R Interativo — Teorema do Bem Composto de Hicks

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# Teorema do Bem Composto de Hicks
# Cap. 6 — Quando "todo o resto" pode ser tratado como 1 bem

# Cenário: 3 bens (x, y, z)
# Se py e pz se movem proporcionalmente,
# podemos tratar (y,z) como um bem composto Y

# U = x^a * (y^b * z^(1-b))^(1-a)
a <- 0.4;  b <- 0.6   # altere!
m <- 120

# Precos iniciais
px <- 3;  py <- 2;  pz <- 4

# Solucao com 3 bens (Cobb-Douglas aninhada)
x_star  <- a * m / px
gasto_yz <- (1-a) * m
y_star  <- b * gasto_yz / py
z_star  <- (1-b) * gasto_yz / pz

cat("=== Teorema do Bem Composto ===\n\n")
cat(sprintf("3 bens: x*=%.1f, y*=%.1f, z*=%.1f\n", x_star, y_star, z_star))
cat(sprintf("Gasto total em (y,z) = R$ %.1f\n\n", py*y_star + pz*z_star))

# Agora: aumento proporcional em py e pz (fator t)
cat("--- Precos de y e z sobem proporcionalmente ---\n\n")
for (t in c(1.0, 1.2, 1.5, 2.0)) {
  py_t <- py * t;  pz_t <- pz * t
  # Y composto: preco do composto sobe por t
  x_t <- a * m / px
  y_t <- b * (1-a) * m / py_t
  z_t <- (1-b) * (1-a) * m / pz_t
  # Razao y/z
  cat(sprintf("t=%.1f: x=%.1f, y=%.2f, z=%.2f, y/z=%.3f\n",
      t, x_t, y_t, z_t, y_t/z_t))
}
cat("\ny/z e CONSTANTE! Precos proporcionais -> composicao fixa.\n")
cat("Podemos colapsar (y,z) em Y e analisar (x vs Y).\n")

# Gráfico: espaço (x, Y) com Y = py*y + pz*z
par(mfrow = c(1, 2), mar = c(4, 4, 3, 1))
x_grid <- seq(0.1, m/px, length.out = 200)

# Reta orcamentaria em (x, Y) para diferentes t
plot(NA, xlim = c(0, m/px), ylim = c(0, m*1.1),
     xlab = "x", ylab = "Y = gasto em (y,z)",
     main = "Espaco do Bem Composto")
cols <- c("#333", "#2a7f2a", "#C8102E", "#ff9800")
for (i in seq_along(c(1, 1.2, 1.5, 2.0))) {
  t <- c(1, 1.2, 1.5, 2.0)[i]
  Y_line <- m - px * x_grid
  lines(x_grid[Y_line >= 0], Y_line[Y_line >= 0],
        col = cols[i], lwd = 2, lty = ifelse(t==1, 1, 2))
  x_opt <- a * m / px
  Y_opt <- (1-a) * m
  if (t == 1) points(x_opt, Y_opt, pch = 19, col = cols[i], cex = 1.3)
}
text(5, 100, "x nao muda!\n(CD -> share fixo)", col = "#C8102E", font = 2, cex = 0.8)

# Painel 2: composição interna do composto
t_vec <- seq(0.5, 3, length.out = 100)
y_ratio <- sapply(t_vec, function(t) {
  b * (1-a) * m / (py*t) / ((1-b) * (1-a) * m / (pz*t))
})
plot(t_vec, y_ratio, type = "l", col = "steelblue", lwd = 2,
     xlab = "Fator proporcional t", ylab = "y*/z*",
     main = "Razao y/z (constante!)")
abline(h = y_ratio[1], col = "#C8102E", lty = 2)
text(2, y_ratio[1]*1.05, sprintf("y/z = %.2f", y_ratio[1]),
     col = "#C8102E", font = 2, cex = 0.9)

Saída do R

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WebR executa R no navegador. Hicks mostrou: se os preços de um grupo de bens se movem proporcionalmente, o grupo inteiro pode ser tratado como um único bem. A composição interna não muda!