Soluções dos Exercícios — Capítulo 6¶

✏️ Exercício 6.1¶

Solução.

(a) Com $U = (x_1^\rho + x_2^\rho)^{1/\rho}$, a CPO gera:

\[ \frac{x_1^{\rho-1}}{x_2^{\rho-1}} = \frac{p_1}{p_2} \implies \frac{x_1}{x_2} = \left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{1/(\rho-1)} \]

Definindo $\sigma = 1/(1-\rho)$ (elasticidade de substituição):

\[ x_1^* = \frac{p_1^{-\sigma} I}{p_1^{1-\sigma} + p_2^{1-\sigma}}, \qquad x_2^* = \frac{p_2^{-\sigma} I}{p_1^{1-\sigma} + p_2^{1-\sigma}} \]

(b) Calculando $\partial x_1/\partial p_2$:

\[ \frac{\partial x_1}{\partial p_2} = \frac{p_1^{-\sigma} I \cdot (1-\sigma) p_2^{-\sigma}}{(p_1^{1-\sigma} + p_2^{1-\sigma})^2} \]

O sinal depende de $(1-\sigma)$:

Se $\sigma > 1$ ($\rho > 0$): $1 - \sigma < 0$, logo $\partial x_1/\partial p_2 < 0$ → complementos brutos.
Se $\sigma < 1$ ($\rho < 0$): $1 - \sigma > 0$, logo $\partial x_1/\partial p_2 > 0$ → substitutos brutos.
Se $\sigma = 1$ ($\rho \to 0$, Cobb-Douglas): $\partial x_1/\partial p_2 = 0$ → independentes (nem substitutos nem complementos brutos).

(c) O efeito substituição cruzado (via Slutsky):

\[ \frac{\partial h_1}{\partial p_2} = \frac{\partial x_1}{\partial p_2} + x_2 \frac{\partial x_1}{\partial I} \]

Com dois bens, o efeito substituição cruzado é sempre positivo (os bens são sempre substitutos líquidos). Isso resulta da negatividade semidefinida da matriz de Slutsky: com apenas dois bens, o efeito substituição próprio negativo implica necessariamente efeito substituição cruzado positivo (os termos diagonais e fora da diagonal são de sinais opostos para a matriz $2 \times 2$).

Interpretação econômica: A distinção entre substitutos brutos e líquidos é fundamental. Dois bens podem ser complementos brutos (Marshallian) mas substitutos líquidos (Hicksian) — a diferença é o efeito-renda. A classificação hicksiana (líquida) é mais "pura" porque isola o efeito substituição da mudança no poder de compra.

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✏️ Exercício 6.2¶

Solução.

(a) Se os preços das frutas variam na mesma proporção ($\alpha$), definimos o bem composto "frutas" ($F$) como:

\[ F = \bar{p}_b \cdot b + \bar{p}_m \cdot m + \bar{p}_l \cdot l \]

onde $\bar{p}_b, \bar{p}_m, \bar{p}_l$ são os preços-base. O preço do bem composto é $P_F = \alpha$. A restrição orçamentária fica:

\[ \alpha F + y = I \]

Pelo Teorema do Bem Composto (Hicks), podemos tratar "frutas" como um único bem com preço $\alpha$.

(b) Um aumento de 15% em $\alpha$ (todos os preços de frutas sobem 15%) equivale a um aumento de 15% no preço do bem composto $F$. No modelo de dois bens ($F, y$), podemos usar as ferramentas padrão: efeito substituição (consumidor troca frutas por outros bens) e efeito-renda (poder de compra cai). O efeito líquido sobre "todos os outros" ($y$) depende de o consumo de frutas ser normal ou inferior.

(c) A hipótese de proporcionalidade falharia quando os preços relativos entre as frutas mudam — por exemplo: (i) uma geada em Santa Catarina encarece a maçã mas não a banana; (ii) safra recorde de laranja reduz seu preço enquanto o da banana sobe por custos de transporte; (iii) políticas de subsídio diferenciadas (como isenção de ICMS para frutas regionais). No Brasil, a sazonalidade e os choques climáticos regionais tornam a proporcionalidade improvável para janelas temporais curtas.

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✏️ Exercício 6.3¶

Solução.

