Exercícios e ANPEC — Capítulo 14¶

Revisão do Capítulo¶

Questões de Revisão

Explique por que a análise de equilíbrio parcial pode ser insuficiente para avaliar o impacto de um choque no preço do petróleo. Quais canais de transmissão são ignorados pelo ceteris paribus?
O que a Caixa de Edgeworth nos mostra que um diagrama de oferta e demanda não consegue mostrar? Qual é a vantagem conceitual de representar dois agentes em um único diagrama?
Enuncie as três condições de eficiência de Pareto (troca, produção e mix de produtos) e explique intuitivamente por que cada uma é necessária.
"O Primeiro Teorema do Bem-Estar prova que o capitalismo é o melhor sistema econômico." Critique essa afirmação, identificando pelo menos três falácias.
Por que os modelos CGE são calibrados em vez de estimados econometricamente? Quais são as vantagens e desvantagens dessa abordagem?

Resumo dos Conceitos-Chave¶

Conceito	Definição	Referência
Equilíbrio geral competitivo	Vetor de preços que equilibra simultaneamente todos os mercados	Seção 14.1
Caixa de Edgeworth	Representação gráfica de todas as alocações factíveis com 2 agentes e 2 bens	Seção 14.2
Curva de contrato	Conjunto de alocações Pareto-eficientes (tangência das curvas de indiferença)	Seção 14.3
Núcleo da economia	Alocações que nenhuma coalizão pode bloquear	Seção 14.3
FPP	Combinações máximas de bens que uma economia pode produzir	Seção 14.4
Primeiro Teorema do Bem-Estar	Todo equilíbrio competitivo é Pareto-eficiente	Seção 14.6
Segundo Teorema do Bem-Estar	Toda alocação Pareto-eficiente pode ser descentralizada via transferências lump-sum	Seção 14.7
Lei de Walras	Valor total dos excessos de demanda é identicamente zero	Seção 14.8
Modelo CGE	Implementação numérica do equilíbrio geral calibrada com dados reais	Seção 14.11

Exercícios¶

!!! exercicio-proposto "Exercício 14.1 — Curva de contrato e equilíbrio walrasiano" {#ex-14-1}

Considere uma economia de troca pura com dois consumidores (A e B) e dois bens (\(x_1, x_2\)). Ambos têm preferências Cobb-Douglas simétricas: \(U_A = x_1^A x_2^A\) e \(U_B = x_1^B x_2^B\). As dotações são \(\boldsymbol{\omega}_A = (10, 2)\) e \(\boldsymbol{\omega}_B = (2, 8)\). Dotações totais: \(\bar{x}_1 = 12\), \(\bar{x}_2 = 10\).

**(a)** Derive a curva de contrato (conjunto de alocações Pareto-eficientes).

**(b)** Normalize \(p_2 = 1\). Encontre o preço de equilíbrio walrasiano \(p_1^*\) e as alocações de equilíbrio.

**(c)** Verifique a Lei de Walras para esta economia.

**(d)** Verifique que o equilíbrio está no núcleo da economia (cada consumidor prefere o equilíbrio à sua dotação inicial).

[Ver solução](../solucoes/cap14.md#ex-14-1)

!!! exercicio-proposto "Exercício 14.2 — Condições de eficiência de Pareto" {#ex-14-2}

Demonstre as seguintes afirmações:

**(a)** **Eficiência na troca:** Se \(TMS_A^{12} \neq TMS_B^{12}\), a alocação não é Pareto-eficiente (mostre que existe uma troca mutuamente benéfica).

**(b)** **Eficiência na produção:** Se \(TMST_1^{LK} \neq TMST_2^{LK}\), a alocação de insumos não é eficiente (mostre que é possível produzir mais de um bem sem produzir menos do outro).

**(c)** **Eficiência no mix:** Se \(TMT_{12} \neq TMS^{12}\), a composição do produto não é eficiente (mostre que é possível melhorar o bem-estar dos consumidores alterando o que é produzido).

