Soluções dos Exercícios — Capítulo 2¶

✏️ Exercício 2.1¶

Solução.

(a) Pontos críticos: $f'(x) = 0$.

\[ f'(x) = 12 - 6x + 6x^2 - x^3 \]

Fatorando: $f'(x) = -(x^3 - 6x^2 + 6x - 12)$. Testando $x = 0$: $f'(0) = 12 \neq 0$. Reorganizando, note que:

\[ f'(x) = -(x^3 - 6x^2 + 6x - 12) \]

Testando $x = 2$: $f'(2) = 12 - 12 + 24 - 8 = 16 \neq 0$. Testando fatores, note que podemos reescrever $f'(x) = -x^3 + 6x^2 - 6x + 12$. Para encontrar raízes, igualamos a zero:

\[ x^3 - 6x^2 + 6x - 12 = 0 \]

Pelo teste racional e/ou método numérico, a equação tem uma raiz real aproximadamente em $x \approx 4{,}54$ e duas raízes complexas. No intervalo $[0, 4]$, como $f'(0) = 12 > 0$ e $f'(4) = 12 - 24 + 96 - 64 = 20 > 0$, a derivada não se anula — não há pontos críticos interiores em $[0,4]$.

(b) Como não há pontos críticos interiores em $[0, 4]$, não há máximos ou mínimos locais interiores a classificar. A segunda derivada é:

\[ f''(x) = -6 + 12x - 3x^2 \]

Para $x \approx 4{,}54$: $f''(4{,}54) = -6 + 54{,}5 - 61{,}8 \approx -13{,}3 < 0$, logo é um máximo local (fora do intervalo).

(c) O máximo global em $[0, 4]$ ocorre nos extremos do intervalo (já que $f' > 0$ em todo o intervalo, a função é crescente):

\[ f(0) = 0, \quad f(4) = 48 - 48 + 128 - 64 = 64 \]

O máximo global é $f(4) = 64$.

Interpretação econômica: Este exercício ilustra a importância de verificar as fronteiras do domínio. Em problemas econômicos, restrições como $q \geq 0$ frequentemente implicam soluções de canto que não são capturadas apenas pela CPO.

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✏️ Exercício 2.2¶

Solução.

(a) O Lagrangeano é:

\[ \mathcal{L} = x_1^{1/3} x_2^{2/3} - \lambda(p_1 x_1 + p_2 x_2 - m) \]

(b) Condições de primeira ordem:

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1} = \frac{1}{3} x_1^{-2/3} x_2^{2/3} - \lambda p_1 = 0 \tag{1} \]

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2} = \frac{2}{3} x_1^{1/3} x_2^{-1/3} - \lambda p_2 = 0 \tag{2} \]

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = m - p_1 x_1 - p_2 x_2 = 0 \tag{3} \]

(c) Dividindo (1) por (2):

\[ \frac{x_2}{2x_1} = \frac{p_1}{p_2} \implies x_2 = \frac{2p_1 x_1}{p_2} \]

Substituindo em (3):

\[ p_1 x_1 + p_2 \cdot \frac{2p_1 x_1}{p_2} = m \implies p_1 x_1 + 2p_1 x_1 = m \implies 3p_1 x_1 = m \]

\[ \boxed{x_1^* = \frac{m}{3p_1}, \qquad x_2^* = \frac{2m}{3p_2}} \]

(d) Multiplicando todos os argumentos por $t > 0$:

\[ x_1^*(tp_1, tp_2, tm) = \frac{tm}{3(tp_1)} = \frac{m}{3p_1} = x_1^*(p_1, p_2, m) \]

Analogamente para $x_2^*$. As demandas são homogêneas de grau 0: dobrar simultaneamente todos os preços e a renda não altera as quantidades demandadas. Isso reflete a ausência de ilusão monetária.

