WebR — Curva de Oferta Backward-Bending (CES)

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# Backward-Bending com utilidade CES
# Baseado no Exercicio 17.6
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# U(C,L) = (alpha*C^rho + (1-alpha)*L^rho)^(1/rho)
# sigma = 1/(1-rho) = elasticidade de substituicao

alpha <- 0.5
TT <- 24       # dotacao de tempo
V <- 0         # renda nao salarial

# Testar varias elasticidades de substituicao
sigma_vals <- c(2.0, 1.0, 0.5, 0.3)

cat("====== BACKWARD-BENDING COM CES ======\n")
cat("U = (alpha*C^rho + (1-alpha)*L^rho)^(1/rho)\n")
cat("alpha =", alpha, "  T =", TT, "  V =", V, "\n\n")

# Demanda marshalliana por lazer (CES, V=0):
# L*(w) = T / (1 + ((alpha)/(1-alpha))^sigma * w^(sigma-1))
# Quando sigma < 1 => sigma-1 < 0 => backward-bending possivel

cat("--- Oferta de trabalho para diferentes sigma ---\n\n")

par(mar = c(4.5, 4.5, 3, 2), bg = "#f8f9fa")
w_seq <- seq(0.1, 50, length = 500)
cols <- c("#0d6efd", "#198754", "#dc3545", "#6f42c1")

# Primeiro calcular os ranges
plot(NULL, xlim = c(0, TT), ylim = c(0, max(w_seq)),
     xlab = "Horas trabalhadas (h)",
     ylab = "Salario (w)",
     main = "Oferta de trabalho: papel da elasticidade")

for (k in seq_along(sigma_vals)) {
  sig <- sigma_vals[k]
  ratio <- (alpha / (1 - alpha))^sig
  L_star <- TT / (1 + ratio * w_seq^(sig - 1))
  h_star <- TT - L_star

lines(h_star, w_seq, lwd = 3, col = cols[k],
        lty = ifelse(k <= 2, 1, 2))

# Encontrar h maximo (pico da backward-bending)
  h_max <- max(h_star)
  w_peak <- w_seq[which.max(h_star)]

if (sig < 1) {
    cat(sprintf("sigma = %.1f: backward-bending!\n", sig))
    cat(sprintf("  h maximo = %.2f em w = %.1f\n", h_max, w_peak))
    points(h_max, w_peak, pch = 19, col = cols[k], cex = 1.5)
  } else if (sig == 1) {
    cat(sprintf("sigma = %.1f (Cobb-Douglas): h* = alpha*T = %.0f (constante)\n",
        sig, alpha * TT))
  } else {
    cat(sprintf("sigma = %.1f: sempre positivamente inclinada\n", sig))
  }
}

cat("\n--- Resumo ---\n")
cat("sigma > 1: oferta sempre positiva (ES domina)\n")
cat("sigma = 1: Cobb-Douglas, oferta perfeitamente inelastica\n")
cat("sigma < 1: backward-bending (ER domina para w alto)\n")
cat("Quanto menor sigma, mais rapido a curva se volta.\n")

# Linha vertical para Cobb-Douglas
abline(v = alpha * TT, col = "#198754", lty = 3, lwd = 1)

legend("topright",
       legend = paste0("sigma = ", sigma_vals),
       col = cols, lwd = 3,
       lty = c(1, 1, 2, 2),
       cex = 0.7, bg = "white")

(Aguardando WebR...)