Capítulo 17 — Capital, Juros e o Valor do Amanhã¶

Introdução¶

A economia não se resume a decisões instantâneas. Agentes econômicos constantemente fazem escolhas que envolvem o tempo: poupar hoje para consumir amanhã, investir em uma fábrica cujos retornos virão ao longo de anos, extrair um recurso natural agora ou preservá-lo para o futuro. Neste capítulo, estudamos a teoria do capital e dos juros, que fornece o arcabouço analítico para compreender essas decisões intertemporais.

Começamos com os conceitos fundamentais de capital e taxa de retorno, passamos pelo elegante modelo de dois períodos de Irving Fisher, discutimos a precificação de ativos arriscados, analisamos os critérios de decisão de investimento (VPL e TIR) e concluímos com a regra de Hotelling para recursos naturais exauríveis. Ao longo do capítulo, conectamos a teoria à experiência brasileira, marcada por décadas de juros reais elevados e seus efeitos sobre o investimento produtivo.

17.1 Capital e Taxa de Retorno¶

O conceito de capital¶

Capital

Capital é o estoque de bens produzidos que são utilizados como insumos na produção de outros bens e serviços. Diferentemente do trabalho e da terra, o capital é um fator de produção produzido — máquinas, equipamentos, edifícios, infraestrutura, estoques.

É fundamental distinguir entre:

Estoque de capital ($K$): o valor total dos bens de capital em um dado momento;
Fluxo de serviços do capital: a contribuição produtiva do capital por unidade de tempo;
Investimento ($I$): a variação no estoque de capital, $I = \Delta K + \delta K$, onde $\delta$ é a taxa de depreciação.

Taxa de retorno do capital¶

A taxa de retorno ($r$) de um investimento mede a remuneração do capital por unidade monetária investida, por período. Se um investimento de $K_0$ reais gera um fluxo de rendimento líquido $\pi$ por período, a taxa de retorno é:

\[ r = \frac{\pi}{K_0} \]

No equilíbrio competitivo de longo prazo, a taxa de retorno do capital se iguala à taxa de juros do mercado, pois o investidor é indiferente entre aplicar recursos no mercado financeiro e investir em capital físico.

17.2 Determinação da Taxa de Retorno¶

Equilíbrio intertemporal¶

A taxa de juros de equilíbrio é determinada pela interação entre:

Oferta de fundos emprestáveis (poupança): positivamente relacionada à taxa de juros — juros mais altos incentivam a poupança;
Demanda de fundos emprestáveis (investimento): negativamente relacionada à taxa de juros — juros mais altos encarecem o custo do capital e reduzem o investimento.

No equilíbrio:

\[ S(r) = I(r) \]

onde $S$ é a poupança agregada e $I$ é o investimento agregado. A taxa de juros $r^*$ que iguala oferta e demanda de fundos é a taxa de juros de equilíbrio.

Fatores que afetam a taxa de juros¶

Fator	Efeito sobre $r^*$	Mecanismo
Aumento da produtividade do capital	$\uparrow r^*$	Desloca demanda por investimento para a direita
Aumento da preferência pelo consumo presente	$\uparrow r^*$	Reduz oferta de poupança
Aumento da oferta de fundos (ex.: poupança externa)	$\downarrow r^*$	Desloca oferta de poupança para a direita
Aumento do risco percebido	$\uparrow r^*$	Exige prêmio de risco maior

17.3 Modelo de Dois Períodos de Fisher¶

Estrutura do modelo¶

O modelo de Irving Fisher é a pedra angular da teoria do consumo intertemporal. Considere um consumidor que vive dois períodos ($t = 1, 2$) e deve decidir quanto consumir em cada período.

Renda nos períodos 1 e 2: $Y_1$ e $Y_2$;
Consumo nos períodos 1 e 2: $C_1$ e $C_2$;
Taxa de juros de mercado: $r$;
O consumidor pode poupar ($S > 0$) ou tomar empréstimo ($S < 0$).

Restrição orçamentária intertemporal

A restrição orçamentária intertemporal é: [ C_1 + \frac{C_2}{1+r} = Y_1 + \frac{Y_2}{1+r} \equiv W ] onde $W$ é a riqueza intertemporal — o valor presente de toda a renda futura. A inclinação da reta orçamentária intertemporal é $-(1+r)$.