(a) As demandas são Cobb-Douglas ($\alpha = 1/3$): $x_1 = I/(3p_1)$, $x_2 = 2I/(3p_2)$.

\[ \frac{\partial x_1}{\partial p_2} = 0 \]

Os bens são independentes (nem substitutos nem complementos brutos). Com Cobb-Douglas, a demanda de cada bem depende apenas do próprio preço e da renda.

(b) Utilidade indireta: $V = (I/(3p_1))^{1/3} (2I/(3p_2))^{2/3} = \frac{2^{2/3}}{3} \cdot I \cdot p_1^{-1/3} p_2^{-2/3}$.

Invertendo $V = \bar{u}$: $E = \frac{3}{2^{2/3}} \bar{u} p_1^{1/3} p_2^{2/3}$.

(c) Pelo Lema de Shephard:

\[ h_1 = \frac{\partial E}{\partial p_1} = \frac{3}{2^{2/3}} \bar{u} \cdot \frac{1}{3} p_1^{-2/3} p_2^{2/3} = \frac{\bar{u}}{2^{2/3}} p_1^{-2/3} p_2^{2/3} \]

\[ \frac{\partial h_1}{\partial p_2} = \frac{\bar{u}}{2^{2/3}} p_1^{-2/3} \cdot \frac{2}{3} p_2^{-1/3} = \frac{2\bar{u}}{3 \cdot 2^{2/3}} p_1^{-2/3} p_2^{-1/3} > 0 \]

Os bens são substitutos líquidos (como deve ser com dois bens).

(d) Verificação de Slutsky:

\[ \frac{\partial x_1}{\partial p_2} = \frac{\partial h_1}{\partial p_2} - x_2 \frac{\partial x_1}{\partial I} \]

Lado esquerdo: 0 (calculado em (a)).

Lado direito: $\frac{\partial h_1}{\partial p_2} - \frac{2I}{3p_2} \cdot \frac{1}{3p_1}$. Substituindo $\bar{u} = V$ e simplificando, os termos se cancelam e o resultado é 0. ✓

Interpretação econômica: Os bens são independentes na classificação marshalliana (bruta) mas substitutos na hicksiana (líquida). Isso ocorre porque, com Cobb-Douglas, o efeito-renda cruzado exatamente compensa o efeito substituição cruzado. A parcela de renda gasta em cada bem é fixa, logo uma mudança em $p_2$ não libera nem absorve gasto do bem 1.

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✏️ Exercício 6.4¶

Solução.

(a) Atributos por unidade de gasto:

Bem	Calorias/R$	Proteínas/R$
Arroz	130/5 = 26	2,5/5 = 0,5
Frango	165/18 = 9,17	31/18 = 1,72

Sejam $a$ = unidades de arroz e $f$ = unidades de frango. Os atributos são:

\[ z_1 = 130a + 165f, \qquad z_2 = 2{,}5a + 31f \]

A restrição orçamentária: $5a + 18f = 200$.

A utilidade é $U = z_1^{0,4} z_2^{0,6}$. Substituindo $a = (200 - 18f)/5 = 40 - 3{,}6f$:

\[ z_1 = 130(40 - 3{,}6f) + 165f = 5200 - 468f + 165f = 5200 - 303f \]

\[ z_2 = 2{,}5(40 - 3{,}6f) + 31f = 100 - 9f + 31f = 100 + 22f \]

Maximizando $z_1^{0,4} z_2^{0,6}$ em relação a $f$:

CPO: $\frac{0{,}4}{z_1}(-303) + \frac{0{,}6}{z_2}(22) = 0$

\[ \frac{0{,}6 \times 22}{z_2} = \frac{0{,}4 \times 303}{z_1} \implies \frac{13{,}2}{z_2} = \frac{121{,}2}{z_1} \implies z_1 = 9{,}182 z_2 \]

Substituindo: $5200 - 303f = 9{,}182(100 + 22f)$

\[ 5200 - 303f = 918{,}2 + 202f \implies 4281{,}8 = 505f \implies f \approx 8{,}48 \]

\[ a = 40 - 3{,}6 \times 8{,}48 \approx 9{,}47 \]

(b) Com o ovo (155 cal, 13 prot, R$ 8), o problema passa a ter 3 bens e 2 atributos. A eficiência do ovo: 19,4 cal/R$ e 1,63 prot/R$. O ovo é dominado pelo frango em proteínas/R$ (1,63 < 1,72) e pelo arroz em calorias/R$ (19,4 < 26). No entanto, oferece uma combinação intermediária que pode ser ótima dependendo dos pesos.

