Soluções dos Exercícios — Capítulo 3¶

✏️ Exercício 3.1¶

Solução.

(a) A TMS é a razão das utilidades marginais:

\[ \text{TMS}_{12} = \frac{\partial u/\partial x_1}{\partial u/\partial x_2} = \frac{\frac{1}{3}x_1^{-2/3}x_2^{2/3}}{\frac{2}{3}x_1^{1/3}x_2^{-1/3}} = \frac{1}{2}\cdot\frac{x_2}{x_1} \]

\[ \boxed{\text{TMS}_{12} = \frac{x_2}{2x_1}} \]

(b) No ponto $(4, 8)$:

\[ \text{TMS}_{12} = \frac{8}{2 \times 4} = 1 \]

O consumidor está disposto a trocar exatamente 1 unidade de $x_2$ por 1 unidade adicional de $x_1$, mantendo-se na mesma curva de indiferença. Se $p_1/p_2 = 1$ no mercado, esse ponto seria ótimo; se $p_1/p_2 < 1$, o bem 1 está "barato" relativamente à sua valoração subjetiva, e o consumidor deveria consumir mais de $x_1$.

(c) Ao longo de uma curva de indiferença $u = \bar{u}$, temos $x_2 = \bar{u}^{3/2} x_1^{-1/2}$ (isolando $x_2$ de $x_1^{1/3}x_2^{2/3} = \bar{u}$). Substituindo na TMS:

\[ \text{TMS}_{12} = \frac{\bar{u}^{3/2} x_1^{-1/2}}{2x_1} = \frac{\bar{u}^{3/2}}{2} x_1^{-3/2} \]

Derivando em relação a $x_1$:

\[ \frac{\partial \text{TMS}_{12}}{\partial x_1} = \frac{\bar{u}^{3/2}}{2} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) x_1^{-5/2} < 0 \quad \checkmark \]

Interpretação econômica: A TMS decrescente reflete a convexidade das preferências: à medida que o consumidor acumula mais de $x_1$ (e menos de $x_2$), cada unidade adicional de $x_1$ vale menos em termos de $x_2$. Isso gera curvas de indiferença convexas e fundamenta a existência de soluções interiores no problema do consumidor.

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✏️ Exercício 3.2¶

Solução.

A função $v(x_1, x_2) = x_1 \cdot x_2^2$ é uma transformação monotônica de $u(x_1, x_2) = \ln x_1 + 2\ln x_2$. De fato:

\[ u = \ln x_1 + 2\ln x_2 = \ln(x_1 \cdot x_2^2) \implies v = e^u \]

Como $g(u) = e^u$ é estritamente crescente, $v$ é uma transformação monotônica positiva de $u$, logo ambas representam as mesmas preferências.

Verificação pela TMS:

\[ \text{TMS}_{12}^{(u)} = \frac{1/x_1}{2/x_2} = \frac{x_2}{2x_1} \]

\[ \text{TMS}_{12}^{(v)} = \frac{x_2^2}{2x_1 x_2} = \frac{x_2}{2x_1} \]

As TMS são idênticas. $\blacksquare$

Interpretação econômica: A utilidade ordinal implica que apenas a ordenação das cestas importa, não os valores numéricos. Transformações monotônicas preservam a ordenação e, portanto, a TMS — que é a grandeza observável (via escolhas) e economicamente relevante.

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✏️ Exercício 3.3¶

Solução.

(a) Para a função CES $u = \left(x_1^\rho + x_2^\rho\right)^{1/\rho}$, a elasticidade de substituição é:

\[ \sigma = \frac{1}{1 - \rho} \]

Com $\rho = -1$:

\[ \boxed{\sigma = \frac{1}{1-(-1)} = \frac{1}{2}} \]

(b) Com $\rho = -1$, $u = (x_1^{-1} + x_2^{-1})^{-1} = \frac{x_1 x_2}{x_1 + x_2}$.

\[ \frac{\partial u}{\partial x_1} = \frac{x_2(x_1+x_2) - x_1 x_2}{(x_1+x_2)^2} = \frac{x_2^2}{(x_1+x_2)^2} \]

\[ \frac{\partial u}{\partial x_2} = \frac{x_1^2}{(x_1+x_2)^2} \]

\[ \boxed{\text{TMS}_{12} = \frac{x_2^2}{x_1^2} = \left(\frac{x_2}{x_1}\right)^2} \]

(c) As curvas de indiferença estão mais próximas do caso de complementos perfeitos (Leontief). Com $\sigma = 1/2 < 1$, a substituibilidade entre os bens é baixa — menor que no caso Cobb-Douglas ($\sigma = 1$). As curvas de indiferença são convexas, mas com curvatura mais acentuada que as Cobb-Douglas, aproximando-se da forma em "L" dos complementos perfeitos ($\sigma \to 0$). Intuitivamente, com $\sigma = 1/2$, uma mudança de 1% nos preços relativos induz uma mudança de apenas 0,5% na razão $x_1/x_2$.

