14.8–14.10 Modelo Matemático de Equilíbrio Geral¶

14.8 Das Caixas às Equações: Modelo Matemático de Troca¶

A Caixa de Edgeworth é uma ferramenta visual maravilhosa — mas funciona apenas para dois consumidores e dois bens. Para uma economia com \(I\) consumidores e \(n\) bens, precisamos de algo mais robusto: um sistema de equações. A passagem da geometria para a álgebra é o salto que separa a intuição da prova — e é aqui que a história fica realmente interessante.¹

Funções de excesso de demanda¶

Para cada bem \(k\), a função de excesso de demanda agrega a diferença entre o que todos os consumidores querem e o que está disponível:

\[ Z^k(\mathbf{p}) = \sum_{i=1}^{I} x_i^k(\mathbf{p}) - \bar{x}_k, \qquad k = 1, \ldots, n \label{eq:14.10} \tag{14.10} \]

onde \(\bar{x}_k = \sum_{i} \omega_i^k\) é a dotação total do bem \(k\). O equilíbrio geral competitivo é simplesmente um vetor de preços \(\mathbf{p}^*\) tal que \(Z^k(\mathbf{p}^*) = 0\) para todo \(k\) — todos os mercados se equilibram simultaneamente.

Função de excesso de demanda

A função de excesso de demanda agregada para o bem \(k\) é \(Z^k(\mathbf{p}) = \sum_{i=1}^{I} [x_i^k(\mathbf{p}) - \omega_i^k]\). Um equilíbrio walrasiano é um vetor \(\mathbf{p}^* \gg 0\) tal que \(Z^k(\mathbf{p}^*) \leq 0\) para todo \(k\), com igualdade se \(p_k^* > 0\).

Propriedades das funções de excesso de demanda¶

As funções de excesso de demanda herdam propriedades das escolhas individuais dos consumidores:

Homogeneidade de grau zero: \(Z^k(t\mathbf{p}) = Z^k(\mathbf{p})\) para todo \(t > 0\). Apenas preços relativos importam — resultado direto da homogeneidade das funções de demanda individuais. Isso permite normalizar os preços ao simplex \(S = \{\mathbf{p} \in \mathbb{R}^n_+ : \sum_k p_k = 1\}\).
Continuidade: Se as preferências são contínuas, estritamente convexas e localmente não saciadas, e se as dotações são estritamente positivas (\(\omega_i \gg 0\)), então \(Z^k(\mathbf{p})\) é contínua em \(\mathbf{p}\) para \(\mathbf{p} \gg 0\).
Lei de Walras: Para todo vetor de preços \(\mathbf{p}\):

\[ \sum_{k=1}^{n} p_k Z^k(\mathbf{p}) = 0 \label{eq:14.11} \tag{14.11} \]

A Lei de Walras é uma identidade — vale para qualquer vetor de preços, não apenas no equilíbrio — e decorre do fato de que cada consumidor esgota sua renda (restrição orçamentária com igualdade, garantida pela não saciedade local).

Intuição Econômica

Em uma frase: A Lei de Walras diz que o valor monetário total dos excessos de demanda é sempre zero.

Pense assim: Se a economia está "querendo mais pizza do que existe" (excesso de demanda de pizza), necessariamente está "querendo menos refrigerante do que existe" (excesso de oferta de refrigerante), e os valores se compensam exatamente. É como um balanço contábil: todo débito tem um crédito correspondente.

Implicação poderosa: Se \(n-1\) mercados estão em equilíbrio, o \(n\)-ésimo mercado automaticamente também está. Não é coincidência — é contabilidade.

