Soluções dos Exercícios — Capítulo 9c¶

✏️ Exercício 9c.1¶

Solução.

Considere o jogo bayesiano 2×2 genérico. O jogador 1 tem tipo $\theta \in \{H, L\}$ com $\Pr(H) = 0{,}5$. J1 escolhe $U$ ou $D$; J2 (sem tipo privado) escolhe $L$ ou $R$.

Método geral para encontrar o BNE:

Estratégia de J1: Uma estratégia contingente ao tipo: $s_1(\theta)$. Com 2 tipos e 2 ações, há 4 estratégias possíveis: (U,U), (U,D), (D,U), (D,D), onde $(a_H, a_L)$ denota a ação de cada tipo.
Melhor resposta de J2: Para cada estratégia de J1, J2 calcula o payoff esperado (ponderado pelas crenças $\Pr(H) = 0{,}5$) e escolhe $L$ ou $R$.
Consistência: Verificar que cada tipo de J1 está jogando sua melhor resposta dada a ação de J2.

Exemplo concreto (usando os payoffs do Exercício Resolvido 9c.1): incumbente com tipo forte/fraca, entrante decide se entra.

Com $\Pr(\theta_F) = 0{,}5$: $E[\pi_E] = 0{,}5(-2) + 0{,}5(4) = 1 > 0$. A entrante entra. BNE: (Entrar), com ambos os tipos da incumbente aceitando o resultado.

O ponto-chave é que J2 maximiza contra a distribuição sobre os tipos de J1, não contra um tipo específico. Isso é o que distingue jogos bayesianos de jogos com informação completa.

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✏️ Exercício 9c.2¶

Solução.

No leilão all-pay, ambos os licitantes pagam seus lances, mas apenas o maior lance ganha o objeto. Com $v_i \sim U[0,1]$:

BNE simétrico: Cada licitante joga $b(v) = v^2/2$.

Derivação: O licitante $i$ com valor $v$ maximiza:

\[ \max_b \; v \cdot \Pr(b > b(v_j)) - b = v \cdot \Pr(v_j < b^{-1}(b)) - b \]

Se $b(v) = \alpha v^2$, então $b^{-1}(b) = \sqrt{b/\alpha}$ e $\Pr(v_j < \sqrt{b/\alpha}) = \sqrt{b/\alpha}$.

CPO: $v \cdot \frac{1}{2\sqrt{\alpha b}} - 1 = 0 \implies b = v^2/(4\alpha)$. Para consistência: $\alpha v^2 = v^2/(4\alpha) \implies \alpha = 1/2$.

\[ \boxed{b(v) = v^2/2} \]

Receita esperada: Cada licitante paga $E[b(v_i)] = E[v^2/2] = 1/6$. Receita total (2 licitantes) = $2 \times 1/6 = 1/3$.

Comparação com primeiro preço: No leilão de primeiro preço com $N = 2$ e $v \sim U[0,1]$: $b(v) = v/2$, receita = $E[\max(v_1/2, v_2/2)] = 1/3$.

As receitas são idênticas (1/3), confirmando o Teorema da Equivalência de Receita.

Interpretação econômica: O leilão all-pay modela competições onde todos os participantes incorrem em custos (lobbying, P&D, competições esportivas). A equivalência de receita implica que o "desperdício" total é o mesmo que em um leilão convencional — mas a distribuição dos custos é muito diferente (todos pagam, não apenas o vencedor).

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✏️ Exercício 9c.3¶

Solução.

Com $V = 100$, $s_i = V + \varepsilon_i$, $\varepsilon_i \sim U[-20, 20]$, e 3 empresas lançando $b_i = s_i$:

O vencedor é quem tem o maior sinal: $s^{(1)} = \max(s_1, s_2, s_3)$.

