16.1–16.4 Bertrand, Cournot e Stackelberg¶
16.1 Preço ou Quantidade — Eis a Questão: Decisões de Curto Prazo¶
Em um oligopólio, as firmas devem decidir simultaneamente (ou sequencialmente) sobre preço, quantidade, qualidade, publicidade e outras variáveis. Os modelos clássicos concentram-se em duas variáveis fundamentais:
- Preço: modelo de Bertrand (1883).
- Quantidade: modelo de Cournot (1838).
A escolha da variável estratégica não é trivial e produz resultados dramaticamente diferentes, como veremos a seguir.
Interdependência Estratégica
Em um oligopólio, o lucro de cada firma depende não apenas de sua própria decisão, mas também das decisões de todas as rivais. Formalmente, se há \(n\) firmas, o lucro da firma \(i\) é \(\pi_i(s_i, s_{-i})\), onde \(s_i\) é a estratégia da firma \(i\) e \(s_{-i}\) é o vetor de estratégias das demais firmas. O conceito de solução é o equilíbrio de Nash: um perfil de estratégias \((s_1^*, \ldots, s_n^*)\) tal que nenhuma firma pode aumentar unilateralmente seu lucro desviando.
🏅 Prêmio Nobel — Jean Tirole (2014)
Jean Tirole (1953–presente) é um economista francês. Obteve o PhD no MIT e é professor na Toulouse School of Economics (TSE). Recebeu o Nobel individualmente — um dos poucos em economia.
Por que ganhou o Nobel: Premiado por sua análise do poder de mercado e da regulação. Em The Theory of Industrial Organization (1988), Tirole sintetizou e expandiu os modelos clássicos de oligopólio (Cournot, Bertrand, Stackelberg) usando a teoria dos jogos, transformando a organização industrial em uma disciplina rigorosa e unificada. Suas contribuições incluem a análise de preços-limite, competição em plataformas bilaterais e colusão tácita.
Conexão com este capítulo: Os modelos de Cournot, Bertrand, Stackelberg e colusão analisados neste capítulo são apresentados no framework moderno consolidado por Tirole. Sua abordagem — tratar cada estrutura de oligopólio como um jogo com equilíbrio de Nash — unificou a análise e permitiu comparar rigorosamente as previsões de cada modelo sobre preços, quantidades e bem-estar.
16.2 Dois Bastam para a Guerra: Modelo de Bertrand¶
Comecemos pela pergunta mais natural: o que acontece quando duas firmas com produtos idênticos competem em preços? A resposta de Bertrand é tão brutal que mereceu o apelido de "paradoxo": basta uma rival para transformar qualquer duopolista em refém da guerra de preços. É como se dois vendedores de guarda-chuva idêntico se instalassem lado a lado na saída do metrô em dia de temporal — a corrida para o fundo começa imediatamente. Como veremos, bastam duas firmas para que o resultado de mercado se assemelhe ao da concorrência perfeita, um resultado com implicações profundas para a teoria da organização industrial.
O modelo básico¶
Considere duas firmas produzindo um bem homogêneo com custo marginal constante \(c\). As firmas escolhem simultaneamente seus preços \(p_1\) e \(p_2\). Os consumidores compram da firma com menor preço; se os preços são iguais, a demanda se divide igualmente.
A função de demanda da firma 1 é:
O paradoxo de Bertrand¶
Teorema: Equilíbrio de Bertrand
No modelo de Bertrand com bens homogêneos e custos marginais constantes e idênticos, o único equilíbrio de Nash é \(p_1^* = p_2^* = c\). Ambas as firmas obtêm lucro zero.
Demonstração
Mostramos que \(p_1^* = p_2^* = c\) é equilíbrio de Nash e que nenhum outro perfil de preços o é.
Passo 1: \(p_1 = p_2 = c\) é equilíbrio de Nash.
Se ambas as firmas cobram \(p = c\), cada uma obtém lucro zero. Qualquer desvio unilateral resulta em:
- \(p_i < c\): a firma \(i\) atrai toda a demanda mas obtém lucro negativo (prejuízo por unidade).
- \(p_i > c\): a firma \(i\) perde toda a demanda para a rival e obtém lucro zero.
Portanto, nenhuma firma tem incentivo para desviar. \(\checkmark\)
Passo 2: Nenhum outro perfil é equilíbrio de Nash.
Caso 1: \(p_1 > p_2 > c\). A firma 1 obtém lucro zero e poderia lucrar cobrando \(p_1 = p_2 - \epsilon\). Portanto, não é equilíbrio.
Caso 2: \(p_1 = p_2 = p > c\). Cada firma obtém \(\frac{(p-c)D(p)}{2}\). A firma 1 pode desviar para \(p_1 = p - \epsilon\), obtendo aproximadamente \((p-c)D(p)\) — o dobro. Portanto, não é equilíbrio.
