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Soluções dos Exercícios — Capítulo 8

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✏️ Exercício 8.1

Solução.

Par (A, B) — domínio dos ganhos:

Sob utilidade esperada com \(u\) côncava: \(u(500) > 0{,}5 u(1000) + 0{,}5 u(0)\) (aversão ao risco). O investidor prefere A (ganho certo).

Sob Teoria do Prospecto: a função valor é côncava para ganhos, reforçando a preferência por A. Além disso, o efeito certeza (sobreponderação de resultados certos) torna A ainda mais atrativa. Escolha: A.

Par (C, D) — domínio das perdas:

Sob utilidade esperada com \(u\) côncava: \(u(-500) > 0{,}5 u(-1000) + 0{,}5 u(0)\) em valor absoluto, mas como \(u\) é côncava, o agente preferiria C (perda certa). Porém, a Teoria do Prospecto prevê o contrário.

Sob Teoria do Prospecto: a função valor é convexa para perdas (busca por risco no domínio negativo). Logo, \(v(-500) < 0{,}5 v(-1000) + 0{,}5 v(0)\) em termos de utilidade do prospecto, e o agente prefere D (loteria com chance de evitar a perda). Esse é o efeito reflexão: aversão ao risco para ganhos, busca por risco para perdas.

Interpretação econômica: Esse padrão explica por que investidores seguram ações perdedoras (buscando risco) e vendem ações ganhadoras cedo (aversão ao risco) — o "efeito disposição" documentado por Shefrin e Statman (1985).

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✏️ Exercício 8.2

Solução.

Para ganhos: \(v(x) = x^{0,88}\). Para perdas: \(v(x) = -2{,}25(-x)^{0,88}\).

\[ v(100) = 100^{0,88} = 57{,}54 \]
\[ v(-100) = -2{,}25 \times 100^{0,88} = -2{,}25 \times 57{,}54 = -129{,}47 \]
\[ v(200) = 200^{0,88} = 105{,}93 \]
\[ v(-200) = -2{,}25 \times 200^{0,88} = -2{,}25 \times 105{,}93 = -238{,}34 \]

Verificação: \(|v(-100)| = 129{,}47 > 57{,}54 = v(100)\). ✓

A dor de perder R$ 100 (\(|{-129{,}47}|\)) é 2,25 vezes maior que o prazer de ganhar R$ 100 (57,54). Além disso, \(v(200)/v(100) = 1{,}84 < 2\): a sensibilidade marginal é decrescente para ganhos (concavidade). Analogamente, \(|v(-200)|/|v(-100)| = 1{,}84 < 2\): a sensibilidade também é decrescente para perdas (convexidade).

Interpretação econômica: A aversão à perda (\(\lambda = 2{,}25\)) é o parâmetro central da Teoria do Prospecto. Ela explica por que as pessoas rejeitam apostas com valor esperado positivo (como \(+110\) com 50% e \(-100\) com 50%) e por que negociações salariais são tão sensíveis a cortes nominais.

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✏️ Exercício 8.3

Solução.

(a) Com \(u(x) = x\), \(\beta = 0{,}70\), \(\delta = 0{,}99\):

Plano X (depósito hoje, retorno em 12 meses):

\[ U_0(X) = -100 + \beta \delta^{12} \times 150 = -100 + 0{,}70 \times 0{,}99^{12} \times 150 \]
\[ = -100 + 0{,}70 \times 0{,}8864 \times 150 = -100 + 93{,}07 = -6{,}93 \]

Plano Y (depósito em 6 meses, retorno em 18 meses):

\[ U_0(Y) = \beta\delta^6(-100) + \beta\delta^{18}(150) = 0{,}70 \times 0{,}99^6 \times (-100) + 0{,}70 \times 0{,}99^{18} \times 150 \]
\[ = 0{,}70 \times 0{,}9415 \times (-100) + 0{,}70 \times 0{,}8345 \times 150 = -65{,}90 + 87{,}62 = 21{,}72 \]

O consumidor prefere Y em \(t = 0\) (\(U_0(Y) = 21{,}72 > -6{,}93 = U_0(X)\)).

(b) Em \(t = 6\), o Plano Y exige depósito agora (imediato):

\[ U_6(Y) = -100 + \beta\delta^{12} \times 150 = -100 + 93{,}07 = -6{,}93 \]

A utilidade de Y avaliada em \(t = 6\) é negativa — o custo imediato domina. O consumidor provavelmente não adere quando chega o momento.

  • Agente sofisticado: Reconhece que seu "eu futuro" não aderirá ao Plano Y, e por isso pode buscar mecanismos de compromisso (como autorização prévia de débito automático em \(t = 6\)).
  • Agente ingênuo: Acredita que aderirá ao Plano Y quando chegar \(t = 6\), mas sistematicamente procrastina. Esse padrão se repete indefinidamente.