[Ver solução](../solucoes/cap14.md#ex-14-2)

!!! exercicio-proposto "Exercício 14.3 — Excesso de demanda e Lei de Walras com 3 bens" {#ex-14-3}

Considere uma economia com 3 bens cujas funções de excesso de demanda são:

\[
Z^1(\mathbf{p}) = \frac{3p_2}{p_1} + \frac{2p_3}{p_1} - 5, \qquad Z^2(\mathbf{p}) = -p_2 + p_3 + 1
\]

**(a)** Verifique que \(Z^1\) e \(Z^2\) são homogêneas de grau zero.

**(b)** Usando a Lei de Walras, derive \(Z^3(\mathbf{p})\).

**(c)** Normalize \(p_1 = 1\) e encontre o equilíbrio walrasiano \(\mathbf{p}^*\).

[Ver solução](../solucoes/cap14.md#ex-14-3)

!!! exercicio-proposto "Exercício 14.4 — Primeiro Teorema: da otimização individual à eficiência" {#ex-14-4}

Mostre que, em uma economia com 2 bens, 2 consumidores e 2 firmas, a concorrência perfeita implica as três condições de eficiência de Pareto:

**(a)** Eficiência na troca: \(TMS_A = TMS_B\).

**(b)** Eficiência na produção: \(TMST_1 = TMST_2\).

**(c)** Eficiência no mix de produtos: \(TMT = TMS\).

*Dica:* use as condições de otimização de consumidores e firmas diante de preços competitivos.

[Ver solução](../solucoes/cap14.md#ex-14-4)

!!! exercicio-proposto "Exercício 14.5 — CGE e o acordo Mercosul-UE" {#ex-14-5}

O acordo comercial Mercosul-UE prevê redução de tarifas sobre bens industrializados europeus exportados ao Brasil, em troca de maior acesso europeu a commodities agrícolas brasileiras.

**(a)** Explique por que uma análise de equilíbrio parcial (oferta e demanda de um setor) é insuficiente para avaliar esse acordo.

**(b)** Identifique três mercados que seriam afetados indiretamente (efeitos de equilíbrio geral) pela redução tarifária.

**(c)** Descreva os dados e parâmetros que um modelo CGE precisaria para simular o acordo.

**(d)** Quais hipóteses do modelo walrasiano padrão podem ser especialmente problemáticas no contexto da economia brasileira?

[Ver solução](../solucoes/cap14.md#ex-14-5)

!!! exercicio-proposto "Exercício 14.6 — Leontief e Cobb-Douglas na Caixa de Edgeworth" {#ex-14-6}

Considere uma economia com 2 consumidores e 2 bens (\(x, y\)). As preferências são: \(U_A = \min(x_A, 2y_A)\) (Leontief) e \(U_B = x_B^{1/3} y_B^{2/3}\) (Cobb-Douglas). Dotações: \(\boldsymbol{\omega}_A = (8, 2)\), \(\boldsymbol{\omega}_B = (2, 6)\). Totais: \(\bar{x} = 10\), \(\bar{y} = 8\).

**(a)** Desenhe a Caixa de Edgeworth e identifique o ponto de dotação. Represente as curvas de indiferença de A e B que passam pela dotação.

**(b)** Derive a curva de contrato.

**(c)** Normalize \(p_y = 1\) e encontre o preço de equilíbrio walrasiano \(p_x^*\).

**(d)** Verifique que o equilíbrio está sobre a curva de contrato.

[Ver solução](../solucoes/cap14.md#ex-14-6)

!!! exercicio-proposto "Exercício 14.7 — Preferências lineares e multiplicidade de equilíbrios" {#ex-14-7}

Considere uma economia com 2 consumidores e 2 bens. Preferências: \(U_A = x_A + y_A\) (lineares) e \(U_B = x_B y_B\) (Cobb-Douglas simétrica). Dotações: \(\boldsymbol{\omega}_A = (4, 4)\), \(\boldsymbol{\omega}_B = (4, 4)\).