Maldição do vencedor: Condicional a vencer, o vencedor é aquele cujo $\varepsilon_i$ é o maior dos três. O valor esperado de $\max(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3)$ com $\varepsilon \sim U[-20, 20]$ é:

\[ E[\varepsilon^{(1)}] = 20 \times \frac{N - 1}{N + 1} = 20 \times \frac{2}{4} = 10 \]

(usando a fórmula para a $k$-ésima estatística de ordem de $U[a,b]$: $E[\varepsilon^{(k)}] = a + (b-a) \times k/(N+1)$.)

O sinal do vencedor é, em média, $s^{(1)} = 100 + 10 = 110$. Se ele lançar $b = s = 110$, seu lucro esperado é:

\[ E[\pi | \text{vencer}] = V - s^{(1)} = 100 - 110 = -10 \]

O vencedor paga, em média, mais do que o valor verdadeiro: lucro esperado negativo.

Ajuste ótimo: O licitante racional deve ajustar seu lance para baixo, descontando a maldição do vencedor:

\[ b(s_i) = E[V | s_i = \max] = s_i - E[\varepsilon^{(1)} | \varepsilon_i = \max] \]

Com 3 licitantes e $U[-20, 20]$, o ajuste é $-10$: $b(s_i) = s_i - 10$.

Interpretação econômica: A maldição do vencedor é particularmente relevante em leilões de concessões no Brasil (petróleo, espectro, rodovias). Empresas que não ajustam seus lances para a informação revelada pela vitória tendem a pagar preços excessivos. O pré-sal brasileiro, leiloado sob o regime de partilha, é projetado em parte para mitigar esse problema.

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✏️ Exercício 9c.4¶

Solução.

Dados do problema:

J1: tipo $A$ (prob. 0,3) ou tipo $B$ (prob. 0,7); ações $\{X, Y\}$.
J2: sem tipo privado; ações $\{X, Y\}$.
Payoffs (J1, J2):
Tipo A: (X,X) = (4,1); (X,Y) = (2,3); (Y,X) = (1,2); (Y,Y) = (3,0)
Tipo B: (X,X) = (1,1); (X,Y) = (3,2); (Y,X) = (2,3); (Y,Y) = (0,1)

Passo 1 — Estratégias de J1 (contingentes ao tipo).

Uma estratégia de J1 é um par $(a_A, a_B)$ indicando a ação de cada tipo. Há 4 estratégias puras: (X,X), (X,Y), (Y,X), (Y,Y).

Passo 2 — Para cada estratégia de J1, calcule a melhor resposta de J2.

J2 não observa o tipo de J1, portanto maximiza o payoff esperado usando as crenças $(0{,}3, 0{,}7)$.

Se J1 joga (X,X): J2 recebe $E[u_2 | L] = 0{,}3 \cdot 1 + 0{,}7 \cdot 1 = 1$ com X, e $E[u_2 | R] = 0{,}3 \cdot 3 + 0{,}7 \cdot 2 = 2{,}3$ com Y. BR de J2: Y.
Se J1 joga (X,Y): J2 recebe $E[u_2 | X] = 0{,}3 \cdot 1 + 0{,}7 \cdot 3 = 2{,}4$ com X, e $E[u_2 | Y] = 0{,}3 \cdot 3 + 0{,}7 \cdot 2 = 2{,}3$ com Y. BR de J2: X.
Se J1 joga (Y,X): J2 recebe $E[u_2 | X] = 0{,}3 \cdot 2 + 0{,}7 \cdot 1 = 1{,}3$ com X, e $E[u_2 | Y] = 0{,}3 \cdot 0 + 0{,}7 \cdot 3 = 2{,}1$ com Y. BR de J2: Y.
Se J1 joga (Y,Y): J2 recebe $E[u_2 | X] = 0{,}3 \cdot 2 + 0{,}7 \cdot 1 = 1{,}3$ com X, e $E[u_2 | Y] = 0{,}3 \cdot 0 + 0{,}7 \cdot 1 = 0{,}7$ com Y. BR de J2: X.