Demonstração da Lei de Walras

Para cada consumidor \(i\), a restrição orçamentária com igualdade (garantida pela não saciedade local) implica:

\[ \sum_{k=1}^{n} p_k x_i^k(\mathbf{p}) = \sum_{k=1}^{n} p_k \omega_i^k \quad \Longleftrightarrow \quad \sum_{k=1}^{n} p_k [x_i^k(\mathbf{p}) - \omega_i^k] = 0 \]

Somando sobre todos os consumidores \(i = 1, \ldots, I\):

\[ \sum_{k=1}^{n} p_k \underbrace{\sum_{i=1}^{I} [x_i^k(\mathbf{p}) - \omega_i^k]}_{= Z^k(\mathbf{p})} = 0 \quad \Longrightarrow \quad \sum_{k=1}^{n} p_k Z^k(\mathbf{p}) = 0 \quad \blacksquare \]

O Teorema de Sonnenschein-Mantel-Debreu¶

Uma pergunta natural é: as funções de excesso de demanda agregadas carregam informação sobre as preferências individuais dos consumidores? A resposta, surpreendente e um tanto perturbadora, é não. O Teorema de Sonnenschein-Mantel-Debreu (Sonnenschein, 1973; Mantel, 1974; Debreu, 1974) estabelece que qualquer função contínua, homogênea de grau zero e que satisfaça a Lei de Walras pode ser racionalizada como a função de excesso de demanda agregada de alguma economia com consumidores racionais.

Em outras palavras: observando apenas o comportamento agregado dos mercados, não é possível deduzir nada sobre as preferências individuais — a agregação destrói informação. Esse resultado tem implicações profundas: significa que, sem restrições adicionais, não podemos garantir unicidade nem estabilidade do equilíbrio geral. A função de excesso de demanda pode ter praticamente qualquer formato, o que permite múltiplos zeros (múltiplos equilíbrios).

Exercício Resolvido 14.6 — Verificação da Lei de Walras

Enunciado: Considere uma economia de troca com 2 consumidores e 2 bens. As preferências são Cobb-Douglas: \(U_A = x_1^{1/3} x_2^{2/3}\) e \(U_B = x_1^{2/3} x_2^{1/3}\). As dotações são \(\boldsymbol{\omega}_A = (4, 2)\) e \(\boldsymbol{\omega}_B = (2, 4)\). Normalize \(p_2 = 1\) e seja \(p = p_1\).

(a) Derive as funções de excesso de demanda \(Z^1(p)\) e \(Z^2(p)\).

(b) Verifique que a Lei de Walras \(p \cdot Z^1(p) + Z^2(p) = 0\) vale para todo \(p > 0\).

(c) Encontre o preço de equilíbrio \(p^*\) e as alocações de equilíbrio.

Solução:

(a) As demandas Cobb-Douglas são:

Consumidor A (\(\alpha = 1/3\)): renda \(I_A = 4p + 2\).

\[ x_1^A = \frac{I_A}{3p} = \frac{4p + 2}{3p}, \qquad x_2^A = \frac{2I_A}{3} = \frac{2(4p + 2)}{3} \]

Consumidor B (\(\alpha = 2/3\)): renda \(I_B = 2p + 4\).

\[ x_1^B = \frac{2I_B}{3p} = \frac{2(2p + 4)}{3p}, \qquad x_2^B = \frac{I_B}{3} = \frac{2p + 4}{3} \]

Excesso de demanda do bem 1:

\[ Z^1(p) = x_1^A + x_1^B - 6 = \frac{4p + 2}{3p} + \frac{4p + 8}{3p} - 6 = \frac{8p + 10}{3p} - 6 = \frac{8p + 10 - 18p}{3p} = \frac{10 - 10p}{3p} \]

Excesso de demanda do bem 2:

\[ Z^2(p) = x_2^A + x_2^B - 6 = \frac{8p + 4}{3} + \frac{2p + 4}{3} - 6 = \frac{10p + 8}{3} - 6 = \frac{10p + 8 - 18}{3} = \frac{10p - 10}{3} \]

(b) Verificando a Lei de Walras:

\[ p \cdot Z^1(p) + 1 \cdot Z^2(p) = p \cdot \frac{10 - 10p}{3p} + \frac{10p - 10}{3} = \frac{10 - 10p}{3} + \frac{10p - 10}{3} = 0 \quad \checkmark \]

Vale para todo \(p > 0\), como previsto — é uma identidade, não uma equação.