Otimização¶

O consumidor maximiza $U(C_1, C_2)$ sujeito à restrição intertemporal. A condição de ótimo é:

\[ \frac{U_1}{U_2} = 1 + r \]

ou equivalentemente:

\[ TMS_{C_1, C_2} = 1 + r \]

Taxa de preferência intertemporal

A taxa de preferência intertemporal (ou taxa de desconto subjetiva) $\rho$ é definida implicitamente por: [ TMS_{C_1, C_2} = 1 + \rho ] No ótimo, $\rho = r$: a taxa de desconto subjetiva se iguala à taxa de juros de mercado. Se $\rho > r$, o consumidor é "impaciente" e toma empréstimo; se $\rho < r$, ele poupa.

Efeitos de uma variação na taxa de juros¶

Um aumento em $r$ tem dois efeitos sobre $C_1$:

Efeito substituição: consumo presente fica relativamente mais caro (maior custo de oportunidade), reduzindo $C_1$;
Efeito renda: depende da posição do consumidor:
- Se é poupador ($S > 0$): fica mais rico, tende a aumentar $C_1$;
- Se é devedor ($S < 0$): fica mais pobre, tende a reduzir $C_1$.

Para um poupador, o efeito líquido sobre $C_1$ é ambíguo (semelhante à curva backward-bending no mercado de trabalho).

Gráfico interativo: Modelo de Fisher¶

O gráfico abaixo ilustra o modelo de consumo intertemporal de dois períodos. A reta orçamentária intertemporal tem inclinação $-(1+r)$ e passa pelo ponto de dotação $(Y_1, Y_2)$. O consumidor escolhe o ponto de tangência com a curva de indiferença. Observe como variações na taxa de juros $r$ alteram a inclinação da reta e a classificação do agente como poupador ou devedor.

17.4 Precificação de Ativos Arriscados¶

O CAPM básico¶

O Capital Asset Pricing Model (Modelo de Precificação de Ativos de Capital) estabelece que o retorno esperado de um ativo arriscado é:

\[ E[r_i] = r_f + \beta_i \cdot (E[r_m] - r_f) \]

onde:

$r_f$ é a taxa de retorno livre de risco;
$E[r_m]$ é o retorno esperado do portfólio de mercado;
$\beta_i = \frac{\text{Cov}(r_i, r_m)}{\text{Var}(r_m)}$ é o beta do ativo, que mede seu risco sistemático.

O prêmio de risco do ativo $i$ é proporcional ao seu beta: ativos com maior correlação com o mercado exigem retornos esperados mais altos.

Fator de desconto estocástico¶

Uma abordagem mais geral utiliza o fator de desconto estocástico (SDF, stochastic discount factor). O preço de qualquer ativo satisfaz:

\[ p_i = E[m \cdot x_i] \]

onde $m$ é o fator de desconto estocástico e $x_i$ é o payoff do ativo. No modelo de consumo intertemporal com utilidade esperada:

\[ m = \beta \frac{U'(C_2)}{U'(C_1)} \]

onde $\beta = \frac{1}{1+\rho}$ é o fator de desconto subjetivo. Ativos que pagam mais em estados de escassez (quando $U'(C_2)$ é alto) são mais valiosos.

Equity premium puzzle

O enigma do prêmio de risco das ações (Mehra e Prescott, 1985) refere-se ao fato de que o prêmio de risco histórico das ações sobre títulos públicos (~6% ao ano nos EUA) é muito maior do que modelos padrão de consumo intertemporal conseguem explicar com níveis razoáveis de aversão ao risco.

17.5 Demanda da Firma por Capital¶

A firma demanda capital até que o valor do produto marginal do capital iguale o custo de uso do capital:

\[ p \cdot PMg_K = c_K \]

O custo de uso do capital (user cost of capital, ou custo de Jorgenson) é:

\[ c_K = p_K(r + \delta) \]

onde $p_K$ é o preço do bem de capital, $r$ é a taxa de juros real e $\delta$ é a taxa de depreciação.