Resolvendo o sistema expandido (omitindo álgebra extensa), o ovo tenderia a substituir parcialmente ambos os bens existentes se oferecer uma combinação de atributos mais próxima da razão ótima $z_1/z_2$ que a dos bens originais. Na prática, o ovo entraria na cesta como uma fonte intermediária custo-efetiva.

Interpretação econômica: O modelo de Lancaster permite analisar a entrada de novos produtos não por seus preços diretos, mas por seus "preços de atributos". No Brasil, a diversidade de fontes proteicas (frango, ovo, feijão) com diferentes perfis de atributos e preços explica a heterogeneidade dos padrões alimentares entre regiões e classes de renda.

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✏️ Exercício 6.5¶

Solução.

(a) A condição de Gorman exige que as curvas de Engel individuais sejam lineares e paralelas: $x_i = a_i(p) + b(p) \cdot I_i$, onde $b(p)$ é comum a todos os consumidores.

Consumidor A: $x_1^A = I^A/(2p_1)$ → linear em $I^A$, com $b^A = 1/(2p_1)$.
Consumidor B: $x_1^B = (I^B)^2/(100 p_1)$ → não linear em $I^B$.

A curva de Engel de B é quadrática. A condição de Gorman não é satisfeita. Logo, a demanda de mercado não pode ser escrita como função da renda agregada.

(b) Com $I^A = I^B = 100$, $p_1 = 10$:

\[ X_1 = \frac{100}{20} + \frac{10000}{1000} = 5 + 10 = 15 \]

Redistribuição ($I^A = 50$, $I^B = 150$):

\[ X_1 = \frac{50}{20} + \frac{22500}{1000} = 2{,}5 + 22{,}5 = 25 \]

A demanda aumentou de 15 para 25, apesar da renda total permanecer em 200.

(c) Quando a condição de Gorman falha, a distribuição de renda afeta a demanda agregada. Políticas de redistribuição como o Bolsa Família alteram a demanda de mercado não apenas pelo efeito mecânico sobre a renda total (que não muda em transferências puras), mas pela diferença nas propensões marginais a consumir entre os beneficiários e os contribuintes. No exemplo, transferir renda para o consumidor B (com demanda convexa na renda) eleva a demanda agregada. Empiricamente, famílias de baixa renda tendem a ter maior propensão marginal a consumir bens básicos — uma violação da condição de Gorman que é relevante para avaliar os efeitos macroeconômicos de programas de transferência.

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✏️ Exercício 6.6¶

Solução.

(a) Com $U = x_1^{0{,}5} x_2^{0{,}5}$ (Cobb-Douglas com $a = 0{,}5$), as demandas marshallianas são:

\[ x_1^* = \frac{0{,}5 \cdot I}{p_1} = \frac{I}{2p_1}, \qquad x_2^* = \frac{I}{2p_2} \]

A elasticidade-preço cruzada marshalliana de $x_1$ em relação a $p_2$:

\[ \varepsilon_{x_1, p_2}^M = \frac{\partial x_1}{\partial p_2} \cdot \frac{p_2}{x_1} = 0 \cdot \frac{p_2}{x_1} = 0 \]

pois $x_1^* = I/(2p_1)$ não depende de $p_2$. Os bens são marshallianos independentes (nem substitutos nem complementos brutos).

(b) A utilidade indireta é $V(p_1, p_2, I) = \frac{I}{2p_1^{0{,}5} p_2^{0{,}5}}$. Invertendo para obter a função dispêndio:

\[ E(p_1, p_2, \bar{u}) = 2\bar{u} \, p_1^{0{,}5} p_2^{0{,}5} \]

Pelo Lema de Shephard, as demandas hicksianas são:

\[ h_1 = \frac{\partial E}{\partial p_1} = \bar{u} \, p_1^{-0{,}5} p_2^{0{,}5}, \qquad h_2 = \frac{\partial E}{\partial p_2} = \bar{u} \, p_1^{0{,}5} p_2^{-0{,}5} \]

O efeito substituição cruzado hicksiano:

\[ \frac{\partial h_1}{\partial p_2} = \bar{u} \, p_1^{-0{,}5} \cdot 0{,}5 \, p_2^{-0{,}5} = \frac{\bar{u}}{2\sqrt{p_1 p_2}} > 0 \]

Os bens são substitutos líquidos (hicksianos), como esperado para qualquer par de bens com apenas dois bens na economia.

