2400 < 0\). Não aceita.
- Alto risco: \(1 \times 10000 - 4400 = 5600 > 0\). Aceita.
Apenas alto risco compra. Lucro esperado por beneficiário: \(P_{\text{med}} - \text{custo}_{AR} = 4400 - 10000 = -5600 < 0\). A operadora tem prejuízo.
(c) Menu de contratos separador:
O contrato para o tipo alto \((P_H, C_H = 1)\) com \(P_H = 10000\) (prêmio atuarialmente justo).
O contrato para o tipo baixo \((P_L, C_L)\) deve satisfazer:
IR do tipo baixo: \(C_L \times 2000 - P_L \geq 0 \implies P_L \leq 2000 C_L\).
IC do tipo baixo (não preferir contrato do alto risco): \(C_L \times 2000 - P_L \geq 1 \times 2000 - 10000 = -8000\). Como \(C_L \times 2000 - P_L \geq 0 > -8000\) pela IR, essa IC é automaticamente satisfeita.
IC do tipo alto (não preferir contrato do baixo risco): \(C_H \times 10000 - P_H \geq C_L \times 10000 - P_L\).
Para que exista contrato para o tipo baixo aceitável (\(P_L \leq 2000 C_L\)) e que não atraia o tipo alto (\(P_L \geq 10000 C_L\)):
Isso só é satisfeito com \(C_L = 0\) e \(P_L = 0\) — o tipo baixo recebe seguro zero. Com cobertura zero, o tipo baixo fica sem proteção alguma, o que é equivalente a não ter plano.
Interpretação: Em um mercado competitivo com apenas dois tipos, o equilíbrio de Rothschild-Stiglitz implica que o tipo baixo recebe cobertura incompleta (distorção downward) para impedir que o tipo alto o imite. Quanto maior a diferença entre os tipos, maior a distorção no contrato do tipo baixo.
(d) Limite regulatório da ANS (variação 6x):
A restrição \(P_H / P_L \leq 6\) limita a diferenciação de prêmios. No nosso exemplo, \(P_H / P_L = 10000 / 2000 = 5 \leq 6\), então a restrição não vincula diretamente.
Contudo, quando os tipos são diferenciados por faixa etária (jovens vs. idosos), a razão 6x pode ser insuficiente para cobrir a diferença de custo real (que pode ser 10x ou mais). Isso força subsídio cruzado dos jovens para os idosos — o que é exatamente o objetivo regulatório (solidariedade intergeracional), mas reduz o incentivo dos jovens saudáveis a contratar planos individuais, agravando a seleção adversa no segmento jovem.
✏️ Exercício 9d.9¶
Solução.
Dados: \(u(w) = \sqrt{w}\), \(c(e_H) = 1{,}5\), \(c(e_L) = 0\), utilidade de reserva \(\bar{u} = 2\).
Com esforço alto: prob. bom = 0,8, ruim = 0,2. Com esforço baixo: prob. bom = 0,4, ruim = 0,6.
(a) Restrições IC e IR:
IC (esforço alto vs. baixo):
IR (agente prefere aceitar ao contrário):
(b) Contrato ótimo (minimização de custo para o principal):
O principal minimiza \(0{,}8 w_B + 0{,}2 w_R\) sujeito a IC e IR vinculantes (ambas ativas no ótimo com agente avesso ao risco).
Substituindo \(\sqrt{w_B} = x\) e \(\sqrt{w_R} = y\):
Do sistema IC e IR vinculantes: - \(x - y = 3{,}75\) (IC) - \(0{,}8x + 0{,}2y = 3{,}5\) (IR)
Da IC: \(x = y + 3{,}75\). Substituindo na IR:
Portanto: \(w_R^* = y^2 = 0{,}25\) e \(w_B^* = x^2 = 18{,}0625\).
Verificação:
- IC: \(\sqrt{18{,}0625} - \sqrt{0{,}25} = 4{,}25 - 0{,}5 = 3{,}75\). ✓
- IR: \(0{,}8 \times 4{,}25 + 0{,}2 \times 0{,}5 = 3{,}4 + 0{,}1 = 3{,}5\). ✓
Custo esperado para o principal (segundo melhor):
(c) Primeiro melhor (informação simétrica):
Com esforço observável, o principal paga um salário fixo \(w^{FB}\) tal que o agente aceite e exerça esforço alto:
IR: \(\sqrt{w^{FB}} - 1{,}5 = 2 \implies \sqrt{w^{FB}} = 3{,}5 \implies w^{FB} = 12{,}25\).
Custo esperado para o principal (primeiro melhor):
Custo de agência:
O custo de agência é 2,25 — o principal paga 2,25 a mais por causa da informação assimétrica sobre o esforço.