Interpretação econômica: Essa dinâmica é central para entender a baixa adesão voluntária à previdência complementar no Brasil. Programas como a Funpresp (com adesão automática desde 2013 para novos servidores federais) exploram a inércia para contornar o viés do presente.

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✏️ Exercício 8.4

Solução.

(i) Excesso de confiança: O consumidor, ao contratar o plano mensal, superestima a frequência futura de uso da academia. Ele projeta que irá 20 vezes por mês (custo de R$ 5/visita), mas na realidade vai apenas 4–5 vezes (custo efetivo de R$ 20–25/visita). Esse excesso de confiança sobre o autocontrole futuro é um viés documentado: as pessoas preveem que se comportarão de forma mais disciplinada do que efetivamente se comportam.

(ii) Viés do presente: O plano anual exige um pagamento imediato grande (R$ 960), enquanto o mensal exige apenas R$ 100 agora. O desconto quasi-hiperbólico faz com que o custo imediato de R$ 960 pareça desproporcionalmente alto, mesmo sendo mais barato no acumulado. O \(\beta < 1\) amplifica o custo presente relativamente ao futuro, levando o consumidor a preferir pagamentos menores e frequentes — mesmo que totalizem mais.

Interpretação econômica: DellaVigna e Malmendier (2006) mostram que academias lucram precisamente com essa combinação de vieses: cobram mensalidades de clientes que superestimam o próprio uso e subestimam o custo efetivo por visita. É um exemplo de empresa que explora vieses comportamentais na precificação.

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✏️ Exercício 8.5

Solução.

A adesão automática com opt-out (ii) provavelmente terá maior impacto. Justificativas:

  1. Viés do status quo: A maioria dos trabalhadores aceita o default. Evidência empírica (Madrian e Shea, 2001) mostra que a adesão sobe de ~49% (opt-in) para ~86% (opt-out). O subsídio fiscal exige ação do trabalhador, que pode ser impedida por procrastinação.

  2. Viés do presente: O subsídio fiscal tem benefício futuro (menor imposto na declaração), mas o custo (menor salário líquido hoje) é imediato. Com \(\beta < 1\), muitos trabalhadores procrastinam a adesão apesar do incentivo financeiro.

  3. Complexidade e inércia: Aderir a um plano com subsídio fiscal exige decisões ativas (escolher alíquota, fundo, etc.). A sobrecarga cognitiva pode levar à "paralisia por excesso de opções". O opt-out elimina essa fricção.

  4. Evidência empírica comparada: Chetty et al. (2014) mostram que mudanças automáticas em contribuições previdenciárias afetam 85% da população, enquanto subsídios fiscais afetam apenas os 15% de contribuintes mais atentos.

Interpretação econômica: O subsídio fiscal é a ferramenta correta se os agentes são racionais (modelo padrão). A adesão automática é superior se os agentes sofrem de viés do presente e inércia (modelo comportamental). A evidência favorece esmagadoramente a segunda hipótese.

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✏️ Exercício 8.6

Solução.

No Paradoxo de Allais, as loterias são:

  • \(A\): R$ 1 milhão com certeza
  • \(B\): R$ 5M com prob 0,10; R$ 1M com prob 0,89; R$ 0 com prob 0,01
  • \(C\): R$ 1M com prob 0,11; R$ 0 com prob 0,89
  • \(D\): R$ 5M com prob 0,10; R$ 0 com prob 0,90

O padrão observado é \(A \succ B\) e \(D \succ C\).

Sob UE com \(u(x)\): \(A \succ B\) implica:

\[ u(1M) > 0{,}10 u(5M) + 0{,}89 u(1M) + 0{,}01 u(0) \]
\[ 0{,}11 u(1M) > 0{,}10 u(5M) + 0{,}01 u(0) \tag{*} \]

\(D \succ C\) implica:

\[ 0{,}10 u(5M) + 0{,}90 u(0) > 0{,}11 u(1M) + 0{,}89 u(0) \]
\[ 0{,}10 u(5M) + 0{,}01 u(0) > 0{,}11 u(1M) \tag{**} \]

As inequações (\(*\)) e (\(**\)) são contraditórias. Logo, não existe \(u(\cdot)\) que represente essas preferências simultaneamente. O axioma violado é o da independência: adicionar ou remover uma consequência comum (aqui, os 0,89 de chance de R$ 1M) não deveria alterar a ordenação. \(\blacksquare\)

Interpretação econômica: O Paradoxo de Allais revela que os agentes sobrepesam a certeza (\(A\) é "certo") relativamente a probabilidades altas (\(B\) tem 0,89 de R$ 1M, quase certo). Isso viola a linearidade nas probabilidades que a UE exige.