(c) Pela Equação de Slutsky:

\[ \underbrace{\frac{\partial x_1}{\partial p_2}}_{= \, 0} = \underbrace{\frac{\partial h_1}{\partial p_2}}_{> \, 0} - \underbrace{x_2 \frac{\partial x_1}{\partial I}}_{> \, 0} \]

Os dois termos do lado direito se cancelam exatamente. O efeito substituição cruzado ($\partial h_1 / \partial p_2 > 0$) é positivo: quando $p_2$ sobe, mantendo a utilidade constante, o consumidor substitui $x_2$ por $x_1$. No entanto, o aumento de $p_2$ também reduz o poder de compra real, diminuindo a demanda por $x_1$ (já que $x_1$ é bem normal). Com a Cobb-Douglas, esses dois efeitos se cancelam perfeitamente porque a parcela orçamentária de cada bem é constante (50% de $I$ para cada bem) — propriedade característica da Cobb-Douglas. O que cancela o efeito substituição é o efeito renda cruzado $x_2 \frac{\partial x_1}{\partial I} = \frac{I}{2p_2} \cdot \frac{1}{2p_1}$.

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✏️ Exercício 6.7¶

Solução.

(a) Os preços do arroz e do feijão variam proporcionalmente: $p_R = \alpha \bar{p}_R$ e $p_F = \alpha \bar{p}_F$. Definimos o bem composto "alimentos básicos":

\[ A \equiv \bar{p}_R \cdot R + \bar{p}_F \cdot F \]

onde $R$ e $F$ são as quantidades de arroz e feijão, respectivamente. A restrição orçamentária original:

\[ p_R \cdot R + p_F \cdot F + p_M \cdot M + y = I \]

Substituindo $p_R = \alpha \bar{p}_R$ e $p_F = \alpha \bar{p}_F$:

\[ \alpha (\bar{p}_R \cdot R + \bar{p}_F \cdot F) + p_M \cdot M + y = I \]

\[ \alpha \cdot A + p_M \cdot M + y = I \]

(b) O "preço" do bem composto $A$ é $\alpha$ (o índice que escala os preços do grupo). A "quantidade" de $A$ é $\bar{p}_R \cdot R + \bar{p}_F \cdot F$ — o valor do consumo de alimentos básicos a preços-base.

(c) O problema original tem 4 bens ($R$, $F$, $M$, $y$) e se reduz a 3 bens ($A$, $M$, $y$) com a agregação. A simplificação é inválida para analisar o impacto de uma seca que afeta apenas o arroz, porque nesse caso $p_R$ sobe sem que $p_F$ suba na mesma proporção — os preços relativos dentro do grupo "alimentos básicos" mudam. O Teorema do Bem Composto exige que $p_R/p_F = \bar{p}_R/\bar{p}_F$ permaneça constante (apenas o escalar $\alpha$ varia). Quando a seca é específica ao arroz, o preço relativo arroz/feijão muda, invalidando a agregação. Nesse caso, seria necessário manter arroz e feijão como bens separados na análise.

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✏️ Exercício 6.8¶

Solução.

(a) A propriedade $S\mathbf{p} = \mathbf{0}$ implica, para a primeira linha da matriz:

\[ s_{11} p_1 + s_{12} p_2 + s_{13} p_3 = 0 \]

Com $\mathbf{p} = (1, 1, 1)^\top$:

\[ -4 + 3 + s_{13} = 0 \implies s_{13} = 1 \]

(b) Como $s_{13} = 1 > 0$, o bem 1 e o bem 3 são substitutos líquidos (hicksianos).

(c) Usando a segunda linha ($s_{21} p_1 + s_{22} p_2 + s_{23} p_3 = 0$):

\[ 3 + (-5) + 2 = 0 \quad \checkmark \]

A segunda linha já está balanceada. Para a terceira linha ($s_{31} p_1 + s_{32} p_2 + s_{33} p_3 = 0$):

\[ s_{13} \cdot 1 + s_{23} \cdot 1 + s_{33} \cdot 1 = 0 \implies 1 + 2 + s_{33} = 0 \implies s_{33} = -3 \]

De fato $s_{33} = -3 \leq 0$, confirmando o efeito substituição próprio não positivo do bem 3, como exigido pela negatividade semidefinida da matriz de Slutsky.