(e) De (1): $\lambda^* = \frac{1}{3p_1} x_1^{*-2/3} x_2^{*2/3}$. Substituindo as demandas e simplificando:

\[ \lambda^* = \frac{1}{3p_1} \left(\frac{m}{3p_1}\right)^{-2/3} \left(\frac{2m}{3p_2}\right)^{2/3} \]

O multiplicador $\lambda^*$ mede a utilidade marginal da renda: o aumento na utilidade máxima quando a renda $m$ aumenta em uma unidade, mantidos os preços. É o "preço-sombra" da restrição orçamentária — quanto maior $\lambda^*$, mais "apertada" está a restrição.

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✏️ Exercício 2.3¶

Solução.

(a) Multiplicando ambos os insumos por $t > 0$:

\[ Q(tK, tL) = A(tK)^\alpha (tL)^\beta = At^\alpha K^\alpha t^\beta L^\beta = t^{\alpha+\beta} \cdot AK^\alpha L^\beta = t^{\alpha+\beta} Q(K,L) \]

Logo $Q$ é homogênea de grau $\alpha + \beta$. $\blacksquare$

(b) O Teorema de Euler afirma que, para $Q$ homogênea de grau $k$:

\[ K \frac{\partial Q}{\partial K} + L \frac{\partial Q}{\partial L} = kQ \]

Calculando:

\[ \frac{\partial Q}{\partial K} = \alpha A K^{\alpha-1} L^\beta, \quad \frac{\partial Q}{\partial L} = \beta A K^\alpha L^{\beta-1} \]

\[ K \cdot \alpha A K^{\alpha-1} L^\beta + L \cdot \beta A K^\alpha L^{\beta-1} = \alpha A K^\alpha L^\beta + \beta A K^\alpha L^\beta = (\alpha + \beta) Q \quad \checkmark \]

(c) Retornos constantes de escala: $\alpha + \beta = 1$ (dobrar insumos dobra o produto). Retornos decrescentes: $\alpha + \beta < 1$ (dobrar insumos menos que dobra o produto).

(d) A TMST é a razão dos produtos marginais:

\[ TMST_{KL} = \frac{PMg_K}{PMg_L} = \frac{\alpha A K^{\alpha-1} L^\beta}{\beta A K^\alpha L^{\beta-1}} = \frac{\alpha}{\beta} \cdot \frac{L}{K} \]

Interpretação econômica: A TMST mede a taxa à qual a firma pode substituir capital por trabalho mantendo o mesmo nível de produto. Se $\alpha/\beta = 1/2$, por exemplo, uma unidade a menos de capital exige duas unidades adicionais de trabalho. A TMST depende da razão $L/K$: à medida que a firma usa mais trabalho e menos capital, cada unidade adicional de trabalho substitui menos capital — isso reflete a lei dos rendimentos marginais decrescentes de cada fator.

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✏️ Exercício 2.4¶

Solução.

(a) A receita é $R = PQ = (a - bQ)Q = aQ - bQ^2$. O lucro é:

\[ \pi(Q) = aQ - bQ^2 - cQ = (a - c)Q - bQ^2 \]

CPO: $\pi'(Q) = (a - c) - 2bQ = 0$

\[ \boxed{Q^* = \frac{a - c}{2b}} \]

O lucro máximo é:

\[ \pi^* = (a - c) \cdot \frac{a-c}{2b} - b \cdot \frac{(a-c)^2}{4b^2} = \frac{(a-c)^2}{2b} - \frac{(a-c)^2}{4b} = \frac{(a-c)^2}{4b} \]

\[ \boxed{\pi^* = \frac{(a-c)^2}{4b}} \]

(b) Pelo Teorema do Envelope, $\frac{\partial \pi^*}{\partial \theta} = \frac{\partial \pi}{\partial \theta}\bigg|_{Q=Q^*}$, onde a derivada parcial é tomada tratando $Q$ como fixo:

\[ \frac{\partial \pi^*}{\partial a} = \frac{\partial}{\partial a}\left[(a-c)Q - bQ^2\right]_{Q=Q^*} = Q^* = \frac{a-c}{2b} \]

\[ \frac{\partial \pi^*}{\partial b} = \frac{\partial}{\partial b}\left[(a-c)Q - bQ^2\right]_{Q=Q^*} = -(Q^*)^2 = -\frac{(a-c)^2}{4b^2} \]

\[ \frac{\partial \pi^*}{\partial c} = \frac{\partial}{\partial c}\left[(a-c)Q - bQ^2\right]_{Q=Q^*} = -Q^* = -\frac{a-c}{2b} \]