Passo 3 — Verificar consistência: cada tipo de J1 deve jogar melhor resposta dada a ação de J2.

Candidato (X,X) com J2 jogando Y: - Tipo A com J2=Y: payoff de X é 2, de Y é 3. Tipo A prefere Y — inconsistente.

Candidato (X,Y) com J2 jogando X: - Tipo A com J2=X: payoff de X é 4, de Y é 1. Tipo A prefere X. ✓ - Tipo B com J2=X: payoff de X é 1, de Y é 2. Tipo B prefere Y — inconsistente.

Candidato (Y,X) com J2 jogando Y: - Tipo A com J2=Y: payoff de X é 2, de Y é 3. Tipo A prefere Y. ✓ - Tipo B com J2=Y: payoff de X é 3, de Y é 0. Tipo B prefere X — inconsistente.

Candidato (Y,Y) com J2 jogando X: - Tipo A com J2=X: payoff de X é 4, de Y é 1. Tipo A prefere X — inconsistente.

Resultado: Nenhum dos quatro candidatos de BNE puro é consistente. O único BNE neste jogo envolve estratégias mistas.

Lição: Em jogos bayesianos, a ausência de BNE puro é comum quando os interesses dos tipos conflitam — nesse jogo, o tipo A prefere X quando J2 joga X (incentivo oposto ao tipo B). O BNE misto exigiria encontrar probabilidades que tornem J2 indiferente, o que está além do escopo deste exercício.

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✏️ Exercício 9c.5¶

Solução.

Dados: $v_1 = 80$, $v_2 = 60$, leilão de segundo preço (Vickrey).

(a) Estratégia fracamente dominante $b_i = v_i$:

Pelo argumento da demonstração do texto (reproduzido brevemente): para o Jogador 1 com $v_1 = 80$:

Desvio para cima $b_1' > 80$: só muda o resultado quando $b_2 \in (80, b_1')$. Nesse intervalo, J1 passa a ganhar e paga $b_2 > 80 = v_1$ — lucro negativo. Prejudicial.
Desvio para baixo $b_1' < 80$: só muda o resultado quando $b_2 \in (b_1', 80)$. J1 perde quando poderia ganhar com lucro positivo ($v_1 - b_2 = 80 - b_2 > 0$). Prejudicial.

O argumento é idêntico para J2 com $v_2 = 60$. Portanto, $b_i = v_i$ é fracamente dominante para ambos.

(b) Vencedor e pagamento:

Com $b_1 = 80 > b_2 = 60$, o Jogador 1 ganha. O pagamento é o segundo maior lance:

\[ \text{Pagamento} = b_2 = 60 \]

(c) Excedente do vencedor:

\[ \pi_1 = v_1 - \text{Pagamento} = 80 - 60 = 20 \]

O Jogador 2 não paga nada e obtém excedente zero.

(d) Com preço de reserva $r = 70$:

Para ganhar, o licitante deve lançar acima de $\max(r, b_{-i})$. Com $b_1 = v_1 = 80 > r = 70$ e $b_2 = v_2 = 60 < r = 70$:

J2 efetivamente é excluído do leilão (seu valor está abaixo do preço de reserva).
J1 ganha, mas o preço mínimo passa a ser o preço de reserva: pagamento = $\max(r, b_2) = \max(70, 60) = 70$.
Excedente do vencedor: $\pi_1 = 80 - 70 = 10$.

Efeito do preço de reserva: O vendedor aumenta sua receita de 60 para 70, mas correria risco de não vender se $v_1 < r$. O preço de reserva ótimo de Myerson é positivo mesmo com valor de reserva zero para o vendedor — demonstração de que excluir licitantes pode aumentar a receita esperada.

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✏️ Exercício 9c.6¶

Solução.

Dados: $N = 4$ licitantes, $v_i \sim U[0, 200]$.