Custo de uso do capital

O custo de uso do capital $c_K = p_K(r + \delta)$ representa o custo por período de utilizar uma unidade de capital. Ele inclui dois componentes: o custo de oportunidade do capital ($p_K \cdot r$, o retorno que se obteria aplicando o valor do capital no mercado financeiro) e o custo de depreciação ($p_K \cdot \delta$, a perda de valor do capital por desgaste ou obsolescência).

A demanda por capital é decrescente na taxa de juros: quando $r$ sobe, $c_K$ aumenta e a firma reduz seu estoque de capital desejado.

17.6 Critério do Valor Presente Descontado (VPL)¶

Definição¶

Valor Presente Líquido (VPL)

O Valor Presente Líquido de um projeto de investimento que gera fluxos de caixa $\{F_0, F_1, F_2, \ldots, F_n\}$ é: [ VPL = \sum_{t=0}^{n} \frac{F_t}{(1+r)^t} = F_0 + \frac{F_1}{1+r} + \frac{F_2}{(1+r)^2} + \cdots + \frac{F_n}{(1+r)^n} ] onde $r$ é a taxa de desconto (custo de oportunidade do capital) e $F_0 < 0$ representa o investimento inicial.

Regra de decisão¶

Se $VPL > 0$: o projeto gera valor líquido positivo; deve ser aceito.
Se $VPL < 0$: o projeto destrói valor; deve ser rejeitado.
Se $VPL = 0$: o projeto remunera exatamente o custo de oportunidade; indiferente.

Sensibilidade à taxa de desconto¶

O VPL é uma função decrescente de $r$. Projetos com fluxos de caixa mais distantes no tempo são mais sensíveis a variações na taxa de desconto.

17.7 Taxa Interna de Retorno (TIR)¶

Taxa Interna de Retorno (TIR)

A Taxa Interna de Retorno é a taxa de desconto $r^*$ que torna o VPL igual a zero: [ \sum_{t=0}^{n} \frac{F_t}{(1+r^*)^t} = 0 ] A regra de decisão é: aceitar o projeto se $TIR > r$ (custo de oportunidade do capital).

Limitações da TIR¶

A TIR apresenta problemas conhecidos:

Múltiplas TIRs: quando os fluxos de caixa mudam de sinal mais de uma vez, pode haver mais de uma TIR (pela regra de Descartes);
Projetos mutuamente exclusivos: a TIR pode ordenar projetos de forma diferente do VPL;
Escala: a TIR não leva em conta o tamanho do investimento.

Por essas razões, o VPL é considerado o critério superior para avaliação de investimentos.

Gráfico interativo: VPL e TIR¶

O gráfico abaixo plota o Valor Presente Líquido como função da taxa de desconto. Edite os fluxos de caixa $F_0$ a $F_5$ e ajuste a taxa de desconto $r$ com o slider. O ponto onde a curva cruza o eixo horizontal é a Taxa Interna de Retorno (TIR). Projetos com VPL positivo (acima da linha zero) devem ser aceitos.

17.8 Precificação de Recursos Naturais: A Regra de Hotelling¶

O problema do recurso exaurível¶

Considere o proprietário de uma mina com estoque finito $S_0$ de um recurso natural não renovável (petróleo, minério, gás). Em cada período, ele deve decidir quanto extrair ($q_t$) e quanto preservar para o futuro.

Se o preço do recurso é $P_t$, o custo marginal de extração é $c$ (constante) e a taxa de juros é $r$, o proprietário enfrenta um problema de otimização intertemporal.

Demonstração: Derivação da Regra de Hotelling

O proprietário da mina maximiza o valor presente dos lucros da extração:

\[ \max_{\{q_t\}} \sum_{t=0}^{\infty} \frac{(P_t - c) \cdot q_t}{(1+r)^t} \quad \text{sujeito a} \quad \sum_{t=0}^{\infty} q_t \leq S_0, \quad q_t \geq 0 \]

O lagrangeano é:

\[ \mathcal{L} = \sum_{t=0}^{\infty} \frac{(P_t - c) q_t}{(1+r)^t} + \lambda \left( S_0 - \sum_{t=0}^{\infty} q_t \right) \]