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✏️ Exercício 8.7

Solução.

No Paradoxo de Ellsberg (duas cores), há duas urnas:

  • Urna A: 50 bolas vermelhas e 50 pretas (composição conhecida).
  • Urna B: 100 bolas, composição desconhecida.

Preferências observadas: apostar em vermelho da Urna A ≻ vermelho da Urna B, e preto da Urna A ≻ preto da Urna B.

Se o agente atribui probabilidade subjetiva \(q\) às bolas vermelhas na Urna B, então preferir A em vermelho implica \(0{,}5 > q\), e preferir A em preto implica \(0{,}5 > 1 - q\), ou seja, \(q > 0{,}5\). Contradição: \(q < 0{,}5\) e \(q > 0{,}5\) simultaneamente. Logo, não existe nenhuma probabilidade subjetiva \(q\) compatível com as preferências observadas. \(\blacksquare\)

O axioma violado é o axioma Sure-Thing Principle (P2) de Savage, que é a versão do axioma de independência para probabilidades subjetivas. As preferências de Ellsberg revelam aversão à ambiguidade: o agente prefere riscos conhecidos a incerteza genuína, independentemente da probabilidade subjetiva que atribua.

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✏️ Exercício 8.8

Solução.

No modelo de Fehr-Schmidt, a utilidade do respondedor ao receber oferta \(s\) (de um total \(S = 200\)) é:

\[ U_R(s) = s - \alpha_R \max\{(S - s) - s, 0\} - \beta_R \max\{s - (S - s), 0\} \]
\[ = s - \alpha_R \max\{200 - 2s, 0\} - \beta_R \max\{2s - 200, 0\} \]

(a) Para \(s \leq 100\) (respondedor recebe menos que metade), o termo de inveja domina:

\[ U_R(s) = s - 3(200 - 2s) = s - 600 + 6s = 7s - 600 \]

O respondedor aceita se \(U_R(s) \geq 0\) (rejeitar dá \(U_R = 0\)):

\[ 7s - 600 \geq 0 \implies s \geq 600/7 \approx 85{,}71 \]

Oferta mínima aceita: R$ 85,71 (≈ 42,9% do total).

(b) Com \(\alpha_R = \beta_R = 0\): \(U_R(s) = s\). O respondedor aceita qualquer \(s > 0\). Oferta mínima: R$ 0,01 (essencialmente zero).

(c) A diferença (R$ 85,71 vs. ~R$ 0) reflete a aversão à inequidade desvantajosa. Com \(\alpha_R = 3\), o respondedor sofre intensamente com desigualdade a seu desfavor, preferindo rejeitar (e ficar com zero) a aceitar uma oferta que considere "injusta". Isso explica as taxas de rejeição de 40–60% observadas experimentalmente para ofertas abaixo de 30% em jogos do ultimato.

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✏️ Exercício 8.9

Solução.

As quatro regras de edição hedônica de Thaler (1985):

  1. Segregar ganhos (concavidade de \(v\) para ganhos: \(v(x) + v(y) > v(x+y)\))
  2. Integrar perdas (convexidade de \(v\) para perdas: \(v(-x-y) > v(-x) + v(-y)\))
  3. Integrar perda pequena com ganho grande (aversão à perda: \(v(x-y) > v(x) + v(-y)\) se \(x > y\))
  4. Segregar ganho pequeno de perda grande (busca por risco: \(v(-x) + v(y) > v(-x+y)\) se \(x > y\))

(a) "20% + 10% extra" em vez de "28%": segregar ganhos. O consumidor percebe dois ganhos separados: primeiro 20%, depois 10% sobre o preço já reduzido. Pela concavidade da função valor para ganhos, \(v(20\%) + v(10\%) > v(28\%)\). Dois descontos separados geram mais prazer percebido que um desconto único equivalente.

(b) Taxa condominial mensal em vez de anual: integrar perdas. Se cobrada anualmente, o morador sentiria uma única perda grande. Dividindo em 12 parcelas mensais, cada perda individual é menor — mas pela convexidade de \(v\) para perdas, \(12 \times v(-x/12)\) é mais doloroso que \(v(-x)\) em teoria. Na prática, a regra 2 sugere que o condomínio deveria cobrar tudo de uma vez! A cobrança mensal se justifica mais por restrições de liquidez e por habituação (perdas recorrentes se tornam menos salientes, como se incorporadas ao status quo).