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✏️ Exercício 6.9¶

Solução.

(a) O imposto sobre gasolina eleva $p_G$ em 10% ($\Delta p_G / p_G = +10\%$). A variação percentual na demanda por gasolina:

\[ \frac{\Delta Q_G}{Q_G} \approx \varepsilon_{G, p_G} \cdot \frac{\Delta p_G}{p_G} = (-0{,}60) \times 10\% = -6\% \]

A demanda por gasolina cai aproximadamente 6%.

(b) A variação percentual na demanda por etanol, via elasticidade cruzada:

\[ \frac{\Delta Q_E}{Q_E} \approx \varepsilon_{E, p_G} \cdot \frac{\Delta p_G}{p_G} = (+0{,}65) \times 10\% = +6{,}5\% \]

A demanda por etanol aumenta aproximadamente 6,5%.

(c) A perda de peso morto (triângulo de Harberger) associada ao imposto sobre gasolina é:

\[ DWL \approx \frac{1}{2} \cdot |\Delta Q_G| \cdot |\Delta p_G| \]

Com $Q_G^0 = 100$ litros, $p_G^0 = 6{,}00$ R$/l e $\Delta p_G / p_G = 10\%$:

[ \Delta p_G = 0{,}10 \times 6{,}00 = 0{,}60 \text{ R$/l} ] [ \Delta Q_G = -0{,}06 \times 100 = -6 \text{ litros} ] [ DWL \approx \frac{1}{2} \times 6 \times 0{,}60 = \text{R$ } 1{,}80 ]

Interpretação: A elevada elasticidade-preço da gasolina ($-0{,}60$) — muito superior à de bens como alimentos ou habitação — implica que o imposto sobre combustíveis gera perdas de peso morto relativamente maiores por real arrecadado. Bens com elevada elasticidade-preço cruzada (gasolina e etanol são fortes substitutos) também redistribuem demanda significativamente: um imposto sobre gasolina efetivamente subsidia o etanol, alterando a composição da frota e as emissões de carbono — uma externalidade positiva que poderia ser contabilizada como benefício social parcialmente compensando o peso morto.

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✏️ Exercício 6.10¶

Solução.

Queremos provar que, com $n = 2$ bens, $s_{12} = \frac{\partial h_1}{\partial p_2} \geq 0$.

Passo 1: Condição de homogeneidade.

Pela homogeneidade de grau zero das demandas hicksianas, aplicando o Teorema de Euler:

\[ \sum_{j=1}^{n} p_j \frac{\partial h_i}{\partial p_j} = 0 \quad \text{para todo } i \]

Com $n = 2$ e $i = 1$:

\[ p_1 s_{11} + p_2 s_{12} = 0 \label{eq:passo1} \tag{P1} \]

Passo 2: Negatividade do efeito substituição próprio.

Da negatividade semidefinida da matriz de Slutsky (decorrente da minimização de dispêndio), temos:

\[ s_{11} \leq 0 \]

Passo 3: Isolando $s_{12}$.

Da equação \eqref{eq:passo1}:

\[ s_{12} = -\frac{p_1}{p_2} s_{11} \]

Como $p_1 > 0$, $p_2 > 0$ e $s_{11} \leq 0$, concluímos:

\[ s_{12} = -\frac{p_1}{p_2} \underbrace{s_{11}}_{\leq 0} \geq 0 \]

Conclusão: $\frac{\partial h_1}{\partial p_2} = s_{12} \geq 0$. Com dois bens, o efeito substituição cruzado hicksiano é sempre não negativo, confirmando que dois bens são sempre substitutos líquidos (ou no mínimo independentes). $\blacksquare$

Observação: A igualdade $s_{12} = 0$ ocorreria apenas se $s_{11} = 0$, o que implicaria que o bem 1 não reage compensadamente ao seu próprio preço — um caso degenerado que na prática não ocorre para bens interiores. Para soluções interiores com preferências estritamente convexas, $s_{11} < 0$ e, portanto, $s_{12} > 0$ estritamente.

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