Soluções dos Exercícios — Capítulo 5¶
✏️ Exercício 5.1¶
Solução.
(a) Com \(U = x_1^{1/3} x_2^{2/3}\) (Cobb-Douglas com \(\alpha = 1/3\)), as demandas marshallianas são:
(b) Homogeneidade de grau zero: \(x_1^*(tp_1, tp_2, tI) = \frac{tI}{3(tp_1)} = \frac{I}{3p_1} = x_1^*\). ✓
Esgotamento da renda: \(p_1 x_1^* + p_2 x_2^* = \frac{I}{3} + \frac{2I}{3} = I\). ✓
(c) Classificação:
- \(\frac{\partial x_1^*}{\partial I} = \frac{1}{3p_1} > 0\) → bem 1 é normal.
- \(\frac{\partial x_2^*}{\partial I} = \frac{2}{3p_2} > 0\) → bem 2 é normal.
Elasticidade-renda: \(\varepsilon_{x_1, I} = \frac{\partial x_1}{\partial I} \cdot \frac{I}{x_1} = \frac{1}{3p_1} \cdot \frac{I}{I/(3p_1)} = 1\). Analogamente, \(\varepsilon_{x_2, I} = 1\).
Ambos os bens têm elasticidade-renda unitária — nem luxo nem necessidade. Isso é uma propriedade geral da Cobb-Douglas: as parcelas orçamentárias são constantes e iguais aos expoentes.
Interpretação econômica: Com Cobb-Douglas, o consumidor sempre aloca frações fixas da renda a cada bem (1/3 e 2/3). Isso implica curvas de Engel lineares passando pela origem — um resultado frequentemente usado como benchmark em análise empírica.
✏️ Exercício 5.2¶
Solução.
(a) Com \(U = \ln x + y\), \(p_y = 1\):
Marshalliana: CPO: \(1/x = \lambda p_x\) e \(1 = \lambda\), logo \(x^* = 1/p_x\), \(y^* = I - 1\).
Hicksiana: Minimizando dispêndio sujeito a \(\ln x + y = \bar{u}\): \(h_x = 1/p_x\), \(h_y = \bar{u} - \ln(1/p_x)\).
(b) \(\partial x^*/\partial I = 0\). O efeito-renda sobre \(x\) é zero: toda variação de renda é absorvida por \(y\). Na equação de Slutsky, o termo de renda desaparece, e a demanda marshalliana coincide com a hicksiana.
(c) Sejam \(p_x^0 = 4\) e \(p_x^1 = 1\).
Variação Compensatória (VC): \(VC = E(p^0, \bar{u}^1) - E(p^1, \bar{u}^1) = E(p^0, \bar{u}^1) - I\).
Com \(\bar{u}^1 = \ln(1) + I - 1 = I - 1\): \(E = p_x^0 \cdot h_x(p^0) + h_y = 4 \cdot (1/4) + (\bar{u}^1 - \ln(1/4)) = 1 + I - 1 + \ln 4 = I + \ln 4\).
\(VC = (I + \ln 4) - I = \ln 4 \approx 1{,}386\).
Variação Equivalente (VE): \(VE = I - E(p^1, \bar{u}^0)\). Com \(\bar{u}^0 = \ln(1/4) + I - 1\):
\(E(p^1, \bar{u}^0) = 1 \cdot 1 + \bar{u}^0 - \ln 1 = 1 + \ln(1/4) + I - 1 = I - \ln 4\).
\(VE = I - (I - \ln 4) = \ln 4 \approx 1{,}386\).
Excedente do Consumidor (EC): \(\Delta EC = \int_1^4 \frac{1}{p_x} dp_x = \ln 4 \approx 1{,}386\).
Interpretação econômica: Com utilidade quase-linear, as três medidas de bem-estar coincidem porque não há efeito-renda. Isso elimina a ambiguidade que existe em preferências gerais, onde VC ≠ VE ≠ EC. É por isso que preferências quase-lineares são tão populares em análise de equilíbrio parcial.