A condição de primeira ordem para $q_t > 0$ é:

\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_t} = \frac{P_t - c}{(1+r)^t} - \lambda = 0 \]

Portanto:

\[ P_t - c = \lambda (1+r)^t \]

Definindo a renda de escassez (ou royalty) como $R_t \equiv P_t - c$, temos:

\[ R_t = \lambda (1+r)^t = R_0 (1+r)^t \]

onde $R_0 = \lambda$ é a renda de escassez no período inicial. Tomando a razão entre dois períodos consecutivos:

\[ \frac{R_{t+1}}{R_t} = 1 + r \]

Ou, equivalentemente:

\[ \frac{R_{t+1} - R_t}{R_t} = r \]

Esta é a Regra de Hotelling: em equilíbrio, a renda de escassez (preço líquido do custo de extração) de um recurso natural exaurível deve crescer à taxa de juros $r$.

Intuição: se a renda de escassez crescesse a uma taxa superior a $r$, seria mais lucrativo não extrair hoje e esperar — o proprietário reduziria a extração presente, elevando o preço hoje e reduzindo a taxa de crescimento. Se crescesse a uma taxa inferior a $r$, seria melhor extrair tudo agora e aplicar no mercado financeiro — a extração presente aumentaria, reduzindo o preço hoje e elevando a taxa de crescimento. No equilíbrio, os dois incentivos se equilibram. $\blacksquare$

Regra de Hotelling

Em equilíbrio competitivo, o preço líquido (preço menos custo marginal de extração) de um recurso natural exaurível cresce à taxa de juros: [ \frac{\dot{R}}{R} = r \quad \text{(em tempo contínuo)} \qquad \text{ou} \qquad \frac{R_{t+1} - R_t}{R_t} = r \quad \text{(em tempo discreto)} ] onde $R = P - c$ é a renda de escassez do recurso.

Implicações¶

O preço do recurso tende a subir ao longo do tempo, refletindo sua crescente escassez;
Recursos com custo de extração constante terão preços que convergem assintoticamente para um caminho exponencial;
A taxa de juros determina a velocidade de exaustão: juros altos aceleram a extração (o futuro é mais fortemente descontado).

A regra de Hotelling na prática

Empiricamente, os preços de muitos recursos naturais não seguem a trajetória prevista pela regra de Hotelling. Isso pode ser explicado por: (i) descobertas de novas reservas; (ii) progresso tecnológico que reduz custos de extração; (iii) desenvolvimento de substitutos; (iv) poder de mercado (OPEP, por exemplo).

17.9 Juros Compostos e Tempo Contínuo¶

Juros compostos discretos¶

Com capitalização $m$ vezes ao ano, um capital $K_0$ investido à taxa nominal anual $i$ rende, após $n$ anos:

\[ K_n = K_0 \left(1 + \frac{i}{m}\right)^{mn} \]

Capitalização contínua¶

Quando $m \to \infty$, obtemos a capitalização contínua:

\[ K(t) = K_0 \cdot e^{it} \]

onde $e \approx 2{,}71828$ é a base do logaritmo natural. A taxa instantânea de crescimento é $i$.

Valor presente em tempo contínuo¶

O valor presente de um fluxo $F(t)$ recebido no instante $t$, descontado à taxa contínua $r$, é:

\[ VP = F(t) \cdot e^{-rt} \]

Para um fluxo contínuo $f(t)$ ao longo do tempo:

\[ VP = \int_0^T f(t) \cdot e^{-rt} \, dt \]

Relação entre taxas discreta e contínua¶

Se a taxa discreta (anual) é $r_d$ e a taxa contínua é $r_c$, então:

\[ 1 + r_d = e^{r_c} \quad \Leftrightarrow \quad r_c = \ln(1 + r_d) \]

Perpetuidades e anuidades

Perpetuidade (fluxo constante $F$ para sempre): $VP = F/r$
Anuidade (fluxo constante $F$ por $n$ períodos): $VP = F \cdot \frac{1 - (1+r)^{-n}}{r}$
Perpetuidade crescente (fluxo crescendo a taxa $g < r$): $VP = F/(r - g)$