**(a)** Derive o conjunto de alocações Pareto-eficientes. Por que é diferente do caso Cobb-Douglas simétrico?

**(b)** Explique intuitivamente por que as preferências lineares de A expandem o conjunto eficiente.

**(c)** Encontre todos os equilíbrios walrasianos. Há unicidade?

[Ver solução](../solucoes/cap14.md#ex-14-7)

!!! exercicio-proposto "Exercício 14.8 — FPP e curva de contrato de produção" {#ex-14-8}

Dois setores produzem bens 1 e 2 com trabalho (\(L\)) e capital (\(K\)). Dotações totais: \(\bar{L} = \bar{K} = 100\). Funções de produção: \(q_1 = L_1^{1/2}K_1^{1/2}\) e \(q_2 = L_2^{1/3}K_2^{2/3}\).

**(a)** Derive a curva de contrato de produção (condição de eficiência na produção) e expresse \(K_1\) como função de \(L_1\).

**(b)** Calcule a produção eficiente para \(L_1 = 60\).

**(c)** A FPP resultante é linear, côncava ou convexa? Justifique economicamente.

[Ver solução](../solucoes/cap14.md#ex-14-8)

!!! exercicio-proposto "Exercício 14.9 — Segundo Teorema e transferências" {#ex-14-9}

**(a)** Enuncie o Segundo Teorema do Bem-Estar e liste suas hipóteses.

**(b)** Explique por que transferências lump-sum são essenciais para o Segundo Teorema — e por que impostos sobre bens não servem.

**(c)** Na economia do Exercício 14.1, suponha que o planejador social deseja a alocação \(\hat{\mathbf{x}}_A = (3, 3)\) e \(\hat{\mathbf{x}}_B = (9, 7)\). Verifique que é Pareto-eficiente e determine a transferência lump-sum necessária para descentralizá-la como equilíbrio competitivo.

[Ver solução](../solucoes/cap14.md#ex-14-9)

!!! exercicio-proposto "Exercício 14.10 — Equilíbrio geral e comércio internacional" {#ex-14-10}

Dois países (H e F) produzem tecido (T) e vinho (V) com trabalho. Cada país tem 120 unidades de trabalho. Requerimentos unitários de trabalho:

| | Tecido (T) | Vinho (V) |
|:--|:--:|:--:|
| País H | 2 | 6 |
| País F | 4 | 3 |

Preferências em ambos os países: \(U = T \cdot V\) (Cobb-Douglas simétrica).

**(a)** Determine a vantagem comparativa de cada país e desenhe as FPPs.

**(b)** Calcule o equilíbrio autárquico de cada país (produção, consumo, preços relativos, utilidade).

**(c)** Com especialização completa, encontre o preço relativo de equilíbrio do comércio livre e verifique que ambos os países ganham.

**(d)** Interprete os resultados à luz do Primeiro Teorema do Bem-Estar e da Caixa de Edgeworth: por que o livre comércio melhora a eficiência?

[Ver solução](../solucoes/cap14.md#ex-14-10)

Questões ANPEC¶

ANPEC 2019 — Questão 10

Considere uma economia de troca com dois agentes (1 e 2) e dois bens (\(x\) e \(y\)). As funções de utilidade são \(U_1 = xy\) e \(U_2 = x^2 y\). As dotações iniciais são \(\omega_1 = (4, 6)\) e \(\omega_2 = (8, 6)\).

Julgue as afirmativas:

(0) A curva de contrato é linear na Caixa de Edgeworth.

(1) No equilíbrio competitivo, o preço relativo é \(p_x/p_y = 1\).

(2) O equilíbrio competitivo é Pareto-eficiente.

(3) Se as dotações fossem \(\omega_1 = (6, 6)\) e \(\omega_2 = (6, 6)\), o preço de equilíbrio não mudaria.