(c) Cashback em vez de desconto: segregar ganho pequeno de perda grande (regra 4). O pagamento integral é a perda grande; o cashback é um ganho pequeno posterior. Pela regra 4, sentir a perda do pagamento e depois o ganho do cashback separadamente gera mais satisfação do que simplesmente pagar menos. O cashback cria um momento de "ganho" que atenua psicologicamente a dor do pagamento.

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✏️ Exercício 8.10

Solução.

A função de ponderação: \(w(p) = \frac{p^\gamma}{(p^\gamma + (1-p)^\gamma)^{1/\gamma}}\).

(a)

\[ w(0) = \frac{0^\gamma}{(0^\gamma + 1^\gamma)^{1/\gamma}} = \frac{0}{1} = 0 \quad \checkmark \]
\[ w(1) = \frac{1^\gamma}{(1^\gamma + 0^\gamma)^{1/\gamma}} = \frac{1}{1} = 1 \quad \checkmark \]

(b) Com \(\gamma = 0{,}61\):

\[ w(0{,}01) = \frac{0{,}01^{0,61}}{(0{,}01^{0,61} + 0{,}99^{0,61})^{1/0,61}} \]

\(0{,}01^{0,61} = e^{0,61 \ln 0,01} = e^{-2,81} = 0{,}0603\)

\(0{,}99^{0,61} = e^{0,61 \ln 0,99} = e^{-0,00613} = 0{,}9939\)

\[ w(0{,}01) = \frac{0{,}0603}{(0{,}0603 + 0{,}9939)^{1/0,61}} = \frac{0{,}0603}{1{,}0542^{1,639}} = \frac{0{,}0603}{1{,}0896} \approx 0{,}055 \]

Probabilidade objetiva de 1% é ponderada como ~5,5% (sobreponderação de eventos raros).

Analogamente: \(w(0{,}50) \approx 0{,}421\) e \(w(0{,}99) \approx 0{,}914\).

(c) Subcerteza:

\[ w(0{,}50) + w(0{,}50) \approx 0{,}421 + 0{,}421 = 0{,}842 < 1 \quad \checkmark \]

A propriedade de subcerteza (\(w(p) + w(1-p) < 1\)) implica que os pesos de decisão somam menos que 1. Isso reflete um "pessimismo" generalizado: o agente atua como se a "probabilidade total" fosse menor que 100%, subponderando eventos de probabilidade intermediária.

Interpretação econômica: A função de ponderação explica simultaneamente: (i) a compra de bilhetes de loteria (sobreponderação de ganhos improváveis: \(w(0{,}01) \gg 0{,}01\)); e (ii) a compra de seguros contra catástrofes (sobreponderação de perdas improváveis). Esses dois comportamentos são incompatíveis com a utilidade esperada mas naturais na Teoria do Prospecto.

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✏️ Exercício 8.11

Solução.

O consumidor tem \(u(x) = x^{0{,}5}\) e riqueza inicial \(W = 1000\).

(i) Sob utilidade esperada:

  • Opção (a) — perda certa de R$ 400: riqueza final = 600. \(u(600) = \sqrt{600} \approx 24{,}49\).
  • Opção (b) — loteria: com prob. 0,5 perde 800 (riqueza = 200) e com prob. 0,5 não perde nada (riqueza = 1000).
\[ EU(b) = 0{,}5 \, u(200) + 0{,}5 \, u(1000) = 0{,}5\sqrt{200} + 0{,}5\sqrt{1000} \approx 0{,}5 \times 14{,}14 + 0{,}5 \times 31{,}62 = 22{,}88 \]

Como \(u(600) = 24{,}49 > 22{,}88 = EU(b)\), o consumidor prefere a perda certa (a) sob utilidade esperada. Isso é consistente com aversão ao risco (função \(u\) côncava): prefere a perda certa à loteria com mesmo valor esperado.

(ii) Sob Teoria do Prospecto:

O ponto de referência é \(r = 1000\). As variações (ganhos/perdas relativas ao ponto de referência) são:

  • Opção (a): perda certa de 400. \(v(-400) = -2{,}25 \times 400^{0{,}88}\). Calculando: \(400^{0{,}88} = e^{0{,}88 \ln 400} = e^{0{,}88 \times 5{,}991} = e^{5{,}272} \approx 194{,}5\). Portanto, \(v(-400) \approx -2{,}25 \times 194{,}5 = -437{,}6\).
  • Opção (b): com prob. 0,5, perda de 800; com prob. 0,5, perda de 0.
\[ v(-800) = -2{,}25 \times 800^{0{,}88}. \quad 800^{0{,}88} = e^{0{,}88 \times 6{,}685} = e^{5{,}883} \approx 357{,}8. \quad v(-800) \approx -805{,}1. \]
\[ V(b) = 0{,}5 \times v(-800) + 0{,}5 \times v(0) = 0{,}5 \times (-805{,}1) + 0 = -402{,}6 \]

Como \(V(b) = -402{,}6 > -437{,}6 = v(-400)\), sob a Teoria do Prospecto o consumidor prefere a loteria (b).

