Soluções dos Exercícios — Capítulo 7¶

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✏️ Exercício 7.1¶

Solução.

(a) Utilidade esperada:

\[ E[u] = 0{,}5 \cdot \ln(15000) + 0{,}5 \cdot \ln(5000) = 0{,}5 \times 9{,}6158 + 0{,}5 \times 8{,}5172 = 9{,}0665 \]

(b) O equivalente de certeza é $EC$ tal que $u(EC) = E[u]$:

\[ \ln(EC) = 9{,}0665 \implies EC = e^{9{,}0665} \approx 8660{,}25 \]

(c) O prêmio de risco exato:

\[ PR = E[W] - EC = 10000 - 8660{,}25 = 1339{,}75 \]

Aproximação de Arrow-Pratt: $PR \approx \frac{1}{2} A(W) \sigma^2$, onde:

$A(W) = -u''/u' = 1/W = 1/10000$
$\sigma^2 = E[W^2] - (E[W])^2 = 0{,}5(15000^2 + 5000^2) - 10000^2 = 125 \times 10^6 - 100 \times 10^6 = 25 \times 10^6$

\[ PR_{\text{AP}} \approx \frac{1}{2} \times \frac{1}{10000} \times 25 \times 10^6 = 1250 \]

A aproximação (1250) subestima o prêmio de risco exato (1340) porque a fórmula de Arrow-Pratt é uma aproximação de segunda ordem, válida para riscos "pequenos" relativamente à riqueza. Aqui o risco é grande (±50% da riqueza), logo a aproximação é menos precisa.

Interpretação econômica: O investidor com utilidade logarítmica exigiria R$ 1.340 de compensação para aceitar esse risco. Equivalentemente, ele é indiferente entre ter R$ 10.000 com o risco da loteria e ter R$ 8.660 com certeza.

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✏️ Exercício 7.2¶

Solução.

Com $u(W) = -e^{-aW}$:

\[ u'(W) = ae^{-aW} > 0, \qquad u''(W) = -a^2 e^{-aW} < 0 \]

Aversão absoluta ao risco:

\[ A(W) = -\frac{u''(W)}{u'(W)} = -\frac{-a^2 e^{-aW}}{ae^{-aW}} = a \]

$A(W) = a$ é constante — independente de $W$. Logo, a utilidade exponencial negativa exibe CARA (Constant Absolute Risk Aversion). $\blacksquare$

Aversão relativa ao risco:

\[ R(W) = W \cdot A(W) = aW \]

$R(W)$ é crescente na riqueza (IRRA — Increasing Relative Risk Aversion).

Implicações econômicas:

CARA: O prêmio de risco em unidades monetárias não depende da riqueza. Um bilionário e um assalariado exigiriam o mesmo prêmio em reais para aceitar um risco de ±R$ 1.000. Isso é empiricamente implausível para a maioria dos contextos.
IRRA: A fração da riqueza investida no ativo arriscado diminui à medida que a riqueza cresce. O agente fica relativamente mais avesso ao risco conforme enriquece, o que também é discutível empiricamente.

Na prática, a CARA é usada por conveniência analítica (permite soluções explícitas com riscos gaussianos), não por realismo descritivo.

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✏️ Exercício 7.3¶

Solução.

(a) Valor esperado:

\[ E[W] = 0{,}7 \times 200000 + 0{,}3 \times 50000 = 140000 + 15000 = 155000 \]

(b) Equivalente de certeza:

\[ E[u] = 0{,}7\sqrt{200000} + 0{,}3\sqrt{50000} = 0{,}7 \times 447{,}21 + 0{,}3 \times 223{,}61 = 313{,}05 + 67{,}08 = 380{,}13 \]

\[ EC = (380{,}13)^2 = 144499 \]

(c) Prêmio máximo pelo seguro de cobertura total:

\[ PR = E[W] - EC = 155000 - 144499 = 10501 \]

O agricultor pagaria até R$ 10.501 pelo seguro.