✏️ Exercício 5.3¶
Solução.
A equação de Slutsky é:
O efeito substituição é sempre não positivo (\(\partial h_i/\partial p_i \leq 0\)) pela negatividade da matriz de Slutsky.
Um bem de Giffen tem \(\partial x_i/\partial p_i > 0\) (demanda crescente no preço). Para que isso ocorra:
Como o lado esquerdo é não positivo, o lado direito deve ser negativo, o que exige \(\frac{\partial x_i}{\partial I} < 0\) (bem inferior). Além disso, o efeito-renda negativo deve dominar o efeito substituição em magnitude.
Logo, todo bem de Giffen é necessariamente inferior. \(\blacksquare\)
A recíproca é falsa: nem todo bem inferior é de Giffen. Para que um bem inferior seja de Giffen, o efeito-renda deve ser suficientemente grande (em valor absoluto) para superar o efeito substituição. Na prática, isso exige que o bem represente uma parcela muito grande do orçamento (para que \(x_i \cdot |\partial x_i/\partial I|\) seja grande) — condição raramente satisfeita.
Interpretação econômica: Bens de Giffen são uma curiosidade teórica, não uma regularidade empírica. O exemplo clássico (batatas na Irlanda durante a Grande Fome) requer que um bem inferior seja tão essencial e ocupe uma parcela tão grande do orçamento que o efeito-renda negativo domine completamente a substituição.
✏️ Exercício 5.4¶
Solução.
(a) Agregação de Engel: \(w_1 \varepsilon_{x_1,I} + w_2 \varepsilon_{x_2,I} = 1\).
(b) Bem 1: \(\varepsilon_{x_1,I} = 0{,}5 < 1\) → necessidade. Bem 2: \(\varepsilon_{x_2,I} = 4/3 > 1\) → luxo.
(c) Condição de homogeneidade: \(\varepsilon_{x_i,p_i} + \varepsilon_{x_i,p_j} + \varepsilon_{x_i,I} = 0\).
Como \(\varepsilon_{x_1,p_2} > 0\), os bens são substitutos brutos: um aumento no preço do bem 2 eleva a demanda pelo bem 1.
Interpretação econômica: As restrições de agregação e homogeneidade são "disciplinadoras" da teoria do consumidor. A Agregação de Engel garante que a soma ponderada das elasticidades-renda iguala 1 — reflexo algébrico do esgotamento da renda. A homogeneidade garante ausência de ilusão monetária. Essas restrições são testáveis empiricamente e frequentemente impostas em estimações de sistemas de demanda.
✏️ Exercício 5.5¶
Solução.
(a) \(\%\Delta Q_{\text{gasolina}} \approx \varepsilon_{p} \times \%\Delta p = -0{,}40 \times 15\% = -6\%\).
A demanda por gasolina cairia aproximadamente 6%.
(b) \(\%\Delta Q_{\text{etanol}} \approx \varepsilon_{p_{\text{gas}}} \times \%\Delta p_{\text{gas}} = 1{,}10 \times 15\% = +16{,}5\%\).
A demanda por etanol aumentaria aproximadamente 16,5%.
(c) Limitações da análise estática:
- Curto vs. longo prazo: As elasticidades utilizadas são de curto prazo. No longo prazo, os consumidores podem substituir o veículo por um modelo flex-fuel ou elétrico, e a elasticidade-preço da gasolina tende a ser maior (em valor absoluto). Isso significa que a redução de 6% subestima o efeito de longo prazo.
- Efeitos de equilíbrio geral: O aumento na demanda por etanol pressionaria para cima o preço do etanol, atenuando parcialmente a substituição. A análise ceteris paribus ignora esse feedback.
- Assimetria de resposta: Consumidores podem responder de forma diferente a aumentos e reduções de preço (efeito foguete-pena), e a linearidade implícita na análise pode falhar para variações grandes (15%).
- Efeitos distributivos: A elasticidade média esconde heterogeneidade. Consumidores de baixa renda, para os quais o combustível representa maior parcela do orçamento, podem ter elasticidades diferentes.