(iii) Diferença entre os modelos:

A utilidade esperada prediz aversão ao risco em todo o domínio (por concavidade de \(u\)), resultando na preferência pela perda certa. A Teoria do Prospecto prediz busca por risco no domínio das perdas (a função valor é convexa para perdas), resultando na preferência pela loteria — o agente prefere a chance de evitar a perda a aceitar a perda certa. Esse é o efeito reflexão: o mesmo agente pode ser avesso ao risco para ganhos e buscar risco para perdas, dependendo do ponto de referência.

Interpretação econômica: Essa assimetria explica por que empresas em dificuldade financeira tomam decisões de risco elevado (apostam na recuperação) em vez de liquidar ativos a preços baixos (a "perda certa"), e por que governos relutam em reconhecer formalmente programas falhos — ambos os casos envolvem agentes operando no domínio das perdas.

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✏️ Exercício 8.12

Solução.

(a) Verdadeira. A Teoria do Prospecto assume que a função valor é convexa para perdas (\(v''(x) > 0\) para \(x < 0\)), o que implica propensão ao risco nesse domínio. Formalmente, para uma perda esperada de \(-E[L]\), o valor esperado do prospecto \(E[v(-L)] > v(-E[L])\) quando \(v\) é convexa — ou seja, o agente prefere a aposta à perda certa de mesmo valor esperado. Isso é o efeito reflexão documentado por Kahneman e Tversky (1979).

(b) Verdadeira. O efeito dotação implica que WTA (disposição a aceitar para vender um bem que já se possui) > WTP (disposição a pagar para adquirir o mesmo bem). Na teoria neoclássica, para bens normais sem efeito renda significativo, WTA ≈ WTP. O efeito dotação viola esse resultado, pois a mera posse do bem altera o ponto de referência: ceder o bem é codificado como perda (domain of losses), enquanto adquiri-lo é codificado como ganho. Como perdas pesam mais (\(\lambda > 1\)), WTA > WTP. Kahneman, Knetsch e Thaler (1990) documentaram esse efeito com canecas de cerâmica.

(c) Falsa. Agentes quasi-hiperbólicos não preferem sempre recompensas imediatas. A preferência pelo presente só aparece quando uma recompensa é imediata versus futura. Para duas recompensas ambas no futuro (\(t \geq 1\)), o fator \(\beta\) cancela e o desconto entre elas é exponencial puro (\(\delta\)). Por exemplo, com \(\beta = 0{,}7\) e \(\delta = 0{,}95\): \(U_0(\text{R\$ 100 em } t=5) = 0{,}7 \times 0{,}95^5 \times 100 = 54{,}7\) e \(U_0(\text{R\$ 120 em } t=6) = 0{,}7 \times 0{,}95^6 \times 120 = 62{,}3\). O agente prefere R$ 120 em \(t=6\) a R$ 100 em \(t=5\), apesar de ambas serem futuras.

(d) Falsa. Por definição, um nudge não restringe o conjunto de escolhas. Thaler e Sunstein (2008) definem explicitamente que, para ser um nudge, a intervenção deve ser "fácil e barata de evitar" — qualquer opção deve permanecer disponível. O que o nudge altera é a arquitetura de escolha (a forma de apresentação, o default, a saliência das opções), não o conjunto de alternativas. O que restringe escolhas é a regulação (proibições, obrigações), não o nudge.

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✏️ Exercício 8.13

Solução.

Parâmetros: \(\beta = 0{,}70\), \(\delta = 0{,}95\), \(u(x) = x\).

(a) Avaliação em \(t = 0\):

Todas as opções estão no futuro, então o fator \(\beta\) aplica-se a todas:

\[ U_0(A) = \beta \delta^0 \times 100 = 0{,}70 \times 1 \times 100 = 70{,}00 \]

Atenção: A é "hoje" (\(t=0\)), portanto não recebe desconto extra \(\beta\) — é imediato:

\[ U_0(A) = 100 \]
\[ U_0(B) = \beta \delta^1 \times 120 = 0{,}70 \times 0{,}95 \times 120 = 79{,}80 \]
\[ U_0(C) = \beta \delta^3 \times 150 = 0{,}70 \times 0{,}95^3 \times 150 = 0{,}70 \times 0{,}8574 \times 150 = 90{,}02 \]

Ordenação em \(t = 0\): \(C \succ B \succ A\) (\(90{,}02 > 79{,}80 > ... \))

Porém, como A é imediato, \(U_0(A) = 100\). Recalculando:

\[ U_0(A) = 100 > U_0(C) = 90{,}02 > U_0(B) = 79{,}80 \]

Ordenação em \(t = 0\): \(A \succ C \succ B\).