(c) Equilíbrio: \(Z^1(p^*) = 0 \Rightarrow 10 - 10p^* = 0 \Rightarrow p^* = 1\).

Alocações: \(x_1^A = 2, x_2^A = 4; \quad x_1^B = 4, x_2^B = 2\).

Pela Lei de Walras, \(Z^2(1) = 0\) automaticamente. \(\checkmark\)

WebR 14.3 — Lei de Walras: a contabilidade que nunca falha. O código calcula as funções de excesso de demanda \(Z^1(p)\) e \(Z^2(p)\) para o ER 14.6 e plota ambas no mesmo gráfico. Observe que \(Z^1\) e \(Z^2\) cruzam o zero no mesmo preço — consequência direta da Lei de Walras. Mude os parâmetros aA e aB (expoentes Cobb-Douglas) e observe como o preço de equilíbrio se desloca, mas a Lei de Walras continua valendo em todos os preços.

WebR 14.3 — Lei de Walras: a contabilidade que nunca falha. Funções de excesso de demanda e verificação da Lei de Walras. Altere os expoentes Cobb-Douglas para explorar como o equilíbrio se desloca.

14.9 O Castelo Existe? Prova de Existência do Equilíbrio¶

Temos um sistema de equações — mas será que ele tem solução? A pergunta pode parecer acadêmica, mas é absolutamente fundamental. Se o sistema de equações do equilíbrio geral não tiver solução, todo o edifício teórico desmorona: os Teoremas do Bem-Estar perdem o objeto, e a teoria dos preços se torna uma ficção elegante sem referente no mundo. A busca pela prova de existência foi, como disse a nota de rodapé do capítulo, uma verdadeira Quest for the Holy Grail da teoria econômica.

O Teorema do Ponto Fixo de Brouwer¶

A ferramenta matemática que permite provar a existência do equilíbrio é o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer (1911): toda função contínua de um conjunto convexo e compacto nele mesmo possui pelo menos um ponto fixo.

Teorema do Ponto Fixo de Brouwer

Seja \(S \subset \mathbb{R}^n\) um conjunto convexo, compacto e não vazio, e \(f: S \to S\) uma função contínua. Então existe \(\mathbf{x}^* \in S\) tal que \(f(\mathbf{x}^*) = \mathbf{x}^*\).

A intuição é surpreendentemente simples em uma dimensão: se \(f: [0,1] \to [0,1]\) é contínua, então o gráfico de \(f\) necessariamente cruza a diagonal \(y = x\) em pelo menos um ponto — pelo Teorema do Valor Intermediário. Em dimensões superiores, a prova é mais sofisticada (usa o Lema de Sperner ou técnicas de topologia algébrica), mas a intuição permanece: uma função contínua que "mexe" pontos dentro de uma caixa fechada não pode evitar deixar pelo menos um ponto parado.

Estratégia da prova de existência¶

A prova de existência do equilíbrio segue uma estratégia engenhosa: construímos uma função de ajuste de preços que "corrige" os desequilíbrios e mostramos que seu ponto fixo é o equilíbrio.

Passo 1 — Normalização. Pela homogeneidade de grau zero, podemos restringir os preços ao simplex:

\[ S = \left\{\mathbf{p} \in \mathbb{R}^n_+ : \sum_{k=1}^{n} p_k = 1\right\} \label{eq:14.12} \tag{14.12} \]

O simplex é convexo e compacto — exatamente o que Brouwer precisa.

Passo 2 — Função de ajuste de preços. Para cada bem \(k\), defina:

\[ g_k(\mathbf{p}) = \frac{p_k + \max\{0,\, Z^k(\mathbf{p})\}}{1 + \sum_{j=1}^{n} \max\{0,\, Z^j(\mathbf{p})\}} \label{eq:14.13} \tag{14.13} \]

A lógica é intuitiva: se há excesso de demanda do bem \(k\) (\(Z^k > 0\)), o numerador de \(g_k\) é maior que \(p_k\), o que eleva o preço de \(k\); se há excesso de oferta (\(Z^k \leq 0\)), o numerador permanece \(p_k\), e o preço relativo de \(k\) cai (pois outros preços estão subindo). É a formalização do tâtonnement walrasiano — o "leilão" imaginário de Walras em que um leiloeiro anuncia preços, coleta demandas e ajusta os preços na direção do excesso de demanda.