Interpretação econômica: No contexto brasileiro, a forte substituibilidade gasolina-etanol (elevada elasticidade cruzada) reflete a ampla frota flex-fuel. Essa peculiaridade do mercado brasileiro faz com que tributos sobre gasolina tenham efeitos indiretos significativos sobre o setor sucroalcooleiro — uma interdependência que a análise ceteris paribus captura parcialmente.
✏️ Exercício 5.6¶
Solução.
(a) Para \(U = x_1^{1/4} x_2^{3/4}\) (Cobb-Douglas com \(\alpha = 1/4\)), as demandas marshallianas são:
Com os valores numéricos \(p_1 = 2\), \(p_2 = 6\), \(I = 240\):
(b) As elasticidades-renda são:
(c) Ambos os bens têm \(\varepsilon_{x_i, I} = 1 > 0\), portanto são normais. Como \(\varepsilon_{x_i, I} = 1\), não são nem luxo nem necessidade — são exatamente bens de elasticidade-renda unitária.
Interpretação econômica: Esse resultado é uma propriedade geral da Cobb-Douglas: independentemente dos expoentes \(\alpha\) e \(1-\alpha\), a elasticidade-renda de cada bem é sempre igual a 1. Isso ocorre porque a regra de decisão ótima aloca sempre a fração fixa \(\alpha\) da renda ao bem 1 e \(1-\alpha\) ao bem 2 — portanto, quando a renda dobra, o consumo de cada bem também dobra. Em termos das curvas de Engel, ambas são retas passando pela origem, com inclinação \(\alpha/(4p_1)\) e \((1-\alpha)/(4p_2)\) respectivamente.
✏️ Exercício 5.7¶
Solução.
(a) Verdadeiro. Pela Equação de Slutsky com \(i = j\):
Se o bem é de Giffen, \(\partial x_i/\partial p_i > 0\). Como o efeito substituição é sempre \(\leq 0\), o efeito renda deve ser positivo: \(-x_i \partial x_i/\partial I > 0\), o que implica \(\partial x_i/\partial I < 0\) — definição de bem inferior. \(\blacksquare\)
(b) Falso. Um bem pode ser inferior sem ser de Giffen. Para que seja de Giffen, além de inferior, o efeito renda deve superar o efeito substituição em valor absoluto:
Essa condição exige que o bem represente parcela muito elevada do orçamento (para que \(x_i\) seja grande) e que a elasticidade-renda seja fortemente negativa. Na prática, a maioria dos bens inferiores — como farinha de mandioca no Brasil — representa parcela pequena do orçamento, de modo que o efeito renda não domina, e a curva de demanda permanece negativamente inclinada.
(c) Falso. Para \(U = x_1^a x_2^{1-a}\), as demandas marshallianas são \(x_1^* = aI/p_1\) e \(x_2^* = (1-a)I/p_2\). As elasticidades-renda são \(\varepsilon_{x_i, I} = 1\) para ambos os bens (como vimos no Exercício 5.6 e na Seção 5.2.3). Com \(\varepsilon = 1\), os bens Cobb-Douglas não são de luxo (\(\varepsilon > 1\)) nem de necessidade (\(0 < \varepsilon < 1\)) — são exatamente bens de elasticidade unitária.
(d) Verdadeiro. Para \(U = v(x_1) + x_2\) quase-linear, a demanda por \(x_1\) não depende da renda: \(\partial x_1/\partial I = 0\). Portanto, pela Equação de Slutsky:
O efeito renda é nulo, e o efeito total sobre \(x_1\) coincide com o efeito substituição. Isso também implica que as curvas de demanda marshalliana e hicksiana por \(x_1\) são idênticas.
Interpretação econômica: A afirmação (d) é a base teórica da equivalência \(VC = VE = \Delta EC\) para utilidades quase-lineares, demonstrada na Seção 5.8.4. A intuição é que, sem efeito renda, não há discrepância entre as curvas marshalliana e hicksiana — eliminando a fonte de diferença entre as três medidas de bem-estar.
