WebR — Leiloes: Vickrey vs. Primeiro Preco

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# Leiloes: Vickrey vs. Primeiro Preco
# Exercicios Resolvidos 19.6 e 19.7
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cat("====== LEILOES: VICKREY vs. PRIMEIRO PRECO ======\n\n")

# --- Caso concreto (ER 19.6) ---
v <- c(100, 80, 60)
n_concreto <- length(v)
cat("--- ER 19.6: Leilao de obra de arte ---\n")
cat(sprintf("Valoracoes: v1=%.0f, v2=%.0f, v3=%.0f\n\n", v[1], v[2], v[3]))

cat("VICKREY (2o preco):\n")
cat(sprintf("  Lances otimos: b_i = v_i => %s\n", paste(v, collapse=", ")))
cat(sprintf("  Vencedor: Licitante 1 (lance=%.0f)\n", v[1]))
cat(sprintf("  Preco pago: 2o maior lance = %.0f\n", sort(v, decreasing=TRUE)[2]))
cat(sprintf("  Excedente do vencedor: %.0f - %.0f = %.0f\n\n",
    v[1], sort(v, decreasing=TRUE)[2], v[1] - sort(v, decreasing=TRUE)[2]))

cat("PRIMEIRO PRECO (com n=3, U[0,120]):\n")
cat(sprintf("  Estrategia: beta(v) = (n-1)/n * v = %.2f * v\n", (n_concreto-1)/n_concreto))
lances_fp <- v * (n_concreto-1)/n_concreto
cat(sprintf("  Lances: %s\n", paste(round(lances_fp, 1), collapse=", ")))
cat(sprintf("  Vencedor: Licitante 1 (lance=%.1f)\n", lances_fp[1]))
cat(sprintf("  Preco pago: %.1f\n", lances_fp[1]))
cat(sprintf("  Excedente do vencedor: %.0f - %.1f = %.1f\n\n",
    v[1], lances_fp[1], v[1] - lances_fp[1]))

# --- Equivalencia de receita (ER 19.7) ---
cat("--- ER 19.7: Equivalencia de receita (n=2, U[0,1]) ---\n")
n <- 2

# Primeiro preco
# beta(v) = (n-1)/n * v = v/2
# E[receita] = E[max lance] = (n-1)/n * E[max(v)] = 1/2 * 2/3 = 1/3
E_max_v <- n / (n + 1)
E_receita_fp <- ((n-1)/n) * E_max_v
cat(sprintf("PRIMEIRO PRECO:\n"))
cat(sprintf("  beta(v) = v/%.0f\n", n))
cat(sprintf("  E[max(v)] = n/(n+1) = %.4f\n", E_max_v))
cat(sprintf("  E[receita] = (n-1)/n * E[max(v)] = %.4f\n\n", E_receita_fp))

# Segundo preco (Vickrey)
# E[receita] = E[2o maior valor] = E[min(v1,v2)] = 1/(n+1) = 1/3
E_receita_vk <- 1 / (n + 1)
cat(sprintf("VICKREY (2o preco):\n"))
cat(sprintf("  E[receita] = E[min(v1,v2)] = 1/(n+1) = %.4f\n\n", E_receita_vk))
cat(sprintf("Equivalencia: %.4f = %.4f? %s\n\n",
    E_receita_fp, E_receita_vk,
    ifelse(abs(E_receita_fp - E_receita_vk) < 0.001, "SIM!", "NAO")))

# --- Variando n ---
cat("--- Receita esperada vs. numero de licitantes ---\n")
cat(sprintf("%-5s %-12s %-12s %-12s\n",
    "n", "E[R] 1o P", "E[R] Vickrey", "Bid shading"))
cat(strrep("-", 45), "\n")
n_vals <- 2:10
Er_vec <- numeric(length(n_vals))
for (k in seq_along(n_vals)) {
  ni <- n_vals[k]
  Er <- (ni - 1) / (ni + 1)  # mesma para ambos
  Er_vec[k] <- Er
  shading <- 1/ni  # quanto "esconde" no 1o preco
  cat(sprintf("%-5d %-12.4f %-12.4f %-12.2f%%\n",
      ni, Er, Er, shading*100))
}
cat("\nMais licitantes => mais competicao => mais receita\n")
cat("Mais licitantes => menos bid shading no 1o preco\n\n")

# --- Simulacao Monte Carlo ---
set.seed(42)
N_sim <- 10000
n_sim <- 5  # 5 licitantes

receita_vk <- numeric(N_sim)
receita_fp <- numeric(N_sim)

for (i in 1:N_sim) {
  vals <- runif(n_sim)
  sorted <- sort(vals, decreasing = TRUE)
  receita_vk[i] <- sorted[2]  # 2o maior
  receita_fp[i] <- ((n_sim-1)/n_sim) * sorted[1]  # lance do vencedor
}

cat(sprintf("--- Simulacao Monte Carlo (n=%d, %s rodadas) ---\n",
    n_sim, format(N_sim, big.mark=".")))
cat(sprintf("Receita media Vickrey: %.4f\n", mean(receita_vk)))
cat(sprintf("Receita media 1o Preco: %.4f\n", mean(receita_fp)))
cat(sprintf("Teorico: (n-1)/(n+1) = %.4f\n", (n_sim-1)/(n_sim+1)))

# --- Grafico ---
par(mfrow = c(1, 2), mar = c(4.5, 4.5, 3, 1), bg = "#f8f9fa")

# Painel 1: Estrategia de lance no 1o preco
v_seq <- seq(0, 1, length = 200)
n_plot <- c(2, 3, 5, 10)
cols <- c("#0d6efd", "#198754", "#fd7e14", "#dc3545")

plot(NULL, xlim = c(0, 1), ylim = c(0, 1),
     xlab = "Valoracao (v)",
     ylab = "Lance b(v)",
     main = "Estrategia 1o preco: bid shading")

abline(0, 1, col = "#adb5bd", lty = 3, lwd = 1)
text(0.85, 0.95, "b=v\n(Vickrey)", col = "#adb5bd", cex = 0.6)

for (k in seq_along(n_plot)) {
  ni <- n_plot[k]
  lines(v_seq, v_seq * (ni-1)/ni, lwd = 2.5, col = cols[k])
}

legend("topleft",
       legend = c(paste0("n=", n_plot), "b=v (Vickrey)"),
       col = c(cols, "#adb5bd"),
       lwd = c(rep(2.5, 4), 1), lty = c(rep(1, 4), 3),
       cex = 0.55, bg = "white")

# Painel 2: Receita esperada vs n
n_fine <- 2:20
Er_fine <- (n_fine - 1) / (n_fine + 1)

plot(n_fine, Er_fine, type = "b", lwd = 3, col = "#0d6efd",
     pch = 19, cex = 1.2,
     xlab = "Numero de licitantes (n)",
     ylab = "Receita esperada E[R]",
     main = "Receita vs. competicao",
     ylim = c(0, 1))

abline(h = 1, col = "#dc3545", lty = 3, lwd = 1.5)
text(15, 0.95, "Lim = 1 (extracao total)", col = "#dc3545", cex = 0.6)

text(5, 0.5, "E[R] = (n-1)/(n+1)\n(ambos os formatos)",
     col = "#0d6efd", cex = 0.7, font = 2)

(Aguardando WebR...)