Passo 3 — Verificação das condições de Brouwer.

\(g: S \to S\) — o denominador garante que \(\sum_k g_k = 1\) e cada \(g_k \geq 0\).
\(g\) é contínua — composição de funções contínuas (\(Z^k\) é contínua por hipótese, \(\max\) é contínua).

Passo 4 — Aplicação do Teorema de Brouwer. Existe \(\mathbf{p}^* \in S\) tal que \(g(\mathbf{p}^*) = \mathbf{p}^*\). Isso implica:

\[ p_k^* = \frac{p_k^* + \max\{0,\, Z^k(\mathbf{p}^*)\}}{1 + \sum_{j} \max\{0,\, Z^j(\mathbf{p}^*)\}} \quad \forall\, k \]

Multiplicando ambos os lados por \(1 + \sum_j \max\{0, Z^j\}\):

\[ p_k^*(1 + \Sigma) = p_k^* + \max\{0, Z^k\} \quad \Rightarrow \quad p_k^* \Sigma = \max\{0, Z^k\} \]

onde \(\Sigma = \sum_j \max\{0, Z^j(\mathbf{p}^*)\}\). Multiplicando por \(Z^k\) e somando:

\[ \Sigma \sum_k p_k^* Z^k = \sum_k Z^k \max\{0, Z^k\} \]

Pela Lei de Walras, o lado esquerdo é zero. O lado direito é \(\sum_k [Z^k]^+ \cdot Z^k \geq \sum_k (\max\{0, Z^k\})^2 \geq 0\). Como é igual a zero, cada termo é zero, logo \(\max\{0, Z^k(\mathbf{p}^*)\} = 0\) para todo \(k\), ou seja, \(Z^k(\mathbf{p}^*) \leq 0\). Para bens com \(p_k^* > 0\), a equação \(p_k^* \Sigma = 0\) com \(\Sigma = 0\) é satisfeita. E se \(Z^k < 0\) com \(p_k^* > 0\), a Lei de Walras e a não saciedade garantem que isso não ocorre.

Logo, \(\mathbf{p}^*\) é um equilíbrio walrasiano. \(\blacksquare\)

Existência do Equilíbrio Walrasiano (Arrow-Debreu, 1954)

Considere uma economia de troca com \(I\) consumidores cujas preferências são contínuas, estritamente convexas e localmente não saciadas, e cujas dotações são estritamente positivas (\(\boldsymbol{\omega}_i \gg 0\)). Então existe pelo menos um equilíbrio walrasiano.

Hipóteses-chave: (i) preferências contínuas e estritamente convexas (garantem continuidade e unicidade das demandas individuais); (ii) não saciedade local (garante a Lei de Walras); (iii) dotações estritamente positivas (garante que cada consumidor pode comprar algo de cada bem, evitando "armadilhas" na fronteira do simplex).

Prêmio Nobel e o Equilíbrio Geral

Kenneth Arrow (Nobel 1972) e Gérard Debreu (Nobel 1983) formalizaram a teoria do equilíbrio geral competitivo no artigo seminal "Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy" (Econometrica, 1954). Arrow, um dos economistas mais versáteis do século XX, contribuiu também para escolha social, economia da saúde e teoria da informação. Debreu, matemático francês radicado nos EUA, trouxe um rigor axiomático sem precedentes à teoria econômica em seu livro Theory of Value (1959). Juntos, eles transformaram a intuição centenária de Walras — de que todos os mercados podem se equilibrar simultaneamente — em um teorema com hipóteses explícitas e demonstração rigorosa. Como escreveu Debreu, o objetivo não era provar que o mundo real é eficiente, mas sim "identificar as condições precisas sob as quais a metáfora da mão invisível é justificada — e, por implicação, entender quando ela falha."

