R Interativo — Paradoxo de Allais

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# Paradoxo de Allais: violando o axioma de independência
# Cap. 8 — Por que 100% seguro "pesa" mais que a teoria prevê?

# Loterias de Allais (versão clássica, em milhões)
# Escolha 1: A = 1M com certeza   vs  B = (0.89, 1M; 0.10, 5M; 0.01, 0)
# Escolha 2: C = (0.11, 1M; 0.89, 0) vs D = (0.10, 5M; 0.90, 0)

gamma <- 0.5  # CRRA gamma (altere: 0.5, 1, 2, 5)

u <- function(x) ifelse(gamma == 1, log(x + 1), (x+1)^(1-gamma)/(1-gamma))

# EU sob vNM
EU_A <- u(1)
EU_B <- 0.89*u(1) + 0.10*u(5) + 0.01*u(0)
EU_C <- 0.11*u(1) + 0.89*u(0)
EU_D <- 0.10*u(5) + 0.90*u(0)

cat("=== Paradoxo de Allais (gamma =", gamma, ") ===\n\n")
cat("Escolha 1: A = 1M certeza vs B = (89% 1M, 10% 5M, 1% 0)\n")
cat(sprintf("  EU(A) = %.4f\n  EU(B) = %.4f\n", EU_A, EU_B))
cat(sprintf("  vNM prefere: %s\n\n", ifelse(EU_A > EU_B, "A (seguro)", "B (arriscado)")))

cat("Escolha 2: C = (11% 1M, 89% 0) vs D = (10% 5M, 90% 0)\n")
cat(sprintf("  EU(C) = %.4f\n  EU(D) = %.4f\n", EU_C, EU_D))
cat(sprintf("  vNM prefere: %s\n\n", ifelse(EU_C > EU_D, "C", "D")))

# Checar consistência
pref1 <- ifelse(EU_A > EU_B, "A", "B")
pref2 <- ifelse(EU_C > EU_D, "C", "D")
consistent <- (pref1 == "A" & pref2 == "C") | (pref1 == "B" & pref2 == "D")

cat("Consistencia vNM:\n")
cat(sprintf("  A>B => deve C>D; B>A => deve D>C\n"))
cat(sprintf("  Escolhas: %s e %s -> %s\n\n",
    pref1, pref2, ifelse(consistent, "CONSISTENTE", "VIOLACAO!")))

cat("Padrao tipico (A e D) viola independencia!\n")
cat("A certeza tem um 'peso extra' psicologico.\n")
cat("=> Efeito Certeza (Kahneman & Tversky, 1979)\n")

# Gráfico: triângulo de Marschak-Machina
par(mar = c(4, 4, 3, 1))

# No espaço (p1, p3) com p2 = 1 - p1 - p3
# p1 = prob(0), p2 = prob(1M), p3 = prob(5M)
# A: (0, 1, 0)  B: (0.01, 0.89, 0.10)
# C: (0.89, 0.11, 0)  D: (0.90, 0, 0.10)

plot(NA, xlim = c(0, 1), ylim = c(0, 0.15),
     xlab = "p1 = Prob(0)", ylab = "p3 = Prob(5M)",
     main = "Triangulo de Marschak-Machina")

# Curvas de indiferença EU (retas paralelas)
# EU = p1*u(0) + (1-p1-p3)*u(1) + p3*u(5) = const
# p3 = (const - u(1) + p1*(u(1)-u(0))) / (u(5)-u(1))
slope_EU <- (u(1) - u(0)) / (u(5) - u(1))
for (k in seq(EU_A * 0.8, EU_A * 1.2, length.out = 5)) {
  p1_line <- seq(0, 1, length.out = 100)
  p3_line <- (k - u(1) + p1_line*(u(1)-u(0))) / (u(5)-u(1))
  keep <- p3_line >= 0 & p3_line <= 0.15 & p1_line + p3_line <= 1
  lines(p1_line[keep], p3_line[keep], col = "lightblue", lwd = 1)
}

# Pontos
points(0, 0, pch = 19, col = "#2a7f2a", cex = 1.5)  # A
points(0.01, 0.10, pch = 19, col = "#C8102E", cex = 1.5)  # B
points(0.89, 0, pch = 17, col = "#2a7f2a", cex = 1.5)  # C
points(0.90, 0.10, pch = 17, col = "#C8102E", cex = 1.5)  # D
text(0.02, -0.005, "A", font = 2, col = "#2a7f2a")
text(0.03, 0.105, "B", font = 2, col = "#C8102E")
text(0.89, -0.005, "C", font = 2, col = "#2a7f2a")
text(0.92, 0.105, "D", font = 2, col = "#C8102E")

# Setas das escolhas típicas (Allais)
arrows(0.01, 0.10, 0, 0, length = 0.08, col = "#ff9800", lwd = 2)
arrows(0.89, 0, 0.90, 0.10, length = 0.08, col = "#ff9800", lwd = 2)
text(0.45, 0.12, "Padrao Allais: A > B mas D > C\n(curvas de indiferenca NAO paralelas!)",
     col = "#ff9800", font = 2, cex = 0.75)

Saída do R

Aguardando execução...

WebR executa R no navegador. O paradoxo de Allais mostra que pessoas sobrepesam certeza vs probabilidade alta — violando o axioma de independência de vNM. Altere gamma para ver se algum nível de aversão "resolve" o paradoxo (spoiler: não resolve).