(c) Diferenciando diretamente $\pi^* = \frac{(a-c)^2}{4b}$:

\[ \frac{\partial \pi^*}{\partial a} = \frac{2(a-c)}{4b} = \frac{a-c}{2b} \quad \checkmark \]

\[ \frac{\partial \pi^*}{\partial b} = -\frac{(a-c)^2}{4b^2} \quad \checkmark \]

\[ \frac{\partial \pi^*}{\partial c} = \frac{-2(a-c)}{4b} = -\frac{a-c}{2b} \quad \checkmark \]

(d) Interpretação dos sinais:

$\partial \pi^*/\partial a > 0$: um aumento na disposição a pagar dos consumidores (intercepto da demanda mais alto) eleva o lucro do monopolista.
$\partial \pi^*/\partial b < 0$: uma demanda mais sensível ao preço (inclinação mais acentuada) reduz o lucro — o monopolista tem menos poder de mercado.
$\partial \pi^*/\partial c < 0$: um aumento no custo marginal reduz o lucro — cada unidade fica mais cara para produzir.

Interpretação econômica: O Teorema do Envelope permite calcular o efeito de mudanças paramétricas sobre o valor ótimo sem re-resolver o problema de otimização. Em economia, isso é extremamente útil para estática comparativa: basta avaliar a derivada parcial da função objetivo no ponto ótimo.

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✏️ Exercício 2.5¶

Solução.

(a) O problema é:

\[ \max_{x_1, x_2} \; \ln(x_1) + x_2 \quad \text{s.a.} \quad 2x_1 + x_2 \leq m, \quad x_1 \geq 0, \quad x_2 \geq 0 \]

(b) Condições de Kuhn-Tucker:

\[ \frac{1}{x_1} - 2\lambda + \mu_1 = 0 \tag{i} \]

\[ 1 - \lambda + \mu_2 = 0 \tag{ii} \]

\[ \lambda(m - 2x_1 - x_2) = 0, \quad \lambda \geq 0 \tag{iii} \]

\[ \mu_1 x_1 = 0, \quad \mu_1 \geq 0 \tag{iv} \]

\[ \mu_2 x_2 = 0, \quad \mu_2 \geq 0 \tag{v} \]

(c) Para $m = 10$: como a renda é elevada, testamos solução interior ($x_1 > 0, x_2 > 0$), logo $\mu_1 = \mu_2 = 0$.

De (ii): $\lambda = 1$. De (i): $\frac{1}{x_1} = 2\lambda = 2$, logo $x_1^* = 1/2$.

De (iii) com $\lambda > 0$: $2(1/2) + x_2 = 10$, logo $x_2^* = 9$.

Verificação das KKT: $\lambda = 1 > 0$ ✓; $\mu_1 = \mu_2 = 0$ ✓; $x_1 = 1/2 > 0$ ✓; $x_2 = 9 > 0$ ✓; restrição ativa ✓.

(d) Para $m = 0{,}3$: testamos $x_2 = 0$ (solução de canto), $\mu_2 \geq 0$.

Com $x_2 = 0$, toda a renda vai para $x_1$: $2x_1 = 0{,}3$, logo $x_1^* = 0{,}15$.

De (i) com $\mu_1 = 0$ (pois $x_1 > 0$): $\frac{1}{0{,}15} = 2\lambda$, logo $\lambda = 10/3 \approx 3{,}33$.

De (ii): $\mu_2 = \lambda - 1 = 7/3 \approx 2{,}33 > 0$ ✓ (confirma $x_2 = 0$).