(a) Receita esperada no leilão de primeiro preço:

BNE simétrico: $b(v) = v \cdot (N-1)/N = v \cdot 3/4$.

O vencedor é quem tem o maior valor. A receita é o maior lance:

\[ E[R_{\text{1P}}] = E\left[\frac{3}{4} v^{(1)}\right] = \frac{3}{4} \cdot E[v^{(1)}] \]

Com $v \sim U[0, 200]$ e $N = 4$, a esperança da maior estatística de ordem é:

\[ E[v^{(1)}] = 200 \cdot \frac{N}{N+1} = 200 \cdot \frac{4}{5} = 160 \]

Portanto:

\[ E[R_{\text{1P}}] = \frac{3}{4} \times 160 = 120 \]

Alternativamente, usando a fórmula direta: $E[R] = \bar{v} \cdot (N-1)/(N+1) = 200 \cdot 3/5 = 120$.

(b) Receita esperada no leilão de segundo preço:

No leilão de segundo preço, a receita é o segundo maior valor (pois $b_i = v_i$):

\[ E[R_{\text{2P}}] = E[v^{(2)}] \]

Com $v \sim U[0, 200]$ e $N = 4$, a esperança da segunda estatística de ordem é:

\[ E[v^{(2)}] = 200 \cdot \frac{N-1}{N+1} = 200 \cdot \frac{3}{5} = 120 \]

(c) Verificação da equivalência:

\[ E[R_{\text{1P}}] = E[R_{\text{2P}}] = 120 \quad \checkmark \]

O Teorema da Equivalência de Receita é confirmado: ambos os formatos geram receita esperada de R$ 120.

(d) Custo de participação de R$ 10:

Se um licitante tem custo de participação $c = 10$, ele participa apenas se o excedente esperado supera o custo. O excedente esperado de um licitante com valor $v$ em leilão de segundo preço com $N$ competidores é $E[\pi(v)] = F(v)^{N-1}(v - E[v^{(1)} | v^{(1)} < v])$.

O licitante com valor muito baixo prefere não participar. Com $c = 10$ e $N = 4 \to 3$, a receita do leiloeiro cai para:

\[ E[R_{\text{3 licitantes}}] = 200 \cdot \frac{2}{4} = 100 \]

A redução de um participante diminui a receita em R$ 20. Isso ilustra por que leiloeiros frequentemente cobrem custos de participação — o benefício de ter mais licitantes supera o custo de subsidiá-los.

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✏️ Exercício 9c.7¶

Solução.

Dados: ANP leiloa bloco de petróleo, $V = 100$. Empresas grandes ($c_G = 20$, prob. 0,5) e pequenas ($c_P = 50$, prob. 0,5). Valor líquido: $v_G = V - c_G = 80$ e $v_P = V - c_P = 50$.

(a) BNE no leilão de primeiro preço:

Este é um leilão bayesiano com dois tipos assimétricos — não há BNE simétrico na forma $b(v)$ geral. Porém, com dois tipos discretos, o BNE pode ser calculado diretamente.

Seja $b_G$ o lance da empresa grande e $b_P$ o lance da pequena.

Empresa pequena: Se lança $b_P$, ganha se $b_P > b_G$. Mas como $v_P < v_G$, em equilíbrio a empresa grande lança mais alto. A empresa pequena ganha somente se a empresa grande não participa, ou se a pequena supera o lance da grande — o que só é racional se $b_P > b_G$ e o lucro líquido $v_P - b_P > 0$.

Resultado do BNE assimétrico:

Em equilíbrio, a empresa grande lança $b_G > b_P$ para garantir a vitória. A melhor resposta da empresa pequena é $b_P = v_P$ se lançar acima não for lucrativo:

\[ b_G = b_P + \varepsilon, \quad b_P < v_P = 50 \]

O BNE de equilíbrio de licitação em estratégias puras com dois tipos envolve a empresa grande lançando suficientemente mais que a pequena para garantir vitória. Em particular:

\[ b_G^* \in (b_P^*, v_G), \quad b_P^* = v_P = 50 \text{ (no caso limite)} \]

Na prática, a empresa grande lança logo acima de 50 para vencer com lucro máximo: $b_G^* \to 50^+$, obtendo quase todo o excedente $v_G - b_G \approx 30$.