Tabela: VPL, Taxa de Desconto e Decisão de Investimento¶

Considere um projeto com investimento inicial de R$ 100.000 e fluxos de caixa anuais conforme a tabela abaixo:

Ano	Fluxo de caixa (R$)
0	−100.000
1	30.000
2	35.000
3	40.000
4	45.000

A TIR deste projeto é aproximadamente 15,2%. A tabela a seguir mostra o VPL para diferentes taxas de desconto:

Taxa de desconto ($r$)	VPL (R$)	Decisão
5%	35.460	Aceitar
8%	24.689	Aceitar
10%	18.444	Aceitar
12%	12.658	Aceitar
15%	4.474	Aceitar
15,2% (TIR)	≈ 0	Indiferente
18%	−5.536	Rejeitar
20%	−10.648	Rejeitar
25%	−22.560	Rejeitar

A tabela ilustra dois pontos fundamentais: (i) o VPL é decrescente na taxa de desconto; (ii) projetos viáveis a juros baixos podem se tornar inviáveis quando a taxa de juros sobe — um problema particularmente relevante no contexto brasileiro de juros historicamente elevados.

Box Brasil: Taxa Selic e o Custo de Capital no Brasil¶

Por que os juros brasileiros são historicamente altos?

O Brasil é conhecido internacionalmente por praticar uma das taxas de juros reais mais elevadas do mundo. A taxa Selic — a taxa básica de juros definida pelo Comitê de Política Monetária (Copom) do Banco Central do Brasil — atingiu níveis estratosféricos ao longo das últimas décadas.

Evolução histórica da Selic:

Nos anos 1990 (pós-Plano Real), a taxa Selic real frequentemente superava 20% ao ano.
Entre 2003 e 2012, houve redução gradual, mas a Selic real ainda oscilava entre 5% e 10% ao ano.
Em 2020, durante a pandemia de COVID-19, a Selic nominal atingiu o mínimo histórico de 2% ao ano (taxa real negativa).
A partir de 2021, o ciclo de aperto monetário elevou a Selic a 13,75% ao ano em 2022, com taxa real em torno de 7-8%.

Por que os juros são tão altos? Principais hipóteses:

Dominância fiscal: a elevada dívida pública e a percepção de risco fiscal exigem prêmios de risco maiores para financiamento do governo. Quanto maior a desconfiança sobre a sustentabilidade fiscal, maiores os juros que o Tesouro Nacional precisa oferecer.
Crédito direcionado e segmentação: uma parcela significativa do crédito no Brasil é direcionada (BNDES, crédito rural, habitacional) a taxas subsidiadas. Isso reduz a eficácia da política monetária, exigindo uma Selic mais alta para atingir o mesmo efeito contracionista sobre a parcela livre do crédito.
Inércia inflacionária e indexação: a memória inflacionária do período de hiperinflação (1980-1994) e mecanismos de indexação residuais tornam as expectativas de inflação mais resistentes, exigindo juros mais altos para ancorar expectativas.
Incerteza jurisdicional: instabilidade regulatória, mudanças frequentes de regras tributárias e insegurança jurídica elevam o prêmio de risco exigido por investidores.
Baixa taxa de poupança doméstica: a taxa de poupança bruta do Brasil (~15% do PIB) é significativamente inferior à de outros emergentes como China (~45%) e Índia (~30%), pressionando os juros de equilíbrio para cima.

Impacto sobre o investimento privado:

A taxa de investimento brasileira (Formação Bruta de Capital Fixo / PIB) oscila em torno de 15-18%, bem abaixo dos ~25% considerados necessários para sustentar crescimento robusto. Juros elevados encarecem o custo de uso do capital ($c_K = p_K(r + \delta)$), tornando inviáveis projetos que seriam rentáveis em ambientes de juros mais baixos.

Dados do BNDES mostram que, historicamente, o banco de desenvolvimento desempenhou um papel de "compensação" parcial, oferecendo crédito de longo prazo a taxas subsidiadas (TJLP, depois TLP). Contudo, a partir de 2017, a substituição da TJLP pela TLP (atrelada a taxas de mercado) reduziu esse subsídio, aproximando o custo do crédito do BNDES ao custo de mercado.