(4) A Lei de Walras implica que, se o mercado de \(x\) está em equilíbrio, o mercado de \(y\) também está.

Gabarito

(0) Falso. Com \(U_1 = xy\) (Cobb-Douglas simétrica) e \(U_2 = x^2y\), as TMS são \(y_1/x_1\) e \(y_2/(2x_2)\). Igualando: \(y_1/x_1 = y_2/(2x_2)\), que não é linear.

(1) Falso. Calculando as demandas e resolvendo, obtém-se \(p_x/p_y \neq 1\) em geral.

(2) Verdadeiro. Pelo Primeiro Teorema do Bem-Estar.

(3) Falso. As dotações afetam as rendas individuais e, com preferências assimétricas, alteram as demandas e o equilíbrio.

(4) Verdadeiro. Consequência direta da Lei de Walras com 2 bens.

ANPEC 2018 — Questão 13

Julgue as afirmativas sobre a teoria do equilíbrio geral:

(0) O Primeiro Teorema do Bem-Estar requer que as preferências sejam convexas.

(1) O Segundo Teorema do Bem-Estar requer convexidade das preferências.

(2) A Lei de Walras vale apenas no equilíbrio.

(3) A existência do equilíbrio walrasiano pode ser provada usando o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer.

(4) O Teorema de Sonnenschein-Mantel-Debreu implica que funções de excesso de demanda agregadas podem ter qualquer formato (sujeitas a continuidade, homogeneidade e Lei de Walras), impossibilitando garantias gerais de unicidade.

Gabarito

(0) Falso. O Primeiro Teorema requer apenas não saciedade local — não precisa de convexidade.

(1) Verdadeiro. O Segundo Teorema precisa de convexidade (para garantir a existência de hiperplano separador / preços de suporte).

(2) Falso. A Lei de Walras é uma identidade — vale para todo vetor de preços, não apenas no equilíbrio.

(3) Verdadeiro. É exatamente a estratégia de prova de Arrow-Debreu (1954).

(4) Verdadeiro. É a implicação central do Teorema SMD.

ANPEC 2015 — Questão 11

Considere uma economia de troca com dois bens e dois agentes com preferências Cobb-Douglas: \(U_A = x_1^a x_2^{1-a}\) e \(U_B = x_1^b x_2^{1-b}\). Dotações: \(\boldsymbol{\omega}_A = (\omega_1^A, \omega_2^A)\) e \(\boldsymbol{\omega}_B = (\omega_1^B, \omega_2^B)\).

Julgue:

(0) No equilíbrio walrasiano, \(TMS_A = TMS_B = p_1/p_2\).

(1) Se \(a = b\), a curva de contrato é uma reta.

(2) Se \(a = b = 1/2\) e as dotações totais são iguais (\(\bar{x}_1 = \bar{x}_2\)), o preço relativo de equilíbrio é \(p_1/p_2 = 1\).

(3) A alocação de equilíbrio é independente da distribuição das dotações (depende apenas dos totais).

(4) O conjunto de alocações Pareto-eficientes forma uma curva (não um ponto) na Caixa de Edgeworth.

Gabarito

(0) Verdadeiro. Condição de equilíbrio competitivo — cada agente iguala sua TMS à razão de preços.

(1) Verdadeiro. Se \(a = b\), \(TMS_A = TMS_B\) implica \(x_2^A/x_1^A = x_2^B/x_1^B\), que gera uma reta pela origem da caixa (a diagonal, no caso simétrico).

(2) Verdadeiro. Com preferências idênticas e simétricas (\(a = 1/2\)) e totais iguais, a simetria do problema implica \(p_1/p_2 = 1\).

(3) Falso. A distribuição das dotações afeta as rendas individuais e, portanto, as demandas e a alocação de equilíbrio. Apenas os preços relativos poderiam ser insensíveis à distribuição em casos muito especiais (preferências homotéticas idênticas).

(4) Verdadeiro. A curva de contrato é, genericamente, uma curva (unidimensional) na caixa bidimensional.