(b) Formato que maximiza receita da ANP:

O leilão ótimo de Myerson para tipos assimétricos recomenda:

Preço de reserva: Excluir empresas com valor líquido abaixo de um limiar $\bar{v}$.
Discriminação: Tratar os tipos assimetricamente — exigir que a empresa grande lance mais alto (via "virtual valuation") para vencer.

A receita esperada do leilão ótimo supera a do leilão de primeiro preço simétrico porque explora a assimetria entre tipos.

(c) Regime de partilha versus bônus de assinatura:

No leilão de bônus de assinatura, as empresas oferecem um valor fixo. A maldição do vencedor e a incerteza sobre $V$ fazem com que as empresas sombreiem seus lances.

No regime de partilha de produção, as empresas oferecem uma percentagem $\alpha$ do excedente em óleo para a União. Esse formato tem uma propriedade importante: o risco de estimação errada de $V$ é compartilhado entre empresa e União. Se o bloco se revelar menos produtivo, a empresa paga menos (proporcionalmente). Isso reduz o incentivo para sombrear lances e pode levar a lances mais agressivos.

Comparação: Partilha de produção é mais robusta à maldição do vencedor (menor seleção adversa), mas cria desincentivos à exploração eficiente (o risco compartilhado reduz o upside da empresa). O formato atual da ANP combina bônus fixo com partilha — um compromisso entre extração de receita e eficiência exploratória.

(d) Comparação com o leilão ótimo de Myerson:

O leilão da ANP difere do leilão ótimo em vários aspectos:

Critérios múltiplos (bônus + programa exploratório + conteúdo local): o leilão ótimo maximiza uma única dimensão; múltiplos critérios complicam a análise de BNE.
Conteúdo local obrigatório: distorce a alocação para favorecer fornecedores brasileiros — uma preocupação política que o leilão de Myerson (puramente de receita) não captura.
Assimetria de informação sobre reservas: a ANP dispõe de dados sísmicos que empresas não têm igualmente — elemento do "linkage principle" de Milgrom-Weber.

Conclusão: O formato da ANP é um mecanismo de revelação direta parcial, com múltiplos objetivos (receita, desenvolvimento industrial, segurança energética), o que o afasta do leilão ótimo de receita puro. Essa é uma escolha consciente de política pública.

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✏️ Exercício 9c.8¶

Solução.

Dados: $N$ licitantes, $v_i \sim^{i.i.d.} F$ com densidade $f$ contínua, suporte $[0,1]$.

(a) Condição de primeira ordem para o BNE simétrico do leilão de primeiro preço:

Assuma um BNE simétrico crescente $b(v)$. O licitante com valor $v$ maximiza:

\[ \max_{b} \; (v - b) \cdot \Pr(\text{ganhar} | b) = (v - b) \cdot F\left(b^{-1}(b)\right)^{N-1} \]

Seja $G(b) = F(b^{-1}(b))^{N-1}$. Por simetria, se todos jogam $b(\cdot)$, a probabilidade de ganhar com lance $\beta$ é $F(b^{-1}(\beta))^{N-1}$.