Consequências para a avaliação de projetos:

Conforme a tabela de VPL apresentada na seção anterior, projetos que seriam viáveis a uma taxa de desconto de 5% (como em muitos países desenvolvidos) tornam-se inviáveis a 15% ou 20% (taxas reais historicamente observadas no Brasil). Isso representa um viés contra investimentos de longo prazo, especialmente em infraestrutura, pesquisa e desenvolvimento, e indústrias capital-intensivas.

Exercícios¶

Exercícios do Capítulo 17

Exercício 17.1. Um consumidor vive dois períodos, com renda $Y_1 = 100$ e $Y_2 = 110$, e preferências $U(C_1, C_2) = \ln C_1 + \frac{1}{1{,}1} \ln C_2$. A taxa de juros é $r = 10\%$.

(a) Calcule a riqueza intertemporal $W$.

(b) Derive as escolhas ótimas $C_1^*$ e $C_2^*$.

(c) O consumidor é poupador ou devedor? Quanto ele poupa/toma emprestado?

(d) Se $r$ sobe para 20%, como mudam $C_1^*$ e $C_2^*$? Decomponha em efeitos renda e substituição.

Exercício 17.2. Uma firma considera investir em uma máquina que custa R$ 500.000, tem vida útil de 5 anos, deprecia-se linearmente e gera receitas líquidas anuais de R$ 150.000.

(a) Calcule o VPL do projeto para $r = 8\%$ e $r = 15\%$.

(b) Calcule a TIR do projeto (use método numérico ou interpolação).

(c) Se a Selic real é 8% e o prêmio de risco do setor é 4%, o projeto deve ser aceito?

Exercício 17.3. Um recurso natural não renovável tem estoque inicial $S_0 = 1000$ unidades. O preço de mercado é $P_0 = 50$ reais por unidade, o custo marginal de extração é $c = 10$ reais e a taxa de juros é $r = 5\%$.

(a) Segundo a regra de Hotelling, qual será o preço do recurso daqui a 10 anos?

(b) Se uma nova tecnologia reduzir o custo de extração para $c = 5$, o que acontece com a trajetória de preços? O recurso será exaurido mais rápido ou mais devagar?

(c) Se a taxa de juros subir para $r = 10\%$, o que acontece com a velocidade de extração? Explique intuitivamente.

Exercício 17.4. Considere dois projetos mutuamente exclusivos:

	Projeto A	Projeto B
Investimento inicial	R$ 100.000	R$ 200.000
Fluxo anual (5 anos)	R$ 35.000	R$ 62.000
TIR	22,1%	16,8%

(a) Calcule o VPL de cada projeto para $r = 10\%$.

(b) Qual projeto deve ser escolhido pelo critério do VPL? E pelo critério da TIR?

(c) Encontre a taxa de desconto na qual os dois projetos têm o mesmo VPL (taxa de Fisher).

(d) Explique por que o VPL é considerado o critério superior.

Exercício 17.5. Discuta as seguintes questões, articulando teoria e evidência empírica:

(a) "Se o Brasil conseguisse reduzir a taxa de juros real de longo prazo de 6% para 3%, o impacto sobre o investimento produtivo seria enorme." Avalie essa afirmação usando o conceito de custo de uso do capital e a sensibilidade do VPL à taxa de desconto.

(b) Explique por que a regra de Hotelling pode não ser observada empiricamente para o preço do petróleo.

(c) Um governo que deseja incentivar investimentos em infraestrutura de longo prazo (com payback de 20-30 anos) deve se preocupar mais com a taxa de juros real ou com a estabilidade regulatória? Justifique usando os conceitos de VPL e prêmio de risco.

Fator	Efeito sobre \(r^*\)	Mecanismo
Aumento da produtividade do capital	\(\uparrow r^*\)	Desloca demanda por investimento para a direita
Aumento da preferência pelo consumo presente	\(\uparrow r^*\)	Reduz oferta de poupança
Aumento da oferta de fundos (ex.: poupança externa)	\(\downarrow r^*\)	Desloca oferta de poupança para a direita
Aumento do risco percebido	\(\uparrow r^*\)	Exige prêmio de risco maior