(e) Na fronteira entre solução interior e de canto, $x_2 = 0$ e $\mu_2 = 0$. De (ii): $\lambda = 1$. De (i): $x_1 = 1/2$. Da restrição: $m = 2(1/2) + 0 = 1$.

\[ \boxed{m_{\min} = 1} \]

Para $m \geq 1$, o consumidor compra ambos os bens. Para $m < 1$, gasta tudo em $x_1$.

Interpretação econômica: Com utilidade quase-linear, a demanda por $x_1$ é constante ($x_1^* = 1/2$) quando a renda é suficiente. Toda variação de renda é absorvida por $x_2$, que funciona como "numerário". A solução de canto ocorre quando a renda é tão baixa que o consumidor não pode adquirir a quantidade "ideal" de $x_1$ e ainda sobrar algo para $x_2$.

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✏️ Exercício 2.6¶

Solução.

(a) Testamos: $f(tx, ty) = (tx)^2(ty) = t^2 x^2 \cdot t y = t^3 x^2 y = t^3 f(x,y)$. Portanto, $f$ é homogênea de grau 3.

(b) No ponto $(3, 4)$: $f(3,4) = 9 \times 4 = 36$. As derivadas parciais: $f_x = 2xy = 24$, $f_y = x^2 = 9$. Pelo Teorema de Euler: $x f_x + y f_y = 3 \times 24 + 4 \times 9 = 72 + 36 = 108$. Verificação: $k \cdot f = 3 \times 36 = 108$. ✓

(c) $f_x = 2xy$: testamos $f_x(tx, ty) = 2(tx)(ty) = t^2 \cdot 2xy = t^2 f_x(x,y)$. Logo $f_x$ é homogênea de grau 2. $f_y = x^2$: $f_y(tx, ty) = (tx)^2 = t^2 x^2 = t^2 f_y(x,y)$. Logo $f_y$ é homogênea de grau 2. Em geral, se $f$ é homogênea de grau $k$, suas derivadas parciais são homogêneas de grau $k-1$.

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✏️ Exercício 2.7¶

Solução.

(a) No ótimo da função Leontief $U = \min\{x_1, 2x_2\}$, o consumidor deseja $x_1 = 2x_2$. Consumir mais de $x_1$ além de $2x_2$ não aumenta a utilidade (o mínimo permanece $2x_2$); analogamente para $x_2$. A proporção ótima é 2:1.

(b) Substituindo $x_1 = 2x_2$ na restrição: $3(2x_2) + 6x_2 = 90 \implies 12x_2 = 90 \implies x_2^* = 7{,}5$, $x_1^* = 15$.

(c) $U^* = \min\{15, 2(7{,}5)\} = \min\{15, 15\} = 15$.

(d) Com $I = 120$: $12x_2 = 120 \implies x_2^* = 10$, $x_1^* = 20$. Variação: $x_1$ subiu 33,3%, $x_2$ subiu 33,3%. A elasticidade-renda é unitária para ambos os bens — propriedade geral das preferências homotéticas (Leontief é homotética).

Interpretação econômica: Como os bens são complementos perfeitos (pense em café e filtro de papel, ou impressora e cartucho), o consumidor mantém a proporção fixa independentemente de preços e renda. Todo aumento de renda é distribuído proporcionalmente entre os bens.

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✏️ Exercício 2.8¶

Solução.

(a) Equilíbrio: $Q^d = Q^s$:

\[ a - bP = -c + d(P - t) \implies a - bP = -c + dP - dt \]

\[ a + c - dt = (b + d)P \implies P^* = \frac{a + c - dt}{b + d} \]

\[ Q^* = a - b \cdot \frac{a + c - dt}{b+d} = \frac{a d - bc + bdt}{b+d} \]

(b) $\frac{dP^*}{dt} = \frac{-d}{b+d}$. Como $b, d > 0$, temos $0 < \frac{d}{b+d} < 1$. O imposto não é integralmente repassado: o consumidor absorve a fração $\frac{d}{b+d}$ e o produtor absorve $\frac{b}{b+d}$.