Caso 3: \(p_1 < c\) ou \(p_2 < c\). A firma com preço abaixo de \(c\) tem prejuízo e poderia desviar para \(p_i = c\). Portanto, não é equilíbrio.
Esgotados todos os casos, o único equilíbrio de Nash é \(p_1^* = p_2^* = c\). \(\blacksquare\)
O resultado é paradoxal: pela equação \(\eqref{eq:16.1}\), bastam duas firmas para reproduzir o resultado competitivo. Isso contrasta fortemente com a evidência empírica, na qual mercados duopolísticos tipicamente apresentam lucros positivos. O paradoxo de Bertrand motivou diversas extensões do modelo.
Intuição Econômica
Em uma frase: Se duas empresas vendem o mesmo produto, a guerra de preços pode eliminar todo o lucro — mesmo que sejam apenas duas.
Pense assim: Imagine duas barracas de água mineral idêntica na saída de um show no Maracanã. Se uma cobra R$ 6 e a outra R$ 5, todo mundo vai na mais barata. A rival baixa para R$ 4,50, e a guerra continua até que ambas cobrem o custo — e ninguém lucra nada.
Por que isso importa: O paradoxo mostra que concorrência em preços com produtos idênticos é brutal, e ajuda a entender por que empresas investem tanto em diferenciação de marca e fidelização de clientes.
Resoluções do paradoxo¶
O paradoxo de Bertrand pode ser resolvido relaxando qualquer uma de suas hipóteses:
- Diferenciação de produto: se os bens não são substitutos perfeitos, as firmas retêm algum poder de mercado mesmo cobrando preços diferentes (Seção 16.6).
- Restrições de capacidade: se as firmas têm capacidade limitada, a firma de preço mais baixo não pode atender toda a demanda (Seção 16.5).
- Interação repetida: em jogos repetidos, a ameaça de retaliação futura pode sustentar preços acima do custo (Seção 16.7).
- Custos marginais assimétricos: se \(c_1 < c_2\), o equilíbrio é \(p_1^* = c_2\) (ou ligeiramente abaixo), e a firma 1 obtém lucro positivo.
Figura 16.1 — Visualize o paradoxo de Bertrand com produtos homogêneos (equilíbrio a preço = custo marginal) e alterne para produtos diferenciados, onde preços de equilíbrio superam o custo marginal. Ajuste elasticidades e custos.
16.3 Quanto Produzir Quando o Rival Pensa o Mesmo: Modelo de Cournot¶
O paradoxo de Bertrand sugere que a concorrência em preços é devastadora para as firmas. Mas e se as firmas competissem em quantidades, em vez de preços? Essa é a pergunta que Antoine Augustin Cournot formulou já em 1838, meio século antes de Bertrand. O modelo de Cournot produz resultados radicalmente diferentes: mesmo com apenas duas firmas, o preço de equilíbrio permanece acima do custo marginal, e ambas obtêm lucros positivos. Essa sensibilidade do resultado à variável de decisão é uma das lições centrais da teoria dos oligopólios.
O modelo duopolístico¶
Considere duas firmas que escolhem simultaneamente as quantidades \(q_1\) e \(q_2\). O preço de mercado é determinado pela demanda inversa \(p = a - b(q_1 + q_2)\). Cada firma tem custo marginal constante \(c\).
O lucro da firma 1 é:
A condição de primeira ordem é:
Resolvendo para \(q_1\):
A equação \(\eqref{eq:16.4}\) é a função de melhor-resposta (ou função de melhor resposta) da firma 1. Ela indica a quantidade ótima da firma 1 para cada nível de produção da firma 2. A função de melhor-resposta é decrescente: as quantidades são substitutos estratégicos no modelo de Cournot.
Substitutos e Complementos Estratégicos
Variáveis de decisão são substitutos estratégicos se a melhor resposta de uma firma é decrescente na ação da rival: quando a rival produz mais, a firma reduz sua produção. São complementos estratégicos se a melhor resposta é crescente. No modelo de Cournot, quantidades são substitutos estratégicos. No modelo de Bertrand com produtos diferenciados, preços são tipicamente complementos estratégicos.
Equilíbrio de Cournot (duopólio)¶
Por simetria (\(q_1^* = q_2^* = q^*\)):
O equilíbrio de Cournot é:
Intuição Econômica
Em uma frase: No equilíbrio de Cournot, cada empresa produz menos do que faria sozinha, mas o mercado como um todo produz mais do que um monopólio.
Pense assim: Pense em duas redes de postos de gasolina decidindo quantos postos abrir numa cidade. Cada uma sabe que, se abrir postos demais, o preço da gasolina cai para todo mundo. Então cada uma modera a expansão — mas, juntas, atendem mais consumidores do que um monopolista faria.
Por que isso importa: O modelo de Cournot mostra que bastam poucas empresas para gerar alguma concorrência, e que o resultado melhora para o consumidor conforme o número de competidores aumenta.
