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Notação Matemática

Este livro utiliza a seguinte notação de forma consistente ao longo de todos os capítulos.

Conjuntos e Espaços

Símbolo Significado
\(\mathbb{R}\) Conjunto dos números reais
\(\mathbb{R}^n\) Espaço euclidiano \(n\)-dimensional
\(\mathbb{R}^n_+\) Ortante não-negativo de \(\mathbb{R}^n\)
\(X\) Conjunto de consumo
\(B\) Conjunto orçamentário
\(\Delta\) Simplex (conjunto de alocações factíveis, equilíbrio geral)

Preferências e Utilidade

Símbolo Significado
\(\succsim\) Relação de preferência fraca ("pelo menos tão bom quanto")
\(\succ\) Relação de preferência estrita
\(\sim\) Relação de indiferença
\(U(x_1, x_2)\) ou \(U(\mathbf{x})\) Função de utilidade
\(V(p_1, p_2, I)\) Função de utilidade indireta
\(E(p_1, p_2, \bar{U})\) Função dispêndio (expenditure function)
\(TMS\) Taxa marginal de substituição
\(UMg\) Utilidade marginal

Consumidor

Símbolo Significado
\(x_i\) Quantidade consumida do bem \(i\)
\(p_i\) Preço do bem \(i\)
\(I\) Renda do consumidor
\(W\) Riqueza
\(T\) Dotação de tempo
\(x_i^*(p_1, p_2, I)\) Demanda marshalliana (não-compensada) do bem \(i\)
\(h_i(p_1, p_2, \bar{U})\) Demanda hicksiana (compensada) do bem \(i\)

Elasticidades

Símbolo Significado
\(\varepsilon_{x,p}\) ou \(e_{x,p}\) Elasticidade-preço da demanda
\(\varepsilon_{x,I}\) Elasticidade-renda da demanda
\(\varepsilon_{x,p_y}\) Elasticidade-preço cruzada
\(\varepsilon_S\) Elasticidade-preço da oferta
\(\eta\) Elasticidade (notação alternativa)

Produção e Custos

Símbolo Significado
\(q\) Quantidade produzida (output)
\(f(K, L)\) ou \(f(\mathbf{x})\) Função de produção
\(K\) Capital
\(L\) Trabalho
\(w\) Salário (preço do trabalho)
\(v\) Preço do capital (taxa de aluguel)
\(r\) Taxa de juros
\(\alpha, \beta\) Parâmetros da função de produção (e.g., Cobb-Douglas: \(f = K^\alpha L^\beta\))
\(\rho\) Parâmetro de substituição (CES)
\(\sigma\) Elasticidade de substituição (\(\sigma = 1/(1-\rho)\))
\(\gamma\) Progresso técnico / parâmetro de escala
\(\mathrm{PMg}_L\), \(\mathrm{PMg}_K\) Produto marginal do trabalho / capital
\(\mathrm{PMe}_L\) Produto médio do trabalho
\(C(q)\) Função custo total
\(C(w, v, q)\) Função custo (com preços dos insumos)
\(CF\) Custo fixo
\(CMg\) Custo marginal
\(CMe\) Custo médio
\(CVMe\) Custo variável médio
\(CFMe\) Custo fixo médio
\(VPMg\) Valor do produto marginal
\(TMST\) Taxa marginal de substituição técnica

Mercado e Equilíbrio

Símbolo Significado
\(D(p)\) Função de demanda de mercado
\(S(p)\) Função de oferta de mercado
\(p^*\) Preço de equilíbrio
\(q^*\) Quantidade de equilíbrio
\(\pi\) Lucro econômico
\(R(q)\) Receita total
\(RMg\) Receita marginal
\(n\) Número de firmas no mercado
\(EC\) Excedente do consumidor
\(EP\) Excedente do produtor
\(W\) Bem-estar social (\(W = EC + EP\))
\(PPM\) Perda de peso morto (deadweight loss)
\(\tau\) Alíquota tributária
\(t\) Imposto por unidade (específico)
\(s\) Subsídio por unidade