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✏️ Exercício 3.4¶

Solução.

(a)

\[ \text{TMS}_{12} = \frac{\partial u/\partial x_1}{\partial u/\partial x_2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x_1}}}{1} = \frac{1}{2\sqrt{x_1}} \]

A TMS depende apenas de $x_1$, não de $x_2$. $\blacksquare$

(b) Para um nível de utilidade $\bar{u}$: $\sqrt{x_1} + x_2 = \bar{u}$, logo $x_2 = \bar{u} - \sqrt{x_1}$. Se o nível de utilidade for $\bar{u}' = \bar{u} + \Delta$, então $x_2' = \bar{u} + \Delta - \sqrt{x_1}$. A segunda curva é uma translação vertical da primeira, deslocada por $\Delta$ unidades na direção de $x_2$. Isso ocorre porque $x_2$ aparece linearmente na função de utilidade.

(c) A condição de ótimo interior é $\text{TMS}_{12} = p_1/p_2$:

\[ \frac{1}{2\sqrt{x_1}} = \frac{p_1}{p_2} \implies x_1^* = \frac{p_2^2}{4p_1^2} \]

A demanda por $x_1$ depende apenas da razão de preços, não da renda $m$. Isso ocorre porque a TMS não depende de $x_2$, logo a condição de tangência fixa $x_1$ independentemente de quão larga é a restrição orçamentária. Todo o aumento de renda é absorvido por $x_2$ (efeito-renda zero sobre $x_1$).

Interpretação econômica: Preferências quase-lineares eliminam o efeito-renda sobre o bem não linear ($x_1$). Isso faz com que o excedente do consumidor marshalliano seja uma medida exata de variação de bem-estar, sem a ambiguidade que surge em preferências gerais (onde EC, VC e variação compensadora diferem).

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✏️ Exercício 3.5¶

Solução.

(a) Não. A curva de indiferença $x_1^2 + x_2^2 = \bar{u}$ é um arco de circunferência de raio $\sqrt{\bar{u}}$, que é côncava em relação à origem (convexa "para fora"). Conjuntos superiores $\{(x_1,x_2) : x_1^2 + x_2^2 \geq \bar{u}\}$ não são convexos — o exterior de um círculo não é um conjunto convexo.

(b) Não. A TMS é:

\[ \text{TMS}_{12} = \frac{2x_1}{2x_2} = \frac{x_1}{x_2} \]

Ao longo da curva de indiferença, quando $x_1$ aumenta, $x_2$ diminui (para manter $x_1^2 + x_2^2$ constante), então $x_1/x_2$ aumenta. A TMS é crescente, não decrescente.

(c) Essa função não satisfaz preferências estritamente convexas. A consequência é que o consumidor nunca escolhe uma cesta interior: a solução do problema de maximização é sempre uma solução de canto. O consumidor gasta toda a renda em apenas um dos bens — aquele que oferece maior utilidade marginal por unidade monetária. Geometricamente, como as curvas de indiferença são côncavas, a reta orçamentária tangencia a curva de indiferença nos extremos (eixos), não no interior.

Interpretação econômica: Preferências convexas refletem o "gosto pela diversificação" — médias são preferidas a extremos. A função $u = x_1^2 + x_2^2$ viola essa propriedade: o consumidor prefere extremos a médias (especialização total). Isso pode modelar situações em que há rendimentos crescentes no consumo — por exemplo, um colecionador que prefere 10 selos raros de um tipo a 5 de cada tipo.

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✏️ Exercício 3.6¶

Solução.