(b) Avaliação em \(t = 1\) (mês 1 chegou):

Agora B é imediato (\(t=0\) na perspectiva do mês 1) e C está a 2 meses:

\[ U_1(A) = \beta \delta^{-1} \times 100 \]

A é o passado — não mais disponível. Apenas B e C são relevantes em \(t=1\):

\[ U_1(B) = 120 \quad \text{(imediato)} \]
\[ U_1(C) = \beta \delta^2 \times 150 = 0{,}70 \times 0{,}9025 \times 150 = 94{,}76 \]

Ordenação em \(t = 1\) (escolhendo entre B e C): \(C \succ B\) (\(94{,}76 > ... \))

Porém B é imediato: \(U_1(B) = 120 > 94{,}76 = U_1(C)\).

Ordenação em \(t = 1\): \(B \succ C\).

(c) Ocorrência de inversão de preferências:

Em \(t=0\), o agente ordenou \(C \succ B\) (quando A não é opção relevante para o par B vs C): \(U_0(C) = 90{,}02 > U_0(B) = 79{,}80\).

Em \(t=1\), o agente ordena \(B \succ C\): \(U_1(B) = 120 > U_1(C) = 94{,}76\).

Sim, ocorre inversão de preferências entre B e C. Em \(t=0\), o agente planeja escolher C (pois ambas são futuras e o desconto entre elas é puramente exponencial com vantagem para C). Mas em \(t=1\), B tornou-se imediato, e o "puxão" do presente (\(\beta = 0{,}70\)) penaliza desproporcionalmente C (que está 2 meses no futuro). A fonte da inconsistência é o viés do presente: o parâmetro \(\beta < 1\) cria uma assimetria entre o presente e qualquer momento futuro que não existe entre dois momentos futuros.

Interpretação econômica: Um agente ingênuo com essas preferências chegará ao mês 1 e escolherá B (pagamento imediato) em vez de C (que havia planejado em \(t=0\)). Se puder, um agente sofisticado tentará se comprometer com C antes que o mês 1 chegue — por exemplo, assinando um contrato ou pedindo a alguém que o impeça de mudar de ideia.

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✏️ Exercício 8.14

Solução.

Normalização: dividir por 1000. Contrato A: renda = 5 (certa). Contrato B: renda-base = 4 + bônus \(U[0, 2]\), renda total \(\sim U[4, 6]\) com \(E[\text{renda}] = 5\).

(i) Sob utilidade esperada com CRRA \(\gamma = 2\):

\[ u(x) = \frac{x^{1-2}}{1-2} = -x^{-1} = -\frac{1}{x} \]

Contrato A: \(u(5) = -1/5 = -0{,}200\).

Contrato B: O bônus \(b\) é uniforme em \([0, 2]\), logo a renda total é \(x = 4 + b \sim U[4,6]\).

\[ EU(B) = \int_4^6 u(x) \cdot \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_4^6 \left(-\frac{1}{x}\right) dx = -\frac{1}{2} [\ln 6 - \ln 4] = -\frac{1}{2} \ln\frac{6}{4} = -\frac{\ln 1{,}5}{2} \approx -\frac{0{,}405}{2} = -0{,}203 \]

Como \(u(A) = -0{,}200 > -0{,}203 = EU(B)\), o trabalhador prefere o Contrato A (fixo) sob utilidade esperada. Isso reflete aversão ao risco com CRRA: o ganho de variância do contrato B não compensa a utilidade marginal crescente.

(ii) Sob Teoria do Prospecto com ponto de referência \(r = 5.000\) (= 5 normalizado):

Usando a função valor linear por partes com \(\lambda = 2\):

Contrato A: renda fixa = 5 = ponto de referência. Ganho/perda = 0. \(V(A) = v(0) = 0\).