(d) Se a seguradora cobra R$ 60.000, o agricultor com seguro teria $W_{\text{seg}} = 200000 - 60000 = 140000$ com certeza (na safra boa, paga o prêmio e não aciona; na seca, recebe R$ 150.000 e paga R$ 60.000 de prêmio, resultando em $200000 - 60000 = 140000$ na boa e $50000 + 150000 - 60000 = 140000$ na seca).

$u(140000) = \sqrt{140000} = 374{,}17$

Como $374{,}17 < 380{,}13 = E[u]$, o agricultor não contrata: ficar sem seguro dá maior utilidade esperada. O prêmio cobrado (R$ 60.000) excede enormemente o prêmio máximo aceitável (R$ 10.501).

Interpretação econômica: Este exemplo ilustra por que seguros agrícolas no Brasil frequentemente requerem subsídios governamentais (como o Programa de Subvenção ao Prêmio do Seguro Rural — PSR). As seguradoras cobram prêmios que incluem custos administrativos, seleção adversa e risco moral, elevando o preço acima do que muitos produtores estão dispostos a pagar.

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✏️ Exercício 7.4¶

Solução.

(a) O agente escolhe consumo contingente $(c_1, c_2)$ para maximizar:

\[ \max_{c_1, c_2} \; 0{,}6 \ln(c_1) + 0{,}4 \ln(c_2) \quad \text{s.a.} \quad 0{,}6 c_1 + 0{,}4 c_2 = 100 \]

(b) CPOs (condição de tangência):

\[ \frac{0{,}6/c_1}{0{,}4/c_2} = \frac{\psi_1}{\psi_2} = \frac{0{,}6}{0{,}4} \implies \frac{c_2}{c_1} = 1 \]

Logo $c_1^* = c_2^*$. Da restrição: $0{,}6 c + 0{,}4 c = c = 100$.

\[ \boxed{c_1^* = c_2^* = 100} \]

(c) O agente consome exatamente o mesmo em ambos os estados. Isso é seguro pleno: o risco é completamente eliminado. Esse resultado ocorre porque os preços dos ativos contingentes são "atuarialmente justos" — os preços $\psi_i$ são iguais às probabilidades $\pi_i$. Quando os preços de Arrow-Debreu são justos, um agente avesso ao risco equaliza o consumo entre estados, alcançando suavização perfeita.

Interpretação econômica: Em mercados completos com preços justos, agentes avessos ao risco se protegem completamente. A existência de mercados de seguros e derivativos permite essa suavização na prática — embora custos de transação, informação assimétrica e mercados incompletos limitem a suavização real.

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✏️ Exercício 7.5¶

Solução.

(a) Com $W = 10000$:

Agente A ($u_A = \ln W$):

\[ A_A(W) = 1/W = 1/10000 = 0{,}0001, \qquad R_A(W) = 1 \]

Agente B ($u_B = -e^{-0{,}001W}$):

\[ A_B(W) = a = 0{,}001, \qquad R_B(W) = 0{,}001 \times 10000 = 10 \]

B é significativamente mais avesso ao risco que A em ambas as medidas.

(b) Aproximação de Arrow-Pratt: $PR \approx \frac{1}{2} A(W) \sigma^2$, com $\sigma^2 = 1000^2 = 10^6$:

\[ PR_A \approx \frac{1}{2} \times 0{,}0001 \times 10^6 = 50 \]

\[ PR_B \approx \frac{1}{2} \times 0{,}001 \times 10^6 = 500 \]

B exigiria R$ 500 de compensação, 10 vezes mais que A (R$ 50).

(c) Com $W = 50000$:

Agente A: $A_A = 1/50000 = 0{,}00002$. $PR_A \approx \frac{1}{2} \times 0{,}00002 \times 10^6 = 10$.

O prêmio de A caiu de R$ 50 para R$ 10 — ele exibe DARA (Decreasing Absolute Risk Aversion). Com mais riqueza, a aversão absoluta diminui: o mesmo risco em valor absoluto (±R$ 1.000) representa uma fração menor da riqueza.

Agente B: $A_B = 0{,}001$ (constante). $PR_B \approx 500$.