Monopólio e Poder de Mercado

Símbolo Significado
\(p(q)\) Função de demanda inversa
\(RMg = p + q \cdot p'(q)\) Receita marginal do monopolista
\(q^m\) Quantidade de monopólio
\(p^m\) Preço de monopólio
\(q^c\) Quantidade competitiva
\(p^c\) Preço competitivo
\(L = (p - CMg)/p\) Índice de Lerner (poder de mercado)
\(HHI = \sum s_i^2 \times 10000\) Índice de Herfindahl-Hirschman (concentração de mercado)
\(T\) Tarifa fixa (tarifação em duas partes)
\(s_i\) Participação de mercado da firma \(i\)

Oligopólio

Símbolo Significado
\(P(Q) = a - bQ\) Demanda inversa de mercado
\(Q = q_1 + q_2\) Produção total (Cournot)
\(q_i^*(q_{-i})\) Função de melhor-resposta (melhor resposta em quantidades)
\(Q_{-i}\) Produção agregada dos demais competidores
\(q_1^L\) Quantidade da líder (Stackelberg)
\(c\) Custo marginal constante
\(f\) Custo fixo de entrada
\(t\) Custo de transporte (Hotelling espacial)
\(\delta\) Fator de desconto (jogos repetidos / colusão)
\(\delta^* = (T-R)/(T-P)\) Fator de desconto mínimo para sustentação da colusão

Teoria dos Jogos

Símbolo Significado
\(N = \{1, 2, \ldots, n\}\) Conjunto de jogadores
\(\Gamma = \langle N, (S_i)_{i \in N}, (u_i)_{i \in N} \rangle\) Jogo em forma estratégica
\(S_i\) Conjunto de estratégias do jogador \(i\)
\(s_i\) Estratégia do jogador \(i\)
\(s_{-i}\) Perfil de estratégias dos demais jogadores
\(u_i(s_i, s_{-i})\) Payoff do jogador \(i\)
\(\sigma_i \in \Delta(S_i)\) Estratégia mista do jogador \(i\)
\(\sigma^* = (\sigma_1^*, \ldots, \sigma_n^*)\) Perfil de equilíbrio de Nash em estratégias mistas
\(\delta\) Fator de desconto (jogos repetidos)

Incerteza

Símbolo Significado
\(E[X]\) ou \(\mathbb{E}[X]\) Valor esperado da variável aleatória \(X\)
\(\text{Var}(X)\) Variância de \(X\)
\(\text{Cov}(X, Y)\) Covariância de \(X\) e \(Y\)
\(W\) Riqueza inicial
\(\pi_s\) Probabilidade do estado \(s\)
\(A(W)\) Coeficiente de aversão absoluta ao risco (Arrow-Pratt)
\(R(W)\) Coeficiente de aversão relativa ao risco

Economia Comportamental

Símbolo Significado
\(v(x)\) Função de valor (Teoria do Prospecto); côncava para ganhos, convexa para perdas
\(w(p)\) Função de ponderação de probabilidades
\(w^+, w^-\) Funções de ponderação para ganhos e perdas (CPT)
\(\lambda\) Coeficiente de aversão à perda (\(\lambda = \|v(-x)\|/v(x) \approx 2{,}25\))
\(\alpha, \beta\) Expoentes da função de valor (Kahneman-Tversky: \(\alpha = \beta = 0{,}88\))
\(\gamma\) Parâmetro da função de ponderação de Prelec / Tversky-Kahneman
\(\pi_i\) Pesos decisórios (Utilidade Dependente de Rank — RDU)
\(\beta\) Viés de presente (desconto quase-hiperbólico: \(\beta < 1\))
\(\delta\) Fator de desconto exponencial (preferências intertemporais)
\(\beta\delta^t\) Desconto quase-hiperbólico no período \(t\)
\(\alpha_i, \beta_i\) Parâmetros de aversão à desigualdade (Fehr-Schmidt)

