R Interativo — Excedente do Consumidor: Marshall, VC, VE

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# Excedente do Consumidor: Marshall vs VC vs VE
# Cap. 5 — Três formas de medir bem-estar

# Quase-linear: U = v(x) + y,  v(x) = A * x^beta
A <- 20;  beta <- 0.5   # altere!
py <- 1  # numerário

p0 <- 2;  p1 <- 5   # aumento de preço de p0 para p1
m  <- 100

# Demanda marshalliana (quase-linear): v'(x) = p => A*beta*x^(beta-1) = p
x_marsh <- function(p) (A * beta / p)^(1/(1-beta))

# Excedente Marshalliano: integral da demanda de p0 a p1
EC_marsh <- integrate(x_marsh, p0, p1)$value

# Com quase-linear, VC = VE = EC (sem efeito-renda!)
VC <- EC_marsh
VE <- EC_marsh

cat("=== Medidas de Bem-Estar (U quase-linear) ===\n\n")
cat(sprintf("Aumento de preco: p0=%.0f -> p1=%.0f\n\n", p0, p1))
cat(sprintf("x(p0) = %.2f,  x(p1) = %.2f\n\n", x_marsh(p0), x_marsh(p1)))
cat(sprintf("EC (Marshall)         = R$ %.2f\n", EC_marsh))
cat(sprintf("VC (Variacao Comp.)   = R$ %.2f\n", VC))
cat(sprintf("VE (Variacao Equiv.)  = R$ %.2f\n\n", VE))
cat("Com U quase-linear: VC = VE = EC (sem efeito-renda).\n")
cat("Em geral: VE <= EC <= VC (para bens normais).\n")

# Gráfico
par(mfrow = c(1, 2), mar = c(4, 4, 3, 1))

# Painel 1: Demanda e EC
p_vec <- seq(0.5, 10, length.out = 300)
x_vec <- x_marsh(p_vec)
plot(x_vec, p_vec, type = "l", col = "steelblue", lwd = 2,
     xlab = "x", ylab = "Preco (p)",
     main = "Excedente do Consumidor",
     xlim = c(0, max(x_vec)*1.1), ylim = c(0, 10))

# Área do EC (entre p0 e p1)
p_fill <- seq(p0, p1, length.out = 100)
x_fill <- x_marsh(p_fill)
polygon(c(x_fill, 0, 0), c(p_fill, p1, p0),
        col = rgb(0.8, 0.2, 0.2, 0.2), border = NA)
abline(h = p0, col = "#2a7f2a", lty = 2, lwd = 1.5)
abline(h = p1, col = "#C8102E", lty = 2, lwd = 1.5)
text(x_marsh(p0) + 2, p0 - 0.3, sprintf("p0 = %.0f", p0), col = "#2a7f2a", font = 2, cex = 0.8)
text(x_marsh(p1) + 2, p1 + 0.3, sprintf("p1 = %.0f", p1), col = "#C8102E", font = 2, cex = 0.8)
text(max(x_fill)/2, (p0+p1)/2, sprintf("EC=%.1f", EC_marsh),
     col = "#C8102E", font = 2, cex = 0.9)

# Painel 2: Comparação VC, EC, VE para Cobb-Douglas
# Aqui VC != VE != EC
a_cd <- 0.4; m_cd <- 100
x_cd <- function(p) a_cd * m_cd / p
EC_cd <- integrate(x_cd, p0, p1)$value

# V e E para CD
V_cd <- function(p, m) (a_cd/p)^a_cd * ((1-a_cd)/py)^(1-a_cd) * m
E_cd <- function(p, u) u / ((a_cd/p)^a_cd * ((1-a_cd)/py)^(1-a_cd))
u0 <- V_cd(p0, m_cd)
u1 <- V_cd(p1, m_cd)
VC_cd <- E_cd(p0, u1) - m_cd  # negativo (perda)
VE_cd <- m_cd - E_cd(p1, u0)

cat("\n--- Cobb-Douglas (a=0.4): VC != VE ---\n")
cat(sprintf("  VC = R$ %.2f\n", -VC_cd))
cat(sprintf("  EC = R$ %.2f\n", EC_cd))
cat(sprintf("  VE = R$ %.2f\n", -VE_cd))
cat(sprintf("  VE < EC < VC? %s\n",
    ifelse(-VE_cd <= EC_cd & EC_cd <= -VC_cd, "SIM", "NAO")))

vals <- c(-VE_cd, EC_cd, -VC_cd)
barplot(vals, names.arg = c("VE", "EC (Marshall)", "VC"),
        col = c("#ff9800", "steelblue", "#C8102E"),
        main = "Cobb-Douglas: VE < EC < VC",
        ylab = "R$", border = NA)

Saída do R

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WebR executa R no navegador. Com U quase-linear, VC=VE=EC (sem efeito-renda). Com Cobb-Douglas, VE ≤ EC ≤ VC. O EC marshalliano é uma aproximação entre as duas medidas hicksianas.