(a) Seja $S = \alpha \, x_1^{\rho} + (1-\alpha) \, x_2^{\rho}$, de modo que $u = S^{1/\rho}$. As derivadas parciais são:

\[ \frac{\partial u}{\partial x_1} = \frac{1}{\rho} S^{1/\rho - 1} \cdot \alpha \rho \, x_1^{\rho-1} = \alpha \, x_1^{\rho-1} \, S^{1/\rho - 1} \]

\[ \frac{\partial u}{\partial x_2} = (1-\alpha) \, x_2^{\rho-1} \, S^{1/\rho - 1} \]

O fator $S^{1/\rho-1}$ cancela na razão:

\[ \boxed{\text{TMS}_{12} = \frac{\alpha}{1-\alpha} \left(\frac{x_1}{x_2}\right)^{\rho-1}} \]

A TMS depende de $\alpha$ (peso relativo dos bens), $\rho$ (parâmetro de substituição, via expoente $\rho - 1$) e da razão $x_1/x_2$. $\blacksquare$

(b) Com $\alpha = 1/2$:

\[ \text{TMS}_{12} = \frac{1/2}{1/2} \left(\frac{x_1}{x_2}\right)^{\rho-1} = \left(\frac{x_1}{x_2}\right)^{\rho-1} \]

No ponto $x_1 = x_2$:

\[ \text{TMS}_{12} = 1^{\rho-1} = 1 \]

independentemente do valor de $\rho$. $\blacksquare$

Interpretação: Quando os bens têm peso igual na função CES e o consumidor os possui em quantidades iguais, sua taxa de troca subjetiva é 1:1, qualquer que seja a elasticidade de substituição. A curvatura das curvas de indiferença (governada por $\rho$) determina quão rapidamente a TMS se afasta de 1 quando a composição da cesta se desequilibra, mas no ponto simétrico todas as CES com $\alpha = 1/2$ concordam.

(c) Quando $\alpha$ aumenta, o fator $\frac{\alpha}{1-\alpha}$ cresce, elevando a TMS para qualquer razão $x_1/x_2$ dada. Isso significa que o consumidor atribui maior valor relativo ao bem 1: ele exige mais unidades do bem 2 para compensar a perda de uma unidade de $x_1$. Geometricamente, as curvas de indiferença se "inclinam" em direção ao eixo $x_2$ — refletindo a preferência mais forte por $x_1$. No limite, $\alpha \to 1$ implica que o consumidor se importa quase exclusivamente com $x_1$.

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✏️ Exercício 3.7¶

Solução.

(a) Observe que $u = x_1^{1/2} x_2^{1/2} = (x_1 x_2)^{1/2}$, logo $u^2 = x_1 x_2$. Portanto:

\[ v = -\frac{1}{x_1 x_2} = -\frac{1}{u^2} = -u^{-2} \]

A transformação é $f(t) = -t^{-2}$. Para verificar que $f$ é estritamente crescente no domínio relevante ($t > 0$):

\[ f'(t) = 2t^{-3} = \frac{2}{t^3} > 0 \quad \text{para } t > 0. \]

Logo $v = f(u)$ é uma transformação monotônica crescente, e $v$ representa as mesmas preferências que $u$. $\blacksquare$

(b) TMS pela função $u$:

\[ \text{TMS}_{12}^{(u)} = \frac{\frac{1}{2}x_1^{-1/2}x_2^{1/2}}{\frac{1}{2}x_1^{1/2}x_2^{-1/2}} = \frac{x_2}{x_1} \]

TMS pela função $v = -x_1^{-1}x_2^{-1}$:

\[ \frac{\partial v}{\partial x_1} = x_1^{-2}x_2^{-1} = \frac{1}{x_1^2 x_2}, \qquad \frac{\partial v}{\partial x_2} = x_1^{-1}x_2^{-2} = \frac{1}{x_1 x_2^2} \]

\[ \text{TMS}_{12}^{(v)} = \frac{1/(x_1^2 x_2)}{1/(x_1 x_2^2)} = \frac{x_2}{x_1} \]

\[ \boxed{\text{TMS}_{12}^{(u)} = \text{TMS}_{12}^{(v)} = \frac{x_2}{x_1}} \quad \checkmark \]

(c) As utilidades marginais são:

	$\text{UMg}_1$	$\text{UMg}_2$
$u$	$\frac{1}{2}x_1^{-1/2}x_2^{1/2}$	$\frac{1}{2}x_1^{1/2}x_2^{-1/2}$
$v$	$\frac{1}{x_1^2 x_2}$	$\frac{1}{x_1 x_2^2}$

Ambas são positivas (como deve ser, pois $f'(u) > 0$ preserva o sinal). Contudo, os valores diferem substancialmente. Por exemplo, no ponto $(4, 4)$:

$\text{UMg}_1^{(u)} = \frac{1}{2} \cdot 4^{-1/2} \cdot 4^{1/2} = 0{,}5$
$\text{UMg}_1^{(v)} = \frac{1}{16 \cdot 4} = 0{,}015625$

Os valores absolutos das utilidades marginais não possuem significado econômico, pois dependem da escala arbitrária escolhida para representar as preferências. A grandeza economicamente relevante é a razão entre utilidades marginais — a TMS —, que é invariante sob transformações monotônicas (Proposição 3.3). Por isso, afirmações como "a utilidade marginal do bem 1 é 0,5" não possuem conteúdo econômico: mudar a representação de $u$ para $v$ altera esse número sem alterar nenhuma previsão sobre o comportamento do consumidor.

