Teorema do Envelope

\(f(x, \alpha) = -(x - \alpha)^2 + 2\alpha\) — \(V(\alpha) = \max_x f(x,\alpha)\) — \(dV/d\alpha = \partial f/\partial \alpha \big|_{x^*}\)

Parâmetro \(\alpha\): 3.0

Família \(f(x, \alpha_i)\)

Curva ativa \(f(x, \alpha)\)

Envelope \(V(\alpha)\)

Máximo atual

Parâmetro \(\alpha\)

—

Ótimo \(x^*(\alpha) = \alpha\)

—

Valor ótimo \(V(\alpha) = 2\alpha\)

—

\(dV/d\alpha\) (via envelope)

—

\(\partial f/\partial \alpha\) em \(x^*\)

—

Teorema do Envelope

—

\(dV/d\alpha = \partial f/\partial \alpha|_{x^*}\) — basta a derivada parcial direta, sem recalcular \(x^*(\alpha)\).