⚠️ Erro Comum
Confundir o equilíbrio de Cournot com colusão ou com concorrência perfeita.
O equilíbrio de Cournot não é colusão: cada firma maximiza seu próprio lucro individualmente, tomando a quantidade da rival como dada. O resultado conjunto é pior para as firmas do que a colusão (que maximizaria o lucro conjunto), mas melhor do que Bertrand com bens homogêneos. Formalmente: \(Q^{monopólio} < Q^{Cournot} < Q^{competitivo}\) e \(p^{competitivo} < p^{Cournot} < p^{monopólio}\). Outro erro frequente é trocar a variável estratégica: no Cournot as firmas escolhem quantidades (e o preço se ajusta pelo mercado), enquanto no Bertrand escolhem preços. Essa diferença gera resultados radicalmente distintos.
Figura 16.2 — Funções de melhor-resposta de Cournot no espaço \((q_1, q_2)\). O equilíbrio de Nash está na interseção. Ajuste custos assimétricos, ative a convergência cobweb e compare com os pontos de colusão e competitivo.
O modelo de Stackelberg¶
Nos modelos de Bertrand e Cournot, as firmas tomam decisões simultaneamente — nenhuma observa a escolha da rival antes de agir. Mas em muitos mercados reais, uma firma estabelecida decide antes das demais, e sua decisão é observável e irreversível. Será que mover primeiro confere uma vantagem estratégica? O modelo de Stackelberg responde afirmativamente, formalizando a ideia de que o compromisso crível com uma ação agressiva pode disciplinar o comportamento dos concorrentes.
No modelo de Stackelberg, a firma 1 (líder) escolhe \(q_1\) primeiro, e a firma 2 (seguidora) observa \(q_1\) e depois escolhe \(q_2\). O jogo é resolvido por indução retroativa.
A seguidora usa sua função de melhor-resposta: \(q_2^*(q_1) = \frac{a-c-bq_1}{2b}\).
O líder antecipa essa reação e maximiza:
A condição de primeira ordem dá:
O líder produz mais e lucra mais do que no Cournot; a seguidora produz menos e lucra menos. A vantagem do primeiro movimento (first-mover advantage) decorre do compromisso crível com uma quantidade elevada.
Intuição Econômica
Em uma frase: Quem se compromete primeiro com uma decisão grande e irreversível pode forçar os concorrentes a se acomodarem.
Pense assim: Quando a Ambev inaugura uma fábrica gigante em uma região, cervejarias menores sabem que competir ali será duro. A capacidade já instalada é um "fato consumado" que muda o jogo — a líder produz muito, e a seguidora aceita uma fatia menor do mercado.
Por que isso importa: Essa lógica explica por que grandes empresas investem agressivamente em capacidade e infraestrutura antes dos rivais — o compromisso crível vira vantagem estratégica.
Figura 16.3 — O líder de Stackelberg escolhe o ponto de maior lucro sobre a função de melhor-resposta da seguidora. As curvas de iso-lucro do líder são mostradas em azul. Compare com o equilíbrio de Cournot (roxo).
16.4 De Monopólio a Concorrência em n Passos: Cournot com n Firmas¶
Os resultados obtidos para o duopólio de Cournot levantam uma questão natural: como o equilíbrio se comporta à medida que o número de firmas aumenta? A generalização para \(n\) firmas revela uma propriedade notável — o modelo de Cournot interpola continuamente entre os extremos de monopólio e concorrência perfeita, com a intensidade da competição crescendo suavemente no número de participantes.
Demonstração
Considere \(n\) firmas idênticas com custo marginal constante \(c\). A demanda inversa é \(p = a - bQ\), onde \(Q = \sum_{i=1}^n q_i\).
O lucro da firma \(i\) é:
Definindo \(Q_{-i} = \sum_{j \neq i} q_j\), a condição de primeira ordem é:
Resolvendo:
No equilíbrio simétrico, todas as firmas produzem a mesma quantidade: \(q_i^* = q^*\) para todo \(i\). Portanto, \(Q_{-i} = (n-1)q^*\), e a condição de equilíbrio torna-se:
A quantidade agregada e o preço de equilíbrio são:
O lucro de cada firma é:
Propriedades de estática comparativa:
- Quando \(n = 1\): \(q^* = \frac{a-c}{2b}\), \(p^* = \frac{a+c}{2}\) — resultado de monopólio.
- Quando \(n = 2\): \(q^* = \frac{a-c}{3b}\), \(p^* = \frac{a+2c}{3}\) — duopólio de Cournot.
- Quando \(n \to \infty\): \(Q^* \to \frac{a-c}{b}\), \(p^* \to c\) — resultado competitivo.
Portanto, o equilíbrio de Cournot converge para o resultado de concorrência perfeita quando o número de firmas cresce sem limite. O modelo de Cournot é, assim, uma interpolação contínua entre monopólio e concorrência perfeita, parametrizada pelo número de firmas. \(\blacksquare\)