Economia da Informação

Símbolo Significado
\(\theta\) Tipo do agente (screening / sinalização)
\(\theta_H, \theta_L\) Tipo alto e tipo baixo
\(\Theta_i\) Conjunto de tipos do jogador \(i\)
\(\mu\) Crenças bayesianas (probabilidade posterior sobre tipos)
\(e\) Nível de esforço (risco moral) ou sinal educacional (sinalização)
\(c(e, \theta)\) Custo do esforço/sinal, decrescente em \(\theta\)
\(p(e)\) Probabilidade de resultado favorável dado esforço \(e\)
\(w(q)\) ou \(w(\pi)\) Esquema de remuneração (contrato)
\(w_B, w_R\) Salário no resultado bom / ruim
\(\bar{U}\) Utilidade de reserva do agente
\(m \in M\) Mensagem no jogo de sinalização
\(u_S(m, a, \theta)\) Payoff do emissor (sender)
\(u_R(m, a, \theta)\) Payoff do receptor (receiver)
\(\sigma_i^*(\theta_i)\) Estratégia ótima do jogador \(i\) no equilíbrio bayesiano

Leilões

Símbolo Significado
\(v_i\) Valoração privada do licitante \(i\)
\(b_i\) Lance do licitante \(i\)
\(b(v)\) Função de lance ótimo (estratégia de equilíbrio)
\(s_i\) Sinal recebido pelo licitante \(i\) (valores comuns)
\(N\) Número de licitantes
\(F(\cdot)\) Função de distribuição acumulada das valorações

Mercado de Trabalho

Símbolo Significado
\(h = T - L\) Horas de trabalho ofertadas (= dotação de tempo menos lazer)
\(L\) Lazer
\(C\) Consumo (bens)
\(T\) Dotação total de tempo
\(w\) Salário (taxa de salário)
\(V\) Renda não-salarial
\(M^* = wT + V\) Renda plena (full income)
\(U(C, L)\) Função de utilidade sobre consumo e lazer
\(h^*(w, V)\) Oferta de trabalho (marshalliana)
\(L^*(w, V)\) Demanda por lazer (marshalliana)
\(H^d(w)\) Demanda por trabalho da firma
\(H^s(w)\) Oferta agregada de trabalho
\(VPMg_L\) Valor do produto marginal do trabalho
\(CMg_L\) Custo marginal do trabalho (monopsônio)
\(w_R\) Salário de reserva
\(\eta^F\) Elasticidade de Frisch (oferta de trabalho com utilidade marginal da riqueza constante)
\(\ln w = \beta_0 + \beta_1 S + \beta_2 X + \beta_3 X^2\) Equação de Mincer (retornos à educação e experiência)
\(S\) Anos de escolaridade (equação de Mincer)
\(d\) Coeficiente de discriminação (modelo de Becker)
\(\beta\) Poder de barganha do sindicato (barganha de Nash, \(\beta \in [0,1]\))

Escolha Intertemporal e Investimento

Símbolo Significado
\(C_1, C_2\) Consumo nos períodos 1 e 2
\(Y_1, Y_2\) Renda nos períodos 1 e 2
\(r\) Taxa de juros real
\(\beta = 1/(1+\rho)\) Fator de desconto subjetivo
\(\rho\) Taxa de preferência temporal (impaciência)
\(W = Y_1 + Y_2/(1+r)\) Riqueza (valor presente da renda)
\(S = Y_1 - C_1^*\) Poupança
\(VPL = \sum F_t/(1+r)^t\) Valor Presente Líquido
\(TIR\) Taxa Interna de Retorno
\(VP = F/r\) Valor presente de perpetuidade
\(VP = F \cdot \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r}\) Valor presente de anuidade
\(\{F_0, F_1, \ldots, F_n\}\) Fluxo de caixa de um projeto
\(c_K = p_K(r + \delta)\) Custo de uso do capital
\(p_K\) Preço do bem de capital
\(\delta\) Taxa de depreciação do capital
\(R_t = p_t - c\) Renda de escassez (Regra de Hotelling)
\(m = \beta(C_{t+1}/C_t)^{-\gamma}\) Fator de desconto estocástico (SDF)
\(\beta_i = \text{Cov}(r_i, r_m)/\text{Var}(r_m)\) Beta do CAPM (risco sistemático)
\(r_f\) Taxa livre de risco
\(E[r_m]\) Retorno esperado do portfólio de mercado (CAPM)
\(E[r_i] = r_f + \beta_i(E[r_m] - r_f)\) Equação do CAPM