✏️ Exercício 5.8¶
Solução.
Dados: \(U = x_1^{1/2} x_2^{1/2}\), \(p_1 = p_2 = 1\), \(I = 100\), \(p_1' = 4\).
(a) Cestas ótimas
Demandas marshallianas (Cobb-Douglas, \(a = b = 1/2\)):
- Antes (\(p_1 = 1\)): \(x_1^0 = 50\), \(x_2^0 = 50\). \(U_0 = \sqrt{50 \times 50} = 50\).
- Depois (\(p_1' = 4\)): \(x_1^1 = 100/(2 \times 4) = 12{,}5\), \(x_2^1 = 50\). \(U_1 = \sqrt{12{,}5 \times 50} = \sqrt{625} = 25\).
Efeito total: \(\Delta x_1 = 12{,}5 - 50 = -37{,}5\).
(b) Decomposição de Hicks
Demanda hicksiana: \(h_1 = \bar{U} \sqrt{p_2/p_1}\).
Com \(\bar{U} = U_0 = 50\) e novo preço \(p_1' = 4\):
Efeito substituição: \(ES = h_1(p_1', U_0) - x_1^0 = 25 - 50 = -25\).
Efeito renda: \(ER = x_1^1 - h_1(p_1', U_0) = 12{,}5 - 25 = -12{,}5\).
Verificação: \(ES + ER = -25 + (-12{,}5) = -37{,}5 = \Delta x_1\). ✓
(c) Variação Compensatória e Variação Equivalente
Função dispêndio para Cobb-Douglas \((a = b = 1/2)\): \(E(\mathbf{p}, \bar{U}) = 2\bar{U}\sqrt{p_1 p_2}\).
(d) Excedente do Consumidor e verificação da ordenação
Verificação da ordenação:
Atenção: para um aumento de preço (perda de bem-estar), a ordenação se inverte em relação à queda de preço: \(VC > EC > VE\). O consumidor perde \(100\) reais de bem-estar quando medido pela VC (o que o governo precisaria compensar), \(69{,}3\) pelo EC marshalliano, e \(50\) pela VE (o que o consumidor pagaria para evitar o aumento).
Interpretação econômica: A diferença entre VC e VE (100 vs. 50) é expressiva porque a variação de preço é grande (de 1 para 4, um aumento de 300%) e o bem representa metade do orçamento — ambas as condições que ampliam a divergência entre as medidas. Em aplicações de política pública (como avaliação do impacto de reajustes tarifários de energia elétrica), essa diferença de 50% entre VC e VE justifica o uso de medidas exatas de bem-estar em vez do EC marshalliano.
✏️ Exercício 5.9¶
Solução.
Dados: \(w_1 = 0{,}4\), \(w_2 = 0{,}6\), \(\varepsilon_{1,I} = 0{,}6\), \(\varepsilon_{1,p_1} = -0{,}5\).
(a) Elasticidade-renda dos outros bens (Agregação de Engel)
Bem 1 (alimentos): \(\varepsilon_{1,I} = 0{,}6 \in (0,1)\) → necessidade normal. Bem 2 (outros bens): \(\varepsilon_{2,I} \approx 1{,}27 > 1\) → bem de luxo.
Esse padrão é consistente com a Lei de Engel: as famílias alocam proporcionalmente menos para alimentos conforme a renda cresce.
(b) Elasticidade cruzada dos alimentos (condição de homogeneidade)
A elasticidade cruzada negativa indica que alimentos e outros bens são complementos brutos: um aumento no preço dos outros bens reduz levemente a demanda por alimentos. Isso pode refletir, por exemplo, que quando serviços (transporte, lazer) ficam mais caros, as famílias reduzem atividades que acompanham o consumo de alimentos fora do domicílio.
(c) Variação na demanda por alimentos com aumento de 10% no preço
Usando a elasticidade-preço própria:
A demanda por alimentos cairia aproximadamente 5%.