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✏️ Exercício 3.8¶

Solução.

(a) A função $u = \min\{2x_1, x_2\}$ atinge utilidade máxima quando os dois argumentos são iguais: $2x_1 = x_2$. Qualquer desvio dessa proporção desperdiça recursos — se $2x_1 > x_2$, o consumidor tem excesso de $x_1$ que não contribui para a utilidade; se $2x_1 < x_2$, o excesso é de $x_2$.

Portanto, a proporção ótima é:

\[ \boxed{\frac{x_2}{x_1} = 2} \quad \text{(2 unidades de } x_2 \text{ para cada unidade de } x_1\text{)} \]

(b) No ótimo, $x_2 = 2x_1$. Substituindo na restrição orçamentária:

\[ p_1 x_1 + p_2 x_2 = m \implies 10 x_1 + 5 \cdot 2x_1 = 120 \implies 20 x_1 = 120 \]

\[ \boxed{x_1^* = 6, \quad x_2^* = 12} \]

Verificação: $u = \min\{2 \times 6, 12\} = \min\{12, 12\} = 12$. Gasto total: $10 \times 6 + 5 \times 12 = 60 + 60 = 120 = m$. $\checkmark$

(c) Com $p_1 = 20$, mantendo $x_2 = 2x_1$:

\[ 20 x_1 + 5 \cdot 2x_1 = 120 \implies 30 x_1 = 120 \]

\[ \boxed{x_1^* = 4, \quad x_2^* = 8} \]

Verificação: $u = \min\{8, 8\} = 8$. Gasto: $20 \times 4 + 5 \times 8 = 80 + 40 = 120$. $\checkmark$

Variações percentuais:

\[ \Delta x_1 \% = \frac{4 - 6}{6} = -33{,}3\%, \qquad \Delta x_2 \% = \frac{8 - 12}{12} = -33{,}3\% \]

Interpretação: Ambos os bens diminuem na mesma proporção (-33,3%), preservando a razão $x_2/x_1 = 2$. Este é um resultado característico dos complementos perfeitos: como os bens são consumidos em proporções fixas, qualquer mudança de preço funciona como uma redução (ou aumento) do poder de compra do "pacote composto" — e não há possibilidade de substituição entre os bens. A elasticidade de substituição $\sigma = 0$ implica que a proporção $x_2/x_1$ permanece inalterada independentemente dos preços relativos.

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✏️ Exercício 3.9¶

Solução.

Seja $u(x_1, x_2) = g(h(x_1, x_2))$, onde $g' > 0$ e $h$ é homogênea de grau 1.

Passo 1 — Simplificar a TMS. Pela regra da cadeia:

\[ \frac{\partial u}{\partial x_i} = g'(h) \cdot h_i(x_1, x_2), \quad i = 1, 2 \]

Logo:

\[ \text{TMS}_{12} = \frac{g'(h) \cdot h_1}{g'(h) \cdot h_2} = \frac{h_1(x_1, x_2)}{h_2(x_1, x_2)} \]

O fator $g'(h)$ cancela. A TMS de $u$ é idêntica à TMS de $h$ — a transformação monotônica $g$ é irrelevante. $\blacksquare$

Passo 2 — Mostrar que $h_1$ e $h_2$ são homogêneas de grau 0. Como $h$ é homogênea de grau 1:

\[ h(\lambda x_1, \lambda x_2) = \lambda \, h(x_1, x_2) \quad \forall \lambda > 0 \]

Diferenciando ambos os lados em relação a $x_1$:

\[ \lambda \, h_1(\lambda x_1, \lambda x_2) = \lambda \, h_1(x_1, x_2) \]

Dividindo por $\lambda$:

\[ h_1(\lambda x_1, \lambda x_2) = h_1(x_1, x_2) \quad \forall \lambda > 0 \]