O prêmio de B permanece R$ 500 — ele exibe CARA. A riqueza não afeta sua aversão absoluta, o que é pouco realista: um bilionário com CARA se preocuparia tanto com R$ 1.000 quanto alguém com R$ 10.000.

Interpretação econômica: A evidência empírica favorece DARA: indivíduos mais ricos aceitam mais risco absoluto. A utilidade logarítmica (agente A) captura essa propriedade e é frequentemente usada como especificação padrão em modelos de finanças e macroeconomia. A CARA (agente B) é usada quando a tratabilidade analítica é prioritária.

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✏️ Exercício 7.6¶

Solução.

Dados: $u(W) = \sqrt{W}$, $W_0 = 100$, loteria: $+60$ com $p = 0{,}5$ e $-60$ com $p = 0{,}5$.

Riquezas possíveis:

Estado favorável: $W_1 = 100 + 60 = 160$, com probabilidade $0{,}5$
Estado desfavorável: $W_2 = 100 - 60 = 40$, com probabilidade $0{,}5$

Valor esperado da riqueza:

\[ E[W] = 0{,}5 \times 160 + 0{,}5 \times 40 = 80 + 20 = 100 \]

(a) Utilidade esperada:

\[ E[u] = 0{,}5 \cdot \sqrt{160} + 0{,}5 \cdot \sqrt{40} = 0{,}5 \times 12{,}649 + 0{,}5 \times 6{,}325 = 6{,}325 + 3{,}162 = 9{,}487 \]

(b) Utilidade do valor esperado:

\[ u(E[W]) = u(100) = \sqrt{100} = 10 \]

(c) Classificação da atitude frente ao risco:

Como $E[u] = 9{,}487 < 10 = u(E[W])$, temos:

\[ u(E[W]) > E[u(W)] \]

Pela desigualdade de Jensen, isso ocorre quando $u$ é estritamente côncava. De fato, $u(W) = W^{1/2}$ tem segunda derivada $u''(W) = -\frac{1}{4}W^{-3/2} < 0$, confirmando concavidade. Portanto, o agente é avesso ao risco.

O equivalente de certeza é $EC = (9{,}487)^2 \approx 90$, e o prêmio de risco é $\pi = E[W] - EC = 100 - 90 = 10$. O agente abriria mão de R$ 10 de riqueza esperada para eliminar a incerteza desta loteria.

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✏️ Exercício 7.7¶

Solução.

(a) Um agente neutro ao risco possui função de utilidade linear. — VERDADEIRO.

Por definição, um agente neutro ao risco satisfaz $u(E[L]) = E[u(L)]$ para toda loteria $L$. Pela teoria das funções convexas/côncavas, isso ocorre se e somente se a função de utilidade é linear (afim): $u(W) = aW + b$, com $a > 0$. Qualquer curvatura — côncava ($u'' < 0$) ou convexa ($u'' > 0$) — geraria aversão ou propensão ao risco, respectivamente.

(b) A utilidade CARA implica que o prêmio de risco é independente da riqueza. — VERDADEIRO.

Para $u(W) = -e^{-aW}$, a aversão absoluta ao risco é $A(W) = a$, constante em $W$. Pela aproximação de Arrow-Pratt, $\pi \approx \frac{1}{2} A(W) \sigma^2 = \frac{1}{2} a \sigma^2$, que não depende de $W$. Isso implica que, para uma mesma loteria (mesma $\sigma^2$), o prêmio de risco é o mesmo independentemente de o agente ser rico ou pobre — propriedade empiricamente implausível, pois sugere que um milionário se preocuparia tanto com uma aposta de R$ 1.000 quanto um assalariado.

(c) Se $u''(W) < 0$, o agente sempre rejeita qualquer loteria justa. — VERDADEIRO (com ressalva).