Equilíbrio Geral

Símbolo Significado
\(\boldsymbol{\omega}_i\) Vetor de dotações do consumidor \(i\)
\(\theta_{ij}\) Participação do consumidor \(i\) nos lucros da firma \(j\)
\(\mathbf{p} = (p_1, \ldots, p_n)\) Vetor de preços
\(\mathbf{p}^*\) Vetor de preços de equilíbrio walrasiano
\(\mathbf{Z}(\mathbf{p})\) Vetor de excesso de demanda agregada
\(Z^k(\mathbf{p})\) Excesso de demanda do bem \(k\)
\(\mathbf{x}_i^*\) Cesta ótima do consumidor \(i\)
\(\mathbf{y}_j^*\) Plano de produção ótimo da firma \(j\)
\(y_j^k\) Produção líquida do bem \(k\) pela firma \(j\)
\(TMT\) Taxa marginal de transformação

Externalidades e Bens Públicos

Símbolo Significado
\(E(q)\) Função de custo externo (externalidade negativa)
\(D(q)\) Função de dano da poluição
\(DMg\) Dano marginal
\(t^* = E'(q^{soc})\) Imposto pigouviano ótimo
\(s^* = B'^{ext}(q^{soc})\) Subsídio pigouviano ótimo
\(q^{priv}\) Quantidade de equilíbrio privado (sem regulação)
\(q^{soc}\) Quantidade socialmente ótima
\(CMA(a)\) Custo marginal de abatimento
\(a\) Abatimento de emissões
\(e\) Nível de emissão
\(\bar{a}\) Teto (cap) de emissões
\(G = \sum g_i\) Nível do bem público (soma das contribuições)
\(g_i\) Contribuição individual ao bem público
\(\sum TMS_i = CMg\) Condição de Samuelson (provisão eficiente de bens públicos)
\(\tau_i\) Preço de Lindahl do consumidor \(i\)
\(TMS_i^{G,x}\) Taxa marginal de substituição entre bem público e privado
\(\hat{v}_i\) Valoração declarada do agente \(i\) (mecanismo de revelação)
\(t_i\) Pagamento do agente \(i\) (mecanismo pivotal / Clarke)

Seguros e Contratos

Símbolo Significado
\(p_H, p_L\) Probabilidade de sinistro do tipo alto / baixo risco
\(d\) Valor do sinistro (dano)
\(\alpha_i\) Prêmio do seguro para o tipo \(i\)
\(\beta_i\) Cobertura (indenização) do tipo \(i\)
\(q_H, q_L\) Quantidade contratada pelo tipo alto / baixo
\(T_H, T_L\) Tarifa cobrada do tipo alto / baixo
\(\lambda\) Proporção de tipos no mercado (screening)

Economia Digital e Plataformas

Símbolo Significado
\(f(n)\) Função de benefício de rede (valor da rede em função de \(n\) participantes)
\(n_B, n_S\) Número de participantes do lado comprador / vendedor (mercado bilateral)
\(\alpha_B, \alpha_S\) Parâmetros de externalidade cruzada entre lados da plataforma (Rochet-Tirole)
\(p_B, p_S\) Preço cobrado pela plataforma de cada lado
\(c_B, c_S\) Custo marginal de servir cada lado
\(SC_i\) Custo de troca (switching cost) do agente \(i\)
\(n_c\) Massa crítica (ponto de tombamento / tipping)
\(a\) Quantidade de publicidade por unidade de conteúdo
\(s_i = b_i \times q_i\) Score do leilão GSP (lance \(\times\) qualidade)
\(d_i\) Quantidade de dados compartilhados pelo agente \(i\) (externalidade de privacidade)