Contrato B: O bônus \(b \sim U[0,2]\), então a renda \(x = 4 + b\). Em relação ao ponto de referência \(r = 5\), a variação é \(x - 5 = b - 1\), que varia de \(-1\) (quando \(b=0\)) a \(+1\) (quando \(b=2\)).

\[ V(B) = \int_0^2 v(b - 1) \cdot \frac{1}{2} \, db \]

Separando pelo sinal:

  • Para \(b < 1\): \(b - 1 < 0\), então \(v(b-1) = 2(b-1)\) (perda com \(\lambda = 2\)).
  • Para \(b > 1\): \(b - 1 > 0\), então \(v(b-1) = b-1\) (ganho).
\[ V(B) = \frac{1}{2}\left[\int_0^1 2(b-1) \, db + \int_1^2 (b-1) \, db\right] \]
\[ = \frac{1}{2}\left[2 \int_0^1 (b-1) \, db + \int_1^2 (b-1) \, db\right] \]
\[ \int_0^1 (b-1) \, db = \left[\frac{b^2}{2} - b\right]_0^1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} \]
\[ \int_1^2 (b-1) \, db = \left[\frac{b^2}{2} - b\right]_1^2 = (2 - 2) - (\frac{1}{2} - 1) = \frac{1}{2} \]
\[ V(B) = \frac{1}{2}\left[2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2}\right] = \frac{1}{2}\left[-1 + \frac{1}{2}\right] = \frac{1}{2} \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4} = -0{,}25 \]

Como \(V(A) = 0 > -0{,}25 = V(B)\), o trabalhador também prefere o Contrato A sob Teoria do Prospecto.

Interpretação econômica: Embora os dois modelos gerem a mesma preferência aqui, os mecanismos são diferentes. Sob EU, a preferência por A reflete aversão ao risco (utilidade marginal decrescente). Sob PT, a preferência por A reflete principalmente a aversão à perda: metade das realizações do bônus geram uma renda abaixo do ponto de referência (R$ 5.000), o que é codificado como perda com \(\lambda = 2\). A dor dessas perdas supera a alegria dos ganhos equivalentes. O modelo PT prevê que trabalhadores resistem a contratos variáveis mesmo quando o valor esperado é idêntico ao salário fixo — o que tem implicações para o design de pacotes de remuneração variável.

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✏️ Exercício 8.15

Solução.

O agente enfrenta perda \(L\) com probabilidade \(p\) pequena. Preço do seguro atuarialmente justo: prêmio \(\pi = pL\) por cobertura total.

Configuração: Ponto de referência = riqueza inicial \(W\). Função valor linear por partes: \(v(x) = x\) para ganhos, \(v(x) = -\lambda(-x)\) para perdas (\(\lambda > 1\)). Função de ponderação \(w(p)\) com \(w(p) > p\) para \(p\) pequeno.

Sem seguro: O agente enfrenta o prospecto \((-L, p; 0, 1-p)\). O valor do prospecto é:

\[ V(\text{sem seguro}) = w(p) \cdot v(-L) + w(1-p) \cdot v(0) = -\lambda L \cdot w(p) \]

Com seguro completo a preço justo: O agente paga \(pL\) com certeza. O valor é:

\[ V(\text{com seguro}) = v(-pL) = -\lambda pL \]

O agente prefere o seguro se \(V(\text{com seguro}) > V(\text{sem seguro})\):

\[ -\lambda pL > -\lambda L \cdot w(p) \iff p < w(p) \]

(a) Pequenas perdas com \(p\) pequeno (\(w(p) > p\)):

Para \(p \to 0\), a função de ponderação satisfaz \(w(p) > p\). Portanto \(V(\text{com seguro}) > V(\text{sem seguro}\)), e o agente compra o seguro. Mais do que isso: como \(w(p) \gg p\) para \(p\) muito pequeno, a disposição a pagar pelo seguro excede o prêmio atuarialmente justo. O agente está disposto a pagar um prêmio \(\pi^*\) tal que:

\[ v(-\pi^*) = -\lambda \pi^* = V(\text{sem seguro}) = -\lambda L \cdot w(p) \]
\[ \pi^* = L \cdot w(p) > L \cdot p = \text{prêmio justo} \]

Isso é sobre-seguro: o agente paga acima do prêmio atuarialmente justo, porque a ponderação de probabilidades inflaciona a probabilidade subjetiva da perda.

(b) Perdas catastróficas com \(L \to W\) e \(p\) pequeno:

Quando a perda é quase total (\(L \to W\)), a função valor avalia a perda em \(-\lambda W\). O argumento acima continuaria sugerindo que o agente compraria seguro (pois \(w(p) > p\) ainda vale). A anomalia surge quando \(L\) é grande em valor absoluto mas pequeno em relação a \(W\) — ou quando a incerteza sobre as probabilidades (ambiguidade) é alta para eventos catastróficos.

Para capturar o sub-seguro observado em catástrofes, nota-se que: (i) eventos com \(p\) muito pequeno são frequentemente subestimados cognitivamente — a função de ponderação tem \(w(p) \approx 0\) para \(p < \varepsilon\) (negligência de probabilidade), e (ii) a interação com aversão à ambiguidade reduz ainda mais a disposição a pagar por seguros cujos termos são complexos. Formalmente, quando \(p\) é tão pequeno que o agente o arredonda para zero, \(w(p) \approx 0\) e \(V(\text{sem seguro}) \approx 0\), tornando qualquer prêmio positivo desvantajoso.