Uma loteria justa tem $E[\tilde{\varepsilon}] = 0$, de modo que a riqueza esperada é $E[W] = W_0$. Com $u'' < 0$ (concavidade estrita), a desigualdade de Jensen implica:

\[ u(E[W_0 + \tilde{\varepsilon}]) = u(W_0) > E[u(W_0 + \tilde{\varepsilon})] \]

Logo, o agente prefere estritamente $W_0$ com certeza à loteria justa. Ele a rejeita. A ressalva é de ordem: "rejeita" significa não aceitar participar da loteria por nada; se ele já está na loteria, a questão seria diferente. Mas como enunciado de escolha, a afirmativa é correta.

(d) A diversificação elimina todo o risco de uma carteira de ativos. — FALSO.

A diversificação elimina apenas o risco idiossincrático (ou não sistemático) — o risco específico de cada ativo, que se cancela quando muitos ativos são combinados. O risco sistemático (de mercado), que afeta todos os ativos simultaneamente (por exemplo, flutuações do PIB, variações da taxa Selic, crises financeiras globais), não é reduzido pela diversificação. No modelo CAPM, apenas o risco sistemático é remunerado, pois o risco idiossincrático pode ser eliminado sem custo pela diversificação. Portanto, a afirmativa é falsa: diversificação reduz mas não elimina todo o risco.

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✏️ Exercício 7.8¶

Solução.

Dados: $u(W) = \ln(W)$, $W_0 = 10.000$. Risco: perda de R$ 5.000 com $p = 0{,}1$; sem perda com $p = 0{,}9$.

Estados possíveis: - Estado ruim: $W_1 = 10.000 - 5.000 = 5.000$, com $p_1 = 0{,}1$ - Estado bom: $W_2 = 10.000$, com $p_2 = 0{,}9$

Valor esperado da riqueza:

\[ E[W] = 0{,}1 \times 5.000 + 0{,}9 \times 10.000 = 500 + 9.000 = 9.500 \]

(a) Equivalente de certeza e prêmio de risco exato:

Utilidade esperada:

\[ E[u] = 0{,}1 \times \ln(5.000) + 0{,}9 \times \ln(10.000) \]

\[ = 0{,}1 \times 8{,}5172 + 0{,}9 \times 9{,}2103 = 0{,}8517 + 8{,}2893 = 9{,}1410 \]

Equivalente de certeza:

\[ \ln(EC) = 9{,}1410 \implies EC = e^{9{,}1410} \approx 9.367 \]

Prêmio de risco exato:

\[ \pi = E[W] - EC = 9.500 - 9.367 = \text{R\$ } 133 \]

(b) Prêmio máximo que o agente pagaria por cobertura total:

Com seguro de cobertura total a prêmio $P$, o agente tem $W_0 - P = 10.000 - P$ com certeza. Ele aceita pagar até $P_{max}$ tal que:

\[ u(10.000 - P_{max}) = E[u] \implies \ln(10.000 - P_{max}) = 9{,}1410 \]

\[ 10.000 - P_{max} = e^{9{,}1410} \approx 9.367 \implies P_{max} = 10.000 - 9.367 = \text{R\$ } 633 \]

Alternativamente: $P_{max} = E[W] - EC + (W_0 - E[W]) = EC_{riqueza\ com\ risco}$. Na verdade, \(P_{max} = W_0 - EC = 10.000 - 9.367 = \text{R\$ } 633$.

Note que o prêmio atuarialmente justo é $P_{justo} = 0{,}1 \times 5.000 = \text{R\$ } 500$. O agente pagaria até R$ 633, ou seja, até R$ 133 acima do prêmio justo — e esse R$ 133 é exatamente o prêmio de risco calculado no item (a).

(c) Decisão com prêmio de R$ 600:

Como $P = 600 < P_{max} = 633$, o agente contrata o seguro.

Verificação:

Sem seguro: $E[u] = 9{,}1410$
Com seguro a R$ 600: $u(10.000 - 600) = \ln(9.400) = 9{,}1483$

Como $9{,}1483 > 9{,}1410$, confirma-se que o agente prefere contratar o seguro a R$ 600.