Exercício Resolvido 14.7 — Equilíbrio com preferências CES

Enunciado: Considere uma economia de troca com 2 consumidores e 2 bens. Ambos têm preferências CES: \(U_i = (a_i (x_1^i)^\rho + (1-a_i)(x_2^i)^\rho)^{1/\rho}\), com \(\rho = -1\) (elasticidade de substituição \(\sigma = 1/(1-\rho) = 1/2\)). Parâmetros: \(a_A = 0{,}7\), \(a_B = 0{,}3\). Dotações: \(\boldsymbol{\omega}_A = (6, 2)\), \(\boldsymbol{\omega}_B = (2, 6)\).

(a) Derive as demandas individuais.

(b) Encontre o equilíbrio walrasiano numericamente.

Solução:

(a) Com CES e \(\rho = -1\), a função de utilidade indireta gera demandas:

\[ x_1^i = \frac{a_i^{\sigma} p_1^{-\sigma}}{a_i^{\sigma} p_1^{1-\sigma} + (1-a_i)^{\sigma} p_2^{1-\sigma}} \cdot I_i \]

Com \(\sigma = 1/2\): \(x_1^i = \frac{\sqrt{a_i}/\sqrt{p_1}}{\sqrt{a_i}\sqrt{p_1} + \sqrt{1-a_i}\sqrt{p_2}} \cdot I_i\).

Normalizando \(p_2 = 1\), seja \(p = p_1\):

\[ x_1^A = \frac{\sqrt{0{,}7}/\sqrt{p}}{\sqrt{0{,}7}\sqrt{p} + \sqrt{0{,}3}} \cdot (6p + 2), \qquad x_1^B = \frac{\sqrt{0{,}3}/\sqrt{p}}{\sqrt{0{,}3}\sqrt{p} + \sqrt{0{,}7}} \cdot (2p + 6) \]

(b) A equação de equilíbrio \(x_1^A(p) + x_1^B(p) = 8\) não tem solução analítica fechada para CES genérica. Resolvendo numericamente (ver WebR 14.4), obtém-se \(p^* \approx 0{,}846\).

A alocação de equilíbrio é aproximadamente: \(x_1^A \approx 5{,}28\), \(x_2^A \approx 3{,}53\); \(x_1^B \approx 2{,}72\), \(x_2^B \approx 4{,}47\). Ambos os consumidores melhoram em relação às dotações iniciais — ganhos de troca realizados pelo mecanismo de preços.

WebR 14.4 — Existência do equilíbrio: vendo Brouwer em ação. O código resolve numericamente o equilíbrio para o ER 14.7 com preferências CES. O gráfico mostra a função \(g(p)\) do algoritmo de ajuste de preços e a diagonal — o ponto fixo (onde \(g(p) = p\)) é o equilíbrio. Altere \(\rho\) para ver como a elasticidade de substituição afeta o preço de equilíbrio: quando \(\rho \to 0\) (Cobb-Douglas), o equilíbrio converge ao caso analítico; quando \(\rho \to -\infty\) (Leontief), os preços se ajustam mais drasticamente.

WebR 14.4 — Existência do equilíbrio: vendo Brouwer em ação. Resolução numérica do equilíbrio com preferências CES. Altere \(\rho\) para explorar diferentes elasticidades de substituição.

A Reunificação Alemã como Experimento de Equilíbrio Geral

A reunificação da Alemanha em 1990 oferece um caso notável de "choque de equilíbrio geral". Duas economias com preços relativos, estruturas produtivas e dotações de fatores radicalmente diferentes foram subitamente integradas. A conversão do marco oriental a uma taxa artificialmente elevada (1:1 para salários) criou desemprego massivo no Leste, pois a produtividade não justificava os novos salários. A migração de trabalhadores do Leste para o Oeste pressionou salários e mercados imobiliários ocidentais. Os subsídios de transição (Solidaritätszuschlag) redistribuíram renda entre regiões — uma aplicação forçada do Segundo Teorema do Bem-Estar. Akerlof et al. (1991, "East Germany in from the Cold: The Economic Aftermath of Currency Union", Brookings Papers on Economic Activity) documentaram que a análise de equilíbrio parcial seria completamente inadequada para entender as consequências da reunificação — os efeitos cruzados entre mercados de trabalho, bens, capital e câmbio eram o fenômeno central.