Substituindo $\beta = b(v)$ e diferenciando com respeito a $v$ (usando que no ótimo o licitante com valor $v$ lança $b(v)$):

\[ \frac{d}{dv}\left[(v - b(v)) F(v)^{N-1}\right] = 0 \cdot (\ldots) + (v-b) \cdot (N-1)F(v)^{N-2}f(v) + F(v)^{N-1}(1 - b'(v)) = ? \]

A CPO (aplicando o envelope theorem ao problema do licitante) resulta na EDO:

\[ b'(v) \cdot F(v)^{N-1} + b(v) \cdot (N-1)F(v)^{N-2}f(v) = v \cdot (N-1)F(v)^{N-2}f(v) \]

Reescrevendo:

\[ \frac{d}{dv}\left[b(v) \cdot F(v)^{N-1}\right] = v \cdot (N-1)F(v)^{N-2}f(v) = \frac{d}{dv}\left[\int_0^v t(N-1)F(t)^{N-2}f(t)\,dt\right] \]

(b) Solução da EDO:

Integrando com condição de fronteira $b(0) = 0$:

\[ b(v) \cdot F(v)^{N-1} = \int_0^v t \cdot (N-1)F(t)^{N-2}f(t)\,dt \]

Integrando por partes:

\[ b(v) = \frac{\int_0^v t \cdot (N-1)F(t)^{N-2}f(t)\,dt}{F(v)^{N-1}} = v - \frac{\int_0^v F(t)^{N-1}\,dt}{F(v)^{N-1}} \]

O segundo termo é $E[v^{(N-1)} | v^{(N-1)} \leq v]$ — a esperança da maior estatística de ordem entre os $N-1$ outros licitantes, condicional a ser menor que $v$. Assim:

\[ \boxed{b(v) = E\left[\max_{j \neq i} v_j \;\middle|\; \max_{j \neq i} v_j \leq v\right]} \]

Interpretação: O licitante lança exatamente o que esperaria pagar no leilão de segundo preço — a esperança do segundo maior valor. Isso é a Equivalência de Receita em ação a nível individual.

(c) Demonstração da equivalência via envelope theorem:

Seja $\Pi(v)$ o payoff esperado de equilíbrio de um licitante com valor $v$ em qualquer mecanismo eficiente e individualmente racional. Pelo envelope theorem aplicado ao problema do licitante:

\[ \frac{d\Pi(v)}{dv} = F(v)^{N-1} \]

pois a derivada do payoff maximizado com respeito ao tipo é igual à probabilidade de ganhar (derivada parcial do payoff em relação ao tipo, avaliada na ação ótima). Integrando:

\[ \Pi(v) = \Pi(0) + \int_0^v F(t)^{N-1}\,dt \]

Com racionalidade individual: $\Pi(0) = 0$. Portanto, o payoff esperado de qualquer mecanismo eficiente é determinado apenas por $F$ — não depende das regras de pagamento. Pela condição de equilíbrio orçamentário (o que o licitante perde, o leiloeiro ganha):

\[ E[R] = E[v^{(1)}] - \sum_i E[\Pi(v_i)] = E[v^{(1)}] - N\int_0^1 \Pi(v) f(v)\,dv \]

Esta expressão depende apenas de $F$ e de $N$, não do formato do leilão. $\blacksquare$

(d) Hipóteses essenciais e contra-exemplos:

Hipótese	Papel	Contra-exemplo
IPV (valores privados independentes)	Garante que a estratégia ótima depende apenas do próprio valor	Leilão de petróleo (valor comum): lances dependem dos sinais dos outros; receita do 2º preço > 1º preço com valores afiliados (Milgrom-Weber, 1982)
Simetria	Garante que todos os licitantes usam a mesma função $b(v)$	Dois licitantes com distribuições distintas ($F_1 \neq F_2$): o leilão de 1º preço favorece o licitante "mais fraco" (que lança mais agressivamente), gerando receitas distintas
Risco-neutralidade	Garante que os licitantes maximizam valor esperado	Aversão ao risco: licitantes sombreiam menos no 1º preço (para reduzir o risco de perder), gerando mais receita do que o 2º preço
Eficiência ($b$ crescente, ganha quem tem maior valor)	Permite o argumento de envelope	Leilão de 1º preço com preço de reserva: o objeto pode não ser vendido mesmo com compradores com valores positivos — ineficiência que aumenta a receita esperada

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✏️ Exercício 9c.9¶

Solução.

