R Interativo — CARA vs CRRA

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# CARA vs CRRA: como a aversão ao risco muda com a riqueza?
# Cap. 7 — Arrow-Pratt: absoluto vs relativo

# CARA: u(W) = -exp(-alpha*W), ARA = alpha (constante)
# CRRA: u(W) = W^(1-gamma)/(1-gamma), RRA = gamma (constante)

alpha <- 0.001   # CARA: aversão absoluta (altere!)
gamma <- 2       # CRRA: aversão relativa (altere!)

W <- seq(10, 500, length.out = 300)

# Arrow-Pratt
ARA_cara <- rep(alpha, length(W))    # constante!
ARA_crra <- gamma / W                # decresce com W

RRA_cara <- alpha * W                # cresce com W!
RRA_crra <- rep(gamma, length(W))    # constante!

cat("=== CARA vs CRRA ===\n\n")
cat(sprintf("CARA (alpha=%.4f): Aversao ABSOLUTA constante.\n", alpha))
cat("  Premio de risco em R$ nao muda com riqueza.\n")
cat("  Problema: bilionario aposta igual ao pobre!\n\n")
cat(sprintf("CRRA (gamma=%.1f): Aversao RELATIVA constante.\n", gamma))
cat("  Parcela da riqueza arriscada nao muda.\n")
cat("  Mais realista empiricamente.\n\n")

# Prêmio de risco para loteria +-h
h <- 20
cat(sprintf("Loteria: +/- R$ %.0f (50/50)\n\n", h))
cat(sprintf("%-10s %-12s %-12s\n", "W", "PR(CARA)", "PR(CRRA)"))
cat(paste(rep("-", 35), collapse=""), "\n")
for (w0 in c(50, 100, 200, 500)) {
  # CARA: PR ~ alpha*sigma^2/2
  pr_cara <- alpha * h^2 / 2
  # CRRA: PR ~ gamma*sigma^2/(2*W)
  pr_crra <- gamma * h^2 / (2 * w0)
  cat(sprintf("%-10.0f R$ %-10.2f R$ %-10.2f\n", w0, pr_cara, pr_crra))
}
cat("\nCARA: PR constante. CRRA: PR cai com riqueza.\n")

# Gráficos
par(mfrow = c(1, 2), mar = c(4, 4, 3, 1))

plot(W, ARA_crra, type = "l", col = "#C8102E", lwd = 2,
     xlab = "Riqueza (W)", ylab = "ARA = -u''/u'",
     main = "Aversao Absoluta ao Risco",
     ylim = c(0, max(ARA_crra)*1.2))
lines(W, ARA_cara, col = "steelblue", lwd = 2, lty = 2)
legend("topright",
       legend = c(sprintf("CRRA (gamma=%.0f)", gamma),
                  sprintf("CARA (alpha=%.4f)", alpha)),
       col = c("#C8102E", "steelblue"), lwd = 2, lty = c(1,2), cex = 0.8)
text(300, max(ARA_crra)*0.5, "CRRA: ARA cai\n(mais rico = menos avesso)",
     col = "#C8102E", cex = 0.8, font = 2)

plot(W, RRA_crra, type = "l", col = "#C8102E", lwd = 2,
     xlab = "Riqueza (W)", ylab = "RRA = W * ARA",
     main = "Aversao Relativa ao Risco",
     ylim = c(0, max(RRA_cara)*1.2))
lines(W, RRA_cara, col = "steelblue", lwd = 2, lty = 2)
legend("topleft",
       legend = c(sprintf("CRRA (gamma=%.0f)", gamma),
                  sprintf("CARA (alpha=%.4f)", alpha)),
       col = c("#C8102E", "steelblue"), lwd = 2, lty = c(1,2), cex = 0.8)
text(300, gamma*0.5, "CRRA: RRA constante\n(parcela arriscada fixa)",
     col = "#C8102E", cex = 0.8, font = 2)

Saída do R

Aguardando execução...

WebR executa R no navegador. CARA: aversão absoluta constante (irrealista — bilionário tem mesmo medo de perder R$100 que assalariado). CRRA: aversão relativa constante (mais usado empiricamente).