(d) Por que a aversão ao risco aumenta o custo de agência?
Com agente neutro ao risco (\(u(w) = w\)), o principal pode "vender a empresa" ao agente (contrato \(w = q - k\) com \(k\) fixo), tornando-o o reclamante residual. O agente internaliza completamente o impacto do esforço no resultado, exercendo esforço ótimo. O custo de agência é zero.
Com agente avesso ao risco (\(u = \sqrt{w}\)), esse contrato impõe risco excessivo ao agente — o que é inaceitável para ele (reduziria sua utilidade esperada abaixo da utilidade de reserva). Para compensá-lo pelo risco adicional que \(w_B \gg w_R\) impõe, o principal precisa pagar uma remuneração esperada maior do que no primeiro melhor. Esse excesso de remuneração é o custo de agência.
Em síntese: quanto mais avesso ao risco o agente, mais cara a "compra" de esforço via incentivos variáveis — e maior o custo de agência. Com aversão ao risco extrema (agente quer seguro total), o custo de agência pode ser proibitivo e o principal desiste de implementar esforço alto.
✏️ Exercício 9d.10¶
Solução.
Dados: \(\theta_H = 6\), \(\theta_M = 3\), \(\theta_L = 1\), proporções iguais (\(1/3\) cada), custo \(c(e, \theta) = e^2 / (2\theta)\).
(a) Equilíbrio separador completo de menor custo:
O tipo L escolhe \(e_L = 0\) (salário 1). O tipo M escolhe \(e_M = e_M^*\) (salário 3). O tipo H escolhe \(e_H = e_H^*\) (salário 6).
Separação entre L e M: O tipo L não deve querer imitar M:
O tipo M não deve querer imitar L:
Menor custo: \(e_M^* = 2\).
Separação entre M e H: O tipo M não deve querer imitar H:
Com \(e_M^* = 2\): \((e_H^*)^2 \geq 18 + 4 = 22 \implies e_H^* \geq \sqrt{22} \approx 4{,}69\).
O tipo H não deve querer imitar M:
Com \(e_M^* = 2\): \((e_H^*)^2 \leq 36 + 4 = 40 \implies e_H^* \leq \sqrt{40} \approx 6{,}32\).
Também é preciso verificar que o tipo L não queira imitar H:
Essa condição é automaticamente satisfeita por \(e_H^* = \sqrt{22}\).
E que o tipo H não queira imitar L:
Satisfeita.
Equilíbrio separador de menor custo: \(e_L = 0\), \(e_M^* = 2\), \(e_H^* = \sqrt{22} \approx 4{,}69\).
(b) Payoffs:
- Tipo L: \(1 - 0 = 1\).
- Tipo M: \(3 - (2)^2 / (2 \times 3) = 3 - 4/6 = 3 - 2/3 \approx 2{,}33\).
- Tipo H: \(6 - 22 / (2 \times 6) = 6 - 22/12 = 6 - 11/6 \approx 6 - 1{,}83 = 4{,}17\).
(c) Equilíbrio semi-separador (L e M fazem pooling):
Se L e M escolhem \(e = 0\), o salário no pool é \((1 + 3)/2 = 2\). O tipo H se separa com \(e_H = e^{**}\) (salário 6).
IC do tipo M (não imitar H): \(2 - 0 \geq 6 - (e^{**})^2 / (2 \times 3)\)
IC do tipo L (não imitar H): \(2 - 0 \geq 6 - (e^{**})^2 / (2 \times 1)\)
A restrição vinculante é a do tipo M: \(e^{**} = 2\sqrt{6} \approx 4{,}90\).
IC do tipo H (não imitar L/M): \(6 - (e^{**})^2 / (2 \times 6) \geq 2\)
Satisfeita com \(e^{**} = 2\sqrt{6} \approx 4{,}90 < 6{,}93\). ✓
Payoff do tipo M no semi-separador: \(2 - 0 = 2\).
Comparação: No separador completo, tipo M obtém \(2{,}33\); no semi-separador, obtém \(2\). O tipo M prefere o equilíbrio separador completo (\(2{,}33 > 2\)), porque no separador ele investe em sinalização e é recompensado com salário 3, enquanto no semi-separador ele faz pooling com o tipo L e recebe salário 2 — abaixo de sua produtividade.
Interpretação econômica: Com três tipos, o tipo intermediário enfrenta um dilema. Se faz pooling com o tipo baixo, evita o custo de sinalização mas perde rendimento (salário da média é menor que sua produtividade). Se se separa, investe em sinal mas é pago de acordo com sua produtividade. O resultado depende do custo relativo da sinalização e da distância entre os tipos. Quando os tipos são suficientemente espaçados (como neste caso), o equilíbrio separador completo tende a ser preferido pelos tipos intermediários e altos.