R Interativo — Elasticidades Cruzadas

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# Elasticidades Cruzadas e Classificação de Bens
# Cap. 6: Relações entre Bens
# Função CES: U(x1, x2) = (a*x1^rho + (1-a)*x2^rho)^(1/rho)

# Parâmetros (altere!)
a   <- 0.5     # peso do bem 1
rho <- 0.5     # rho -> 1: substitutos; rho -> -inf: complementos
m   <- 100     # renda
p2  <- 5       # preço fixo do bem 2

sigma <- 1 / (1 - rho)  # elasticidade de substituição

cat(sprintf("σ (elast. substituição) = %.2f\n", sigma))
cat(sprintf("rho = %.2f  →  bens são %s\n\n",
    rho, ifelse(sigma > 1, "SUBSTITUTOS líquidos",
          ifelse(sigma == 1, "Cobb-Douglas (σ=1)",
                 "COMPLEMENTOS líquidos"))))

# Demanda Marshalliana para CES (solução numérica via FOC)
# x1/x2 = (a/(1-a) * p2/p1)^sigma
p1_grid <- seq(1, 20, length.out = 200)
x1_marsh <- numeric(length(p1_grid))
x2_marsh <- numeric(length(p1_grid))

for (i in seq_along(p1_grid)) {
  p1 <- p1_grid[i]
  ratio <- (a / (1 - a) * p2 / p1)^sigma
  # x2 = m / (p2 + p1 * ratio)
  x2_marsh[i] <- m / (p2 + p1 * ratio)
  x1_marsh[i] <- ratio * x2_marsh[i]
}

# Elasticidade cruzada numérica: e_{1,p2}
dp2 <- 0.01
x1_alt <- numeric(length(p1_grid))
for (i in seq_along(p1_grid)) {
  p1 <- p1_grid[i]
  ratio_alt <- (a / (1 - a) * (p2 + dp2) / p1)^sigma
  x2_alt <- m / ((p2 + dp2) + p1 * ratio_alt)
  x1_alt[i] <- ratio_alt * x2_alt
}
e_cross <- (x1_alt - x1_marsh) / dp2 * p2 / x1_marsh

par(mfrow = c(1, 2), mar = c(4, 4, 3, 1))

# Painel 1: Demanda x1(p1)
plot(p1_grid, x1_marsh, type = "l", col = "#C8102E", lwd = 2,
     xlab = expression(p[1]), ylab = expression(x[1]),
     main = sprintf("Demanda x₁(p₁) | σ = %.1f", sigma))
grid()

# Painel 2: Elasticidade cruzada
plot(p1_grid, e_cross, type = "l", col = "#2a7f2a", lwd = 2,
     xlab = expression(p[1]),
     ylab = expression(e[list(1,p[2])]),
     main = "Elasticidade cruzada ε₁,p₂")
abline(h = 0, col = "gray", lty = 2)
grid()

cat(sprintf("\nNo ponto p1=5: ε₁,p₂ = %.3f  →  ", e_cross[which.min(abs(p1_grid - 5))]))
e_val <- e_cross[which.min(abs(p1_grid - 5))]
cat(ifelse(e_val > 0, "SUBSTITUTOS brutos\n", "COMPLEMENTOS brutos\n"))

Saída do R

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