(d) Decomposição em efeito substituição e efeito renda
A Equação de Slutsky na forma de elasticidades é:
onde \(\varepsilon_{1,p_1}^h\) é a elasticidade de substituição (hicksiana) e \(w_1 \varepsilon_{1,I}\) é o termo de efeito renda.
Isolando o efeito substituição:
O efeito renda (em elasticidade) é: \(-w_1 \varepsilon_{1,I} = -0{,}4 \times 0{,}6 = -0{,}24\).
Decomposição do \(-5\%\):
O efeito substituição (\(-2{,}6\%\)) captura a troca por outros bens quando alimentos ficam relativamente mais caros. O efeito renda (\(-2{,}4\%\)) captura o empobrecimento real das famílias com o aumento dos preços dos alimentos — que representam 40% do orçamento.
Interpretação de política pública: Os dois efeitos são de magnitude similar, o que reflete o elevado peso dos alimentos no orçamento familiar (\(w_1 = 0{,}4\)). Em termos de segurança alimentar, um aumento de 10% nos preços dos alimentos reduz seu consumo em 5% — parte por substituição (famílias buscam alimentos mais baratos ou produzem em casa) e parte por empobrecimento real. Políticas como o PAA (Programa de Aquisição de Alimentos) ou subsídios a alimentos básicos atuam principalmente pelo efeito renda: ao segurar o preço real dos alimentos para famílias pobres, evitam o empobrecimento e estabilizam a demanda.
✏️ Exercício 5.10¶
Solução.
(a) Simetria e semidefinição negativa da matriz de Slutsky
Passo 1 — Lema de Shephard.
A função dispêndio \(E(\mathbf{p}, \bar{U})\) satisfaz o Lema de Shephard:
Passo 2 — Simetria.
Como \(E\) é duas vezes continuamente diferenciável (pela regularidade das preferências), a ordem das derivadas parciais é irrelevante (teorema de Schwarz/Young):
Portanto \(\mathbf{S} = \mathbf{S}^\top\) — a matriz é simétrica. \(\blacksquare\)
Passo 3 — Semidefinição negativa.
A função dispêndio \(E(\mathbf{p}, \bar{U})\) é côncava em \(\mathbf{p}\) (pois é o ínfimo de funções lineares em \(\mathbf{p}\): \(E(\mathbf{p}, \bar{U}) = \min_\mathbf{x} \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}\) sujeito a \(U(\mathbf{x}) \geq \bar{U}\)). Para qualquer função côncava duas vezes diferenciável, a matriz hessiana é negativa semidefinida. A Hessiana de \(E\) em relação a \(\mathbf{p}\) é exatamente \(\mathbf{S}\):
Portanto, para todo vetor \(\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n\):
pela concavidade de \(E\). Logo \(\mathbf{S}\) é negativa semidefinida. \(\blacksquare\)
(b) Prova de que \(\mathbf{S}\mathbf{p} = \mathbf{0}\)
Pela homogeneidade de grau zero da demanda hicksiana em preços — que decorre da homogeneidade de grau 1 da função dispêndio em \(\mathbf{p}\) —, o Teorema de Euler aplicado a \(h_i\) (de grau zero) diz:
Em notação matricial, isso é \(\mathbf{S}\mathbf{p} = \mathbf{0}\): o vetor de preços \(\mathbf{p}\) é um vetor nulo da matriz de Slutsky.
Interpretação econômica: \(\mathbf{S}\mathbf{p} = \mathbf{0}\) significa que uma variação proporcional em todos os preços (multiplicar \(\mathbf{p}\) por uma constante) não altera a demanda hicksiana — o efeito substituição compensado não responde a variações equiproporcionais de preços. Isso é consistente com a ausência de ilusão monetária: se todos os preços nominais dobram mas a utilidade-alvo é mantida, o consumidor compensado não muda sua cesta. Em termos da matriz \(\mathbf{S}\), isso implica que \(\mathbf{S}\) é singular (posto menor que \(n\)) — ela possui pelo menos um autovalor igual a zero, correspondente ao vetor de preços \(\mathbf{p}\).