(c) O repasse é maior que 50% quando $\frac{d}{b+d} > \frac{1}{2}$, ou seja, $d > b$. Em termos de elasticidades: como $\varepsilon_d = -b(P/Q)$ e $\varepsilon_s = d(P/Q)$, o repasse é maior quando a oferta é mais elástica que a demanda ($\varepsilon_s > |\varepsilon_d|$). Intuitivamente, produtores mais sensíveis a preço conseguem "escapar" do imposto reduzindo a quantidade, forçando o ajuste pelo lado do consumidor.

(d) $R(t) = t \cdot Q^*(t) = t \cdot \frac{ad - bc + bdt}{b+d}$. Derivando e igualando a zero:

\[ \frac{dR}{dt} = \frac{ad - bc + 2bdt}{b+d} = 0 \implies t^* = \frac{bc - ad}{2bd} \]

Para que $t^* > 0$, precisamos $bc > ad$. A receita primeiro cresce com $t$ (efeito base: mais receita por unidade) e depois cai (efeito quantidade: a base tributária encolhe). Esse é o formato da curva de Laffer: alíquotas muito altas podem reduzir a receita.

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✏️ Exercício 2.9¶

Solução.

(a) O produtor maximiza a receita total:

\[ \max_{L_s, L_m} \; 160 \times 10\sqrt{L_s} + 120 \times 6\sqrt{L_m} = 1600\sqrt{L_s} + 720\sqrt{L_m} \]

sujeito a $L_s + L_m = 100$.

(b) Lagrangeano: $\mathcal{L} = 1600\sqrt{L_s} + 720\sqrt{L_m} + \lambda(100 - L_s - L_m)$.

CPOs:

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L_s} = \frac{800}{\sqrt{L_s}} - \lambda = 0 \implies \lambda = \frac{800}{\sqrt{L_s}} \]

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L_m} = \frac{360}{\sqrt{L_m}} - \lambda = 0 \implies \lambda = \frac{360}{\sqrt{L_m}} \]

(c) Igualando: $\frac{800}{\sqrt{L_s}} = \frac{360}{\sqrt{L_m}} \implies \frac{\sqrt{L_m}}{\sqrt{L_s}} = \frac{360}{800} = 0{,}45 \implies \frac{L_m}{L_s} = 0{,}2025$.

Logo $L_m = 0{,}2025 L_s$. Substituindo: $L_s + 0{,}2025 L_s = 100 \implies 1{,}2025 L_s = 100 \implies L_s^* \approx 83{,}16$.

$L_m^* = 100 - 83{,}16 = 16{,}84$.

(d) $\lambda^* = \frac{800}{\sqrt{83{,}16}} = \frac{800}{9{,}12} \approx 87{,}7$ R$/hora.

Interpretação: Uma hora adicional de trabalho aumentaria a receita do produtor em aproximadamente R$ 87,70. Esse é o valor-sombra do recurso escasso (tempo).

(e) Se $P_s$ sobe para 200, a CPO para $L_s$ torna-se $\frac{1000}{\sqrt{L_s}} = \lambda$. A razão $L_m/L_s$ cai (de 0,2025 para $(360/1000)^2 = 0{,}1296$), logo o produtor realoca horas da milho para a soja — exatamente o que a estática comparativa prevê. O multiplicador $\lambda$ também sobe, refletindo que cada hora de trabalho agora é mais valiosa.

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✏️ Exercício 2.10¶

Solução.

(a) A firma maximiza $\pi = PQ - wL - rK$ sujeita a $Q = K^\alpha L^{1-\alpha}$ e $K \leq \bar{K}$. Substituindo a função de produção:

\[ \pi = P K^\alpha L^{1-\alpha} - wL - rK \]

Lagrangeano com restrição de capacidade:

\[ \mathcal{L} = P K^\alpha L^{1-\alpha} - wL - rK + \mu(\bar{K} - K) \]

(b) KKT:

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L} = P(1-\alpha)K^\alpha L^{-\alpha} - w = 0 \]

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial K} = P\alpha K^{\alpha-1} L^{1-\alpha} - r - \mu = 0 \]

\[ \mu \geq 0, \quad \bar{K} - K \geq 0, \quad \mu(\bar{K} - K) = 0 \]

(c) Se $K < \bar{K}$, então $\mu = 0$. Da segunda CPO: $P\alpha K^{\alpha-1}L^{1-\alpha} = r$, ou seja, $P \cdot PMg_K = r$ — o valor do produto marginal do capital iguala o custo do capital. Da primeira CPO: $P(1-\alpha)K^\alpha L^{-\alpha} = w$, ou seja, $P \cdot PMg_L = w$.