Logo $h_1$ é homogênea de grau 0. Analogamente, $h_2$ é homogênea de grau 0. $\blacksquare$

Passo 3 — Concluir que a TMS depende apenas de $x_1/x_2$. Como $h_1$ é homogênea de grau 0, podemos tomar $\lambda = 1/x_2$ (para $x_2 > 0$):

\[ h_1(x_1, x_2) = h_1\!\left(\frac{x_1}{x_2}, 1\right) \]

Analogamente:

\[ h_2(x_1, x_2) = h_2\!\left(\frac{x_1}{x_2}, 1\right) \]

Portanto:

\[ \boxed{\text{TMS}_{12} = \frac{h_1(x_1/x_2, \, 1)}{h_2(x_1/x_2, \, 1)} \equiv \phi\!\left(\frac{x_1}{x_2}\right)} \]

A TMS depende apenas da razão $x_1/x_2$, como queríamos demonstrar. $\blacksquare$

Interpretação: A demonstração revela por que preferências homotéticas geram caminhos de expansão da renda lineares. Se a TMS depende apenas de $x_1/x_2$, então ao longo de qualquer raio $x_2 = kx_1$ a TMS é constante. Como a condição de ótimo é $\text{TMS} = p_1/p_2$, a cesta ótima mantém a mesma razão $x_1/x_2$ para qualquer nível de renda — toda variação de renda se traduz em escalar proporcionalmente a cesta.

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✏️ Exercício 3.10¶

Solução.

(a) Primeiro, calculamos o gasto absoluto com alimentação em cada faixa de renda:

\[ Q_1 = s_1 \cdot I_1 = 0{,}22 \times 1.908 = 419{,}76 \]

\[ Q_2 = s_2 \cdot I_2 = 0{,}076 \times 23.850 = 1.812{,}60 \]

Agora calculamos as variações e médias:

\[ \Delta Q = 1.812{,}60 - 419{,}76 = 1.392{,}84, \qquad \bar{Q} = \frac{419{,}76 + 1.812{,}60}{2} = 1.116{,}18 \]

\[ \Delta I = 23.850 - 1.908 = 21.942, \qquad \bar{I} = \frac{1.908 + 23.850}{2} = 12.879 \]

Aplicando a fórmula de arco-elasticidade:

\[ \varepsilon \approx \frac{\Delta Q / \bar{Q}}{\Delta I / \bar{I}} = \frac{1.392{,}84 / 1.116{,}18}{21.942 / 12.879} = \frac{1{,}248}{1{,}704} \]

\[ \boxed{\varepsilon \approx 0{,}73} \]

(b) Como $\varepsilon > 0$, a alimentação é um bem normal: o gasto absoluto com alimentação aumenta com a renda (de R$ 420 para R$ 1.813). Porém, como $\varepsilon < 1$, a alimentação é um bem de necessidade (não de luxo): o gasto cresce menos que proporcionalmente à renda, de modo que a participação da alimentação no orçamento cai — de 22% para 7,6%. Esse padrão é a manifestação clássica da Lei de Engel.

(c) Esse padrão não é compatível com preferências homotéticas. Pelas propriedades da Seção 3.6.6, preferências homotéticas geram elasticidade-renda unitária ($\varepsilon = 1$) para todos os bens e participação constante na despesa. Como a participação da alimentação varia substancialmente com a renda (de 22% para 7,6%), a condição de homoteticidade é violada.

Tampouco é compatível com preferências Cobb-Douglas, que são um caso particular de preferências homotéticas. Na Cobb-Douglas $u = x_1^a x_2^b$, a participação do bem 1 na despesa é sempre $\frac{a}{a+b}$, constante para qualquer nível de renda. Os dados da POF mostram que essa constância não se verifica para a alimentação no Brasil.

Implicação para a modelagem: Modelos que desejam capturar o comportamento de consumo entre diferentes faixas de renda no Brasil devem utilizar especificações não homotéticas — como o AIDS (Almost Ideal Demand System) de Deaton e Muellbauer, que permite elasticidades-renda diferentes de 1 e participações variáveis na despesa.

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	\(\text{UMg}_1\)	\(\text{UMg}_2\)
\(u\)	\(\frac{1}{2}x_1^{-1/2}x_2^{1/2}\)	\(\frac{1}{2}x_1^{1/2}x_2^{-1/2}\)
\(v\)	\(\frac{1}{x_1^2 x_2}\)	\(\frac{1}{x_1 x_2^2}\)