Econometria e Métodos Experimentais

Símbolo Significado
\(Y_i(1), Y_i(0)\) Resultados potenciais do indivíduo \(i\) (com e sem tratamento)
\(ATE = E[Y_i(1) - Y_i(0)]\) Efeito médio do tratamento (Average Treatment Effect)
\(\hat{ATE}\) Estimador do efeito médio do tratamento
\(ITT\) Estimador de intenção de tratar (Intention-to-Treat)
\(TOT\) Efeito do tratamento sobre os tratados (Treatment on the Treated)
\(LATE\) Efeito local médio do tratamento (Local Average Treatment Effect)
\(\tau_{DD}\) Estimador de diferenças em diferenças
\(\tau_{RDD}\) Estimador de regressão descontínua
\(D_i = \mathbf{1}(X_i \geq c)\) Indicador de tratamento (RDD)
\(X_i\) Variável de atribuição (running variable, RDD)
\(\hat{\beta}_{IV}\) Estimador de variáveis instrumentais
\(Z\) Variável instrumental
\(\varepsilon_i\) Termo de erro da regressão
\(\delta\) Efeito mínimo detectável (MDE, cálculo de poder)
\(z_{\alpha/2}, z_{\beta}\) Valores críticos para nível de significância e poder estatístico

Economia da Saúde

Símbolo Significado
\(H_t\) Estoque de saúde no período \(t\) (modelo de Grossman)
\(\delta_t\) Taxa de depreciação do estoque de saúde (crescente com a idade)
\(I_t\) Investimento bruto em saúde
\(m_t\) Consumo de cuidados médicos
\(\tau_t^H\) Tempo dedicado à saúde
\(h_t\) Fluxo de "dias saudáveis"
\(p_e\) Preço efetivo pago pelo paciente (após cobertura do seguro)
\(n^*(s)\) Número clinicamente adequado de procedimentos dado o estado \(s\)
\(AR_j\) Pagamento de ajuste de risco para a seguradora \(j\)
\(ICER = \Delta C / \Delta E\) Razão de custo-efetividade incremental
\(QALY\) Ano de vida ajustado pela qualidade (Quality-Adjusted Life Year)
\(DALY\) Ano de vida ajustado por incapacidade (Disability-Adjusted Life Year)
\(YLL, YLD\) Anos de vida perdidos / anos vividos com incapacidade
\(VSL\) Valor estatístico de uma vida (Value of Statistical Life)
\(R_0\) Número básico de reprodução (limiar de imunidade de rebanho)
\(B_p, B_e\) Benefício privado / externo da vacinação

Economia Ambiental e Recursos Naturais

Símbolo Significado
\(CMgS, CMgP, CMgE\) Custo marginal social / privado / externo
\(CMgA_i(e_i)\) Custo marginal de abatimento da firma \(i\)
\(\bar{E}\) Teto de emissões (cap, sistema cap-and-trade)
\(p_E\) Preço da permissão de emissão
\(SCC\) Custo social do carbono (Social Cost of Carbon)
\(D_t(\Delta E)\) Dano marginal no período \(t\) de uma unidade adicional de emissão
\(\Omega(T)\) Função de dano climático (modelo DICE)
\(r = \rho + \eta g\) Equação de Ramsey para a taxa social de desconto
\(\eta\) Elasticidade da utilidade marginal / aversão à desigualdade (CRRA)
\(g\) Taxa de crescimento do consumo per capita
\(VET = VU + VNU\) Valor econômico total = valor de uso + valor de não-uso
\(p_Q = \partial P / \partial Q\) Preço implícito da qualidade ambiental (preços hedônicos)
\(p_n\) Preço líquido / renda de escassez (recurso exaurível)
\(\dot{S} = G(S) - h\) Dinâmica do recurso renovável (crescimento natural menos colheita)
\(G(S)\) Função de crescimento natural do recurso
\(h\) Taxa de colheita / extração
\(h^{RMS}\) Rendimento máximo sustentável
\(S^*\) Poupança genuína (adjusted net savings)
\(I_K(t) = p_n(t) \cdot h(t)\) Regra de Hartwick (investimento em capital produzido)