Interpretação econômica: O agente pagaria até R$ 133 acima do prêmio justo para eliminar o risco. Um prêmio de R$ 600 = R$ 500 (justo) + R$ 100 (carregamento) ainda é aceitável, pois R$ 100 < R$ 133. Se a seguradora cobrasse R$ 650, o agente recusaria.

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✏️ Exercício 7.9¶

Solução.

Dados: $u(W) = -W^{-1}$ (CRRA com $\gamma = 2$), $W_0 = 200.000$. Estados: - Seca: $W_1 = 120.000$ com $p_1 = 0{,}3$ - Sem seca: $W_2 = 200.000$ com $p_2 = 0{,}7$

Prêmio do Proagro: R$ 30.000 (cobre integralmente a perda de R$ 80.000).

(a) Prêmio de risco exato:

Valor esperado da riqueza:

\[ E[W] = 0{,}3 \times 120.000 + 0{,}7 \times 200.000 = 36.000 + 140.000 = 176.000 \]

Utilidade esperada sem seguro:

\[ E[u] = 0{,}3 \times (-120.000^{-1}) + 0{,}7 \times (-200.000^{-1}) \]

\[ = 0{,}3 \times (-8{,}333 \times 10^{-6}) + 0{,}7 \times (-5{,}000 \times 10^{-6}) \]

\[ = -2{,}500 \times 10^{-6} - 3{,}500 \times 10^{-6} = -6{,}000 \times 10^{-6} \]

Equivalente de certeza:

\[ u(EC) = E[u] \implies -EC^{-1} = -6{,}000 \times 10^{-6} \implies EC = \frac{1}{6{,}000 \times 10^{-6}} \approx 166.667 \]

Prêmio de risco exato:

\[ \pi = E[W] - EC = 176.000 - 166.667 = \text{R\$ } 9.333 \]

Este é o máximo que o agricultor pagaria pelo seguro.

(b) Decisão com o Proagro (prêmio de R$ 30.000):

Utilidade sem seguro: $E[u] = -6{,}000 \times 10^{-6}$ (calculada acima).

Utilidade com seguro (prêmio R$ 30.000, cobertura total):

Com seguro, a riqueza do agricultor em qualquer estado é $W_0 - P = 200.000 - 30.000 = 170.000$ (em caso de seca, recebe indenização de R$ 80.000, mas paga prêmio de R$ 30.000: riqueza líquida = $120.000 + 80.000 - 30.000 = 170.000$; sem seca, riqueza = $200.000 - 30.000 = 170.000$).

\[ u(170.000) = -(170.000)^{-1} = -5{,}882 \times 10^{-6} \]

Como $-5{,}882 \times 10^{-6} > -6{,}000 \times 10^{-6}$ (menos negativo = maior utilidade), o agricultor contrata o seguro.

Verificação via prêmio máximo: $P_{max} = W_0 - EC = 200.000 - 166.667 = \text{R\$ } 33.333$. Como $P_{Proagro} = 30.000 < 33.333 = P_{max}$, confirma-se que o agricultor contrata.

(c) Carregamento máximo $\lambda^*$:

O agricultor é indiferente quando $P = P_{max} = \text{R\$ }33.333$.

O prêmio atuarialmente justo é $P_{justo} = 0{,}3 \times 80.000 = \text{R\$ }24.000$.

O carregamento máximo é:

\[ \lambda^* = \frac{P_{max} - P_{justo}}{P_{justo}} = \frac{33.333 - 24.000}{24.000} = \frac{9.333}{24.000} \approx 38{,}9\% \]

Com o carregamento atual de 25% ($30.000/24.000 - 1$), o agricultor ainda contrata. Somente se o carregamento superasse 38,9% ele deixaria de contratar.

Interpretação econômica: O agricultor com CRRA $\gamma = 2$ está disposto a pagar quase 39% acima do prêmio justo para eliminar o risco de seca. Isso reflete sua aversão ao risco relativa: uma queda de 40% na riqueza (de R$ 200.000 para R$ 120.000) é muito custosa para uma utilidade com curvatura constante $\gamma = 2$. O subsídio implícito do Proagro (que reduz o carregamento percebido pelo produtor) é, portanto, compatível com a teoria: ele viabiliza o seguro para produtores cuja disposição a pagar é positiva mas inferior ao custo de mercado não subsidiado.