Dividindo: $\frac{\alpha}{1-\alpha} \cdot \frac{L}{K} = \frac{r}{w} \implies K = \frac{\alpha w}{(1-\alpha)r} L$.

Substituindo na função de produção, obtemos as demandas por fatores como funções de $P, w, r$.

(d) Se $K = \bar{K}$, a CPO para $K$ dá:

\[ \mu = P\alpha \bar{K}^{\alpha-1} L^{1-\alpha} - r \]

Como $\mu > 0$, temos $P \cdot PMg_K > r$: a produtividade marginal do capital excede seu custo — a firma gostaria de contratar mais capital, mas não pode. O multiplicador $\mu$ é o "aluguel-sombra" do capital: quanto de lucro adicional a firma obteria se pudesse usar uma unidade a mais de capital. Em termos práticos, $\mu$ mede o valor de uma expansão de capacidade.

(e) A restrição se torna ativa quando a demanda ótima irrestrita de capital excede $\bar{K}$:

\[ K^*_{\text{irrestrito}} = \frac{\alpha w}{(1-\alpha)r} L^* > \bar{K} \]

Isso ocorre quando $\bar{K}$ é suficientemente baixo (ou quando $P$ e $w/r$ são suficientemente altos, incentivando uma intensidade de capital maior).

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✏️ Exercício 2.11¶

Solução.

(a) O Lagrangeano é:

\[ \mathcal{L} = 20q_1 + 16q_2 - q_1^2 - q_2^2 + \lambda(12 - q_1 - q_2) \]

Condições de Kuhn-Tucker:

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_1} = 20 - 2q_1 - \lambda \leq 0, \quad q_1 \geq 0, \quad q_1(20 - 2q_1 - \lambda) = 0 \]

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_2} = 16 - 2q_2 - \lambda \leq 0, \quad q_2 \geq 0, \quad q_2(16 - 2q_2 - \lambda) = 0 \]

\[ \lambda \geq 0, \quad 12 - q_1 - q_2 \geq 0, \quad \lambda(12 - q_1 - q_2) = 0 \]

(b) Sem restrição de capacidade ($\lambda = 0$): $20 - 2q_1 = 0 \implies q_1 = 10$ e $16 - 2q_2 = 0 \implies q_2 = 8$. Total: $q_1 + q_2 = 18 > 12$. Sim, a restrição é violada.

(c) Com a restrição ativa ($q_1 + q_2 = 12$, $\lambda > 0$): das CPOs com igualdade (ambos $q_i > 0$):

\[ 20 - 2q_1 = \lambda \quad \text{e} \quad 16 - 2q_2 = \lambda \]

Igualando: $20 - 2q_1 = 16 - 2q_2 \implies q_1 - q_2 = 2$. Com $q_1 + q_2 = 12$:

\[ \boxed{q_1^* = 7, \quad q_2^* = 5} \]

O multiplicador: $\lambda^* = 20 - 2(7) = 6$.

(d) $\lambda^* = 6$ significa que uma unidade adicional de capacidade (passar de 12 para 13) aumentaria o lucro em aproximadamente R$ 6. É o preço-sombra da restrição de capacidade — o valor marginal de expandir a planta.

(e) Verificação: com capacidade 12, $\pi^*(12) = 20(7) + 16(5) - 49 - 25 = 140 + 80 - 74 = 146$.

Com capacidade 13, resolvendo analogamente: $q_1 - q_2 = 2$ e $q_1 + q_2 = 13$, logo $q_1 = 7{,}5$, $q_2 = 5{,}5$. $\pi^*(13) = 20(7{,}5) + 16(5{,}5) - 56{,}25 - 30{,}25 = 150 + 88 - 86{,}5 = 151{,}5$.