Operadores e Convenções

Símbolo Significado
\(\frac{\partial f}{\partial x}\) Derivada parcial de \(f\) em relação a \(x\)
\(\nabla f\) Gradiente de \(f\)
\(\mathcal{L}\) Lagrangeano
\(\lambda\) Multiplicador de Lagrange (primal e dual)
\(\mu\) Crenças bayesianas (teoria dos jogos); média (estatística); proporção de tipos (screening)
\(\theta\) Tipo do agente (screening/sinalização); participação nos lucros (equilíbrio geral)
\(\delta\) Fator de desconto (jogos repetidos); taxa de depreciação (produção)
\(\Delta\) Variação discreta
\(d\) Diferencial
\(CPO\) Condição de primeira ordem
\(\text{s.a.}\) Sujeito a (restrição de otimização)

Convenções de Notação

  • Preços: sempre minúsculo (\(p\), \(p_i\), \(p_t\)). Exceção: \(P\) em citações de provas ANPEC preserva a notação original.
  • Renda: sempre \(I\). A letra \(m\) é reservada para sinais em jogos de sinalização, número de restrições em KKT, ou fator de desconto estocástico.
  • Output: sempre \(q\). A letra \(y\) é reservada para vetores de produção em equilíbrio geral (\(y_j^k\)), variáveis informativas genéricas, ou bens de consumo em questões ANPEC.
  • Custo marginal: sempre \(CMg\) (português). Siglas em inglês (\(MC\)) não são utilizadas.
  • Multiplicador de Lagrange: sempre \(\lambda\), tanto no problema primal quanto no dual. Em economia comportamental, \(\lambda\) denota aversão à perda; em seguros, proporção de tipos.
  • Preço do capital: sempre \(v\). A letra \(r\) é reservada para taxa de juros.
  • Bem público: sempre \(G\). Contribuições individuais: \(g_i\).
  • Tipo do agente: sempre \(\theta\), com \(\theta_H\) (alto) e \(\theta_L\) (baixo).
  • Fator de desconto: \(\delta\) em jogos repetidos e colusão; \(\beta\) em escolha intertemporal e economia comportamental.
  • Beta (\(\beta\)): fator de desconto subjetivo (Cap. 18); parâmetros da função de produção (Cap. 4); coeficientes de regressão na equação de Mincer (Cap. 17); poder de barganha sindical (Cap. 17); beta do CAPM (Cap. 18); viés de presente (Cap. 12). O contexto dentro de cada capítulo é sempre explicitado.
  • Delta (\(\delta\)): fator de desconto em jogos repetidos (Caps. 9b, 16); taxa de depreciação do capital (Cap. 18); fator de desconto exponencial em preferências intertemporais (Cap. 12); taxa de depreciação do estoque de saúde (Cap. 23); efeito mínimo detectável em cálculos de poder (Cap. 22). Nunca reutilizado com sentido diferente dentro do mesmo capítulo.
  • Eta (\(\eta\)): elasticidade (notação alternativa, diversos capítulos); elasticidade da utilidade marginal / aversão à desigualdade na equação de Ramsey (Cap. 24).
  • Alpha (\(\alpha\)): parâmetros da função de produção (Cap. 10); expoentes da função de valor em economia comportamental (Cap. 8); externalidade cruzada em mercados bilaterais (Cap. 21); fator de multiplicação em jogos de bens públicos (Cap. 22).