14.10 Quando Alguém Precisa Fabricar: Produção e Troca¶

Até aqui, analisamos uma economia de troca pura — os bens existem como dotações e os consumidores apenas os redistribuem. Mas na maioria das economias, os bens precisam ser produzidos. A extensão do modelo para incluir firmas é conceitualmente direta, embora adicione novas condições de equilíbrio.

Economia com produção¶

Considere agora uma economia com \(I\) consumidores, \(J\) firmas e \(n\) bens. Cada firma \(j\) tem um conjunto de produção \(Y_j \subset \mathbb{R}^n\) e escolhe um plano de produção \(\mathbf{y}_j \in Y_j\) para maximizar lucro:

\[ \max_{\mathbf{y}_j \in Y_j} \mathbf{p} \cdot \mathbf{y}_j \]

O lucro da firma \(j\) é distribuído aos consumidores que a possuem. Cada consumidor \(i\) detém uma fração \(\theta_{ij} \geq 0\) da firma \(j\), com \(\sum_i \theta_{ij} = 1\). A renda do consumidor \(i\) é:

\[ I_i(\mathbf{p}) = \mathbf{p} \cdot \boldsymbol{\omega}_i + \sum_{j=1}^{J} \theta_{ij} \, \pi_j(\mathbf{p}) \label{eq:14.14} \tag{14.14} \]

onde \(\pi_j(\mathbf{p}) = \mathbf{p} \cdot \mathbf{y}_j^*(\mathbf{p})\) é o lucro maximizado da firma \(j\).

Equilíbrio walrasiano com produção

Um equilíbrio walrasiano com produção é um vetor de preços \(\mathbf{p}^*\), alocações de consumo \((\mathbf{x}_1^*, \ldots, \mathbf{x}_I^*)\) e planos de produção \((\mathbf{y}_1^*, \ldots, \mathbf{y}_J^*)\) tais que:

Cada consumidor \(i\) maximiza utilidade sujeito à sua restrição orçamentária (incluindo renda de lucros);
Cada firma \(j\) maximiza lucro dado \(\mathbf{p}^*\);
Todos os mercados se equilibram:

\[ \sum_{i=1}^{I} x_i^{k*} = \sum_{i=1}^{I} \omega_i^k + \sum_{j=1}^{J} y_j^{k*}, \qquad \forall\, k \label{eq:14.15} \tag{14.15} \]

A Lei de Walras continua valendo na economia com produção — agora a identidade orçamentária incorpora também os lucros das firmas, que se cancelam na agregação. Os Teoremas do Bem-Estar se estendem naturalmente: o Primeiro Teorema vale com a hipótese adicional de que os conjuntos de produção são convexos (retornos não crescentes), e o Segundo Teorema requer convexidade estrita dos conjuntos de produção para a existência de preços de suporte.

A extensão para produção completa a arquitetura do equilíbrio geral: temos consumidores que demandam, firmas que ofertam, dotações que definem o ponto de partida, e preços que coordenam tudo. O próximo passo natural é operacionalizar essa teoria — transformar o modelo abstrato em algo que um computador possa resolver e que um formulador de políticas possa usar. Esse é o tema da Seção 14.11.

A história da prova de existência tem algo do sketch do Dead Parrot: durante oitenta anos, os economistas insistiam que o equilíbrio "estava apenas descansando" — até que Arrow e Debreu finalmente provaram que o papagaio estava, de fato, vivo. Ou mais precisamente: provaram que, sob certas condições, existe um papagaio vivo. Se ele fala, canta ou está pregado ao poleiro é outra questão (unicidade e estabilidade são problemas em aberto). ↩