Diferença: $151{,}5 - 146 = 5{,}5$, próximo de $\lambda^* = 6$. A diferença existe porque $\lambda^*$ é uma aproximação marginal (linear); para variações discretas, a aproximação não é exata. $\blacksquare$

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✏️ Exercício 2.12¶

Solução.

(a) O problema de minimização de custos é:

\[ \min_{K, L} \; rK + wL \quad \text{s.a.} \quad K^{1/2} L^{1/2} = \bar{Q} \]

Lagrangeano (com sinal ajustado para minimização):

\[ \mathcal{L} = rK + wL + \lambda(\bar{Q} - K^{1/2}L^{1/2}) \]

(b) Condições de primeira ordem:

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial K} = r - \frac{\lambda}{2} K^{-1/2} L^{1/2} = 0 \implies r = \frac{\lambda L^{1/2}}{2K^{1/2}} \tag{i} \]

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L} = w - \frac{\lambda}{2} K^{1/2} L^{-1/2} = 0 \implies w = \frac{\lambda K^{1/2}}{2L^{1/2}} \tag{ii} \]

Dividindo (i) por (ii): $\frac{r}{w} = \frac{L}{K} \implies K = \frac{w}{r}L$.

Substituindo na restrição: $\left(\frac{w}{r}L\right)^{1/2} L^{1/2} = \bar{Q} \implies \left(\frac{w}{r}\right)^{1/2} L = \bar{Q}$.

\[ \boxed{L^* = \bar{Q} \left(\frac{r}{w}\right)^{1/2}, \qquad K^* = \bar{Q} \left(\frac{w}{r}\right)^{1/2}} \]

(c) A função custo é:

\[ C = rK^* + wL^* = r \cdot \bar{Q}\left(\frac{w}{r}\right)^{1/2} + w \cdot \bar{Q}\left(\frac{r}{w}\right)^{1/2} = \bar{Q}(rw)^{1/2} + \bar{Q}(rw)^{1/2} \]

\[ \boxed{C(\bar{Q}, r, w) = 2\bar{Q}\sqrt{rw}} \]

(d) Pelo teorema do envelope na minimização restrita: $\frac{\partial C}{\partial r} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial r}\big|_{\text{ótimo}} = K^*$.

Verificação por diferenciação direta:

\[ \frac{\partial C}{\partial r} = 2\bar{Q} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{w^{1/2}}{r^{1/2}} = \bar{Q}\left(\frac{w}{r}\right)^{1/2} = K^* \quad \checkmark \]

\[ \frac{\partial C}{\partial w} = 2\bar{Q} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{r^{1/2}}{w^{1/2}} = \bar{Q}\left(\frac{r}{w}\right)^{1/2} = L^* \quad \checkmark \]

Este é o Lema de Shephard para a firma: a demanda condicional de cada insumo é a derivada da função custo em relação ao respectivo preço.

(e) De (i): $\lambda = \frac{2rK^{1/2}}{L^{1/2}} = 2r \left(\frac{w}{r}\right)^{1/2} \cdot \frac{1}{\left(\frac{r}{w}\right)^{1/2} \cdot \bar{Q}^{-1/2} \cdot \bar{Q}^{1/2}}$. Simplificando com os valores ótimos:

$\lambda^* = 2\sqrt{rw}$.

Pelo teorema do envelope: $\frac{\partial C}{\partial \bar{Q}} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \bar{Q}}\big|_{\text{ótimo}} = \lambda^*$.

Verificação direta: $\frac{\partial C}{\partial \bar{Q}} = 2\sqrt{rw} = \lambda^*$. $\checkmark$

Interpretação econômica: O multiplicador $\lambda^*$ é o custo marginal — o custo de produzir uma unidade adicional. O Lema de Shephard e a igualdade $CMg = \lambda^*$ são ambos aplicações do teorema do envelope, confirmando sua centralidade na teoria da firma. $\blacksquare$

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