Resumo: A Teoria do Prospecto prevê sobre-seguro para perdas moderadas e frequentes (onde \(w(p) > p\) domina) e sub-seguro para catástrofes raras (onde \(p\) é tão pequeno que é negligenciado cognitivamente — \(w(p) \approx 0\)). Esse padrão em formato de U invertido — alta cobertura para riscos intermediários, baixa cobertura para os extremos — é consistente com evidências do mercado de seguros: as pessoas contratam seguros de celular mas negligenciam cobertura de terremoto.

Interpretação econômica: A assimetria entre os dois domínios tem implicações para o design de seguros. Coberturas obrigatórias (como o seguro DPVAT no Brasil) podem ser justificadas comportamentalmente pelo fato de que o sub-seguro voluntário para catástrofes cria externalidades sociais quando as vítimas precisam de assistência pública.

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🏆 ANPEC (estilo) — Teoria do Prospecto e função valor

Respostas: V F V F V

  • Item 0 — V: A dependência de referência é propriedade fundamental da função valor. O portador de valor é a variação \(x\) em relação ao ponto de referência, não o nível absoluto de riqueza. Dois indivíduos com a mesma riqueza final podem tomar decisões diferentes se seus pontos de referência forem distintos.
  • Item 1 — F: Aversão à perda (\(\lambda > 1\)) e aversão ao risco (concavidade de \(u\)) são conceitos distintos. Um agente pode ser neutro ao risco e ainda assim ser avesso à perda.
  • Item 2 — V: A concavidade para ganhos gera aversão ao risco nesse domínio; a convexidade para perdas gera propensão ao risco — o efeito reflexão.
  • Item 3 — F: A função de ponderação \(w(p)\) tem formato de S invertido: sobrevaloriza probabilidades pequenas e subvaloriza probabilidades grandes.
  • Item 4 — V: \(v(100) \approx 57{,}54\) e \(v(-100) \approx -129{,}47\). Valor esperado subjetivo: \(0{,}5 \times 57{,}54 + 0{,}5 \times (-129{,}47) = -35{,}97 < 0\).

🏆 ANPEC (estilo) — Vieses cognitivos e efeitos comportamentais

Respostas: V V F F V

  • Item 0 — V: A ancoragem é uma das três heurísticas fundamentais de Tversky e Kahneman (1974). No experimento da roda da fortuna, números completamente irrelevantes influenciaram sistematicamente as estimativas dos participantes.
  • Item 1 — V: O experimento das doenças asiáticas demonstra o efeito framing: opções logicamente idênticas geram escolhas opostas dependendo do enquadramento (vidas salvas vs. mortes).
  • Item 2 — F: O viés do status quo e o efeito dotação são consequências diretas da aversão à perda (\(\lambda > 1\)). O experimento das canecas (WTA \(\approx\) 2,5 \(\times\) WTP) ocorre sem custos de transação.
  • Item 3 — F: A contabilidade mental descreve precisamente a violação da fungibilidade: os agentes segregam dinheiro em contas mentais separadas, com propensões marginais a consumir distintas.
  • Item 4 — V: A ancoragem em negociações implica que a primeira oferta influencia o resultado final, independentemente de seu conteúdo informacional.

🏆 ANPEC (estilo) — Desconto hiperbólico e inconsistência temporal

Respostas: V V V F V

  • Item 0 — V: No desconto exponencial, a razão entre fatores de desconto consecutivos é sempre \(\delta\), constante. Isso garante consistência temporal.
  • Item 1 — V: O fator de desconto entre \(t=0\) e \(t=1\) é \(\beta\delta = 0{,}665\), mas entre períodos futuros consecutivos é \(\delta = 0{,}95\). Essa assimetria é o viés do presente.
  • Item 2 — V: O valor presente de R$ 1.000 em \(t=1\) é \(\beta\delta \times 1000 = 665\). A razão dos valores presentes de pagamentos em \(t=10\) e \(t=11\) é \(\delta = 0{,}95\), pois o fator \(\beta\) se cancela.
  • Item 3 — F: Nudges como adesão automática funcionam tanto para sofisticados quanto para ingênuos, pois exploram a inércia e o viés do status quo, que operam independentemente de autoconsciência sobre o viés do presente.
  • Item 4 — V: Laibson (1997) formalizou a demanda racional por mecanismos de compromisso: o agente sofisticado antecipa o viés do presente do seu "eu futuro" e se vincula a instrumentos ilíquidos para proteger a poupança.