(a) Interpretação como leilão all-pay:

O jogo é equivalente a um leilão all-pay com valores privados: o "lance" é o esforço $e_i$, o "prêmio" é $\theta_i$ (valor privado), e ambos os jogadores pagam seu lance independentemente de ganhar. A diferença em relação ao leilão all-pay padrão é que o prêmio é específico ao tipo (não um valor fixo), mas como cada jogador conhece seu próprio $\theta_i$, a análise é análoga.

(b) BNE simétrico:

Buscamos $e(\theta)$ crescente e diferenciável. O jogador $i$ com tipo $\theta$ escolhe esforço $e$ para maximizar:

\[ \max_e \; \theta \cdot \Pr(e > e(\theta_j)) - e = \theta \cdot \Pr(\theta_j < e^{-1}(e)) - e \]

Com $\theta_j \sim U[0,1]$, temos $\Pr(\theta_j < e^{-1}(e)) = e^{-1}(e)$.

Suponha $e(\theta) = \alpha \theta^2$. Então $e^{-1}(e) = \sqrt{e/\alpha}$.

O problema se torna:

\[ \max_e \; \theta \cdot \sqrt{e/\alpha} - e \]

CPO: $\theta \cdot \frac{1}{2\sqrt{\alpha e}} - 1 = 0 \implies e = \frac{\theta^2}{4\alpha}$.

Para consistência: $e(\theta) = \alpha \theta^2 = \frac{\theta^2}{4\alpha}$, logo $\alpha = 1/2$.

\[ \boxed{e(\theta) = \frac{\theta^2}{2}} \]

(c) Esforço total esperado e "desperdício":

O esforço esperado de cada jogador é:

\[ E[e(\theta)] = E\left[\frac{\theta^2}{2}\right] = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \]

O esforço total esperado (dois jogadores) é $2 \times 1/6 = 1/3$.

O valor esperado do prêmio para o vencedor é $E[\theta \cdot \mathbf{1}_{[\text{ganha}]}]$. Por simetria, cada jogador ganha com probabilidade 1/2 em média. O valor esperado do prêmio do vencedor é:

\[ E[\max(\theta_1, \theta_2)] \cdot 1 = \frac{2}{3} \]

Porém, o vencedor recebe $\theta_{\text{vencedor}}$, e o prêmio efetivo é $E[\max(\theta_1, \theta_2)] = 2/3$.

A "dissipação de rendas" é a razão entre esforço total e valor do prêmio: $(1/3)/(2/3) = 1/2$. Metade do valor do prêmio é dissipada em esforço — há desperdício de recursos, pois ambos os jogadores gastam esforço, mas apenas um obtém o prêmio.

(d) Aplicações:

Tournaments corporativos (Lazear e Rosen, 1981): Em competições por promoção, funcionários investem esforço (horas extras, projetos especiais) para vencer a "corrida". O modelo all-pay captura o fato de que todos incorrem em custos, mas apenas um recebe a promoção. A dissipação de rendas implica que o custo total do esforço dos funcionários pode exceder o prêmio salarial da promoção — gerando ineficiência organizacional.
Lobby político: Firmas que competem por regulação favorável investem em atividades de lobby (consultores, contribuições de campanha). O modelo prevê que o investimento total em lobby cresce com o valor da regulação e com o número de competidores, mas a maior parte desse investimento é socialmente desperdiçada (rent-seeking). Tullock (1980) formalizou essa ideia usando exatamente a estrutura de leilão all-pay.

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✏️ Exercício 9c.10¶

Solução.

Dados: $N = 2$, $v_i \sim U[0,1]$, $v_0 = 0$.