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✏️ Exercício 7.10¶

Solução.

Objetivo: Demonstrar que $\pi \approx \frac{1}{2}\sigma^2 \cdot A(W_0)$, onde $A(W_0) = -u''(W_0)/u'(W_0)$.

Configuração: Seja $\tilde{W} = W_0 + \tilde{\varepsilon}$, onde $\tilde{\varepsilon}$ é um risco justo: $E[\tilde{\varepsilon}] = 0$ e $\text{Var}(\tilde{\varepsilon}) = E[\tilde{\varepsilon}^2] = \sigma^2$.

Por definição, o prêmio de risco $\pi$ satisfaz:

\[ u(W_0 - \pi) = E[u(W_0 + \tilde{\varepsilon})] \tag{*} \]

Passo 1 — Expansão do lado direito:

Expanda $u(W_0 + \tilde{\varepsilon})$ em série de Taylor de segunda ordem em torno de $W_0$:

\[ u(W_0 + \tilde{\varepsilon}) \approx u(W_0) + u'(W_0)\tilde{\varepsilon} + \frac{1}{2}u''(W_0)\tilde{\varepsilon}^2 \]

Tomando o valor esperado de ambos os lados e usando $E[\tilde{\varepsilon}] = 0$ e $E[\tilde{\varepsilon}^2] = \sigma^2$:

\[ E[u(W_0 + \tilde{\varepsilon})] \approx u(W_0) + u'(W_0) \cdot 0 + \frac{1}{2}u''(W_0) \cdot \sigma^2 \]

\[ E[u(\tilde{W})] \approx u(W_0) + \frac{1}{2}u''(W_0)\sigma^2 \tag{I} \]

Passo 2 — Expansão do lado esquerdo:

Expanda $u(W_0 - \pi)$ em série de Taylor de primeira ordem em torno de $W_0$, tratando $\pi$ como pequeno:

\[ u(W_0 - \pi) \approx u(W_0) - u'(W_0)\pi \tag{II} \]

Passo 3 — Igualação:

Igualando (I) e (II) via a condição (*):

\[ u(W_0) - u'(W_0)\pi \approx u(W_0) + \frac{1}{2}u''(W_0)\sigma^2 \]

Cancelando $u(W_0)$ de ambos os lados:

\[ -u'(W_0)\pi \approx \frac{1}{2}u''(W_0)\sigma^2 \]

Como $u'(W_0) > 0$ (utilidade crescente), dividindo ambos os lados por $-u'(W_0)$:

\[ \pi \approx -\frac{u''(W_0)}{2u'(W_0)}\sigma^2 = \frac{1}{2}\left(-\frac{u''(W_0)}{u'(W_0)}\right)\sigma^2 = \frac{1}{2}A(W_0)\sigma^2 \qquad \blacksquare \]

Interpretação dos termos:

$\frac{1}{2}\sigma^2$: representa a "quantidade" de risco — metade da variância da loteria.
$A(W_0) = -u''(W_0)/u'(W_0)$: representa o "preço" do risco — a intensidade da aversão ao risco no ponto $W_0$, medida pela razão entre a curvatura ($u''$) e a inclinação ($u'$) da função de utilidade.
O produto $\frac{1}{2}A(W_0)\sigma^2$ combina preferências (subjetivo) e risco (objetivo) numa fórmula que determina quanto o agente pagaria para eliminar a incerteza.

Validade da aproximação: A expansão de Taylor de segunda ordem é válida quando $\sigma$ é pequeno em relação a $W_0$ (risco "pequeno"). Para riscos grandes, os termos de ordem superior importam e a aproximação subestima ou superestima o prêmio exato dependendo do sinal da terceira derivada de $u$. Para $u = \ln W$, onde $u''' > 0$, a aproximação subestima o prêmio exato — como observamos no Exercício 7.1.

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