(a) Receita sem preço de reserva:

No leilão de segundo preço sem reserva, $b_i = v_i$ e a receita é o segundo maior valor:

\[ E[R_0] = E[v^{(2)}] = \frac{N-1}{N+1} = \frac{1}{3} \]

(b) Receita com preço de reserva $r$:

Com preço de reserva $r$, o objeto é vendido apenas se ao menos um licitante tem $v_i \geq r$. Há três casos:

Ambos $v_i < r$: Probabilidade $r^2$. Receita = 0 (objeto não vendido).
Exatamente um $v_i \geq r$: Probabilidade $2r(1-r)$. O vencedor paga $r$ (preço de reserva é o "segundo lance"). Receita = $r$.
Ambos $v_i \geq r$: Probabilidade $(1-r)^2$. Receita = $E[v^{(2)} | v^{(2)} \geq r]$.

Para o caso 3, com $v_i \sim U[0,1]$ condicionado em $v_i \geq r$:

\[ E[\min(v_1, v_2) | v_1, v_2 \geq r] = r + \frac{1-r}{3} = \frac{3r + 1 - r}{3} = \frac{2r + 1}{3} \]

A receita esperada total é:

\[ E[R(r)] = 0 \cdot r^2 + r \cdot 2r(1-r) + \frac{2r+1}{3} \cdot (1-r)^2 \]

\[ = 2r^2(1-r) + \frac{(2r+1)(1-r)^2}{3} \]

Expandindo e simplificando:

\[ E[R(r)] = 2r^2 - 2r^3 + \frac{(2r+1)(1 - 2r + r^2)}{3} \]

\[ = 2r^2 - 2r^3 + \frac{2r - 4r^2 + 2r^3 + 1 - 2r + r^2}{3} \]

\[ = 2r^2 - 2r^3 + \frac{1 - 3r^2 + 2r^3}{3} \]

\[ = 2r^2 - 2r^3 + \frac{1}{3} - r^2 + \frac{2r^3}{3} \]

\[ = r^2 - \frac{4r^3}{3} + \frac{1}{3} \]

(c) Preço de reserva ótimo:

CPO:

\[ \frac{dE[R]}{dr} = 2r - 4r^2 = 0 \implies 2r(1 - 2r) = 0 \]

As soluções são $r = 0$ (mínimo local) e $r = 1/2$. Verificando a CSO: $\frac{d^2 E[R]}{dr^2} = 2 - 8r$. Em $r = 1/2$: $2 - 4 = -2 < 0$. Máximo.

\[ \boxed{r^* = \frac{1}{2}} \]

(d) Ganho de receita:

\[ E[R(1/2)] = \frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 1/8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{3 - 2 + 4}{12} = \frac{5}{12} \]

Ganho em relação ao leilão sem reserva: $\frac{5/12 - 1/3}{1/3} = \frac{5/12 - 4/12}{4/12} = \frac{1/12}{4/12} = \frac{1}{4} = 25\%$.

O preço de reserva ótimo aumenta a receita esperada em 25% — um ganho substancial, obtido ao custo de ineficiência ocasional (25% de probabilidade de não vender o objeto).

(e) Conexão com Myerson:

O valor virtual com $v \sim U[0,1]$ é:

\[ \psi(v) = v - \frac{1-F(v)}{f(v)} = v - \frac{1-v}{1} = 2v - 1 \]

O leilão ótimo de Myerson exclui licitantes com valor virtual negativo: $\psi(v) < 0 \iff v < 1/2$. Com $v_0 = 0$, a condição $\psi(r^*) = v_0$ dá:

\[ 2r^* - 1 = 0 \implies r^* = \frac{1}{2} \]

Isso confirma que o preço de reserva ótimo encontrado no item (c) coincide exatamente com o do leilão ótimo de Myerson. O resultado é geral: para qualquer distribuição regular, o preço de reserva ótimo é o valor $r$ tal que $\psi(r) = v_0$ — ou seja, o valor virtual no preço de reserva iguala o valor de reserva do leiloeiro. $\blacksquare$

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